8.2.3 倍角公式(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦二倍角的正弦、余弦、正切公式这一核心知识点，通过两角和与差的三角函数公式推导得出，构建从已有三角函数公式到倍角公式的知识支架，涵盖公式推导、变形及求值、化简、证明等应用。 以金刚石键角、大雁队列夹角为情境引入，培养数学眼光观察现实，通过公式推导训练逻辑推理（数学思维），题型分层设计及通性通法总结帮助学生用数学语言表达问题。课中助力情境教学，课后通过跟踪训练和练习题辅助查漏补缺。

8.2.3　倍角公式 课标要求 1.会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式（逻辑推理）. 2.能够灵活运用二倍角公式解决求值、化简和证明等问题（数学运算）. 　　金刚石晶体的碳—碳键键角约为55°，大雁南迁排成的“人”字形队列的每边与前进方向的夹角也约为55°，这是巧合还是大自然的“默契”？ 　　研究表明，金刚石碳—碳键键角约为55°时，是最稳定的结构；大雁“人”字形队列夹角为55°时，后面的大雁可以利用前面的翼尖涡流，提高升力，以达到省力的作用. 【问题】　（1）“人”字形角度的2倍即110度，其中蕴含着什么样的数学关系？ （2）我们能否利用两角和与差的三角函数公式，推导出二倍角的三角函数公式？如何推导？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　二倍角公式 函数 公式 简记符号 β＝α 正弦 sin 2α＝　2sin αcos α　 Sα＋β S2α 余弦 cos 2α＝　cos2α－sin2α　 ＝　2cos2α－1　 ＝　1－2sin2α　 Cα＋β C2α 正切 tan 2α＝ Tα＋β T2α 【想一想】 1.你是怎样理解倍角公式中的“倍角”二字的？ 提示：倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如2α是α的二倍角，8α是4α的二倍角，是的二倍角等. 2.二倍角公式有哪些形式的变形？ 提示：（1）1＋cos 2α＝2cos2α； （2）1－cos 2α＝2sin2α； （3）cos2α＝； （4）sin2α＝； （5）（sin α±cos α）2＝1±sin 2α. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.（　×　） （2）3α是α的2倍角，6α是3α的2倍角.（　√　） （3）∃α∈R，使得sin 2α＝2sin α成立.（　√　） （4）∀α∈R，总有tan 2α＝.（　×　） 2.已知cos α＝，则cos 2α等于　　－　. 解析：由cos α＝，得cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－. 3.sin 15°sin 75°的值为　　　　. 解析：原式＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝. 4.设tan α＝－，则tan 2α的值是　　　　. 解析：∵tan α＝－，∴tan 2α＝＝＝. 题型一｜给角求值问题 【例1】　求下列各式的值： （1）－cos2； 解：（1）原式＝－＝－－＝－. （2）2tan 15°＋tan215°； 解：（2）原式＝tan 30°（1－tan215°）＋tan215°＝×（1－tan215°）＋tan215°＝1. （3）tan 15°＋. 解：（3）原式＝＋＝＝＝＝＝4. 通性通法 给角求值问题的解题策略 （1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角； （2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. 【跟踪训练】 1.求下列各式的值： （1）； 解：（1）原式＝＝＝2. （2）. 解：（2）原式＝ ＝＝＝tan 60°＝. 2.计算：. 解：原式＝＝＝. 题型二｜给值求值问题 【例2】　已知cos α＝－，sin β＝，α是第三象限角，β∈. （1）求sin 2α的值； 解：（1）因为α是第三象限角，cos α＝－， 所以sin α＝－＝－， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××（－）＝. （2）求cos（2α＋β）的值. 解：（2）因为β∈，sin β＝， 所以cos β＝－＝－， cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝， 所以cos（2α＋β）＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝×－×＝－. 通性通法 直接应用二倍角公式求值的三种类型 【跟踪训练】 1.已知sin（ θ－）＝，则sin（ 2θ＋）＝（　　） A.－　　　B.　　　　C.－　　　D. 解析：D　因为sin（ θ－）＝，所以sin（ 2θ＋）＝sin（ 2θ－＋）＝cos（ 2θ－）＝cos ［2（ θ－）］＝1－2sin2（ θ－）＝1－2×（ ）2＝. 2.已知3sin（ 2α－）＝7cos α，则cos 2α＝（　　） A.－ B.－ C. D. 解析：A　由3sin（ 2α－）＝7cos α，得3cos 2α＋7cos α＝0，所以6cos2α＋7cos α－3＝0，所以（2cos α＋3）（3cos α－1）＝0，解得cos α＝或cos α＝－（舍），所以cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－. 3.已知α为第一象限角且cos α＝，求的值. 解：∵cos α＝且α为第一象限角，∴sin α＝. ∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝. ∴原式＝ ＝＝. 题型三｜利用二倍角公式化简与证明 【例3】　求证：＝sin 2α. 证明：法一　左边＝＝ ＝＝ ＝sin cos cos α＝sin αcos α＝sin 2α＝右边. ∴原式成立. 法二　左边＝＝cos2α·＝ cos2α·tan α＝cos αsin α＝sin 2α＝右边. 通性通法 证明三角恒等式问题的原则及一般步骤 （1）观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想； （2）证明的一般步骤：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的. 【跟踪训练】 1.化简求值：. 解： ＝ ＝ ＝＝＝1. 2.求证：cos2（A＋B）－sin2（A－B）＝cos 2Acos 2B. 证明：左边＝－ ＝ ＝（cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin 2Asin 2B）＝cos 2Acos 2B＝右边，∴等式成立. 题型四｜倍角公式与三角函数性质的综合 【例4】　已知函数f（x）＝2sin ωxcos（ ωx＋）（ω＞0）的最小正周期为2π. （1）求ω的值； 解：（1）由f（x）＝2sin ωxcos（ ωx＋） ＝2sin ωx·（ cos ωxcos－sin ωxsin） ＝sin ωxcos ωx－sin2ωx ＝sin 2ωx＋cos 2ωx－ ＝sin（ 2ωx＋）－. 因为f（x）的最小正周期为2π，所以＝2π，解得｜ω｜＝，又ω＞0，所以ω＝. （2）先将f（x）的图象上所有点的横坐标变成原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象. （ⅰ）求g（x）的单调递增区间； （ⅱ）若g（α）＝－，求cos（ 4α＋）的值. 解：（2）（ⅰ）由（1）可知f（x）＝sin（ x＋）－， 将f（x）图象上所有点的横坐标变成原来的，纵坐标不变， 得到h（x）＝sin（ 2x＋）－的图象，则g（x）＝h（ x－）＝sin（ 2x－）－. 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 则g（x）的单调递增区间为［－＋kπ，＋kπ］（k∈Z）. （ⅱ）g（α）＝sin（ 2α－）－＝－，则sin（ 2α－）＝. 故cos（ 4α＋）＝cos（ 4α－＋π）＝－cos（ 4α－）＝－cos ［2（ 2α－）］ ＝－［1－2sin2（ 2α－）］＝－（ 1－2×）＝－. 通性通法 求解三角函数综合问题的一般步骤 【跟踪训练】 1.已知函数f（x）＝（1－cos 2x）cos2x，x∈R，则f（x）是（　　） A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数 C.最小正周期为π的奇函数 D.最小正周期为π的偶函数 解析：B　因为f（x）＝（1－cos 2x）cos2x＝2sin2xcos2x＝sin22x＝·＝－cos 4x，所以函数f（x）为偶函数，且最小正周期为＝. 2.〔多选〕已知函数f（x）＝sin ωx＋cos2－（ω＞0，x∈R），则（　　） A.若函数f（x）的最小正周期为π，则ω＝1 B.若ω＝2，则函数f（x）的图象可由函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位得到 C.若ω＜5且直线x＝是函数f（x）的一条对称轴，则f（x）在（ ，）上单调递增 D.若函数f（x）在区间（0，2π）上没有零点，则ω∈（ 0，］ 解析：BCD　f（x）＝sin ωx＋cos2－＝sin ωx＋cos ωx＝sin（ ωx＋）（ω＞0，x∈R）.对于A，若函数f（x）的最小正周期为π，则ω＝2，故A错误；对于B，若ω＝2，则f（x）＝sin（ 2x＋）＝sin［2（ x＋）］，故函数f（x）的图象可由函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位得到，故B正确；对于C，若ω＜5且直线x＝是函数f（x）的一条对称轴，则ω＋＝kπ＋，k∈Z且ω＜5，解得ω＝3，则f（x）＝sin（ 3x＋），由x∈（ ，），得3x＋∈（ ，），故f（x）在（ ，）上单调递增，故C正确；对于D，当x∈（0，2π）时，ωx＋∈（ ，2πω＋），若函数f（x）在区间（0，2π）上没有零点，则2πω＋≤π，又ω＞0，则ω∈（ 0，］，故D正确. 1.〔多选〕下列各式中，值为的是（　　） A.2sin 15°cos 15° B.cos215°－sin215° C.1－2sin215° D.sin215°＋cos215° 解析：BC　对A，2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故A错误；对B，cos215°－sin215°＝cos 30°＝，故B正确；对C，1－2sin215°＝cos 30°＝，故C正确；对D，sin215°＋cos215°＝1，故D错误.故选B、C. 2.已知α为锐角，且满足cos 2α＝sin α，则α＝（　　） A.30°或60° B.45° C.60° D.30° 解析：D　因为cos 2α＝1－2sin2α，故由题意，知2sin2α＋sin α－1＝0，即（sin α＋1）·（2sin α－1）＝0.因为α为锐角，所以sin α＝，所以α＝30°. 3.已知cos（π－α）＝，则cos 2α＝　　－　　. 解析：由cos（π－α）＝，得－cos α＝，则cos α＝－， 所以cos 2α＝2cos2α－1＝2×（ －）2－1＝－. 4.函数f（x）＝2cos2－1的最小正周期为　π　. 解析：f（x）＝cos＝sin 2x，故f（x）的最小正周期为π. 1.＝（　　） A.　　 　B.　　　　C.1　 　　D.－1 解析：A　原式＝＝＝. 2.若tan α＝3，则＝（　　） A.2 B.3 C.4 D.6 解析：D　＝＝＝2tan α＝6. 3.设f（tan x）＝tan 2x，则f（2）的值等于（　　） A. B.－ C.－ D.4 解析：B　因为f（tan x）＝，所以f（2）＝＝－.故选B. 4.〔多选〕已知sin＝，则的值可以为（　　） A. B. C.－ D.－ 解析：BD　因为＝＝，由sin＝，得（sin θ－cos θ）＝，两边平方得sin 2θ＝，所以cos 2θ＝±.所以原式＝＝±，故选B、D. 5.在△ABC中，若sin Bsin C＝cos2，则△ABC是（　　） A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 解析：B　由sin B sin C＝cos2得sin Bsin C＝， ∴2sin Bsin C＝1＋cos A， ∴2sin Bsin C＝1＋cos[π－（B＋C）]＝1－cos（B＋C）， ∴2sin Bsin C＝1－cos Bcos C＋sin Bsin C， ∴cos Bcos C＋sin Bsin C＝1，∴cos（B－C）＝1. 又∵－180°＜B－C＜180°，∴B－C＝0°， ∴B＝C，∴△ABC是等腰三角形. 6.已知α∈（ 0，），若sin（ ＋2α）＋cos（ α－）＝0，则α＝（　　） A. B. C. D. 解析：A　因为sin（ ＋2α）＝－cos 2α，所以－cos 2α＋cos（ α－）＝0，即cos 2α＝cos（ α－），即cos2α－sin2α＝（cos α＋sin α）.又因为α∈（ 0，），所以cos α＋sin α＞0，所以cos α－sin α＝，即cos（ α＋）＝.又α∈（ 0，），所以α＋∈（ ，），所以α＋＝，所以α＝. 7.（2025·厦门期末）＝　　　. 解析：＝＝＝. 8.已知sin ＋cos ＝，那么sin θ＝　　，cos 2θ＝　　. 解析：∵sin ＋cos ＝，∴＝，即1＋2sin cos ＝，∴sin θ＝，∴cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×＝. 9.已知函数f（x）＝sin 2x＋2sin2x＋n在［0，］上的最大值为1＋2，则n＝　1　. 解析： f（x）＝sin 2x＋2sin2x＋n＝sin 2x＋（1－cos 2x）＋n＝2sin（ 2x－）＋＋n，当x∈［0，］时，2x－∈［－，］，所以sin（ 2x－）∈［－，］，所以f（x）max＝2×＋＋n＝1＋2，所以n＝1. 10.已知cos＝，α∈. 求：（1）cos α－sin α的值；（2）cos的值. 解：（1）因为cos＝，α∈， 所以＝，cos α＋sin α＝，平方化简可得sin 2α＝－，又α∈， 所以sin α＞0，cos α＜0，cos α－sin α＝－＝－＝－. （2）cos＝cos 2α－sin 2α ＝（cos α＋sin α）（cos α－sin α）－sin 2α＝. 11.〔多选〕已知函数f（x）＝是奇函数，则有（　　） A.函数f（x）的图象关于直线x＝对称 B.函数f（x）的图象关于点对称 C.函数f（x）是奇函数 D.函数f（x）的最小正周期为π 解析：BCD　因为f（x）＝＝＝－tan x，所以函数f（x）是周期为π的奇函数，图象关于点对称，故选B、C、D. 12.已知α，β为锐角，且1－cos 2α＝sin αcos α，tan（β－α）＝，则tan α＝　　，β＝　　. 解析：由1－cos 2α＝sin αcos α，得1－（1－2sin2α）＝sin αcos α，即2sin2α＝sin αcos α.∵α为锐角，∴sin α≠0，∴2sin α＝cos α，即tan α＝. 法一　由tan（β－α）＝＝＝，得tan β＝1.∵β为锐角，∴β＝. 法二　tan β＝tan（β－α＋α）＝＝＝1.∵β为锐角，∴β＝. 13.已知函数f（x）＝2sin xcos x＋cos2x－sin2x＋a（x∈R）的最小值为1. （1）求a的值和f（x）的最小正周期； （2）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间； （3）若∃x∈［，］，f（x）＋m＜0成立，求m的取值范围. 解：（1）f（x）＝sin 2x＋cos 2x＋a＝2sin（ 2x＋）＋a，由题意－2＋a＝1，解得a＝3，f（x）的最小正周期T＝＝π. （2）令2x＋＝t，x∈[0，π]，则t∈［，］. 因为y＝2sin t＋a，t∈［，］的单调递增区间是［，］，［，］， 由≤2x＋≤，得0≤x≤；≤2x＋≤，得≤x≤π. 所以f（x）在[0，π]上的单调递增区间是［0，］，［，π］. （3）由题意知，[f（x）＋m]min＜0，即[f（x）]min＋m＜0. 当x∈［，］时，2x＋∈［，］， 所以当2x＋＝，即x＝时，f（x）min＝f（ ）＝2sin＋3， 所以2sin＋3＋m＜0，即m＜－4，所以m的取值范围是（－∞，－4）. 14. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）.如图所示，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，在其中一个黄金三角形ABC中，＝.根据这些信息，可得cos 324°＝　　. 解析：由题图知，A＝36°，则A＝18°，sin 18°＝×＝×＝，∴cos 36°＝1－2sin218＝1－2×＝，∴cos 324°＝cos（360°－36°）＝cos 36°＝. 15.某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数. cos215°＋cos215°－sin 15°sin 15°； cos280°＋cos2（－50°）－sin 80°sin（－50°）； cos2170°＋cos2（－140°）－sin 170°sin（－140°）. （1）求出这个常数； （2）结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论. 解：（1）cos215°＋cos215°－sin 15°sin 15° ＝2cos215°－sin215°＝1＋cos 30°－（1－cos 30°）＝1＋－×＝. 同理，其他两式的值是. （2）推广：当α＋β＝30°时，cos2α＋cos2β－sin αsin β＝. 证明：cos2α＋cos2β－sin αsin β ＝cos2α＋cos2（30°－α）－sin αsin（30°－α） ＝cos2α＋－sin α（cos α－sin α） ＝cos2α＋cos2α＋cos αsin α＋sin2α－cos α sin α＋sin2α＝cos2α＋sin2α＝. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $