专题13 空间中点、线、面的位置关系判断与证明（压轴题4大类型专项训练）高一数学人教A版必修二

专题13 空间中点、线、面的位置关系判断与证明 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、平面的概念（含点线面的位置关系） 1 类型二、三个基本事实 3 类型三、点、线共面问题 4 类型四、线共点、点共线问题 6 压轴专练 8 类型一、平面的概念（含点线面的位置关系） 1、平面的概念：几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是无限延展的 2、平面的特点：（1）平面是平的；（2）平面是没有厚度的；（3）平面是无限延展而没有边界的；（4）平面是由空间点、线组成的无限集合；（5）平面图形是空间图形的重要组成部分。 3、平面的画法： （1）当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍； （2）当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线。 4、平面的表示方法： （1）一个希腊字母：如，，等； （2）两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两个顶点； （3）四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点。 5、点与直线（平面）、直线与平面的位置关系 （1）点与直线（平面）的位置关系只能用“∈”或“∉”， （2）直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”． 1．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知点在直线上，直线在平面内，但不在平面内，下列符号表示点、线、面的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广东广州·期中）如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知直线，若，是异面直线，则a与d的位置关系为（    ） A．相交 B．异面 C．相交或异面 D．不确定 4．（24-25高一下·河北邯郸·期中）下列结论正确的是（   ） A．三个点确定一个平面 B．若空间中两条直线没有公共点，则它们互相平行 C．若一条直线上有无数个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内 D．若一条直线上有无数个点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行 5．（24-25高一下·陕西榆林·期中）已知m，n，l为三条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，，且m与n异面，则（   ） A．l至多与m，n中的一条相交 B．l与m，n均相交 C．l与m，n均平行 D．l至少与m，n中的一条相交 6．（24-25高一下·山西临汾·期末）若三个不同平面把空间分成部分，则正整数的值不可能是（   ） A．8 B．4 C．6 D．5 类型二、三个基本事实 1、基本事实1 （1）内容：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 （2）图形： （3）符号表示：A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α （4）作用：确定一个平面或判断“直线共面”的方法 2、基本事实： （1）内容：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 （2）图形： （3）符号表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α （4）作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内 3、基本事实： （1）内容：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 （2）图形： （3）符号表示：P∈α，P∈β⇒α∩β＝l且P∈l （4）作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明点共线或线共点 4、三个推论： 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 1．（24-25高一下·天津河西·月考）下列命题中真命题的为（    ） A．经过三点确定一个平面 B．两条直线确定一个平面 C．经过两点可以作无数个平面 D．经过一条定直线和一个定点的平面有且只有一个 2．（24-25高一下·河北石家庄·月考）下列不是基本事实的是（   ） A．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 D．经过两条平行直线，有且只有一个平面 3．设A，B是两个不同的点，l是一条直线，，是两个不同的平面，下列推理错误的是（    ）． A．， B．， C．，，， D．，，， 4．