湖北省2025-2026学年高二下学期3月月考数学试题

高二数学答题卡 象 贴条形码区 准考证号 填涂样例 贴缺考标识 正确填涂■ 考生禁填！由监考老师填写。☐ 注L答题前、考生先将自已的姓名、准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定的位置贴好条形码 意2.选释题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用签字笔或钢笔答题：字体工整，笔迹清楚。 事3请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在试题卷，草稿纸上答题无效。 项4保特卡面请清，不要析叠，不要弄破。考试结束后，请将答题卡，试题卷一并上交】 选择题 1 AB C D 5A幻B☐GD☐ 9A)B☐CD 2A)B☐C☒D回 6AB☐CD 10四®C回 3ABC D 7 [A]B C][D 11 A][B]C][D 4A回☒D 8AB©回 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 填空题 12. 13. 14 请勿在此区域内作答 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 解答题 15.(本小题13分) 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学答题卡第页共页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16.(本小题15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 姓名 座位号☐ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(本小题15分) 北 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18.(本小题17分) D B 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学答题卡第页共页 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(本小题17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效高二数学 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个 是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上) 1.在等比数列{a}中，42024=2,4028=8，则42o26等于（) A.6 B.-4 C.4 D.±4 2.下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是() A.+上-1 B. 2=1 c.+ D.+ 87 76 1 67 651 3. 已知双曲线c: )京=16>0的两条渐近线的倾斜角均大于石，则双曲线C的一个焦点到 6 其中一条渐近线的距离的取值范围是() A.(4W5,+∞ B.（W3,+o C.(2W3,+m 3,0 4. 已知椭圆。+1的上下焦点为R,乃，点P在椭圆上运动，则△P吸码的面积的最太值 为() A.3√2 B.25 C.6 D.9 5.下列关于空间向量的命题中正确的是() A已知两个向量ā-（兮26=(214，则a与6的夹角为锐角 B.已知过点A(1,2,3)的平面a的法向量为i=(0,1,-1),则点P(2,-1,3)到平面0的距离为 5W2 2 C.若{a,b,c是空间的一组基底，则{a+2b,36+c,a+56+c也是空间的一组基底 D.已知a-化2到)万-Q1-),则a在6上的投影向量坐标为0-) 6.吹气球时，气球的体积（单位：L)和表面积（单位：d)都随着气球的半径变化而变化.当 气球的半径为ldm时，气球的体积关于表面积的瞬时变化率为（气球看作球体）() A.元 4元 B.4π c D.1 第1页共4页 7已知数列红}的前儿项和为8，前”项积为卫，若8=247当父取最小值时，8= () 1023 4095 A. B.1 C.2 D 2047 2047 2025 8.若关于x的方程 V4-x2-tx =1有且仅有两个不同的实数根，则实数t的取值范围为 4-2t () 二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两 个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分) 9.下列求导运算错误的有() A.(（π2026=2026元205 B C.[cos(4x-5]'=-4sin(4x-5) D.(xlog2x)=3xl0g2x+xIn2 10.己知抛物线C:y2=2px(p>0),过抛物线焦点F的动直线1与抛物线C交于A,B两点，O为 坐标原点，数量积OA.OB为定值-12，则下面说法正确的是() A.p=4 B.以线段AB为直径的圆与该抛物线的准线相切 C.若AF=3FB,则直线1的倾斜角为30°或150° D.若D是线段AB的中点，则当直线OD的斜率最大时，弦长AB=12 11.若数列{a}的前n项和为S,首项4=2，且满足a1+a=2×3”,则下列说法正确的是(） A.S,=9-1 4 B.{a-3}是等比数列 C.当n为偶数时，a.=3-1 2 D.数列0，}的前n项和为T,则=1730+13 4 第2页共4页 三、填空题（共3小题，每小题5分，共计15分.请把答案填写在答题卡相应位置上) 12.已知O为空间中任意一点，A,B,C,D四点共面且任意三点均不共线，若 OD=0A-2OB+uoC(元，ueR),则2+u的值为 13.正项数列{a}的前n项和为Sn,且S=20,S0=50,若直线1：3x+4y+an1+a+1-3= 0eN)与圆c-(x-+y=去da>0相切，则：— 14已为椭圆C:号y°=1，过点P(20)的两条直线4与4，共中{与稀图C相物干A点， I,与椭圆C相交于MN两点，OD⊥I,于点D,则PA.PD的最大值为 四、解答题（本大题共5小题，共计77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题13分)已知直线4为曲线y= 号在点分4处的切线，直线，的领制角 3 与直线马的倾斜角互补，原点在直线马，斜上方且到，的距离为5 (1)求直线和直线的方程： (2)己知直线3在x轴和y轴上的截距互为相反数，且直线l3经过直线与直线2的交点， 求直线马3的方程。 16.（本小题15分)己知数列{a}的前n项和为Sn,且Sn1=Sn+4n+1,其中42,4,41成 等比数列，数列bn}满足bn=2. (1)求证：数列bn}为等比数列： 、1 （2)已知数列和}满足6+01+Daa,c}的前n项和为，若工<对 neN恒成立，试求实数的取值范围. 17.(本小题15分)在台海军事防御演习中，以雷达监测指挥站A为坐标原点建立平面直角坐 标系.监测站B在A北偏东30°方向4√3千米处，监测站E在A正东2√3千米处.现划定的 圆形警戒区域恰好过A、B、E三点， (1)求圆形警戒区域圆的标准方程： 第3页共4页 (2)警戒区域外的可疑船只D在A西偏南45°方向5√2千米处，正沿北偏东60°方向匀速航 行，试问该船是否会进入警戒区域？ (3)有一条从距A点正西8千米的补给基地P出发，向北偏东30延伸的海上补给线，为全 方位监控补给线安全，要在补给线上安装一个雷达监控装置，使它向警戒区域圆发射 雷达波（看作向圆作两条切线）的张角最大，以覆盖更大警戒区域边缘，求该装置应 安装的位置坐标 北 18.(本小题17分)如图，在四棱锥D-ABCE中，底面ABCE为等腰梯形，侧面ADE是等边 三角形，其中上底EC=2,下底AB=4,∠ABC=60°，侧面ADE⊥底面ABCE，,点F为线段 BD上的动点 (I)求点C到直线BD的距离； (2)试问线段BD上是否存在点F,使得二面角F-AE-B为45°？若存在，求出点F的位 置；若不存在，请说明理由： (3)若点F为线段BD的中点，求三棱锥F-ABE的外接球的表面积. D 19.(本小题17分)在平面直角坐标系中，已知动点Mx,)满足下列方程： Vx-5)2+y2-Vx+5)2+y2=8 该方程的曲线与x轴的交点分别为A,B两点(A在B的左侧)，不过A,B的直线I与该曲 线交于P、Q两点，记直线PA,QB的斜率分别为k1,k2;直线PB,OA的斜率分别为k,k4 (1)求该曲线的标准方程： 2若与子求名4的独： 3)若左--】，求证：直线1过定点，并求出定点坐标 第4页共4页高二数学参考答案 1-8.CABADCBD 9.AD 10.ABD 11.ACD 1.C设公比为4，由a2028=4024q,得q=2,所以4026=4024q2=4 2A由椭圆性质知，离心率越小，越接近于凤，显然。+上=1的离心率最小. 87 3。B由双曲线C号需=1b>0可知新近线方程为= b 3, 双曲线C的两条近线的做斜角均大于石则>，即b>V3,而双曲线的焦瓶 中一条渐近线的距离为b,所以取值范围是(3，+) 4.A由题知，a=3,b=√6，c=√5，当P在短轴顶点时△PRE2的面积最大值为3√2 5.D对于A,由a/1乃知夹角为0，故A错误： 对于B,可由点到平面的距离公式求得3W5,故B错误： 2 对于c,{a,b,c是空间的一组基底，而ā+5b+c=(a+2b)+(35+c), 即a+2b,36+c,a+56+c是共面向量，故{a+i,6+c,a+2b+c不是空间的一组基底，即C 错误。 对汗D,市a在6上的按影向苹为部-@1-少-Q》 故D正确 3 3 6C易得气球的体积V与面积8的函数解析式为v=S2 6W元 ,记f(S)= S2,求导得 6N元 /=因 元，当气球半径r=1时，8=4红，f(4)=},（选择性必修第二册70页练习第 4题改编) 7。由8=24得义12：2nEN),两武相藏整理符 2-1 a=2an≥2neN),又易得4=20470，故a}是等比数列，且a=2047·当 n=11时，4<1；当n=12时，4>1，所以n=11时，Tn取最小值时，此时Sn=S1=1.(源 自选择性必修第二册40页练习第3题和41页第10题) 第1页共7页 2025 8.D将方程 V4-x2- 4-2t =1转化为方程V4-x2--4+2t=0,再转化为：半圆 y=√4-x2与直线y=x+4-2t有两个不同交点当直线与半圆相切时，有 421=2,1=3 V2+1 .半圆y=V4-x2与直线y=x+4-2t有两个不同交点时.直线y=x+4-2t=t(x-2)+4一 定过(2,4)，由图象知直线过(2,0)时直线的斜率t取最大值为1，t∈ 9 AD (π2026）=0，A选项错误； e e, 选项正确： [cos(4x-5)]=-4sin(4x-5),C选项正确： (xlogxx)-3xogxx+xI-3xlogx+x ,D选项错误 xIn2 ln2 10.ABD 设A,B两点的坐标为A(化，y),B(X,y),直线AB的方程为x=y+ 2 y2=2px x=w+卫，消去x后整理为2-2pg-p2=0, 联立方程{ 2 显然有△=4p22+4p2>0,则y+y2=2p,y2=-p2, 可得xx2= 送- 4p2 41 对于A,由OAOB=,+,-产-p2=-32-12,解得p=4:A正确 4 4 对于B,因为线段AB的中点到准线的距离d=上 AB ,而以线段AB为直径的圆的半径为 AB 2 2 所以以线段AB为直径的圆与该抛物线的准线相切，所以B正确， 对于C,当倾斜角0为锐角时4%四十O9由4F=3阳 =3. 1-cos0 1+cose ,解得co0=),故直线1的倾斜角0=60°或20°，C错误 对于D,由上面知x+x2=m(出+y2)+4=8m2+4,+y2=8L,线段AB的中点 第2页共7页 D+,当+ 22 即D4m+24m,可得直线oD的斜率为k=,2m 2m2+1,显然当 22=V2 当>欧坊能反品大位：地女万号（当月仪当双号时取 2m 2 L 等号) 此时D(4,2W2),D点到准线的距离为d=4-（-2)=6,弦长AB=212,故D正确. 11.AC A答案， 1=4+a+a)+(a+a)Ha+a)4a+a%)+a+4)2+26+343+3+309 4 B和C答案，参照教材39页例12的构造法、待定系数法求数列通项公式. 是等比数列， a-+(.当1为屑数时，a-1,B销，C对 2 2 D容案，%，-n3+”,数列 n.3 (-1n 用并项求 2 2 2 用错位相减求和，数列 2 和，分别求和再相加得到D答案是错误的.（选择性必修第二册41页第7题改编） 12. 9-7 由空间向量基本定理，天子+业=1，所以A+4 > 13.90 圆c的圆心为10)，半径，a,由直线与圆相切得山- 5 54，即 2an=a-1+an+1,所以{an}为等差数列.在等差数列{an}中，S,S0-S5,S5-So成等差数 列，所以2(S0-S)=S+Ss-S10,则2×(50-20)=20+S5-50,即S5=90 141+V2 2 如图，设直线PA的方程为：y=k(+2)k<0)与 椭圆方程联立得：Q+3k2)x2+12k2x+12k2-3=0,由 p(20 △=12k2)-40+3k2)12k2-3)=0得k=-1 此时直线A的方程为：y=-x-2 与前风联立有之，此时43-（打+0-（打怎04=4， 第3页共7页 设∠OPD=6,则∠APD=(0+45(-45°<0<45)·因为OD⊥PD,所 PD=POcose=2cos .PA.PD-AHDcos(+45)=2cox cos(045)= 2cos(26+45)因为 22 -45°<6<45°，所以-45°<28+45°<135°，所以当28+45°=0°时，PA.PD取得最大值 1+2 2 (源自2024年新课标2卷第21题改编) 15.【解】(1)求导计算可得直线的斜率为k=2,1分 所以直线的方程为y+4=2x+2: 1 即2x-y-3=0.2分 设直线2的斜率为k2,因为倾斜角互补，所以飞2=-k1=-2, 3分 所以设直线12的方程为y=-2x+b,即2x+y-b=0 原点到直线的距离d=5卜6 55 解得b=士15分 因为原点在直线的斜上方，所以b=-1,故直线2的方程为2x+y+1=0;6分 1 2x-y-3=0 (2)联立 2x+y+1=0,得 x=2所以直线，与马的交点坐标为 .8分 y=-2, 当直线3过原点时，直线3的方程为y=-4.x.10分 当直线马，不过原点时，设马的直线方程为+二=1， -2代入解a 可求得直线3的方程为2x-2y-5=0 综上，直线13的方程为y=-4x或2x-2y-5=0,13分 16.【解】(1)Sn1=Sn+a+1,所以Sn+1-Sn=an+1,即a1=an+1,1分 所以数列{a}是首项为4，公差为1的等差数列.由a,4,41成等比数列， 得(a+4)2=(4+d)(a+10d)，解得a=2, 3分 所以an=4+(n-1)d=2+(-1)×1=n+1. 5分 由6，=2=2,2-2，且4≠0，所以数列}为等比数列 b .7分 第4页共7页 bo 2+1 1 1 (2)两部分分别裂项（色，+1）61+1 (2+1+122+12a1+12+2+1’10分 1 1 11 aa+H（n+1D(n+2)n+1n+2: 12分 相消求和得工=G+c2++c,=(1一)+仁1）-7-117 522+1中(2n+2102*2+1n+21014分 由买<元对neN恒成立，得元≥乙 10 15分 17.(1)(x-√5)2+(y-3)2=12(2)该船不会进入警戒区域. (3)（N3-6,3+2W2) 解：(1)先求B点坐标，由三角函数得B(2√5,6)，E(2√5,0)，A(0,0).设圆标准方程 (x-2+(y-b)2=r2,将三点坐标代入得方程组，通过方程相减消元，先求出a=√，再代入 求出b=3,最后得2=12，从而确定圆的标准方程为x-V3)2+Gy-3)2=12.4分 (2)根据方向角和距离确定D(5,-5),由航行方向得直线斜率k=5 用点斜式得直线方程 x-√5y+5-5√5=0.已知圆方程得圆心C(V5,3),半径r=2√3，用点到直线距离公式求出圆 心到直线距离d=5-5>25=r,所以该船不会进入警戒区域.9分 2 (3)由补给线方向得斜率k=√，根据P(-8,0)用点斜式得补给线方程√3x-y+8√3=0①.设 雷达监控装置为点Q为补给线上的动点，切点为T,圆心C;雷达波张角日=2∠CQT,要使雷 波张角最大即∠CQT最大，即m乙COTC乙O最大，也就圆心c到装置距离cg最 当CQ与补给线垂直时，CQ最小，此时直线CQ的点斜式方程为 -3k-,即vx+3-12=0②：联立方程02解得.=56 故雷达装置Q的 y=3+2W5 坐标为V5-6,3+2√3) .15分 18.【解】(1)如图，以点E为坐标原点，以EA,EB所在直线分别为x 轴，y轴，过E垂直于平面ABCE的直线为z轴，建立如图所示的空 间直角坐标系E-x2, 第5页共7页 则B0,2W5,0）,D1,0,5),C(-1,3,0）,BD=(1-23,3),CB=1,V5,0 5分 (2)由(1)所建空间坐标系，可得E(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2V5,0),D1,0,V3), 故AB=（-2,25,0),BD=1,-23,N3),设BF=BD(0≤1≤1)， AF=AB+BF=A西+BD=(-2,25,0)+1,-25,5)=（-2+2,23(1-),V5 正-(20,0)，设平面1的法向量i=k,,由4=0，有： .AE=0 《-2+0x+25-Ay+BAz=0,则0，取y=A,则2=2(a-1) -2x=0 所以=(0，，2(2-1).因为z轴垂直平面ABCE,故可取平面ABCE的一个法向量为i=(0,0,1), 抗列 因为二面角F-AE-B为45°，所以cos45°cos元，)= 同 2-2引-2 1√)2+4(2-12 化简得32-81-4=0，解得A=号(2=2合去) 故存在点F为线段BD上靠近D点的三等分点，使得二面角F-AB-B为45°.12分 (3)取AB中点G,设三棱锥D-ABE的外接球的球心为O,由OA=OB=OE知，点O在过 点G且与平面ABE垂直的直线上，故可设O1,V5,t),由F为线段BD的中点可知F的坐标为 哈 V3 2 由o=or得.V2+3+=Q-+- 解得t=-√3，从而三棱锥F-ABE的外接球的半径为R=OB=√厅，故表面积为 S=4πR2=28元：17分 19.解：(1)由双曲线的定义，易知该曲线是以（±5,0）为焦点的双曲线，其中a=4,b=3 故该曲线的标准方程为子y =1 169 3分 (2)由题易得4(4,0B(4,0),由少=1得2-16=16y,代入 169 第6页共7页 可得名长，4阳卫”的，同理可得龙 x+4x-4x2-1616 16 儆，)6kkk-(kk)6,求得店7 648分 (3)由题知，4(4,0叭B(4,0).设直线2的方程为x=+m,与双曲线C二-上=1联立得： 169 (9k2-10y2+18y+9m22-144=0 92-16≠0 s=08am2-4ok2-1o9m2-144>0→m+9%÷-16>0且k26 9%2-16h4=9-14 设P6,W.O,),则y+为=8 -9k2-16 .10分 =k9m2-144_144-9 9%2-161806+2) 古+4+m46=点 y2 x2-42+m-4 匠-2+m-4)2+m-4丛18G+2)+m=+四 k2y24+m+4)yy2+(0m+4)y2144-92 ..12分 (y1+y2)+(m+4)y2 18L =(9m2-144G0+2)+(72n-18m2)3=-9m-4)24+90m2-16)y2-(4-m0[m-4)y-(4+my] (9m2-14403+y2)-(72+182)y29(m2-16)y-9(+4)2y2(4+m[0m-4)y-(4+my] 4十%=-3解得：=8所以直线的方程为x=w+8过定点8,0)7分 另解：也可由第(2）问的计紫道过名店=6得冬=名9的专则 9 。,然后再直线PO与双曲线联立，把非对称韦达转化为对称韦达，从面解 过程略 (源自2023年新课标2卷第21题改编) 第7页共7页