专题8.2.4 三角恒等变换的应用（高效培优讲义）数学人教B版高一必修第三册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题8.2.4三角恒等变换的应用 内容概览 教学目标、教学重难点 半角公式 知识清单 积化和差公式与和差化积公式 万能公式 半角公式 三角恒等变 积化和差公式 换的应用 和差化积公式 题型精讲 万能公式 三角恒等式的证明 三角形中的三角恒等变换 三角恒等变换的实际应用 强化训练 教学目标、教学重难点 1.熟记半角、积化和差、和差化积及万能公式，明确各公式的形式与适用条件。 教学目标 2.掌握公式的正向运用，能借助公式进行三角式的化简、求值与变形。 3. 理解公式间的内在联系，能根据题型特征合理选择公式解决三角问题。 重点：1.半角公式中符号的判断方法，积化和差与和差化积公式的灵活转换。 2.万能公式的应用，能将不同三角函数统一为正切的表达式。 教学重难点 难点：1.半角公式与二倍角公式的综合运用，根据已知条件选择合适的公式形式。 2.积化和差、和差化积公式的逆向运用，结合题型进行三角式的合理变形。 知识清单 知识点01半角公式 1/31 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1-cosa cos a 1+cosa 1-cosa sina 1-cosa tan-=+ 2 2 3 V1+cosa 1+cosa sina 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的 sin- sina 1-cosa 2 2sin2 2 1-cosa tan tan 21+c0s sina 2 s a 2sincos a sina COS- 2 2 2 以上两个公式称作半角正切的有理式表示. 【即学即练】 5π l.利用半角公式，求sin 5 12 -cos 12 【1号 【详解】 1-cos 1+3 5π 2+5(1+⑤)56+2， sin 61 12 2 2=4 2 1+cos 5元 cos 12= 2 6 4-255-×26-2, 2 16 4 则sin5-cos π_ 6+26-2_2 12 2 2 故答案为： 2 2.化简 1+cos0 1-cose 其中3π<0<4π. 2 2 【答案】V2cos2+4 0.π 【详解】由cos20=1-2sin20=2cos0-1,可得1+c0s20-c0s26,.1-c0s20=sin20, 2 2 所以 由3x<0<4,可知3江<9<2元. 22 2 知识点02积化和差公式与和差化积公式 1、积化和差公式 2/31 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 sinc cos B-[sin(c-B)+sin()]:cosa sin B=[sin(+B)-sin(B)] cosacosB=icosa-A)+costa+B:smasmB=cosa-p)-coNa+fA 2、和差化积公式 sna+smB=2sin“cos“,5ina-snB=2cosa+Pn-B -coS- -sin- 2 2 2 cosa+cosβ=2cos a+B a-B -coS- -sin- 2 2 cosa-cosB=-2sinsina-B 2 2 【即学即练】 3.sin20°+cos10°可化简为() A.sin 50 B.c0s50° C.√5sin50 D.V5cos50° 【答案】C 【详解】 sin20°+cos10°=sin20°+sin80°=sin(50°-30)+sin(50°+30)=sin50°cos30°-cos50°sin30°+sin50°cos30°+cos50°si 故选：C 4.求c0s15°c0s60°c0s75°的值， 【答案】日 【详】oaw15rcoc60cas75r-分分[cor15+75到+cas1s-759] c0+s() 1 知识点03万能公式 2tan 0 2tan 2 1-tan2 sin a = coS=- tana = 2 1+tan2 0 1+tan2 2 1-tan2 2 【即学即练】 5.已知命题p:“ana=2”,命题9：“c0s2a=-,则命题P是命题9的() 5 A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】cos2a=cos2a-sin2a= cos'a-sin2a 1-tan2a 3 cos'a+sin2a 1+tan2a 5 3/31 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得tana=±2， 故p→9,9×p,所以命题卫是命题q的充分不必要条件. 故选：B 1 6.已知am22求 (I)sina,cosa及tana的值； ②sna- 【答案】()sina= 5 cosa=3 4 tana=4 (R② 10 【分析】 2sin cos a 2 【详解】(1)sina=2 sin acos= 22 2 2.4 2 2 sin2 2+cos 2 tan cosa =cos2 cs2-sing -sin2a cos2 a 2 2 4-3 2 sin2a 2*1 °2an 415 故tana=sina-45.4 cosa 5 33 (2) sin a4 sin a cos-cosa sin π4V23V22 n45x2-5x2=10 题型精讲 题型01 半角公式 3 0 【例1】若-<0<0，cos6=-亏则sin2（) 2 4. 25 B. 2W5 C.v5 D.、5 5 5 5 5 【答案】B 【详解】由半角公式可知， 0 + sin 1-cos0 =±2 =土- =士 25, 2 2 又-元<0<0， 4/31 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以-<号<0，所以sin 025 22 25 故选：B 【例2】已知角0是第二象限角，且终边经过(-3.4，则m受() A.-2 B.2 c D.-2或2 【答案】B 【详解】由题得cosa=号ae2+号2版+，keZ, 所以号红+至+keZ属于第一象限或第三象限，则an受>0， 2 2 故tan 1-cosa =2 V1+cosa 故选：B 【变式1-1】已知cos0= ,则sin 1 1 2 3sin =() 2 A.0 B.3 C.-3 3 3 【答案】A 【详解】因为c0s8= 1 所以sin9-1-cos9_1上 22 23 sin、1 3sin20 -1 2 2 0 =0, 3sin 3sin 2 2 故选：A 【变式1-2】已知c0s0=号且270<9<360，则s n=() A.-3 B.3 3 3 C.-6 D. 哈 3 3 【答案】B 【详解】因为270°<0<360°，则135°<9<180°，sim9>0, 2 2 5/31 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由半角公式可得 .0 1-cos0 in 故选：B 【变式1-3】化简： -sin2a (2)c0s2A+cos2(60°-A+c0s2(60°+A1. 【答案】()片 a 【分析】 【详解】CD解法一：由半角公式，符原式c2a-到 1-cos2a+ 3 1-cos2a 2 gmf2u-引romf2a+}wa] 2as2aas号o2月 in-m- cos2 a-sin2a= (2)原式-1+eos2A0+l+cos120-2401+5+cos20°+2A1 2+2c0s24+c 31 2c0s120°-2A)+c0s(2A+120] 3,1 2cos24+号cosl20°cos2A+sinl20°sim2A+cos2Acos120°-sin2 Asin12( +m21+分x2oaw120rco24-2+5os24-om24-月 =3+ 题型02积化和差公式 【例3】求值：sin20c0s70°+c0s50c0sl0°= 【答案】30.75 4 6/31 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】方法一： 原式=sin20°sin20°+sin40°.sin80°=sin220°+sin(60°-20)sin(60°+20） =sin220°+sin260cos220°-cos260sin220°=sin220°+sin2601-sin220）-(1-sin260）sin220° =6in220°+sin260°-sim20°=4 3 方法二： 原式=sin20sin20°+sin40sin80° =sin220°- mr40+80r-cos40-s0r]-sm20eom120-cs409=n20w I r 21-2sin209到= 1,13 424 故答案为：4 【例4】（多选）下列关于函数f(x)=2cosx+45)·cosx-45)性质的叙述正确的是() A.函数为偶函数B.函数为奇函数C.函数的最大值为2D.最小正周期为π 【答案】AD 【详解】依题意， f(x)=2c0s(x+45）cos(x-45）=cos[x+45)+(x-45)门+cos[(x+45）-(x-45)]=cos2x. 因此函数∫(x)为偶函数，且其最大值为1，最小正周期为刀 故选：AD 【变式2-1】化简2c0s50°c0s70°-c0s20°的结果为() A.-sin60° B.c0s120 C.sin60° D.cos60 【答案】B 【详解】 2c0s50°c0s70°-c0s20°=c0s50°+70+c0s50°-70)-c0s20°=c0s120°+c0s-20)-c0s20°=c0s120° 故选：B 【安式2】已ca9-子那么4as08c0+写}eor行-9 【答案】 11 16 -0.6875 -aow9wa-号》-wo2cws0-引-26引}8 故答案为： 11 16 7/31 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2-3】若直角三角形中两锐角为A和B,则sin Asin B的最大值为 【答案】05 【详解】：4+B=,cos4+B到=0os=0, sinsin cos(c+coB) 又0<A<,0<B<, 2 4 2 2 .0<cos(A-B)≤1，：sin Asin B有最大值， 故答案为： 题型3和差化积公式 【例5】2sin20°+cosl0°+tan20°·sinl0°= 【答案】√5 【详解】原式=2sin20'+c0s10+sm20sin10=2sin20+os10c0s20+sinl0sin20 cos20 cos20 c0s20°-10°） =2sin20°+ =2sin20°+cosl0° 2sin20 cos20+cos10sin40+sin02sin60 cos20 =√5 c0s20 cos20° c0s20 c0s20° c0s20 故答案为：√5 【例6】（多选）函数)=+号c- 的图象的对称轴方程不可能为() A.x=- _11π 12 B.x=12 C.X= 6 D.x=57 12 【答案】CD 【详解】=如x+引-o侣- =m+引m[及-行小 =+引sm副 （+8（+8 =2cos 2 -JZco 令x+是，长eZ,得x=机-及，长eZ,所以八y图象的对称镇方程为=机没keZ列 8/31 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当x=-元时，k=0: 3 当x=1时，青=1： 12 当x=刀时，k=4 1 6 当x=亚时，k= 1 12 2 因此x=亚和x=S红不可能是fx)图象的对称轴。 6 12 故选：CD 【变式3-1】下列各式中不正确的是() A.sina+sin B=2sin B+acosB- -cos B.cosa+cosB=2cosB+acosB- 2 2 2 2 C.sina-sin B=2cosBsinB 2 sin B-a 2 D.cosa-cosB=2sinB 2 2 【答案】C 【详解】对于Asma+snB=2n“os“-2sB生o82,A正痛： 2 2 对于B,cosa+cosB=2cos“+Bcos,B=2cosB+cosB,0,B正确： 2 2 2 2 对于C,sina-sinB=2sina-Bcos+ -cos- ，而选项C的右边 2 2 2cosB+asinB&=-2cosa+Bsin,B=-(sina-simB),与左边不相等，所以C错误： 2 2 2 2 2 2 2“,D正确 D.cosa-cos B=-2sinsin2sina sinB 故选：C 【变式3-2】化简：sin42°-cos12°+sin54°= 【答*】05 【详解】sin42°-cos12°+sin54° =sin42°-sin78°+sin54° =2cos60°sin-18）+sin54 =sin54°-sinl8 =2c0s36°sin18 =2cos36sin 18cos18 cos18o 9/31 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =c0s36°sin360 c0s18° 2cos36°sin36 2cos18° sin72° 2cos18 1 故答案为：2 【变式33】己知sna+sinB=子cosa+cosB-分求am9 +E的值. 2 【省案】 【详解】：sima+sn月=，2sin生cos“-子 2 24 Qosa+cosB=号2cos“1月cos“,B-号 1 2 23 两式相除得tana+卫_3 2 题型04万能公式 【例7】已知tan0=2,则sin8+sin6cos20 的值是() cos0 A B. C.- 5 D 【答案】D 【详解】sin6+sin9cos20_sin90+cos20)_sn9:2cos0=2sin0cos0, cos0 cos0 cosθ 2 sin0 2sin0 cos0 2tan02×24 2sin0 cos0= cosθ sin20+cos20 sin20 +1 1+tan201+225 cos20 【例8】已0e(0引，且s20=5 则tan0=() A.3-V5 B.3-v5 C.5 D. 2 4 5 5或5 【答案】A 【详解】由cos20=cos9-sin0-1-tan20V5 cos20+sin20 1+tan20 3 10/31 专题8.2.4 三角恒等变换的应用 教学目标 1．熟记半角、积化和差、和差化积及万能公式，明确各公式的形式与适用条件。 2．掌握公式的正向运用，能借助公式进行三角式的化简、求值与变形。 3．理解公式间的内在联系，能根据题型特征合理选择公式解决三角问题。 教学重难点 重点：1．半角公式中符号的判断方法，积化和差与和差化积公式的灵活转换。 2．万能公式的应用，能将不同三角函数统一为正切的表达式。 难点：1．半角公式与二倍角公式的综合运用，根据已知条件选择合适的公式形式。 2．积化和差、和差化积公式的逆向运用，结合题型进行三角式的合理变形。 知识点01 半角公式 ＝_______， ＝_______， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． ； 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 【即学即练】 1．利用半角公式，求_________． 2．化简，其中． 知识点02 积化和差公式与和差化积公式 1、积化和差公式 _______；_______ _______；_______ 2、和差化积公式 _______；_______ _______；_______ 【即学即练】 3．可化简为（   ） A． B． C． D． 4．求的值． 知识点03 万能公式 _______； _______； _______ 【即学即练】 5．已知命题：“”，命题：“”，则命题是命题的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知，求 (1)及的值； (2) 题型01 半角公式 【例1】若，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】已知角是第二象限角，且终边经过点，则（   ） A． B．2 C．或 D．或2 【变式1-1】已知，则（    ） A．0 B． C． D． 【变式1-2】已知，且，则＝（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】化简： (1)； (2). 题型02 积化和差公式 【例3】求值：______. 【例4】（多选）下列关于函数性质的叙述正确的是（   ） A．函数为偶函数 B．函数为奇函数 C．函数的最大值为2 D．最小正周期为 【变式2-1】化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知，那么______． 【变式2-3】若直角三角形中两锐角为A和B，则的最大值为____________． 题型03 和差化积公式 【例5】_____. 【例6】（多选）函数的图象的对称轴方程不可能为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】下列各式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】化简：_____________． 【变式3-3】已知，，求的值． 题型04 万能公式 【例7】已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【例8】已知，且，则（    ） A． B． C． D．或 【变式4-1】已知，，则__________. 【变式4-2】已知，是第四象限角，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称，若，则________. 题型05 三角恒等式的证明 【例9】已知，求证：． 【例10】证明下列等式成立． (1)； (2)； (3)． 【变式5-1】已知，求证：． 【变式5-2】已知，求证：. 【变式5-3】求证下列恒等式： (1)； (2) 题型06 三角形中的三角恒等变换 【例11】在中，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 【例12】在中，求证：. 【变式6-1】在 中， ，则 ______． 【变式6-2】 的周长为18，若，则的内切圆半径的最大值为__________ 【变式6-3】已知为斜三角形． (1)证明：； (2)若为锐角三角形，，求的最小值． 题型07 三角恒等变换的实际应用 【例13】某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为的圆内做一个关于圆心对称的“”型图形，“”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖起来的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的倍，设为圆心，，记矩形的面积为，则的最大值为__________. 【例14】某工人要从一块圆心角为的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1m，求割出的长方形桌面的最大面积（如图）． 【变式7-1】某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带，，，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设. (1)试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)当时，求加温带的长； (3)为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上安装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为500元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用. 【变式7-2】如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转到，过、分别作于，于． (1)建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示、两点的坐标； (2)求四边形面积的最大值． 【变式7-3】如图，已知扇形的半径为，面积为，是扇形弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形（点、在半径上，点在半径上）. (1)求弧的长. (2)记，当取何值时，矩形的面积最大?并求出这个最大面积. 一、单选题 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，为锐角，若，，则（   ） A． B． C． D． 5．若，则＝（   ） A． B． C． D． 6．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 7．已知角，满足，，则（） A． B． C． D． 8．设，则（    ） A．1 B． C． D． 二、多选题 9．关于函数，以下结论正确的有（    ） A．的图象是轴对称图形 B．的最大值为1 C．是以为一个周期的周期函数 D．在上有4个零点 10．在中，A，B，C成等差数列.若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 11．化简：_____________． 12．设，若，则的值为_____. 13．已知，若，且，则_______． 四、解答题 14．化简求值 (1) (2) 15．（1）证明：. （2）在中，若，求. 16．图，在扇形中，半径，圆心角，是弧的中点，是扇形弧上的动点，满足，矩形内接于扇形. (1)用表示线段的长; (2)求矩形面积的最大值. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $