4.1 多边形（题型专练，5基础&4能力题型+培优）数学新教材浙教版八年级下册

4.1 多边形 题型一、多边形的周长问题 1．一个边长的正方形，把4个角各剪去边长的小正方形．那么它的周长（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．保持不变 【答案】D 【分析】本题考查正方形的周长的问题，在一个正方形上的4个角剪去边长1厘米的小正方形，我们可以在脑海里想象这个画面也可以用画图的方法，得出答案． 【详解】解：这个正方形原来的周长：；剪去小正方形后的周长：；那么它的周长不变． 故选D． 2．在一个正五边形 的主题公园步道上，其总长度为 2000 米，小李和小张分别从 两点同时开启步行之旅，沿着步道的顺时针方向行进，小李的步行速度为每分钟 50 米，小张的步行速度为每分钟 46 米．请问，从出发开始计时，经过__________时间，小李和小张首次处于同一段步道上． 【答案】分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的购进． 根据题意求出正五边形 的主题公园步道的边长米，设从出发开始计时，经过分钟，小李比小张多走米，列方程得，解方程再进一步即可得到答案． 【详解】解：正五边形 的主题公园步道的边长为米， 设从出发开始计时，经过分钟，小李比小张多走米， 根据题意得：， 解得：， 从出发开始计时，经过分钟，小李行进， 小张行进， ， ， 如图所示，小李位于点M处，小张位于点N处， 此时，点、分别是边、的中点， 小李从到用时 ， 小张从N到E用时， ， 小李先到达点D，此时两人首次处于同一段步道上， 小李和小张首次处于同一段步道上，用时， 故答案为：分钟． 3．如图，已知六边形的6个内角均为，．试求这个六边形的周长． 【答案】 【分析】如图：延长，分别交直线于M、N，延长相交于点P，易得都是等边三角形，，即为等边三角形，可得，再根据线段的和差以及等量代换即可解答． 【详解】解：如图：延长，分别交直线于M、N，延长相交于点P， ∵六边形的6个内角均为， ∴， ∴都是等边三角形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这个六边形的周长． 4．旧版的一角硬币内是一个正多边形，下面是一张相关图片（尺寸未定）． (1)求该硬币内正多边形的内角和； (2)若其一边长为，求该正多边形的周长； (3)该正多边形共有___________条对角线． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据图片得出正多边形的边数是，进而利用求内角和；利用求周长；利用求对角线的条数. 【详解】（1）解：由图可知：旧版的一角硬币内是一个正九边形， ∴， 即：正多边形内角和为； （2）解：∵ ∴该正多边形的周长是； （3）解：∵， ∴该正多边形共有条对角线. 题型二、多边形的内角和问题 5．若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【分析】利用公式列方程即可求解． 【详解】解：设多边形边数为， 根据题意列方程得， 解得， ∴这个多边形的边数是． 6．若一个多边形的内角和是三角形内角和的5倍，则这个多边形是（   ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【答案】A 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得：． 解得：． 所以这个多边形是七边形． 7．如图，在五边形中，分别平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】多边形内角和且为整数）．先根据五边形内角和求得，再根据角平分线求得，最后根据三角形内角和求得的度数． 【详解】解：在五边形中，内角和为， ∵， ， ∵、分别平分、， ， 在中，． 8．已知正x边形的内角和为，边长为2． (1)求正x边形的周长； (2)若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度数小，求n的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查多边形内角和外角和，掌握多边形的内角和的计算方法以及外角和是360°是正确解答的关键． （1）根据多边形的内角和公式列式进行计算求得边数． （2）根据（1）求出正x边形每个内角的度数，正n边形的每个外角的度数，根据多边形的外角和为解题即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得． 正x边形的周长为； 故答案为：． （2）解：正x边形每个内角的度数为， 正n边形的每个外角的度数为， ， ∴n的值为5． 故答案为：5． 题型三、多边形外角和的应用 9．如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（ ） A．外角和减少 B．外角和增加 C．周长变大 D．周长变小 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形三边关系，多边形的外角和，熟练掌握此知识点是解题的关键．根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得出答案． 【详解】解：将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形， ∵五边形的外角和为：，六边形的外角和为：， 将五边形沿虚线裁去一个角，外角和不变， ∵， ∴周长变小． 故选：D． 10．如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设与四边形的外角和的度数分别为α，β，则比较α与β的大小，结果正确的是（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】本题考查多边形的外角和定理，注意多边形的外角和为是解答本题的关键． 多边形的外角和为，与四边形的外角和均为，即可作答． 【详解】解：∵多边形的外角和为， ∴与四边形的外角和与均为， ∴， 故选：A． 11．一机器人以的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为_____s． 【答案】 【分析】本题中由于机器人最后必须回到起点，可知此机器人一共转了，得出机器人的行走路线是沿着一个正八边形的边长行走一周． 【详解】解：依据题中的图形，可知机器人一共转了， ∵， ∴机器人一共行走． ∴该机器人从开始到停止所需时间为． 12．如图1．嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度． (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是_________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且，求行程中珍珍身体转过的角度的和（即的值）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和； （2）延长交于点F，再在五边形中计算即可． 【详解】（1）解：∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和， ∴跑步方向改变的角度的和是度； （2）解：如图，延长交于点F，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在五边形中， ∴． 题型一、多（少）算角问题 13．如图是两位学生在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们少加的内角的度数为____． 【答案】/105度 【分析】本题考查了多边形内角和定理，先根据多边形内角和公式，确定内角和的范围，再通过计算找到符合条件的边数及少加的内角度数． 【详解】解：∵， 又∵少加了一个内角， ∴多边形的边数是：， ∴他们在求九边形的内角和， ∴，少加的内角为， 故答案为：． 14．小马同学平时学习十分马虎，他在计算凸n边形的内角和时： (1)若少计算一个内角度数，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ (2)若某一内角多计算了一次，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，利用多边形的内角和是的倍数是解题的关键． (1)设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是，根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角度数是的倍数，然后利用数的整除性进行求解； (2)设这个多边形的边数是n，没有计算在内的内角的度数是，根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角度数是的倍数，然后利用数的整除性进行求解． 【详解】（1）解：方法一：设少算的那个内角的度数为，则由条件， 得． 因为n为自然数，，且， 故取， 得． 方法二：由条件，得， 且n为自然数， 故． （2）解：方法一：设多算的那个内角的度数为， 则由条件，得． 因为n为自然数，，且， 故取，得． 方法二：由条件，得， 且n为自然数， 故． 15．看图回答问题： (1)内角和为，小明为什么说不可能？ (2)小华求的是几边形的内角和？ (3)错把外角当内角加一起的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？ 【答案】(1)见解析 (2)13边形的内角和 (3)能，这个外角为 【分析】本题主要考查了多边形内角和，一元一次不等式的应用．解决本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式．n边形的内角和是． （1）n边形的内角和是，因而内角和一定是180度的倍数，据此可进行解答； （2）设这个多边形的边数为n，根据已知可得，进行求解即可，注意n为正整数； （3）根据上面的结果求出这个多边形的内角和，再用减去求出的结果，计算即可． 【详解】（1）∵不是的整数倍， ∴小明说不可能． （2）设这个多边形的边数为n， 由题意，得． 解得． ∵n为整数， ∴． ∴小华求的是13边形的内角和． （3）∵当时，， ， ∴这个外角为． 16．阅读小明和小红的对话，解决下列问题． (1)这个“多加的锐角”是__________度． (2)小明求的是几边形内角和？ (3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？ 【答案】(1) (2)小明求的是边形内角和 (3)这个正多边形的一个内角是 【分析】本题考查了多边形的内角和，一元一次方程的应用．熟练掌握多边形的内角和，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍，根据，计算求解即可； （2）由题意知，，计算求解即可； （3）根据这个正多边形的一个内角是，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍， ∴这个“多加的锐角”是 ， 故答案为：； （2）解：由题意知，， 解得，， ∴小明求的是边形内角和； （3）解：由题意知，这个正多边形的一个内角是， ∴这个正多边形的一个内角是． 题型二、多边形的对角线条数问题 17．从边形的一个顶点出发作对角线，最多可将此边形分成个三角形，则（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】从边形的一个顶点出发作对角线，可将此边形分成个三角形． 【详解】解：从边形的一个顶点出发作对角线，则最多可将该边形分成个三角形， 由题意可得，则． 18．从一个多边形的一个顶点出发能引5条对角线，则这个多边形的内角和为______°． 【答案】1080 【分析】根据n边形从一个顶点出发的对角线条数为，结合已知条件求出多边形的边数，再利用多边形内角和公式计算即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，由题意，得 ． 解得． 根据多边形内角和公式，得： ． 19．从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分成7个三角形，则这个n边形的对角线条数是________条． 【答案】27 【分析】本题主要考查了多边形的定义和性质，解题的关键是掌握相关公式． 根据从n边形一个顶点出发连接其余顶点可分割成个三角形的规律，求出n值，再代入n边形对角线条数公式计算． 【详解】解：由题意，从n边形一个顶点出发分割三角形数为个， 已知分成7个三角形，得， 解得， n边形的对角线条数公式为，代入，得， 故答案为：27． 20．（1）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则这个多边形是________边形． （2）从n边形的一个顶点出发作对角线，可以把这个n边形分成9个三角形，则n等于_______． 【答案】 十三 11 【分析】（1）依据n边形从一个顶点出发可引条对角线的性质列方程求解， （2）依据n边形从一个顶点出发作对角线可分成个三角形的性质列方程求解 【详解】（1）设这个多边形是边形， 根据边形从一个顶点出发最多可引条对角线，可得， 得， 即这个多边形是十三边形． （2）根据边形从一个顶点出发作对角线，可将多边形分成个三角形， 可得， 得， 即等于11． 题型三、截角后的多边形内角和问题 21．如图所示，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形．求原多边形的边数． 【答案】原多边形为十四边形 【分析】本题考查多边形的内角和，掌握n边形的内角和为是解题的关键． 设原多边形的边数为x，则新多边形的边数为，根据“内角和为”列出方程，求解即可． 【详解】解：设原多边形的边数为x，则新多边形的边数为，根据题意，得 ， 解得， 答：原多边形为十四边形． 22．已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 【答案】(1)5 (2)或或 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和的计算公式以及外角和为是解决问题的关键． （1）根据多边形的内角和公式、外角和是列方程求解即可； （2）由题意分情况讨论，然后利用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数是， 由题意得：， 解得， 答：这个多边形的边数是； （2）解：截去一个角以后，多边形的边数可能减少了，也可能不变，或者增加了． 截完后所形成的新多边形的边数可能是或或， ①当多边形为四边形时，其内角和为； ②当多边形为五边形时，其内角和为； ③当多边形为六边形时，其内角和为； 综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 23．在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的2倍还大， (1)求这个多边形的边数； (2)若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？ 【答案】(1)8 (2)或或 【分析】本题考查多边形内角和、多边形外角和以及剪去一个角的问题，熟练掌握多边形的相关知识是解题的关键． （1）设多边形的一个外角为a，则与其相邻的内角为，根据平角定义可求出a的值，再利用多边形的外角和为，可求出多边形的个数； （2）剪掉一个角后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，因此分情况讨论，即可求出答案． 【详解】（1）解：设多边形的一个外角为a，则与其相邻的内角为， 由题意得，， 解得， 又多边形的外角和为， 多边形的外角个数为， 这个多边形的边数为8； （2）因为剪掉一个角后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变， 若剪掉一个角后，边数增加了1条，即变成九边形，则此时内角和为； 若剪掉一个角后，边数减少了1条，即变成七边形，则此时内角和为； 若剪掉一个角后，边数不变，即还是八边形，则此时内角和； 将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是或或． 24．已知一个多边形的内角和与外角和相加等于． (1)求这个多边形的边数及对角线的条数． (2)这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形有______条边． 【答案】(1)，； (2)或或 【分析】本题考查多边形内角和定理：多边形内角和为，解题的关键是剪角时注意分类讨论． （1）已知一个多边形的内角和与外角和的和为，外角和是，因而内角和是．边形的内角和是，代入就得到一个关于n的方程，就可以解得边数，从而得到这个多边形的对角线的条数． （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了条，也可能减少了条，或者不变，由此即可求出答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为， ， 解得：； ∴对角线的条数为：； 所以这个多边形的边数是，它的对角线的条数是． （2）解：因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了条，也可能减少了条，或者不变， ①当沿两边中间点剪时，多边形多出一条边，边数为， ②当沿一边中间点与一顶点剪时，多边形边数不变，边数为， ③当沿两顶点剪时，多边形边减少1边，边数为， 综上所述：新多边形可能是条或条或条边． 题型四、截角后的的多边形的边数 25．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的知识，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条．根据一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，依此即可解决问题． 【详解】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 则多边形的边数是4或5或6， 故选：D． 26．将一张正方形的纸片沿一条直线截下一个三角形后，剩下纸片的边数可能是___________． 【答案】3或4或5 【分析】本题考查了多边形．根据一个边形剪去一个角后，剩下的形状可能是边形或边形或边形即可得出答案． 【详解】解：如图可知，原来多边形的边数可能是3或4或5． 故答案为：3或4或5． 27．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为______． 【答案】3 【分析】本题考查截一个多边形，一个多边形截去一个角后，边数可能增加一条、不变或减少一条；当新多边形为五边形时，原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3． 【详解】解：设原多边形边数为n；截去一个角后，边数变化有三种情况：①边数增加一条，则新边数为；②边数不变，则新边数为n；③边数减少一条，则新边数为； 已知新多边形为五边形，即新边数为5； 因此，，解得；或；或，解得； 所以原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3； 故答案为：3 28．张明和李华的对话如图所示，请根据对话内容回答下列问题： (1)张明的说法正确吗？请说明理由； (2)张明得到的新多边形是几边形？ 【答案】(1)不正确，理由见解析 (2)九边形或八边形或七边形 【分析】本题考查了多边形的内角和问题； （1）根据多边形的内角和为，即任意多边形的内角和一定能被整除，即可求解． （2）设这个正多边形的边数为n，剪去的内角为，根据题意列出不等式，求得整数解，再分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：张明的说法不正确．理由如下： 由多边形内角和定理可知，多边形的内角和为， 即任意多边形的内角和一定能被整除． 不能被整除， 张明的说法不正确． （2）设这个正多边形的边数为n，剪去的内角为， 根据题意，得， ． ． 为整数， 这个正多边形为正八边形 如答图，将正八边形剪去一个角后，得到的多边形的边数增加1或不变，或减少1，则得到的多边形边数为9或8或7，即得到的新多边形是九边形或八边形或七边形． 29．如图，将大正方形的对角线分成条相等的线段，再以每一等份为一条对角线向外作一个小正方形．设大正方形的周长为，所有小正方形的周长之和为，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设大正方形对角线长为，利用正方形对角线与边长的关系，分别求出大正方形周长和所有小正方形周长之和，再进行比较． 【详解】解：设大正方形的对角线长为． 大正方形的边长为，周长． 把对角线分成等份，每一份长为，即每个小正方形的对角线长为． 每个小正方形的边长为，周长为． 共有个小正方形，所以所有小正方形的周长之和． A、，计算得，不符合题意； B、，计算得，不符合题意； C、，计算得，符合题意； D、，计算得，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质（对角线与边长的关系）、周长的计算。解题关键是通过设对角线长度，建立大、小正方形周长的表达式，从而比较大小． 30．如图，的度数为___________． 【答案】/360度 【分析】本题考查了三角形外角的性质、四边形的内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质得到，再根据四边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴． 故答案为：． 31．“剪纸”是我国一项传统民间艺术，现有一张正方形纸片，用剪刀沿着一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，沿着一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿着一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，…以此类推，为了得到7个十一边形和一些多边形纸片，则至少要剪_______ 刀． 【答案】 【分析】本题考查多边形内角和定理，一元一次不等式的应用和规律探究，解题关键是得到每剪一次所有多边形总内角和增加，其余多边形最小内角和至少为，据此列不等式求解． 【详解】解：根据题意，每剪一刀，所有多边形的内角和共增加． 设一共剪了刀，则共得到个多边形，所有多边形的内角和总和为． 已知共有7个十一边形，根据多边形内角和定理，7个十一边形的内角和总和为 根据题意得， 不等式两边同除以，得 整理得． 故至少要剪刀． 32．将图1中周长为28的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为38的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为________． 【答案】31 【分析】本题主要考查的是整式的加减的应用、列代数式等知识点，列代数式表示出正方形的边长成为解题的关键． 设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为，根据图1中是周长为28的长方形，计算出，然后再列出图2中长方形的周长和没有覆盖的阴影部分的周长代数式，将代入计算即可． 【详解】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为， 如图1中是周长为28的长方形，可得， 解得：， 将A、B、C、D四点在图2中标出，如图所示： 如图，图2中长方形的周长为38， ∴， ∴， 根据平移得，没有覆盖的阴影部分的周长是如图中四边形的周长， ∴ ． 故答案为：31． 33．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则______． 【答案】/82度 【分析】过F作，则，根据平行线的性质和角平分线的定义，可得，，进而可得，，利用四边形内角和为360度，可得，再结合即可求出的度数． 【详解】解：如图，过F作， ∵， ∴， ∵的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F， ∴可设，， ∴，， ∴四边形中， ， 即，① 又∵， ∴，② ∴， 解得． 34．数学课上，老师给出一个新图形“整数四边形”的定义：若一个凸四边形的边长和面积均为整数，则称这样的凸四边形为整数四边形．例如，边长为整数的正方形和边长为整数的长方形都是整数四边形．一般四边形中也存在大量的整数四边形，围绕整数四边形的定义，同学们展开数学探究． (1)如图，四边形中，，，，，．博学小组认为这个四边形是一个整数四边形，请你判断这个结论是否正确，并说明理由； (2)创新小组受博学小组的启发，认为存在周长为36的整数四边形，请你画出周长为36，且只含有一个直角的两个不同的整数四边形，在所画图形中标注出各边的长度及直角，并直接写出四边形的面积． 【答案】(1)正确，理由如下 (2)72；54；作图见详解 【分析】本题考查了学生的探究能力，对于新的定义“整数四边形”的理解与应用，同时考查了勾股定理，三角形面积计算，图形分割，本题的关键在于对新定义的理解和对面积的分割． （1）利用直角，连接，将四边形分成一个直角三角形和一个等腰三角形，利用已知数据将两个三角形面积面积计算得出面积，判断四边为整数，面积为整数，即为整数四边形． （2）根据整数四边形满足的条件去整理思路，原整数四边形周长为18，现要求为36，不妨将边长都扩大两倍进行尝试，四边分别为，验证面积，符合题意；另外一组设计也可利用常见勾股数先构造直角三角形，另外的两边可根据周长慢慢推测，组合满足面积为整数，边长为整数，周长为36的四边形． 【详解】（1）连接，过点作于点 在中 ∵ ∴三角形为等腰三角形． 又∵ ∴ ∴在中 ∴四边形四边为整数，面积为整数，是整数四边形． （2）如图①：面积为72． 面积求解如下： 易证： 如图②：面积为54． 面积求解如下： 连接，过点作于， 设 35．如图①，作的平分线，并反向延长得到．分别以，，为内角作正多边形，且边长均为1．例如，若，以为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，是的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，如图②． (1)图②的外轮廓周长是_____． (2)若某协会在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，求会标的外轮廓周长． 【答案】(1)14 (2)21 【分析】（1） 根据图②的构成，确定三个正多边形的边数，计算外轮廓周长时需减去重叠的边，从而得到总周长． （2） 设，推导以为内角的正多边形的边数表达式，写出周长的代数表达式；根据边数为正整数确定的取值，代入计算找到最大周长． 【详解】（1）解：图②中，，因此：  以 为内角的正多边形是正方形， 以为内角的正多边形是正八边形， 两个正八边形各贡献条边，共， 正方形贡献条边， 总周长：． （2）解：设， 以为内角的正多边形的边数为， 以，为内角的正多边形的边数均为， 会标的外轮廓周长是． 根据题意可知与均为整数， 的值只能为，，，． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，当时，周长最大，此时会标的外轮廓周长是21． 【点睛】本题考查了正多边形的内角与边数的关系、代数表达式推导与整数解分析，掌握正多边形边数与内角的换算公式，以及通过代数表达式求最值的方法是解题的关键． 36．在中，，．点D、E分别在的边、上，连接，将沿折叠，交边于点F，且点与点C在直线的异侧． (1)如图①，则 ． (2)如图②，则 ． (3)如图③，设图②中的，．求的度数； (4)当的某条边与或垂直时，直接写出的度数． 【答案】(1)48 (2)222 (3) (4)或或 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得的度数； （2）根据四边形内角和定理可得的度数； （3）由（2）的结论可得，由折叠可得，由三角形内角和定理可得，两式相减，可得答案； （4）分六种情况：或或或或或，分别求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：由（2）知， ∴①， 由折叠知， ∵， ∴② ， ∴得：； （4）解：如图，当时， ∵， ∴， ∴， 由（3）知， ∴， 由折叠知， ∴ ； 如图，当时， 则； 如图，当时，不合题意； 如图，当时， ∵，，， ∴ ， ∴ ； 如图，当时， ∵，， ∴ ， 又∵，， ∴ ， ∴ ； 如图，当时，不合题意； 综上可知，的度数为或或． 【点睛】本题以直角三角形折叠为背景，核心依托三角形、四边形内角和定理与折叠的性质，通过角度转化求解角度差，小问4融入分类讨论思想，全面考查了几何角度计算的基本方法与逻辑推理能力，体现了“化归”与“分类”的几何解题思路． 37．【问题提出】 （1）如图1，从五边形的顶点出发，一共可以画______条对角线，将五边形分成______个三角形； 【问题探究】 （2）如图2，点在直线上，、是直线上方的两条射线，在的左侧，平分，，若，求的度数； 【问题解决】 （3）如图3，六边形是某公园的一块空地，，公园规划人员为美化公园环境，沿、、铺设了三条小路，将这块空地分割成四部分来种植不同的植物，若，平分，且．求小路与小路的夹角（即）的度数． 【答案】（1）2，3；（2）；（3） 【分析】本题考查多边形对角线与三角形分割规律、角平分线性质、角度和差运算及方程思想在几何角度问题中的应用，利用角的倍数关系、平分线性质建立方程或利用多边形规律是解题的关键。 （1）通过多边形从一个顶点出发的对角线数量规律和三角形分割规律，代入五边形边数即可得出结果； （2）通过角度的和差计算即可得出的度数； （3）通过设未知数表示角的倍数与平分关系，结合已知角建立方程，再利用角度和差运算整体代换，最终求出的度数； 【详解】解：（1）时， 从一个顶点出发的对角线数量为， 三角形分割数量为． （2）∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴，． ∵平分， ∴． 设，则，． ∵， ∴，解得， ∴， 故小路与小路的夹角（即）的度数为． 38．如图，四边形中，，平分，，交于点． (1)如图1，若， ①求证：； ②作平分，如图2，求证：． (2)如图3，作平分，在锐角内部作射线，交于，若的大小为，试说明：平分． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】（1）①根据多边形内角和可证得，结合，即可得到结论．②根据角平分线的定义可求得，结合，可证得，即可得到结论． （2）延长，交于点，可先证得，结合，，可求得． 【详解】（1）证明：①∵，， ∴． ∵， ∴． ②∵平分， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）延长，交于点，如图所示： ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴平分． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义、三角形的外角的性质、多边形内角和、平行线的判定，能根据题意构建辅助线是解题的关键． 试卷第2页，共34页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 多边形 题型一、多边形的周长问题 1．一个边长的正方形，把4个角各剪去边长的小正方形．那么它的周长（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．保持不变 2．在一个正五边形 的主题公园步道上，其总长度为 2000 米，小李和小张分别从 两点同时开启步行之旅，沿着步道的顺时针方向行进，小李的步行速度为每分钟 50 米，小张的步行速度为每分钟 46 米．请问，从出发开始计时，经过__________时间，小李和小张首次处于同一段步道上． 3．如图，已知六边形的6个内角均为，．试求这个六边形的周长． 4．旧版的一角硬币内是一个正多边形，下面是一张相关图片（尺寸未定）． (1)求该硬币内正多边形的内角和； (2)若其一边长为，求该正多边形的周长； (3)该正多边形共有___________条对角线． 题型二、多边形的内角和问题 5．若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 6．若一个多边形的内角和是三角形内角和的5倍，则这个多边形是（   ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 7．如图，在五边形中，分别平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．已知正x边形的内角和为，边长为2． (1)求正x边形的周长； (2)若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度数小，求n的值． 题型三、多边形外角和的应用 9．如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（ ） A．外角和减少 B．外角和增加 C．周长变大 D．周长变小 10．如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设与四边形的外角和的度数分别为α，β，则比较α与β的大小，结果正确的是（　　） A． B． C． D．无法比较 11．一机器人以的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为_____s． 12．如图1．嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度． (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是_________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且，求行程中珍珍身体转过的角度的和（即的值）． 题型一、多（少）算角问题 13．如图是两位学生在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们少加的内角的度数为____． 14．小马同学平时学习十分马虎，他在计算凸n边形的内角和时： (1)若少计算一个内角度数，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ (2)若某一内角多计算了一次，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ 15．看图回答问题： (1)内角和为，小明为什么说不可能？ (2)小华求的是几边形的内角和？ (3)错把外角当内角加一起的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？ 16．阅读小明和小红的对话，解决下列问题． (1)这个“多加的锐角”是__________度． (2)小明求的是几边形内角和？ (3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？ 题型二、多边形的对角线条数问题 17．从边形的一个顶点出发作对角线，最多可将此边形分成个三角形，则（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 18．从一个多边形的一个顶点出发能引5条对角线，则这个多边形的内角和为______°． 19．从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分成7个三角形，则这个n边形的对角线条数是________条． 20．（1）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则这个多边形是________边形． （2）从n边形的一个顶点出发作对角线，可以把这个n边形分成9个三角形，则n等于_______． 题型三、截角后的多边形内角和问题 21．如图所示，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形．求原多边形的边数． 22．已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 23．在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的2倍还大， (1)求这个多边形的边数； (2)若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？ 24．已知一个多边形的内角和与外角和相加等于． (1)求这个多边形的边数及对角线的条数． (2)这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形有______条边． 题型四、截角后的的多边形的边数 25．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 26．将一张正方形的纸片沿一条直线截下一个三角形后，剩下纸片的边数可能是___________． 27．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为______． 28．张明和李华的对话如图所示，请根据对话内容回答下列问题： (1)张明的说法正确吗？请说明理由； (2)张明得到的新多边形是几边形？ 29．如图，将大正方形的对角线分成条相等的线段，再以每一等份为一条对角线向外作一个小正方形．设大正方形的周长为，所有小正方形的周长之和为，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 30．如图，的度数为___________． 31．“剪纸”是我国一项传统民间艺术，现有一张正方形纸片，用剪刀沿着一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，沿着一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿着一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，…以此类推，为了得到7个十一边形和一些多边形纸片，则至少要剪_______ 刀． 32．将图1中周长为28的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为38的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为________． 33．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则______． 34．数学课上，老师给出一个新图形“整数四边形”的定义：若一个凸四边形的边长和面积均为整数，则称这样的凸四边形为整数四边形．例如，边长为整数的正方形和边长为整数的长方形都是整数四边形．一般四边形中也存在大量的整数四边形，围绕整数四边形的定义，同学们展开数学探究． (1)如图，四边形中，，，，，．博学小组认为这个四边形是一个整数四边形，请你判断这个结论是否正确，并说明理由； (2)创新小组受博学小组的启发，认为存在周长为36的整数四边形，请你画出周长为36，且只含有一个直角的两个不同的整数四边形，在所画图形中标注出各边的长度及直角，并直接写出四边形的面积． 35．如图①，作的平分线，并反向延长得到．分别以，，为内角作正多边形，且边长均为1．例如，若，以为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，是的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，如图②． (1)图②的外轮廓周长是_____． (2)若某协会在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，求会标的外轮廓周长． 36．在中，，．点D、E分别在的边、上，连接，将沿折叠，交边于点F，且点与点C在直线的异侧． (1)如图①，则 ． (2)如图②，则 ． (3)如图③，设图②中的，．求的度数； (4)当的某条边与或垂直时，直接写出的度数． 37．【问题提出】 （1）如图1，从五边形的顶点出发，一共可以画______条对角线，将五边形分成______个三角形； 【问题探究】 （2）如图2，点在直线上，、是直线上方的两条射线，在的左侧，平分，，若，求的度数； 【问题解决】 （3）如图3，六边形是某公园的一块空地，，公园规划人员为美化公园环境，沿、、铺设了三条小路，将这块空地分割成四部分来种植不同的植物，若，平分，且．求小路与小路的夹角（即）的度数． 38．如图，四边形中，，平分，，交于点． (1)如图1，若， ①求证：； ②作平分，如图2，求证：． (2)如图3，作平分，在锐角内部作射线，交于，若的大小为，试说明：平分． 试卷第2页，共34页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $