三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型2025-2026学年北师大版八年级数学下册试题

**基本信息** 聚焦三角形倒角核心模型（A字、8字、燕尾），通过分层题型构建"性质推导-模型应用-变式拓展"的完整方法体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选5题+填空5题|折叠问题用外角转化，8字模型直接倒角|从三角形内角和/外角性质推导A字、8字模型，迁移至燕尾模型| |模型证明|解答题3题（12/15/16题）|飞镖图两种辅助线证法，角平分线与模型结合|通过"新知探究-问题解决"流程，建立模型与角平分线、折叠的综合应用逻辑| |拓展探究|解答题3题（13/14/16题）|动态调整与多模型叠加，点位置变化对倒角影响分析|从静态模型到动态变式，培养空间观念与创新意识，契合中考综合题命题趋势|

《三角形的证明》-一-三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型 一、单选题 1.如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知∠1+L2=110°，则∠A的度数 是() A D B A.55 B.50 C.70° D.65 2.如图，点D,E分别在线段AC，,BC上，连接AE,BD交于点F.若LA=23°，∠B=47°， ∠C=42°，则∠AFD的度数为() B A.65° B.68 C.70 D.89 3.如图，三角形纸片ABC中，∠A=65°，LB=70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的 点C处，若∠1=30°，则∠2的度数为() D 02 A.130 B.110 C.100° D.120° 4.如图是一个不规则的“五角星”，已知∠A=54,∠C=40°，∠D=32°，∠B=∠E,则∠B的度 数为() B A.27 B.30 C.340 D.40 5.如图为无人机模型示意图，AB∥EF,CG⊥EF,LACD=105°，LB=69°，则∠A+LBDC度 数是() B C D E G A.15° B.21° C.36° D.48 二、填空题 6.如图所示，∠BDC=148°，LB=34°，LC=38°，则∠A=一 7.如图，三角形ABC中D,E为AB,AC上的两点，若∠1+∠2+∠3+L4=280°，则∠A的度数 为 A D1 E 8.如图，LA+LB+∠C+LD+LE+∠F= D E 9.在可调躺椅示意图中，AE与BD的交点为C,若LCAB=60°，LCBA=68°，LCDF=20°， LCEF=30°，为舒适需要调整∠D的大小，使LEFD=120°，且∠CBA、∠CAB、∠E保持不变， 则∠D应调整为 E 9 A B 10.如图，∠DAB和LBCD的平分线AP和CP相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若 ∠D=42°，∠B=38°，那么∠P的度数是 D 4 三、解答题 11.如图，将四边形纸片ABCD沿EF折叠，点A落在A处，若1+L2=100,则∠A的度数是多 少？ B A 20 12.【新知探究】 B E 图1 图2 图3 (1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，求证：∠A+∠B=LC+∠D; 【问题探究】 (2)如图2，AP、CP分别平分∠BAD,∠BCD,若∠ABC=40°，∠ADC=20°，求∠P的度数； 【拓展提升】 (3)如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,请猜想 ∠P,∠ABC,∠ADC的数量关系，并说明理由， 13.探索归纳： E 1 2 B 图1 图2 图3 (1)如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A,则∠1+∠2= (2)如图2，已知△ABC中，∠A=60°，剪去∠A后形成四边形，则∠1+∠2= (3)如图2，根据上面的求解过程，猜想∠1+∠2与∠A的数量关系，并证明； (4)若∠A没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想∠1+∠2与∠A的数量关系，并说明理 由. 14.【感知】(1)如图1，在△MPN中，∠MPN=90°，点B,C分别在△MPN的边BM,PN上， 以BC为边作△ABC,使点P在△ABC内，则LPBC+LPCB= 【特例探究】(2)在【感知】的条件下，若∠A=40°，则∠ABP+LACP= 【类比探究】(3)在【感知】的条件下，LABP,LACP,∠A之间有怎样的数量关系？请给予证 明： 【变式探究】(4)如图2，在△MPN中，∠MPN=90°，点B,C分别在△MPN的边PM,PN上， 以BC为边作△ABC,若点P在△ABC外，且点P与点C位于AB异侧，则∠ABP,LACP,∠A之间 的数量关系是 B M ① ② 15.请阅读下列材料，并完成相应的任务： 如图①，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”，在此图形中，可证 LADB=LA+LB+LC,在探究∠A,∠B,∠C与∠ADB之间的关系时，小明同学提供了下面两 种方法。 C C D D D A E0130° 1002B B B C 图① 图② 图③ 图④ 方法一：如图②，连接AB. 在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+LC=180°， 在△ABD中，∠1+∠2+LADB=180°， :∠ADB=∠3+L4+∠C=LCAD+∠CBD+∠C 方法二：如图③，连接CD并延长至点F. 解答下列问题： (1)根据“方法二”中添加的辅助线，补全方法二的推理过程； (2)如图①，当LA=30°，∠B=40°，LADB=120°时，∠C的度数为 (3)拓展：如图④，LABC=100°，LDEF=130°，求LA+∠C+LD+LF的度数. 16.已知：线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB. A M E< B E 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：LA+∠D=LB+LC; (2)如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E,并且与AB、CD分别相交于点M、 N,LA=28°，∠C=32°，求∠E的度数； (3)如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E,并且与AB、CD分别相交于点M、 N,∠CDE=;LADC,LCBE=;∠ABC,试探究∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系，并 3 说明理由. 参考答案 一、单选题 1.A 解：根据折叠的性质得，∠ADE=∠FDE,∠AED=∠FED, ∴.∠ADE+∠FDE=180°-∠1， ∠AED+∠FED=180°-L2, ∴.∠ADE+∠AED =1x180°-∠1+180°-∠2) 2 [36w-a+2a =125°， .∴.∠A=180°-∠ADE+∠AED =55°， 故选：A. 2.B 解：：∠A=23°，∠C=42°， ∠AEC=180°-230-42°=115°， :LAEC=∠B+LBFE,∠B=47° ·∠BFE=115°-47°=680 :∠AFD和∠BFE为对J顶角 .∠AFD=68 故选：B 3.D 解：如图， D B :∠A=65°，∠B=70°，∠A+∠B+∠C=180°， ∠C=180°-65°-70°=45°， :将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C处， ∠C'=∠C=45°， :∠3=∠1+LC'=75°， ∠2=C+∠3=120°， 故选：D. 4.A 解：如图所示； 2 .∠A=54°，∠C=40° .∴.∠1=∠A+∠C=54°+40°=94°， .∠D=32 ∠2=∠1+∠D=94°+32°=126° .∴.∠B+∠E=180°-∠2=180°-126°=54° ∠B=∠E, .∠B=54×=27 故选：A. 5.C 解：如图；延长DC交AB于K, C D G F :∠AKC=∠B+∠BDC,∠ACD=∠A+∠AKC, .∠ACD=∠A+∠B+∠BDC, .'∠ACD=105g∠B=69▣ .∠A+∠BDC=105C-69☐=36 故选：C 二、填空题 6.76° 解：延长CD交AB于点E. D ,∠BDC是△BDE的外角， ∴.∠BDC=∠B+∠BED. .∠BDC=148°，∠B=34°， .∴.148°=34°+∠BED, .∴.∠BED=114°. ,∠BED是△ACE的外角， .∴.LBED=∠A+LC. ,∠BED=114°，∠C=38°， ∴.114°=∠A+38°， .∴.∠A=76°. 故答案为：76°. 7.40° 解：在△ADE中，∠1+∠2=180°-∠A, 在△ADE中，∠3+∠4=180°-∠A, .∠1+∠2+∠3+∠4=280°， ..180°-∠A+180°-∠A=280°， .∴.∠A=40°， 即∠A的度数为40°. 故答案为：40°. 8.360° 解：如图，延长DE、CB交于点G,设DG与AB交于点H,AF与DE交于点I, ,∠ABC是△BGH的外角， ∴.∠ABC=∠G+∠GHB, 同理，∠EIF=∠A+∠AHI, ,∠GHB=∠AHI, .ZABC +ZA=ZG+ZGHB+ZA=ZG+ZEIF, ,三角形内角和为180°， .LEIF+LIEF+∠F=180°，∠G+∠C+∠D=180, ∴.∠A+LABC+∠C+LD+∠IEF+LF=360°， 故答案为：360°. E H G----B 9.38 解：如图所示，延长EF交BD于点G, ,∠EFD=120°， ∴.∠DFG=180°-120°=60°. ,LCAB+∠CBA+LACB=180°=LECG+LEGC+LE,且LACB=LECG, ∴.LCAB+∠CBA=LEGC+LE. ∠CAB=60°，∠CBA=68°，∠CEF=30°， .∴60°+68°=∠EGC+30°， 解得LEGC=98°， ∴.∠DGF=180°-98°=82°， ∴.∠D=180°-∠DGF-∠DFG=180°-82°-60°=38°. 故答案为：38°. E A B 10.40° 解：，LDA0+∠D+LA0D=180°，∠BC0+LB+∠B0C=180°， 又：∠A0D=∠B0C, ∴.∠DA0+LD=∠B+∠BC0, ,∠D=42°，∠B=38°， ∴.∠0AD+42°=∠0CB+38°， .∴.∠0CB-∠0AD=4°， ,AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线， A=50D,3-0c8, 2 又∠1+∠D=∠3+LP, P=1+∠D-23<01D-20c8到+∠D-49+42=40: 故答案为：40°. 三、解答题 11.解：如图， E A 20 D ,四边形纸片ABCD沿EF折叠，点A落在A处， ·∠3+24=180-∠4+180-22到=-180-1+∠2， .∠1+∠2=1009， ∴.∠3+∠4=180°-×100°=180°-50°=130°， 在△AEF中，∠A=180°-（∠3+∠4）=180°-130°=50°. 答：∠A的度数是50°. 12.(1)证明：在△ABE中，LA+LB+LAEB=180°，则∠A+B=180°-∠AEB, 在△DEC中，∠D+∠C+∠CED=180°，则∠D+∠C=180°-∠CED, .ZAEB ZCED .∴.∠A+LB=LD+LC; (2)解：由(1)得：∠1+∠B=∠3+∠P,∠4+∠D=∠2+∠P, ∴.∠1+LB+4+∠D=L3+LP+L2+LP, ,AP平分∠BAD,CP平分∠BCD, ∴.∠1=∠2，∠3=∠4， .∴.2∠P=∠B+∠D, .∠ABC=40°，∠ADC=20°， .∴.2∠P=40°+20°=60°， .∠P=30°； (3)解：2LP=∠B+∠D,理由如下： 如图3， R B A D E 图3 由(1)得∠PAB+∠P=∠4+∠B,∠PAD+∠P=∠PCD+∠D, '∠PAB=∠1，∠PAD=180-∠2，∠PCD=180-∠3， .∠1+∠P=∠4+∠B,180°-∠2+∠P=180°-∠3+∠D, ∴.∠P-∠2=LD-∠3 ∴.∠1+LP+Lp-L2=L4+LB+LD-∠3， ,AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分LBCD的外角∠BCE, ∴.∠1=∠2，∠3=∠4， ∴2∠P=∠B+∠D. 13.(1)解：如图所示： 图1 ∠I=∠A+∠EFA=90°+∠EFA,∠2=∠A+∠AEF=90°+∠AEF .∠1+∠2=(90°+∠EFA+(90°+∠AEF=180°+∠EFA+∠AEF △ABC为直角三角形，∠A=90° ∴.∠EFA+LAEF=180°-∠A=90°， .∴.∠1+∠2=180°+90°=270°， 故答案为：270°； (2)如图所示： 图2 在△AEF中，由外角性质可知： ∠I=∠A+∠EFA,∠2=∠A+∠AEF: ∠A=60° .∴.∠1+L2=LA+LEFA+LA+LAEF）=LA+∠EFA+LAEF）+LA =180°+609 =240° 故答案为：240° (3)解：由(1)、（2)中思路，由三角形外角性质可知： ∠1=∠A+∠EFA,∠2=∠A+∠AEF; ∴.∠1+∠2=∠A+∠EFA+∠A+∠AEF) =(LA+∠EFA+LAEF+∠A =180°+∠A, ∴.∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2=180°+LA, 故答案为：∠1+∠2=180°+LA; (4)∠1+∠2=2∠A. 理由：连接AP, 图3 ,△EFP是由△EFA折叠得到的， .LAFE=∠PFE,∠AEF=∠PEF, .∠1=180°-2∠AFE,∠2=180°-2∠AEF, .∴.∠1+∠2=(180°-2LAFE)+(180°-2∠AEF)=360°-2∠AFE+∠AEF), 又，∠AFE+∠AEF=180°-LA, ∴.∠1+∠2=360°-2180°-∠A=2LA, .∠1+∠2与∠A的关系为：∠1+∠2=2∠A. 14.解：(1)在△BCP中，：∠P=90° :∠PBC+∠PCB=180°-90°=90°； 故答案为：90°； (2)在△ABC中，LA=40°， ∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°， :LABC=LABP+LPBC,LACB=∠PCB+∠ACP, .∠ABP+∠PBC+∠PCB+∠ACP=∠ABP+90°+∠ACP=140°， ∠ABP+∠ACP=140°-90°=50°； 故答案为：50°； (3)LABP+LACP=90°-LA 证明：：LABC=∠ABP+∠PBC,∠ACB=∠PCB+∠ACP, .∠ABP+∠ACP+LA=∠PBC+∠PCB+∠ABP+∠ACP+LA=I80°， .90°+∠ABP+∠ACP+∠A=180°， .∠ABP+∠ACP+LA=90°， ∠ABP+∠ACP=90°-∠A. 故答案为：LABP+LACP=90°-LA; (4)∠A+∠ACP-∠ABP=90°. :∠P=90°， .∠BPC+∠BCP=90°=∠PBA+∠ABC+∠BCP, ∠ABC+∠BCP=90°-LPBA, ∠ABC+∠ACB=180°-∠A=∠ABC+∠BCP+ACP, ∠ABC+∠BCP=I80°-∠A-∠ACP, .90°-∠ABP=180°-LA-LACP, :∠A+∠ACP-∠ABP=90°. 故答案为：∠A+LACP-∠ABP=90°. 15.(1)证明：：∠1是△ADC的外角， .∠1=∠2+∠A, ∠3是△BDC的外角， .∠3=∠4+∠B, .∠1+∠3=∠2+LA+L4+LB=∠A+LACB+LB, ∠ADB=LA+∠B+LACB; (2)解：由1)可知LADB=∠A+∠B+∠ACB, :∠A=30°，∠B=40°，∠ADB=120°， 120°=30°+40°+∠ACB, ∠ACB=120°-30°-40°=50°， 故答案为：50°； (3)解：如下图所示，连接AD, 在四边形ABCD中，∠BAD+LADC+LDCA=LABC=I00°， 在四边形AFED中，∠AFE+∠ADE+∠DAF=∠FED=I30°， ∠BAD+∠ADC+∠DCA+∠AFE+∠ADE+∠DAF=∠FED+∠ABC=100°+130°=230°， :∠BAD+∠F+∠EDC+∠C=230°， 即∠A+∠C+∠D+∠F=230°. A、 EQ130 100>B C >D 16.(1)证明：：∠A+LD+LA0D=∠C+∠B+∠B0C=180°，∠A0D=LB0C, :ZA+ZD ZC+ZB (2):LADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E, :∠ADE=∠CDE,∠ABE=LCBE, 由(1)可得LA+∠ADE=LE+∠ABE,LC+LCBE=LE+LCDE, ∠A+LC-=2LE, :∠A=28°，∠C=32°， ∠E=30°； (3)∠A+2LC=3∠E. 理由：∠CDE=∠ADC,∠CBE=;∠ABC, ∠ADE=2LCDE,∠ABE=2LCBE, 由(1)可得∠A+∠ADE=∠E+∠ABE,LC+LCBE=LE+LCDE, :2ZC+2ZCBE =2ZE+2ZCDE, :.∠A+2LC+∠ADE+2∠CBE=3∠E+∠ABE+2LCDE.