8.2.4 三角恒等变换的应用-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第三册人教B版 ∴fx)的单调增区间为km-号，km+石，keZ 变式训练5解：(1)fx)=sin(rox)COSx+-cos2wx, fe)=对nco+1co2u=号sn2wr+7coe2a+号 2 =V2sn2r+子)+7.由于o0,依题意得无=m, 2 ∴.0=1. (2)由(1)知f)=2sn2+年)+号，ge)f2x) =Ysm4++3当0≤x≤时，寻≤+牙≤罗 2 Y7≤n4+牙)s1.因此1≤g)≤+y2.故) 2 2 在区间0，无]上的最小值为1. 数学文化 例D【解析】t=2sin18°，.2cos27°-1 tV4-P 1 c0s54° 4mi80s182= sin360 sin360 2sin18V4-4sin'180 故选D. 8.2.4三角恒等变换的应用 第1课时半角的正弦、余弦和正切 要点精析 例1 ()C【解析】由题意知受e0,受)cos受>0. cos号-√194-0.故选c 2 6 (2)D【解析】V:o3设=Vog=Vim- Itanal; sina 2in号osan号 sina_ sino 1+cosa 2os号 2 1-cos2a 2sin'a 2sina 1-cos2a. 2sin'a =tana.故选D. sin2a 2sinacosa 变式训练1sn号【解折】√oa-V9m- 2 Vsm号sm受 ae(,2m),号e(受，π，sing>0,枚原式 n号 sin+cos号)2 例2解：原式 v2eos受-v2sim受 小sin号-cos号}2 V2os受+V2sim受 56 .原式= -V2(sin受+cos受)V2(sin受-cos受) 如号as竖，如号tw受V2s号 v2 +V2 变式训练2解：“罗<02，平<号<m,0in号< 2， 从而n号+os号<0，n号-cs号0 原式Vm号号T-V号w号了 =mgo引-kngw-mgm号 sn号o号=2sn号 例3解：由罗<3m,且o号可知，co0=-子，号 5 由sin20=1cos91+3 2 5 hor号-1g1是 2=2-2-5,Cos8=-V5 2 5 -=2. 2 5 变式训练3解：(m号-cos受1-sn写，snu= 5 2 2。子，解得之2或an没 2 2 450<a<540°，25°<号<270，tan号>l,tan号= 2. 综上可知，sna号，am受2 2 例4证明：（1）左边=1+2x1+c020-c0s20=2=右边.原 2 等式成立 (2)左边= 2sinxcosx 2sin5cos号2sin'号)2sin5cos+2sin'号）】 2sinxcosx =sinx= 4sincos2sm受）2im 27 sin号 2cos =1+cosx=右边 2sin5cos号 sinx ·原等式成立 变式训练4证明：3sinB=sin(2ax+β)，即3sin(a+B-a)= sin(a+B+a), ..3sin(a+B)cosa-3cos (a+B)sina=sin (a+B)cosa+cos (a+ B)sina, .'.2sin(a+B)cosa=4cos (a+B)sina,.'.tan(a+B)=2tana. 又4an号-l1-iam受，tana= ,.∴.tan(at 1-tan2a 2 B)=2tana=1. a+Be0,7）,a+B=年， 41 例5解：(1)f(x)=4 cOx·sin(+牙）=2V2 sinox, coswx+2V2 cosw -V2(sin20r+c0s20x)+V2-2sin(2+)+V2. )的最小正周期为，且0，从而有无=，故 w=1. (2)由(1)知，fx)-2sin2x+牙)+V2.若0≤x≤ ，则牙≤2+s5 当牙≤2x+开≤受，即0≤≤牙时，凡)单调递增： 当受<2+好≤平，即晋<≤受时，)单调递减 4 综上可知，f(x)在区间0，及]上单调递增，在区间 (贺，号]上单调递减 变式训练5解：(1)f(x)=-sin2x-cos2x+3sin2x-cos2x= 2sin2x-2c0s2x=2V2sin2x-平)，fx)的最小正周期T= 2纸= (2)由(1)知f(x)=2V2sn2x-年），由于xe [0,受引，2牙e,1, 则m2e竖， fx)在[0，罗]上的最大值为2V2,最小值为-2. 数学文化 例解：(1)∠QBC=α，如图所示，过点Q作QE⊥ BC于点E,在Rt△BQE中，BE=150cosa,QE=150sina, 参考答案。 0≤a≤空，可得矩形OMN的边 PQ=400-300sina,QM=400-300cosa, 则S=P0.QM=(400-300sina)·(400 300cosa)=10000(4-3sina)(4-3cosa), ae0. (2)由(1)知，S=10000[16- 例题答图 12((sinatcosa)+9 Dsinacosa],设t=-sino=V2sina+年） 则子≤a+平≤平，可得1≤1≤VZ,simcosa-号，可 4 4 得S=1000[16-12+号-1)]-500l91号+7小，当= 号e[1,V2]时，S取得最小值500x1=3500m 第2课时三角函数的积化和差与和差化积 要点精析 例1（1)B【解析】sin105°cos75=号(sin180+sin30)= 子故选B (2)B【解析】sin20cos70°+sin10sin50°= sin(20°+ 2 705in20-70y]+7cos10-50co(10450小57(n80. sins)+(cos-cosins0co A sin50+分ins0=子散选B. 变式训练1C【解析】由和差化积公式知C正确 例2解：原式=c010°c0s30°c0s50°c0s70°=Y3c0s10°. 2 cos50°cos70 cos60-cos40)o70 cos70 22 3cos40cos70 4 =V3c0s70°+V3(cos110°+c0s30)=Y3c0s70°+ 8 8 8 5cos110°+3=3. 1616 变式训练2解：原式=1上-c940,1+0+号（n70- 2 2 sin30°) =+号cos100-cos40)+sin70--+号（←2sin70. sin30)+sin7 =3-1sin70°+1sim70°=3 42 例3解：c0ac0g分 -2 sin sin9=.① 2 221 57 N 高中数学必修第三册人教B版 又ag号 29n8-分② 2 in学0.由0@.得-amg9-2 2 即ana圯=3 2-2 2sin cos 2 tan圯 23 2 2 ∴.sin(a+B)=- sin2a+B +cos2atB 1+tan2B 1+9 2 2 变式训练3解：（)）c0a-coyg=,所以-2sin9 又sina-sing=-3,2 co9、in“3=-}.② sin“9≠0，由①2.得amg9-}.即am9 cos2+坦-sin2+坦 ∴.cos(a+B)= 2 2 1-tan sincosB1+tan - 5 (2).cosa+cosB=1, 72o2cos9=7① 2 又sina+ing=3,2sin9cos“9-子.② 58 os“≠0，由①2，得am“g8-号， 2 2 2sinBcosB 2 2 ∴.sin(atp) sim㎡a+p+cos2a+e 2 2 2tan +B 2x号) 12 1+an2a+β 2-13 2 例4证明：左边=sin(B+C)+2sinB-C cos B+C 2 2 -2sin BC cos B4C+2sin B-C cos B+C 2 2 2 2 =2cos BC sin BC +sin BC) 2 2 2 如n号号=有边， .原等式成立. 变式训练4证明：由A+B+C=180°，得C=180°-(A+B), 即S90-4生5，os号=n45 2 2 2 .'.sinA+sinB+sinC=2sin 4B cos A-B+sin (A+B) 2 2 =2sm4生cos48+2sn1co49 2 2 2 -2sin4+BCOs4-B+cos4+B) 2 2 2 C .原等式成立.N 高中数学必修第三册人教B版 8.2.4三角恒等变换的应用 第1课时 半角的正弦、余弦和正切 学习目标 变式训练① 1.了解由二倍角的变形公式推导半角的 设&∈(T,2r),则 1+cos(T+a）= 2 正弦、余弦和正切公式的过程， 2.掌握半角的正弦、余弦和正切公式， 要点2利用半角的正弦、余弦和正切 能正确运用这些公式进行简单的三角函数式 公式化简 的化简、求值和恒等式的证明. 要点精析 例2已知ma<受，化简： 1+sina 1-sina 要点1半角的正弦、余弦和正切公式的” V1+cosa-V1-cosa V1+cosa+V1-cosa 简单应用 半角公式： =士1/1OSQ /1+cosa 2 2 1-cosa sina -1-cosa 2 1+cosa 1+cosa sina 思考 如何确定半角的正弦、余弦和 正切公式的符号？ 例1(1)若c0sa= 2 ,ae(0,m), 则cos0的值为() A.V6 B.-1V6 6 6 反思感悟 C.V30 D.-V30 6 6 要熟记一些可用公式的形式，如：1+ (2)下列各式与tana相等的是( coso=2cos2号，1-c0sa=2Sn2,1 +sina= A.VIcos2 B. sina 1+c0S ±c0、受尸等，解题时应有意识地将这 sin a 2 sina C.1-cos2a D.1-cos2a sin2a 些形式变形寻求思路， 86)学 第八章向量的数量积与三角恒等变换。 能涉及解的不定性，故在求解中应注意求 变式训练2 的范围。 2 已知7<0<2m,试化简：V1+sin0- (2)用某些三角函数值或三角函数式 V1-sin0. 来代替三角函数式中的某些常数，使之代 换后能运用相关公式，化简得以顺利进 行，我们把这种代换称为常值代换。 (3)角的变换沟通了已知角与未知角 之间的联系，使公式顺利运用，解题过程 被简化.常见的角的变换有：a=(a+B)-B, a=B-B-a),Q=2[(a+9)+(a-8)],a 】[(a+B)-(B-a)],a+B=(2a+B)-a等. 要点3利用半角的正弦、余弦和正切 公式求值 D变式训练3 例3已知co号，且受<83m,求 2 已知in号os号=-5 2 5,450°<a< s号，co 。0 的值. 2,tan 2 540°，求sina及tang的值. 反思感悟 (1)已知0的某三角函数值，求日的 相应三角函数值时，常借助于半角公式 sin㎡9-l上-cos0,cos9-1+cos0,tan9 2 2 2 2 sin0=1-cos8来处理，由于上述式子中可 1+cos0 sin0 学(87 N 高中数学必修第三册人教B版 要点4利用半角的正弦、余弦和正切 变式训练④ 公式进行三角恒等式证明 已知0<a年，0<g牙，且3sing=sin(2a 例4(1)求证：1+2c0s20-c0s20=2. (2)求证： 2sinxcosx +p),4tan号l-tar号，求证：a+B=平 (sinx+cosx-1)(sinx-cosx+1) =1+cosx sinx 反思感悟 三角恒等式证明的五种常用方法： (1)执因索果法：证明的形式一般化 繁为简 (2)左右归一法：证明左右两边都等 要点5三角恒等变换与三角函数图象 于同一个式子 性质的综合应用 (3)拼凑法：针对题设和结论之间的 差异，有针对性地变形，以消除它们之间 思考 (1)如何求函数y=sin2-T 的差异，简言之，即化异求同！ (4)比较法：设法证明“左边-右边= +2sin (x∈R)的最小正周期？ 0”或“左边=1 (2)研究形如f(x)=asinwx+bsinox· 右边 c0Sωx+cC0s2wx的性质时，应首先把函数 (5)分析法：从被证明的等式出发， f(x)化简成什么形式再解答？ 逐步探求使等式成立的条件，一直到已知 条件或明显的事实为止，就可以断定原等 例5已知函数fx)-4 cin+平 式成立， (w>0)的最小正周期为π. 88)学 第八章向量的数量积与三角恒等变换。 (1)求w的值； B变式训练⑤ (2)讨论)在区间0，变上的单调性 已知函数fx)=-V2sin2x+T】 4 +6sinx cosx-2cos2x+1,x∈R, (1)求fx)的最小正周期； (2)求fx)在区间0，受上的最大值 和最小值 反思感悟 (1)三角恒等变换与三角函数图象性 质的综合问题的解题策略：运用三角函数 数学文化 的和、差、倍角公式将函数关系式化成y= 例如图，一个边长为 asinwx+bcosox+k的形式，借助辅助角公式 400m的正方形公园ABCD 化为y=Asin(wx+p)+h[或y=Acos(ωx+P)+ 在以四个角的顶点为圆心， k]的形式，将ωx+p看作一个整体研究函 以150m为半径的四分之一 数的性质 图8-2-7 圆内都种植了花卉.现在中 (2)切化弦：当待化简式中既含有正 间修建一块长方形的活动广场PQMN，其 弦、余弦，又含有正切时，利用同角的基 中P,Q,M,N四点都在相应的圆弧上，并 本三角函数关系式tanc=sina, 将正切化 cosa 且活动广场边界与公园边界对应平行，连接 为正弦和余弦，这就是“切化弦”的思想： BQ,记∠QBC=Q,长方形活动广场的面积 方法，切化弦的好处在于减少了三角函数为S 名称 (1)请把S表示成关于x的函数关系式； (3)降幂与升幂：由C变形后得到 (2)求S的最小值. 公式：sima=7(1-cos2a),cosa=7(1+ cos2),运用它就是降幂.反过来，直接运 用倍角公式或变形公式1+cos2a=2cos2a, 1-cos2ax=2sin2a,就是升幂， 学(89 N 高中数学必修第三册人教B版 第2课时 三角函数的积化和差与和差化积 学习目标 cosx+cosy=2cosY cos-Y cosx-cosy= L.能根据公式S.g和C进行恒等变 -2sin+ysin之 2 换，推导出积化和差与和差化积公式， 思考和差化积公式的适用条件是什么？ 2.了解三角变换在解数学问题时所起的 作用，进一步体会三角变换的特点，提高推 反思感悟 只有系数绝对值相同的同名函数的和 理、运算能力， 3.通过三角函数的积化和差与和差化积 与差，才能直接运用公式化成积的形式， 如果是一个正弦与一个余弦的和或差， 公式的推导，培养学生逻辑推理核心素养. 则要先用诱导公式化成同名函数后再运用 4.借助积化和差与和差化积公式的应 公式. 用，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心 例1 （1)计算sinl105°cos75°的值是 素养 ( 要点精析 A B.1 4 要点1积化和差与和差化积公式的简单· 应用 C.- D.-2 (2)sin20°cos70°+sinl0°sin50°的值为 1.积化和差公式 osacosB-cos(+B)+cos(a-B)I A子 B. sinasirp--cos()-cos(-)]; c D sinccosB-sin()+sin()]; B变式训练① cososinB-][sin(@+B)-sin(a-B)]. 下列等式正确的是() 2.和差化积公式 A.sinx+siny=2sin sin 2 设aB=,aBy,则a=生，B=号 B.sinx-siny=2cos cos 2 这样，上面的四个式子可以写成， C.cosx+cosy=2coscos-Y sinx+siny=2 2sincos*分号：sinx-siny= 2 2os生sin号： D.cosx-cosy=2sin sin 2 2 90)学 第八章向量的数量积与三角恒等变换 川要点2由积化和差公式求值 川要点3由和差化积公式求值 例2求值：sin20°sin40°sin60°sin80°. 物3已知cosa-cos3=7,snax-sing 号求血(ap)的值 反思感悟 积化和差公式的功能与关键 (1)功能：①把三角函数的一种形式 (积的形式)转化为另一种形式（和差的 形式) ②将角度化为特殊角求值或化简，将 函数式变形以研究其性质 反思感悟 (2)关键是正确地选用公式，以便把 和差化积公式应用时的注意事项 非特殊角的三角函数相约或相消，从而化 (1)在应用和差化积公式时，必须是 为特殊角的三角函数， 次同名三角函数方可施行，若是异名， B变式训练2 必须用诱导公式化为同名，若是高次函数， 必须用降幂公式降为一次。 求sin20°+cos250°+sin20cos50°的值 (2)根据实际问题选用公式时，应从 以下几个方面考虑： ①运用公式之后，能否出现特殊角； ②运用公式之后，能否提取公因式， 能否约分，能否合并或消项， (3)为了能把三角函数式化为积的形 式，有时需要把某些常数当作三角函数值 才能应用公式，如】-c0sa=c0s -cosa. 2 3 学 91 N 高中数学必修第三册人教B版 反思感悟 变式训练3 证明三角恒等式的基本思路是根据等 (1)(变结论)本例中条件不变，试求 式两端的特征，通过三角恒等变换，应用 cos(a+B)的值. 化繁为简、左右归一、变更论证等方法， (2)(变条件)将本例中的条件“cosa- 使等式两端的“异”化为“同”，分式不好 cosB=号，sina-sim5=-”变为“cosa+ 证时，可变形为整式来证 3 cosg7,sina+ing-号”，结果如何？ B变式训练④ 在△ABC中，求证：sinA+sinB+sinC= cos 4cos 4 2 2 Cos- 要点4积化和差与和差化积公式的综合， 应用 思考(1)解决与三角形有关的问题 时应注意哪些隐含条件的应用？ (2)在△ABC中，有哪些重要的三角 关系？ 例4在△ABC中，求证：sinA+sinB 2 92)学