下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 类型三、点、线共面问题 点线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题,主要依据是基本事实2、基本事实1及其推论.解决该类问题通常有三种方法. (1)纳入平面法:先由部分元素确定一个平面,再证其他元素也在该平面内. (2)辅助平面法(平面重合法):先由有关的点、线确定平面α,再由其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合. (3)反证法. 通常情况下采用第一种方法. 1．（多选题）（25-26高一下·全国·课后作业）如图，正方体中，若E，F，G分别为棱，，的中点，，分别是四边形，的中心，则（   ） A．A，C，，四点共面 B．D，E，G，F四点共面 C．A，E，F，四点共面 D．G，E，，四点共面 2．如图，在正方体中，P是的中点，Q是的中点，则AP与CQ的位置关系是______．    3．如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点. H为PC上的点，且，点G在AH上，且，若四点共面，则_________ 4．如图，在正四棱柱中，，，点分别在棱，，，上，，，．证明：点在平面中. 5．已知：，求证：直线共面于.    6．如图，已知.求证：直线共面． 类型四、线共点、点共线问题 1、证明三线共点问题的基本方法:先确定待证的三线中的两条相交于一点,再证明第三条直线也过该点.常结合基本事实,证出该点在不重合的两个平面内,故该点在它们的交线(第三条直线)上,从而证明三线共点. 2、点共线问题是证明三个或三个以上的点在同一条直线上,主要依据是基本事实3,解决此类问题常用的方法 (1)首先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,根据基本事实3知,这些点都在这两个平面的交线上. (2)选择其中两点确定一条直线,然后证明其他点也在这条直线上. 1．（2024高一·江苏·专题练习）如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线．    2．如图，在空间四边形中， 分别在上，与交于点，求证：三点共线.    3．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线、、三线共点． 4．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，正方体的棱长为4，，，设过三点的平面为， 平面平面 .    (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线交于一点. 5．（24-25高一下·河北邯郸·期中）如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 1．（24-25高一下·河北承德·期中）如图，在正方体的所有棱所在的直线中，与直线异面的共有（   ） A．4条 B．6条 C．8条 D．2条 2．可以用集合语言将“公理：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上．”表述为（　　） A．，且，，则 B．若，且，，则 C．若，且，，则 D．若，且，，则 3．（2024高一下·全国·专题练习）下列命题中的真命题是（    ） A．若点，点，则直线与相交 B．若，，则a与b必异面 C．若点，点，则直线 D．若，，则 4．（24-25高一下·云南·期中）下列命题正确的是（   ） A．两条相交直线不能确定一个平面 B．若，，三点既在平面内，又在平面内，则平面与重合 C．若直线，，两两平行，则直线，，共面 D．若平面与平面交于直线，直线在平面内，且与平面交于点，则点在直线上 5．（23-24高一下·四川德阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．平面，使得有且只有一个公共点 B．若直线平面，则 C．三平面最多把空间分成7部分 D．若3个平面两两相交，且交线互不相同，则3条交线互相平行或交于一点 6．（24-25高一下·全国·课后作业）空间中有三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是（    ） A．1或2 B．3或4 C．1或2或3 D．1或3或4 7．（23-24高一下·河北邯郸·期末）如图，在空间四边形各边，，，上分别取点，，，，若直线，相交于点，则下列结论错误的是（    ） A．点必在平面内 B．点必在平面内 C．点必在直线上 D．直线与直线为异面直线 8．＂三个平面交于一点＂是＂三个平面两两相交＂的（     ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 9．（24-25高一下·甘肃兰州·月考）在如图所示的正方体或四面体中，分别是棱的中点，这四个点不共面的图有（   ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知：，，，，，求证：．    11．如图所示，在平面外，三边AB，AC，BC所在直线分别交平面于P，Q，R三点．求证：P，Q，R三点在同一直线上． 12．如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 13．已知是空间五个点，且线段和两两相交，求证这五个点在同一平面上. 14．如图，在正四棱台中，分别为棱，，，的中点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)证明，，相交于一点． 15．如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 空间中点、线、面的位置关系判断与证明 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、平面的概念（含点线面的位置关系） 1 类型二、三个基本事实 4 类型三、点、线共面问题 7 类型四、线共点、点共线问题 12 压轴专练 17 类型一、平面的概念（含点线面的位置关系） 1、平面的概念：几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是无限延展的 2、平面的特点：（1）平面是平的；（2）平面是没有厚度的；（3）平面是无限延展而没有边界的；（4）平面是由空间点、线组成的无限集合；（5）平面图形是空间图形的重要组成部分。 3、平面的画法： （1）当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍； （2）当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线。 4、平面的表示方法： （1）一个希腊字母：如，，等； （2）两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两个顶点； （3）四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点。 5、点与直线（平面）、直线与平面的位置关系 （1）点与直线（平面）的位置关系只能用“∈”或“∉”， （2）直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”． 1．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知点在直线上，直线在平面内，但不在平面内，下列符号表示点、线、面的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点、线、面位置关系的表示方法进行判断即可. 【详解】因为点在直线上可表示为，故A错误； 直线在平面内，可表示为，故C正确； 因为，，所以，故B错误； 直线不在平面内，可表示为，故D错误. 故选：C 2．（23-24高一下·广东广州·期中）如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点、线、面的位置关系，及其符号表示逐一判断即可. 【详解】点和面、点和线的关系用“”或“”表示，故A错误； 线面关系用“”或“”表示，故BD错误； 根据图形有，C正确. 故选：C 3．（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知直线，若，是异面直线，则a与d的位置关系为（    ） A．相交 B．异面 C．相交或异面 D．不确定 【答案】C 【分析】根据已知直线的位置关系，结合平面的基本性质，空间想象来判断a与d的位置关系. 【详解】由，是异面直线，则异面或相交，又，故异面或相交. 故选：C 4．（24-25高一下·河北邯郸·期中）下列结论正确的是（   ） A．三个点确定一个平面 B．若空间中两条直线没有公共点，则它们互相平行 C．若一条直线上有无数个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内 D．若一条直线上有无数个点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行 【答案】C 【分析】根据空间点、线、面基本定理进行判断. 【详解】三个不共线的点确定一个平面，A错误； 若空间中两条直线没有公共点，则它们互相平行或为异面直线，B错误； 若一条直线上有两个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内，C正确； 若一条直线上有无数个点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行或与平面相交与一点，D错误. 故选：C 5．（24-25高一下·陕西榆林·期中）已知m，n，l为三条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，，且m与n异面，则（   ） A．l至多与m，n中的一条相交 B．l与m，n均相交 C．l与m，n均平行 D．l至少与m，n中的一条相交 【答案】D 【分析】根据线线之间的位置关系分析即可. 【详解】由题意知m与l平行或相交，n与l平行或相交，但直线l与m，n不能同时平行， 若直线l与m，n同时平行，则m与n平行，与两直线异面矛盾， 所以l与m，n中的一条相交或与m，n都相交. 故选：D. 6．（24-25高一下·山西临汾·期末）若三个不同平面把空间分成部分，则正整数的值不可能是（   ） A．8 B．4 C．6 D．5 【答案】D 【分析】分别讨论三个平面的位置关系，根据它们位置关系的不同，确定平面把空间分成的部分数目． 【详解】如图，若三个平面平行，此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若其中两个平面平行，另一平面与这两个平面都相交， 此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若三个平面两两相交且交线互相平行，此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若三个平面两两相交且交线交于同一点，此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若三个平面相交于同一条直线，此时三个不同平面把空间分成部分， 故A、B、C都有可能，D不可能.    故选：D. 类型二、三个基本事实 1、基本事实1 （1）内容：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 （2）图形： （3）符号表示：A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α （4）作用：确定一个平面或判断“直线共面”的方法 2、基本事实： （1）内容：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 （2）图形： （3）符号表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α （4）作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内 3、基本事实： （1）内容：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 （2）图形： （3）符号表示：P∈α，P∈β⇒α∩β＝l且P∈l （4）作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明点共线或线共点 4、三个推论： 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 1．（24-25高一下·天津河西·月考）下列命题中真命题的为（    ） A．经过三点确定一个平面 B．两条直线确定一个平面 C．经过两点可以作无数个平面 D．经过一条定直线和一个定点的平面有且只有一个 【答案】C 【分析】由平面的确定定理判断即可. 【详解】对于A，三点共线时不能确定一个平面，故A错误; 对于B，当两直线是异面直线时，不能确定一个平面，故B错误； 对于C，过两点平面可以转动，所以可以作无数个，故C正确； 对于D，当点在直线上时，此时平面有无数个，故D错误； 故选：C. 2．（24-25高一下·河北石家庄·月考）下列不是基本事实的是（   ） A．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 D．经过两条平行直线，有且只有一个平面 【答案】D 【分析】根据基本事实判断即可. 【详解】对于A，“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”是基本事实3，故A正确. 对于B，“平行于同一条直线的两条直线平行”是基本事实4，故B正确； 对于C，“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”是基本事实2，故C正确； 对于D，经过两条平行直线，有且只有一个平面是基本事实1的推论，故D错误； 故选：D. 3．设A，B是两个不同的点，l是一条直线，，是两个不同的平面，下列推理错误的是（    ）． A．， B．， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】对于A，举例，当与相交时，可能满足，即可判断；对于B，根据常识判断即可；根据基本事实2判断C；根据基本事实3判断D. 【详解】对于A，由，则或与相交， 当与相交时，可能满足，故A错误； 对于B，由，，易得，故B正确； 对于C，根据基本事实2可知，由，，，可得，故C正确； 对于D，根据基本事实3可知，由，，，，可得，故D正确. 故选：A 4．下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据空间中点和线的位置关系，即可求解. 【详解】对于（1），四点共面不一定得到三点共线，比如平面四边形，故（1）错误， 对于（2），若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；（2）正确， 对于（3）,若空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面；比如平面四边形，（3）错误， 对于（4），若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 假若其中三个点共线，则第四个点要么与这三点在一条直线上，要么在直线外 ，根据直线和直线外一点可确定一个平面可知，这四点共面，矛盾，故任意三点不共线，（4）正确 故选：B 类型三、点、线共面问题 点线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题,主要依据是基本事实2、基本事实1及其推论.解决该类问题通常有三种方法. (1)纳入平面法:先由部分元素确定一个平面,再证其他元素也在该平面内. (2)辅助平面法(平面重合法):先由有关的点、线确定平面α,再由其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合. (3)反证法. 通常情况下采用第一种方法. 1．（多选题）（25-26高一下·全国·课后作业）如图，正方体中，若E，F，G分别为棱，，的中点，，分别是四边形，的中心，则（   ） A．A，C，，四点共面 B．D，E，G，F四点共面 C．A，E，F，四点共面 D．G，E，，四点共面 【答案】ACD 【分析】根据平面的性质的公理及推论逐个进行判断. 【详解】对于A：因为正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，，分别为四边形，的中心， 所以是的中点，所以在平面内，故A正确； 对于B:因为E，G，F在平面内，D不在平面内，所以D，E，G，F四点不共面，故B错误； 对于C：因为分别为的中点，所以∥ 因为∥，所以∥，所以A，E，F，四点共面，故C正确； 对于D：连接并延长，交于H，则H为的中点，连接，则∥， 因为分别为的中点，所以∥， 因为∥，所以∥，所以G，E，，四点共面，故D正确． 故选：ACD. 2．如图，在正方体中，P是的中点，Q是的中点，则AP与CQ的位置关系是______．    【答案】相交 【分析】连接，利于中位线性质可证得得共面，再利用反证法假设，可证得矛盾，从而可得与相交. 【详解】如图，    连接，P是的中点，Q是的中点，所以是的中位线， 故，而在正方体中中，， 所以四边形是平行四边形， 故，所以，得共面， 故与共面， 假设,由，可得四边形是平行四边形， 则，即，这与是的中位线矛盾， 故与相交. 故答案为：相交. 3．如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点. H为PC上的点，且，点G在AH上，且，若四点共面，则_________ 【答案】/ 【分析】由，，，四点共面，得即为与平面的交点，连接，交于点，连接，则即为与的交点，取的中点，连接，结合三角形的中位线定理及相似三角形，可得答案． 【详解】如图，若，，，四点共面， 则即为与平面的交点， 连接，交于点，连接， 则即为与的交点，如图所示： 在截面中，为的中点，为的三等分点，取的中点， 连接，则， 故，即，则． 故答案为： 4．如图，在正四棱柱中，，，点分别在棱，，，上，，，．证明：点在平面中. 【答案】证明见解析 【分析】取中点，中点，连接，，，证明出，得出四点共面，即可证明点在平面中. 【详解】取中点，中点，连接，，， 则，， 由正四棱柱，可得， 则，又点为中点， 所以，即四边形为平行四边形， 同理可得，四边形为平行四边形， 所以且， 则，所以四边形为平行四边形，所以， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 所以四点共面，即点在平面中． 5．已知：，求证：直线共面于.    【答案】证明见解析 【分析】根据平面基本性质，如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内,可证明结论. 【详解】， . 同理可得，， 所以直线共面于. 6．如图，已知.求证：直线共面． 【答案】证明见解析 【分析】由题意，根据点、线、面之间的关系，即可证明. 【详解】因为，所以和确定一个平面， 因为，所以. 故. 又，所以和确定一个平面. 同理. 即和既在平面内又在平面内，且与相交， 故平面，重合，即直线共面． 类型四、线共点、点共线问题 1、证明三线共点问题的基本方法:先确定待证的三线中的两条相交于一点,再证明第三条直线也过该点.常结合基本事实,证出该点在不重合的两个平面内,故该点在它们的交线(第三条直线)上,从而证明三线共点. 2、点共线问题是证明三个或三个以上的点在同一条直线上,主要依据是基本事实3,解决此类问题常用的方法 (1)首先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,根据基本事实3知,这些点都在这两个平面的交线上. (2)选择其中两点确定一条直线,然后证明其他点也在这条直线上. 1．（2024高一·江苏·专题练习）如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线．    【答案】证明见解析 【分析】由题意可证平面，平面，进而，即可证明. 【详解】因为，且平面，所以平面， 同理平面， 从而M在两个平面的交线上， 因为平面∩平面，所以成立． 所以点三点共线． 2．如图，在空间四边形中， 分别在上，与交于点，求证：三点共线.    【答案】证明见解析 【分析】由基本事实3，证明点在两平面的交线上即可. 【详解】平面， 平面，同理，平面. 是平面与平面的公共点. 又平面平面， ,三点共线.    3．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线、、三线共点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由等体积法结合棱锥的体积公式计算可得；（2）先证明直线相交，设交于，同理可得直线相交于点，再由可得三线共点. 【详解】（1） （2）由于且，故直线相交，设交于， 则， 同理可得直线相交于点，则， 故与重合，故直线三线相交于点O， 故直线三线交于一点． 4．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，正方体的棱长为4，，，设过三点的平面为， 平面平面 .    (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线交于一点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出可得； （2）利用基本事实3可证三线共点. 【详解】（1）连接，到平面的距离为， 因为，故. 故，故. （2）在平面中，不平行，设，      则且，故平面 且平面， 故平面平面， 所以三线共点. 5．（24-25高一下·河北邯郸·期中）如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作出辅助线，利用平行的传递性证明，进而可得四点共线； （2）延长，设它们交于一点，由已知可得，则，同理可得，则S和Q是同一个点，所以三条直线交于一点. 【详解】（1） 如图，取的中点分别为S,T，连接，则, 因为四边形和四边形均为正方形，，且，， 所以四边形均为平行四边形，即，， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以B，D，E，G四点共面. （2）    延长，设它们交于一点S， 因为，且， 所以，则， 同理，延长，设它们交于一点Q， 因为四边形和四边形均为正方形，， 则，又， 所以，则， 因此S和Q是同一个点， 所以三条直线交于一点. 1．（24-25高一下·河北承德·期中）如图，在正方体的所有棱所在的直线中，与直线异面的共有（   ） A．4条 B．6条 C．8条 D．2条 【答案】B 【分析】根据正方体的性质和异面直线的定义即可判定. 【详解】与有公共点的棱所在的直线不异面，有，，，，，共6条， 与直线异面的棱所在的直线有，，，，，，共6条． 故选：B. 2．可以用集合语言将“公理：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上．”表述为（　　） A．，且，，则 B．若，且，，则 C．若，且，，则 D．若，且，，则 【答案】C 【分析】根据点、线、面位置关系的符号语言可得结果. 【详解】在空间几何中，点可以看成是元素，线和面应看成是集合， 根据元素属于集合，子集包含于全集可得： 公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上，用集合语言应表示为： 若，且，，则， 故选：C． 3．（2024高一下·全国·专题练习）下列命题中的真命题是（    ） A．若点，点，则直线与相交 B．若，，则a与b必异面 C．若点，点，则直线 D．若，，则 【答案】A 【分析】由线线关系、线面关系逐一判断每个选项即可得解. 【详解】对于选项A，由线面位置关系可知，若点，点，则直线与相交， 对于选项B，如图①所示，显然错误. 对于选项C，如图②所示，显然错误. 对于选项D，如图③所示，显然错误. 故选：A. 4．（24-25高一下·云南·期中）下列命题正确的是（   ） A．两条相交直线不能确定一个平面 B．若，，三点既在平面内，又在平面内，则平面与重合 C．若直线，，两两平行，则直线，，共面 D．若平面与平面交于直线，直线在平面内，且与平面交于点，则点在直线上 【答案】D 【分析】由两条相交直线确定平面判断A；当，，三点在同一条直线上时，得不出结论判断B；举反例判断C；利用基本事实3可得点在平面与平面的交线上，可判断D. 【详解】两条相交直线确定一个平面，故A错误． 当，，三点在同一条直线上时，平面与可以不重合，故B错误． 三棱柱的三条侧棱两两平行，但这三条侧棱不共面，故C错误． 由直线在平面内，且与平面交于点可知点既在平面内，又在平面内，则点在平面与平面的交线上，故D正确． 故选：D. 5．（23-24高一下·四川德阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．平面，使得有且只有一个公共点 B．若直线平面，则 C．三平面最多把空间分成7部分 D．若3个平面两两相交，且交线互不相同，则3条交线互相平行或交于一点 【答案】D 【分析】对于A，利用基本事实3分析即得；对于B，由直线平面的情况即可排除；对于C，结合长方体的模型即可排除；对于D，对于符合条件的情况，结合模型即可分析得到. 【详解】对于A，利用基本事实3知，平面如果有一个公共点，那么它们必有一条含该公共点的直线，故A错误； 对于B，由直线平面，则或与相交，当时，则有，故B错误； 对于C，当三个平面是长方体中两两垂直的平面时，可以将空间分成8部分，故C错误； 对于D，当3个平面两两相交，且交线互不相同时，则这3个平面可看成一个三棱柱或三棱锥的三个侧面， 利用棱柱与棱锥的定义可得，3条交线互相平行或交于一点，故D正确. 故选：D. 6．（24-25高一下·全国·课后作业）空间中有三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是（    ） A．1或2 B．3或4 C．1或2或3 D．1或3或4 【答案】C 【分析】分三种情况讨论即可求解. 【详解】如图，在正方体中， ①，，直线，与可以确定1个平面（平面）； ②，，直线，与可以确定2个平面（平面和平面）； ③三条直线，，交于一点，它们可以确定3个平面（平面，平面和平面）． 故选：C. 7．（23-24高一下·河北邯郸·期末）如图，在空间四边形各边，，，上分别取点，，，，若直线，相交于点，则下列结论错误的是（    ） A．点必在平面内 B．点必在平面内 C．点必在直线上 D．直线与直线为异面直线 【答案】D 【分析】利用基本事实2,3可得正确的选项. 【详解】 对于AB， 因为直线在平面内，且，所以点必在平面内，故A正确； 同理直线在平面内，且，所以点必在平面内，故B正确； 由A，B选项得点在平面内，也在平面内， 对于CD， 由基本事实3得点在交线上，故C正确；直线与直线为相交直线， 故D不正确， 故选：D. 8．＂三个平面交于一点＂是＂三个平面两两相交＂的（     ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【分析】根据空间中平面与平面的位置关系判断即可. 【详解】如图，三个平面交于一点可以推出三个平面两两相交， 三个平面两两相交推不出三个平面交于一点， 故选：A 9．（24-25高一下·甘肃兰州·月考）在如图所示的正方体或四面体中，分别是棱的中点，这四个点不共面的图有（   ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由中点构成的中位线和几何体的特征先判断是否平行，再判断是否在同一个平面内． 【详解】第一个图，如图：   分别是棱的中点，由正方体性质知，，则四个点共面； 第二个图，如图：   为棱的中点，由正方体的性质可知六点共面，记作， 因为，所以，所以与异面直线，即四个点不共面； 第三个图，如图：    因和分别是相邻侧面的中位线，所以，， 所以，即四个点共面； 第四个图，如图：    因为平面，所以平面，所以与异面直线， 即四个点不共面． 故选：C 10．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知：，，，，，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】运用平面当中的点，线，面相关定理证明即可. 【详解】  ，与确定一个平面． 直线，点．，，． 又，与重合，． 11．如图所示，在平面外，三边AB，AC，BC所在直线分别交平面于P，Q，R三点．求证：P，Q，R三点在同一直线上． 【答案】证明见解析 【分析】根据平面的性质分析可知点P，Q，R均在平面ABC与平面的交线上，即可得结果. 【详解】由，可知点， 且平面ABC，可知点平面ABC，又， 所以点P在平面ABC与平面的交线上， 同理可得：点Q，R均在平面ABC与平面的交线上， 所以P，Q，R三点共线． 12．如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解. 【分析】（1）连结，根据点分别是的中点，利用平行关系的传递性得到∥即可; （2）易得与相交，设交点为P，则能得到平面，平面，结合平面平面，即可得证； 【详解】（1）如图，连结.    ∵点分别是的中点，∴. ∵四边形为平行四边形，∴， ∴， ∴四点共面，即和共面． （2）证明：正方体中， ∵点分别是的中点，∴且 ∵四边形为平行四边形，∴，且 ∴∥且 ∴与相交，设交点为P， ∵，平面，∴平面； 又∵，平面，∴平面， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P. 13．已知是空间五个点，且线段和两两相交，求证这五个点在同一平面上. 【答案】证明见解析 【分析】根据基本事实及推论证明即可； 【详解】如图，设，， ∵， ∴确定一个平面， ∵， ∴， 同理， ∴直线即直线， ∴，， ∴这五个点在同一平面上. 14．如图，在正四棱台中，分别为棱，，，的中点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)证明，，相交于一点． 【答案】(1)相交，理由见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用中位线和棱台的结构特征，证明，可得以E，F，G，H四点共面，进而得出为梯形，则与必相交； （2）由为梯形，则与必相交，证明交点在上即可． 【详解】（1）证明：连接，，如图所示， 因为为正四棱台，所以， 又E，F，G，H分别为棱，，，的中点，所以，， 则，所以E，F，G，H四点共面，因为，所以， 所以为梯形，则与必相交． （2）因为为梯形，则与必相交． 设，因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面， 又平面平面， 所以，则，，交于一点． 15．如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）证明，即可说明、、、四点共面. （2）先证明点面和面，即点在面与面的交线上在证明面 面 ，即点，即可得到答案. （3）延长交于,由于面 面，则在交线上. 【详解】（1）连接 在长方体中 、分别是和的中点 、、、四点共面 （2） 确定一个平面 面 面 对角线与平面交于点 面 在面与面的交线上 面且面 面 面 即点共线. （3）延长交于 面 面 面 面 面 面 、、三线共点. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $