精品解析：江西吉安市四所县二中2025-2026学年高一上学期12月联考数学试卷

江西吉安市四所县二中2025-2026学年高一上学期12月联考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 设集合， ， ，则 A. {2} B. {2，3} C. {-1，2，3} D. {1，2，3，4} 2. 抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为 A. 至多两件次品 B. 至多一件次品 C. 至多两件正品 D. 至少两件正品 3. 已知，则的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 4. 函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是． A. B. C. D. 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 6. 若是定义在上的奇函数，，且在上是增函数，则的解集为 A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 已知．若存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于的方程有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（ ） A. 这10年粮食年产量的极差为15 B. 这10年粮食年产量的平均数为33 C. 这10年粮食年产量中位数为29 D. 前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差 10. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C . D. 11. 已知函数，的定义域均为，，是偶函数，且，若，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的图象关于点中心对称 C. D. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 样本数据20，24，6，15，18，10，42，57，2，7的40%分位数为____． 13. 若函数，且的图象过定点 A，且点 A在幂函数 上，则 _________. 14. 已知函数，则的最小值是__________. 四．解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数定义域为集合A，集合. （1）若，求; （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数 是定义域为的奇函数. （1）求并判断 的单调性； （2）解关于 的不等式. 17. 某中学400名学生参加全市高中数学竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图： （1）由频率分布直方图求样本中分位数； （2）已知样本中男生与女生的比例是 ，男生样本的均值为70，方差为10，女生样本的均值为80，方差为14，请计算样本的方差. 18. 设函数. （1）若不等式有解，求实数的取值范围； （2）设，求在上的最小值，并求此时的值. 19. 已知函数，若对于其定义域中任意的非零实数，都有，就称函数为“JC函数”. （1）已知，判断是否是“JC函数”，并说明理由； （2）已知函数是定义在上“JC函数”，函数在上单调递增，判定并证明函数在上的单调性； （3）若函数是“JC函数”，且定义域为，已知时，，求函数的解析式，并指出方程是否有正整数解？若有整数解，请求出；若没有整数解，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西吉安市四所县二中2025-2026学年高一上学期12月联考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合， ， ，则 A. {2} B. {2，3} C. {-1，2，3} D. {1，2，3，4} 【答案】D 【解析】 【分析】先求，再求． 【详解】因为， 所以. 故选D． 【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算． 2. 抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为 A. 至多两件次品 B. 至多一件次品 C. 至多两件正品 D. 至少两件正品 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：事件A不包含没有次品或只有一件次品，即都是正品或一件次品9件正品，所以事件A的对立事件为至多一件次品．故B正确． 考点：对立事件． 3. 已知，则的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用指数函数的性质，求得不等式的解集，结合选项，以及必要不充分条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得，即，解得， 结合选项，可得的一个必要不充分条件为. 故选：A. 4. 函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 是奇函数，故 ；又 是减函数，， 即 则有 ，解得 ，故选D. 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为函数在上单调递增，所以，即， 又函数在上单调递减，所以，所以． 6. 若是定义在上的奇函数，，且在上是增函数，则的解集为 A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由奇偶性可得等价于，即与的符号相反，由此特征结合函数的单调性，分类讨论解不等式组即可得出正确结论. 【详解】因为函数为奇函数， 所以等价于 ， 由题设在上是奇函数，且在上是增函数，又， ，且在上是增函数， 即在上小于零，在大于零， 在小于零，在大于零， 又，即与的符号相反， 由可得； 由可得 的解集是或，故选D. 【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解. 7. 已知．若存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的单调性，结合指数函数和一次函数的性质、最小值定义分类讨论进行求解即可. 【详解】当时，函数上单调递增， 所以当时，，即， 显然不存在最小值，不符合题意， 当时，当时，， 当时，函数单调递增，则有， 因为，所以此时函数存在最小值，最小值为，符合题意； 当时，函数在上单调递减， 所以当时，，即， 当时，函数单调递增，则有， 要想存在最小值，只需，而，所以； 当时，函数上单调递减， 所以当时，，即， 当时，函数单调递减，则有， 因此函数存在最小值，最小值为， 综上所述：， 故选：A 8. 已知函数，若关于的方程有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意或，作出的图象，数形结合求得有三个不同的实数根，从而结合图象求得有一个实数根时的取值范围. 【详解】由， 得，所以或. 作出的图象，如图. 因为函数的图象与直线有三个交点，所以有三个不同的实数根. 所以必须有一个实数根，即函数的图象与直线有一个交点. 由图可知， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（ ） A. 这10年粮食年产量的极差为15 B. 这10年粮食年产量的平均数为33 C. 这10年粮食年产量的中位数为29 D. 前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差 【答案】AC 【解析】 【分析】由折线图提供的数据进行计算估值判断． 【详解】由折线图知最大值是40，最小值是25，极差是15，A正确； 平均值为，B错； 10年数据按从小到大排序为：，中位数为，C正确； 前5年数据波动比后5年数据波动要小，因此前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差，D错． 故选：AC． 10. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. . D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用基本不等式判断；对于，利用基本不等式结合指数幂的运算判断；对于C，令， 利用“1”的代换判断；对于 由，结合选项A判断. 【详解】对于A，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，故A正确； 对于，当且仅当，即时等号成立，故B错误； 对于C，令，则， ， 当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于， 因为，所以，由A知， 所以，当且仅当时取等号，所以成立，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，的定义域均为，，是偶函数，且，若，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的图象关于点中心对称 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的递推关系推导出函数的奇偶性、周期性、对称性，然后逐项进行分析推导求值即可. 【详解】因为是偶函数，所以， 则，所以. 选项A，当时，，又因，所以， 由，得，所以，故A错误； 选项B，由，得， 两式相加得， 化简得，即， 又因为，所以， 所以的图象关于点中心对称，故B正确； 选项C，由B知，，即，所以， 所以，故是以6为一个周期的周期函数， 所以，故C正确； 选项D，由B知，，所以，， ， 所以， 由A知，，. 由得，，所以. 所以. 则 ，故D正确. 故选：BCD. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 样本数据20，24，6，15，18，10，42，57，2，7的40%分位数为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据百分位数的计算方法计算即可． 【详解】将数据从小到大排列2，6，7，10，15，18，20，24，42，57，共10个数， ， ∵4为整数，∴分位数为第四个数与第五个数的平均数． 故答案为：12.5． 13. 若函数，且的图象过定点 A，且点 A在幂函数 上，则 _________. 【答案】 【解析】 【分析】求出幂函数解析式，根据指数函数的性质求得定点坐标，代入幂函数解析式可得． 【详解】是幂函数，则，∴， 中，令，得，，∴定点为， ∴，又，∴． 故答案为：． 14. 已知函数，则的最小值是__________. 【答案】4 【解析】 【分析】先求证，再结合基本不等式可求最值. 【详解】由，得或，故的定义域为， 因， 则， 所以， 所以 ， 若，则，等号成立时； 若，则，等号成立时； 故，等号成立时， 则， 当且仅当时等号成立， 所以最小值为4. 故答案为：. 四．解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的定义域为集合A，集合. （1）若，求; （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出集合A，把代入并求出集合B，再利用补集、并集的定义求解即得. （2）利用交集的结果，结合集合的包含关系列式求解. 【小问1详解】 函数有意义，则，解得，即， 当时，解不等式，得，则，， 所以. 小问2详解】 由（1）知，由，得，而，显然， 当，即时，，于是，解得，则， 当，即时，，显然有，所以， 所以实数的取值范围是. 16. 已知函数 是定义域为的奇函数. （1）求并判断 的单调性； （2）解关于 的不等式. 【答案】（1），在上单调递减； （2）． 【解析】 【分析】（1）由求得，并检验其为奇函数，然后由单调性定义证明； （2）利用奇偶性与单调性化简不等式后再求解． 【小问1详解】 由题意，， 此时，，是奇函数， 设任意两个实数满足， 则， 因为，所以，所以，又， 所以，即， 所以在上单调递减； 【小问2详解】 因为是奇函数，因此原不等式化为， 又在上单调递减，所以不等式化为，即， 所以，又，故解得， 所以原不等式的解集为． 17. 某中学400名学生参加全市高中数学竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图： （1）由频率分布直方图求样本中分位数； （2）已知样本中男生与女生的比例是 ，男生样本的均值为70，方差为10，女生样本的均值为80，方差为14，请计算样本的方差. 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据频率，确定分位数，在区间上，设其为，然后按比例计算可得； （2）先求出总样本的均值，再根据方差公式计算． 【小问1详解】 根据频率分布直方图知分位数，在区间上，设其为， 则，解得， 所以样本中分位数是：． 【小问2详解】 总样本的均值为， 设男生个体依次为，女生个体依次为， 则，， ， ， 总体样本方差为，其中 同理， 所以总样本的方差为， 故总样本的方差为． 18. 设函数. （1）若不等式有解，求实数的取值范围； （2）设，求在上的最小值，并求此时的值. 【答案】（1）； （2），. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，分离参数，借助二次函数求出最大值即得. （2）换元并借助单调性求出新元范围，利用二次函数求出最小值. 【小问1详解】 不等式有解，即有解， 而，则，当且仅当，即时取等号， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 函数，则， 令，则，显然函数在上都递增， 则函数在上单调递增， 函数，，显然函数在上单调递减，在上单调递增， 因此当时，，此时，解得， 所以在上的最小值是，此时. 19. 已知函数，若对于其定义域中任意的非零实数，都有，就称函数为“JC函数”. （1）已知，判断是否是“JC函数”，并说明理由； （2）已知函数是定义在上的“JC函数”，函数在上单调递增，判定并证明函数在上的单调性； （3）若函数是“JC函数”，且定义域为，已知时，，求函数的解析式，并指出方程是否有正整数解？若有整数解，请求出；若没有整数解，请说明理由. 【答案】（1）不是，理由见解析 （2）单调递增，证明见解析 （3），有，9 【解析】 【分析】（1）根据给定函数，利用“JC函数”的定义直接判断. （2）利用函数单调性定义判断并推理证明. （3）当时，由求出解析式，再分段写出；利用零点存在性定理确定方程的正整数解. 【小问1详解】 由于不恒成立， 所以不是“JC函数”. 【小问2详解】 函数在上单调递增. 由函数是定义在上的“JC”函数，得，即， 任取，则， 由，得，由在上单调递增，得， 则，即， 所以在上单调递增. 【小问3详解】 当时，，则当时，， ，当时，，解得， 所以函数的解析式为； 而，则方程有正整数解9， 又函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 因此方程有唯一正整数解， 所以方程有正整数解，且正整数解为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $