4.2 平行四边形及其性质（题型专练，2基础&3提升题型+培优）数学新教材浙教版八年级下册

4.2 平行四边形及其性质 题型一、利用平行线的性质求解 1．如图，在中，用直尺和圆规作的平分线交于点E，若，，则的长为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 2．如图，在中，、的平分线、分别与相交于点、，与相交于点，若，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 3．在面积为60的平行四边形中，过点A作垂直于直线于点E，作垂直于直线于点F．若，，则的值为（　　） A． B． C．或 D．或 4．如图，在中，，，，则______． 题型二、利用平行四边形的性质证明 5．如图，是的对角线，是直线上两点，且．求证：． 6．如图，在中，对角线，相交于点O，点、分别在，上，且．求证：． 7．如图，在中，点是的中点，连接．将沿翻折至，点的对应点，落在内．射线交于，与射线相交于．延长交于． (1)求证：； (2)连接，若，平分． ①求证：； ②若，求证：． 8．【初步探究】 （1）如图1，在中，，点为边上一点，连接，若点在的垂直平分线上，，则线段的长为___________． 【灵活应用】 （2）如图2，有一块形状为的街心花园，，垂足为点，，点是的中点，连接和是两条人行通道，设计人员现要在上的点处修建一个游客休息区，沿和拉两条彩灯，且．设计人员想知道与是否相等，请你帮助设计人员判断是否等于，并说明理由． 题型一、尺规作图背景下平行四边形 9．如图，在中，分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线分别交于点，交、于点、，求证：． 10．如图，在中，连接，． (1)尺规作图：在边上找一点E，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，求证：． 11．如图，在平行四边形中，交于． (1)尺规作图：过点作交于（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 12．如图，在中，． (1)用尺规完成以下基本作图：在上截取，使，交于点，连接；作的平分线交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：（请补全下面证明过程） 证明：四边形是在平行四边形 平分      又 ． 题型二、网格图背景下的平行四边形性质应用 13．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两端点A，B都在格点（网格线的交点）上． (1)在图1中画一个以为边的矩形；（要求：另外两个顶点也在格点上） (2)在图2中画一个以为对角线的平行四边形（非正方形）．（要求：另外两个顶点也在格点上） 14．如图，图①，图②都是由12个全等的小矩形构成的网格，每个小矩形较短的边长为1，每个小矩形的顶点称为格点．线段的端点在格点上． (1)在图①中画，使点C在格点上； (2)在图②中以为边画一个面积为10的平行四边形，且另外两个顶点在格点上． 15．作图题 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)在网格中画出； (2)线段的长为______的长为______ 16．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫敬格点图中A，C都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，点B是格点，点D是与网格线的交点，先画格点E，使于点A，且，再连，在上画点F，使； (2)在图2中，点G为格线上的非格点，先画线段中点，再画线段，使，且． 题型三、平行四边形的折叠问题 17．如下图，在中，对角线AC与BD相交于点E，，．将沿AC所在直线翻折到其原来所在的同一平面内，点B的对应点为点，AD交于点F，连接．    (1)求证：． (2)求的长． 18．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在平面上的点处，与交于点． (1)求证：； (2)若平行四边形的对角线与的交点为点，连接，求证：． 19．（1）如图①，的对角线，相交于点，直线过点，与，分别交于点，．求证：． （2）如图②，将沿过对角线交点的直线折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，与，分别交于点，．求证：． 20．综合与实践：数学中的折纸与作图 折纸的过程蕴含了大量的对称知识，我们可以获得很多相等的量，而利用尺规作图可以作出几何中的基本图形，构造出相等的量．某数学兴趣小组探究数学中的折纸与作图，认为可以利用尺规作图还原折纸过程，为此开展以下探究活动． 探究主题 平行四边形中的折纸与作图 探究素材 如图1，一张平行四边形纸片 折纸过程 如图2，将平行四边形纸片折叠，使得点与点重合，折痕交于点，交于点，点的对应点为． 探究问题 （1）在折纸过程中，图2中折痕与的位置关系是_____； （2）在折纸过程中，图2中与的数量关系是_____； （3）根据折纸过程，请你在图3中用无刻度的直尺和圆规还原整个折叠过程，即在平行四边形中画出折痕，以及四边形折叠后的四边形（保留作图痕迹，不写作法）． 21．如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 22．如图，在平面直角坐标系中，将放置在第一象限，且轴．直线从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，则的面积为（   ） A．10 B． C．5 D． 23．如图，在中，，，点E为上一动点，与相交于点G，，垂足为H，的延长线与相交于点F． (1)若，求的长； (2)当时，求的度数； (3)当点E在线段上运动时，试探究三者之间的数量关系． 24．如图平行四边形，对角线，交于点，的平分线交延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，连接; ①若，求平行四边形的面积； ②设，试求与满足的关系． 25．【问题发展】某数学兴趣小组查阅资料发现平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和，该性质被称为阿波罗尼奥斯定理． 【任务一】如图①，已知，求证：．下面是部分证明过程： 证明：如图①，分别过点作于点，交的延长线于点，易得，， 则，， 即 ． …… 请将证明过程补充完整； 【任务二】如图②，在中，是边上的中线，请你利用【任务一】的结论证明． 26．【感知】如图1，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，于点E，F．易证：（不需要证明）． (1)【探究】如图2，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．求证：． (2)【应用】如图3，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．连接，，若，的面积为1，则的面积为______，四边形的面积为______． 27．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，边上的 D 也是一个格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图， 每个任务的画线不得超过四条． (1)在图①中，先画点F 使四边形是平行四边形，设与相交于点 G ，再在上画出点 P ，使． (2)在图②中，在边上画出点 E ，使． (3)在图②中，在边点画点 H ，使值最小． 28．如图：的对角线交于点O．    (1)基础训练： 经过点O且与、分别相交于E、F．求证： (2)拓展变式 若将条件改为经过点O且与、的延长线分别相交于E、F，第（1）问的结论是否成立，请按题意画出图形，标注字母，并给予证明． (3)观察归纳 的对角线交于点O，直线是经过点O的任意一条直线，将的面积分为两部分，设四边形的面积为，四边形的面积为，则______．    (4)实践操作 你能否只画一条直线，将下图中两个平行四边形的面积同时平分，若能，请画出这条直线（用虚线画出辅助线）；若不能，请说明理由．    29．如图，在中，点是对角线，的交点，过点且垂直于． (1)求证：； (2)若，，则与之间的距离为____________； (3)若的周长是24，，则四边形的周长为____________． 30．问题情境：为了探究折纸过程中蕴含的数学知识，数学活动课上，老师发给每位同学完全相同的一张四边形纸片，如图． 探究实践1： 老师引导同学操作：把纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处．折痕为，再将，分别沿折叠，此时点C，D落在上的同一点R处，如图．老师让同学们探究： （1）的度数是 ． 探究实践2： 完成探究实践1后，老师发给每位同学完全相同的一张平行四边形的纸片，如图，在探究实践1的启发下，让同学自己动手折叠，看有什么发现，能提出什么问题．经过折叠、思考和讨论，小虎和小倩分享了自己的发现： （2）小虎发现：“如图，将平行四边形沿着BF（F为的中点）所在直线折叠，点C的对应点为，连接并延长交于点G，则与相等．” 请你判断小虎的结论是否正确，并说明理由． 试卷第2页，共44页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2 平行四边形及其性质 题型一、利用平行线的性质求解 1．如图，在中，用直尺和圆规作的平分线交于点E，若，，则的长为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】由作图可得，则为等腰三角形，由等腰三角形的性质可得，，结合勾股定理可得，由平行四边形的性质可得，结合平行线的性质得出，从而可得，即可得出结果． 【详解】解：由作图可得：， ∴为等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．如图，在中，、的平分线、分别与相交于点、，与相交于点，若，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线定义，推导出和均为等腰三角形，从而求出和的长，最后利用线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∴，． ∵平分，平分， ∴，． ∴，． ∴，． ∴． ． 3．在面积为60的平行四边形中，过点A作垂直于直线于点E，作垂直于直线于点F．若，，则的值为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题分两种情况讨论垂足位置，利用平行四边形面积公式求出高，再结合勾股定理计算线段长度，最后求出的值即可． 【详解】解：∵平行四边形的面积为，，， ∴， ∴，， ∵直线，直线， ∴， 由勾股定理得：，， 又∵，， 分两种情况计算：①当在延长线上，在延长线时： ，， ∴； ②当在边上，在延长线时： ，， ∴； 综上，的值为或． 4．如图，在中，，，，则______． 【答案】 【分析】结合平行四边形的性质，在中直接由勾股定理计算即可． 【详解】解：在中，，，， 则在中，． 题型二、利用平行四边形的性质证明 5．如图，是的对角线，是直线上两点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定．根据平行四边形的性质，可得，从而得到，进而得到，即可求证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴． 6．如图，在中，对角线，相交于点O，点、分别在，上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据平行四边形的性质得，根据平行线的性质得， ，然后证明，最后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 7．如图，在中，点是的中点，连接．将沿翻折至，点的对应点，落在内．射线交于，与射线相交于．延长交于． (1)求证：； (2)连接，若，平分． ①求证：； ②若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是根据平行四边形的性质与全等三角形的性质找边、角之间的关系． （1）因为四边形是平行四边形，所以，可得内错角相等；由折叠的性质得，得到，推出，因为点E是中点，所以，又由翻折知，所以；利用全等三角形的判定定理即可证明； （2）①因为，所以是等腰三角形，由翻折可得；因为平分，所以；再结合平行四边形的性质，可得角的关系，进而推出；②由（1）的全等可得相关线段相等，结合平行四边形的性质得到线段间的关系；再结合①中，利用勾股定理建立线段的等式，通过等量代换推导得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∴，即， ∵点E是中点， ∴， 由翻折知， ∴； ∵， ∴； （2）①证明：如图， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， 由翻折可得，，即， ∵平分， ∴； ∵在中，， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由①知， ∴， ∴， ∴， ∵点E是中点， ∴，， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，即， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．【初步探究】 （1）如图1，在中，，点为边上一点，连接，若点在的垂直平分线上，，则线段的长为___________． 【灵活应用】 （2）如图2，有一块形状为的街心花园，，垂足为点，，点是的中点，连接和是两条人行通道，设计人员现要在上的点处修建一个游客休息区，沿和拉两条彩灯，且．设计人员想知道与是否相等，请你帮助设计人员判断是否等于，并说明理由． 【答案】（1）2；（2），理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，进而得到，从而得到，继而得到，即可求解； （2）在上取点H，使，证明，可得，从而得到，再证明，即可解答． 【详解】解：（1）∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：2； （2）如图，在上取点H，使， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴． 题型一、尺规作图背景下平行四边形 9．如图，在中，分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线分别交于点，交、于点、，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质、线段垂直平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质．首先根据平行四边形对边平行的性质得到内错角相等；再由尺规作图的步骤可知直线垂直平分线段，得到；最后结合对顶角相等，利用“角边角”证明，根据全等三角形对应边相等的性质即可证得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 由尺规作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴； 又∵， ∴， ∴． 10．如图，在中，连接，． (1)尺规作图：在边上找一点E，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）方法一（垂直平分线法）作线段的垂直平分线，与的交点即为其中点．这是最直接的方法，利用了“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”的性质．方法二（构造等腰三角形法）通过构造等腰三角形得到等角关系，利用直角三角形斜边中线性质，确定为中点，从而满足．方法三（延长构造法）延长至，使，连接交于．利用平行四边形和全等三角形的性质，可以证明是的中点． （2）解法一：由是中点及直角三角形斜边中线性质，得．结合，判定为等边三角形，得．由及，算出．利用平角，计算，证得结论．解法二：由平行四边形性质及，得，推出．用证明．由全等三角形对应角相等，得，从而证得结论． 【详解】（1）解：解法一，如图①，点E即为所求作 方法一：分别以点和点为圆心，用大于的长度为半径，在线段的两侧画弧，两弧分别相交于两点；连接这两个交点，得到的直线这条垂直平分线与线段的交点，就是的中点；连接，则点即为所求； ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴，即，为直角三角形． ∵是的中点（由垂直平分线作图得到）， 在中，斜边中线． ∴． 解法二，如图②，点E即为所求作． 方法二：以为圆心，任意长为半径画弧，交、于两点；再以为圆心，相同长度为半径画弧，交于一点；然后以该交点为圆心，截取两弧之间的距离，画弧交前弧于一点，连接与该交点并延长，交于，即为所求； ， ， 是平行四边形， ，， 又， ， 即，即， 在中 ， ， ， ， 即E是中点， 在中，E是中点 解法三，如图③，点E即为所求作． 方法三：延长线段，以为圆心，长为半径画弧，交延长线于点，此时，连接，交于点，这个点即为所求． ∵是平行四边形， ∴且，． ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵平行四边形的性质，对角线互相平分， ∴是的中点，即． ∵为直角三角形中， ∴是斜边的中线， 所以． ∴， （2）证明：解法一，如图④， ∵在中，E是的中点， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴，即． 解法二，如图④， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，即． 11．如图，在平行四边形中，交于． (1)尺规作图：过点作交于（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，作垂线，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干要求，以点C为圆心，以适当长度为半径画弧交于于，再以点为圆心，以大于为半径画弧交于一点Q，再连接，此时与的交点为点，即可作答． （2）先根据平行四边形的性质得，，再运用证明，则，即可作答． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ． 由（1）得， ， ． 在与中， ． ∴， 12．如图，在中，． (1)用尺规完成以下基本作图：在上截取，使，交于点，连接；作的平分线交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：（请补全下面证明过程） 证明：四边形是在平行四边形 平分      又 ． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】（1）按照要求作图即可； （2）四边形在是平行四边形，则，，由平分得到，又由，得到，则，得到，由，，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示， （2）证明：∵四边形在是平行四边形， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，，， 题型二、网格图背景下的平行四边形性质应用 13．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两端点A，B都在格点（网格线的交点）上． (1)在图1中画一个以为边的矩形；（要求：另外两个顶点也在格点上） (2)在图2中画一个以为对角线的平行四边形（非正方形）．（要求：另外两个顶点也在格点上） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据矩形的性质画出图形即可； （2）根据平行四边形的性质画出图形即可． 【详解】（1）解：如图，矩形即为所求，答案不唯一． （2）解：如图，平行四边即为所求，答案不唯一． 14．如图，图①，图②都是由12个全等的小矩形构成的网格，每个小矩形较短的边长为1，每个小矩形的顶点称为格点．线段的端点在格点上． (1)在图①中画，使点C在格点上； (2)在图②中以为边画一个面积为10的平行四边形，且另外两个顶点在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了网格作图．熟练掌握等腰直角三角形性质，直角三角形性质，平行四边形性质，是解题的关键． （1）利用勾股定理构造等腰直角三角形，使，则底角； （2）利用勾股定理构造高，，平移到，由，得到． 【详解】（1）取点C，使，，连接，即为所求作； （2）取点E，使，，把平移到，连接，，四边形即为所求作的平行四边形． 15．作图题 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)在网格中画出； (2)线段的长为______的长为______ 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了作图，网格作平行四边形，平行四边形性质，勾股定理等知识． （1）根据平行四边形性质作图即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）， ， 故答案为：，． 16．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫敬格点图中A，C都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，点B是格点，点D是与网格线的交点，先画格点E，使于点A，且，再连，在上画点F，使； (2)在图2中，点G为格线上的非格点，先画线段中点，再画线段，使，且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理、矩形的性质等知识，充分利用网格的特点是作图的关键． （1）利用网格的特点和把线段逆时针旋转作出线段，再取格点K，连接、，设交格线与点Q，连接，交于点F，则； （2）利用网格的特点作网格线的中点J、K，作直线交于点H，则点H即为线段中点，取的中点O，连接交格线于点P，连接，则即为所求． 【详解】（1）解：如图所示， （2）如图所示，点H和即为所求，    题型三、平行四边形的折叠问题 17．如下图，在中，对角线AC与BD相交于点E，，．将沿AC所在直线翻折到其原来所在的同一平面内，点B的对应点为点，AD交于点F，连接．    (1)求证：． (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用折叠性质得角相等，结合平行四边形对边平行的性质，推出等腰三角形，从而证得线段相等； （2）利用平行四边形对角线平分、折叠的角度与边长不变性，推导出等腰直角三角形，进而求边长． 【详解】（1）证明：由折叠的性质，得． ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∴， ∴． （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴． 根据折叠的性质，得，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的判定与性质，掌握利用折叠和平行四边形的性质推导角与边的关系，结合等腰直角三角形的性质计算边长是解题的关键． 18．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在平面上的点处，与交于点． (1)求证：； (2)若平行四边形的对角线与的交点为点，连接，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由折叠得，，由四边形是平行四边形得，，即可得，，结合对顶角即可证明； （2）由得，由平行四边形的对角线与的交点为点得为中点，由等腰三角形三线合一可得为中边上的高，即可证明． 【详解】（1）证明：由折叠得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵平行四边形的对角线与的交点为点， ∴为中点， ∴为中边上的高， ∴． 【点睛】折叠的本质是轴对称变换，折叠前后的图形关于折痕成轴对称，因此对应边相等、对应角相等，这一性质是解决此类折叠问题的核心依据． 19．（1）如图①，的对角线，相交于点，直线过点，与，分别交于点，．求证：． （2）如图②，将沿过对角线交点的直线折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，与，分别交于点，．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用平行四边形对角线互相平分、对边平行的性质，得到线段和角的相等关系，证明三角形全等，从而推出； （2）结合第一问的结论与折叠的性质，得到线段相等，再通过平行四边形的角的关系，证明另一组三角形全等，进而推出． 【详解】证明：（1）四边形为平行四边形， ，， ． 在和中： ， ． 证明：（2）由（1）知，． 由折叠的性质可知，，， ，． ， ， ． 在和中： ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质与全等三角形的判定，掌握平行四边形的性质、折叠的线段与角的对应关系，及全等三角形的判定方法是解题的关键． 20．综合与实践：数学中的折纸与作图 折纸的过程蕴含了大量的对称知识，我们可以获得很多相等的量，而利用尺规作图可以作出几何中的基本图形，构造出相等的量．某数学兴趣小组探究数学中的折纸与作图，认为可以利用尺规作图还原折纸过程，为此开展以下探究活动． 探究主题 平行四边形中的折纸与作图 探究素材 如图1，一张平行四边形纸片 折纸过程 如图2，将平行四边形纸片折叠，使得点与点重合，折痕交于点，交于点，点的对应点为． 探究问题 （1）在折纸过程中，图2中折痕与的位置关系是_____； （2）在折纸过程中，图2中与的数量关系是_____； （3）根据折纸过程，请你在图3中用无刻度的直尺和圆规还原整个折叠过程，即在平行四边形中画出折痕，以及四边形折叠后的四边形（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）垂直；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查轴对称，折叠的性质，尺规作垂线的方法，掌握轴对称，折叠的性质是关键． （1）根据折叠，轴对称图形的性质即可求解； （2）根据折叠得到，根据平行四边形的性质得到，则，由此即可求解； （3）根据尺规作垂直的方法作图即可． 【详解】解：（1）∵折叠，点重合，即成轴对称图形， ∴线段与折痕相互垂直， 故答案为：垂直； （2）∵折叠， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）根据（1），（2）可得，，且平分， ∵折叠， ∴，， ∴，且平分，折痕所在直线， ∴如图所示， 连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点， 连接交于点， 以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接， ∴四边形即为四边形关于折痕折叠后的图形． 21．如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的性质和垂直平分线的判定的知识，掌握以上知识是解题的关键． 本题先证得是等边三角形，由等边三角形的性质得出，，求得，即，即可得到，可以判断①正确；依据，，可得②正确；假设③正确，那么，即，那么不能构成，可判断③错误； 根据点是的中点，点是的中点，进而得出是的中位线，则可得出，可判断④正确；然后即可求解． 【详解】解：在中， ，，平分，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ∵，， ∴， ∴平分， 故②正确，符合题意； 已知：，， 假设③正确，那么， 即，那么不能构成， ∴③错误，不符合题意； ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴垂直平分， 故④正确，符合题意； 综上所述，正确的为①②④， 故选：D． 22．如图，在平面直角坐标系中，将放置在第一象限，且轴．直线从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，则的面积为（   ） A．10 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】先从函数图象获取直线平移距离与平行四边形顶点的关系，得出的长度；当直线经过点D时，设直线交于点E，交x轴于点N，交y轴于点M，作于点F，再利用直线的性质，结合此时截得的线段长度，利用勾股定理求出平行四边形的高，最后根据平行四边形面积公式计算面积． 【详解】解：由图象可知，直线经过点A时移动的距离为3，经过点D时移动的距离为7，经过点B时移动的距离为8， ∴， 如图，当直线经过点D时，设直线交于点E，交x轴于点N，交y轴于点M，作于点F， 则此时直线的表达式为， 令，则；令，则， ∴，，即， ∵， ∴， 又∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 由图2可知， ∴， ∴． 23．如图，在中，，，点E为上一动点，与相交于点G，，垂足为H，的延长线与相交于点F． (1)若，求的长； (2)当时，求的度数； (3)当点E在线段上运动时，试探究三者之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及角度计算，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出，得到是等腰直角三角形，求出，即可得到答案； （2）利用等腰直角三角形以及平行四边形的性质求出，根据求出，再根据算出，最后由算出答案即可； （3）延长交的延长线于点P，根据得到，证明，根据全等三角形的性质证明，证明，得到，再根据即可得到结论； 【详解】（1）解：， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形， ； （2）解：， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图，延长交的延长线于点P， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 又， ， ， ， ． 24．如图平行四边形，对角线，交于点，的平分线交延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，连接; ①若，求平行四边形的面积； ②设，试求与满足的关系． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】（1）由平行四边形的性质、角平分线及等边三角形的判定即可证明； （2）①由，得为等边三角形．由得点C是的中点，即；再由勾股定理求得，即可求得平行四边形的面积； ②证为等边三角形，再证明，则有，从而得，由此即可求得m与k的关系． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴． ∴， ∵平分， ∴． ∴． ∴． （2）解：①∵， ∴为等边三角形． ∵， ∴， ∴． 在中，， 由勾股定理得：，即， ∴． ∴平行四边形的面积为． ②∵为等边三角形，， ∴， ∴为等边三角形． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵ ， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握这些知识是关键． 25．【问题发展】某数学兴趣小组查阅资料发现平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和，该性质被称为阿波罗尼奥斯定理． 【任务一】如图①，已知，求证：．下面是部分证明过程： 证明：如图①，分别过点作于点，交的延长线于点，易得，， 则，， 即 ． …… 请将证明过程补充完整； 【任务二】如图②，在中，是边上的中线，请你利用【任务一】的结论证明． 【答案】【任务一】：见解析；【任务二】：见解析 【分析】任务一：作适当辅助线，利用勾股定理补充证明即可； 任务二：延长至点，使得，连接，，构造平行四边形，由（1）的结论代入求值即可． 【详解】任务一： 解：补充证明过程如下： 原式 ， ． 任务二： 证明：如答图，延长至点，使得，连接，． 是边上的中线， ． ， 四边形是平行四边形． 由（1），得， ， ， ． 26．【感知】如图1，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，于点E，F．易证：（不需要证明）． (1)【探究】如图2，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．求证：． (2)【应用】如图3，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．连接，，若，的面积为1，则的面积为______，四边形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)3，12 【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，证得，进而得到； （2）根据题意易得，进而得到，由（1）知，则，同理可得，再利用解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形 、 在和中 ； （2）解：、 由（1）知 同理可得 故答案为：3；12． 27．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，边上的 D 也是一个格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图， 每个任务的画线不得超过四条． (1)在图①中，先画点F 使四边形是平行四边形，设与相交于点 G ，再在上画出点 P ，使． (2)在图②中，在边上画出点 E ，使． (3)在图②中，在边点画点 H ，使值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、等腰直角三角形、平行四边形的判定与性质、轴对称-最短路线问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合平行四边形的判定与性质，在点B的上方取点F，使且，则点F即为所求．过点D作的平行线，交于点P，则点P即为所求． （2）在的右侧作，使且，连接交于点E，则点E即为所求． （3）在点C的下方取点G，使，过点G作的平行线，再过点D作的垂线，交于点N，连接交于点H，则点H即为所求． 【详解】（1）解：如图①，在点B的上方取点F，使且， 则四边形是平行四边形， 则点F即为所求． 过点D作的平行线，交于点P， 则点P即为所求． （2）解：如图②，在的右侧作，使且，连接交于点E， 此时为等腰直角三角形， 则， 即， 则点E即为所求． （3）解：如图②，在点C的下方取点G，使，过点G作的平行线，再过点D作的垂线，交于点N，连接交于点H，连接， 此时点D与点N关于对称， ∴，为最小值， 则点H即为所求． 28．如图：的对角线交于点O．    (1)基础训练： 经过点O且与、分别相交于E、F．求证： (2)拓展变式 若将条件改为经过点O且与、的延长线分别相交于E、F，第（1）问的结论是否成立，请按题意画出图形，标注字母，并给予证明． (3)观察归纳 的对角线交于点O，直线是经过点O的任意一条直线，将的面积分为两部分，设四边形的面积为，四边形的面积为，则______．    (4)实践操作 你能否只画一条直线，将下图中两个平行四边形的面积同时平分，若能，请画出这条直线（用虚线画出辅助线）；若不能，请说明理由．    【答案】(1)见解析 (2)成立，图和证明见解析 (3) (4)见解析 【分析】（1）利用平行四边形的性质证明，可得； （2）画出图形，同（1）的方法证明即可； （3）根据全等三角形的性质得到，，等量代换可得，即可证明； （4）分别找出两个平行四边形对角线的交点，再连接即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）成立，理由是： 在中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；    （3）同（1）可证：，， ∴，， ∴， ， ∴； 故答案为：； （4）能，如图，直线即为所求．    【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用平行四边形的性质得到线段，面积之间的关系． 29．如图，在中，点是对角线，的交点，过点且垂直于． (1)求证：； (2)若，，则与之间的距离为____________； (3)若的周长是24，，则四边形的周长为____________． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)16 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定等，解题的关键是证明． （1）先由平行四边形的性质得到，，则，，即可证明得到； （2）由三角形面积公式可得，据此求解即可； （3）由（1）的结论知，，再利用四边形周长公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，O是与的交点， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，O是与的交点， ∴， ∴， ∵过点且垂直于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即与之间的距离为4， 故答案为：4； （3）解：∵四边形是平行四边形，周长是24， ∴， ∵， ∴， 由（1）的结论知， ∴四边形的周长为， 故答案为：16． 30．问题情境：为了探究折纸过程中蕴含的数学知识，数学活动课上，老师发给每位同学完全相同的一张四边形纸片，如图． 探究实践1： 老师引导同学操作：把纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处．折痕为，再将，分别沿折叠，此时点C，D落在上的同一点R处，如图．老师让同学们探究： （1）的度数是 ． 探究实践2： 完成探究实践1后，老师发给每位同学完全相同的一张平行四边形的纸片，如图，在探究实践1的启发下，让同学自己动手折叠，看有什么发现，能提出什么问题．经过折叠、思考和讨论，小虎和小倩分享了自己的发现： （2）小虎发现：“如图，将平行四边形沿着BF（F为的中点）所在直线折叠，点C的对应点为，连接并延长交于点G，则与相等．” 请你判断小虎的结论是否正确，并说明理由． 【答案】（1）；（2）小虎的结论正确，见解析 【分析】本题主要考查折叠的性质，平行四边形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据折叠的性质得到，再由平角的定义即可求解； （2）根据折叠的性质得出，再由平行四边形的判定和性质得出四边形为平行四边形，，即可证明； 【详解】（1）解：由折叠得： ∴故答案为： （2）小虎的结论正确，理由如下： ∵将沿着所在直线折叠，点C的对应点为， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴． 试卷第2页，共44页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $