第三单元 因数与倍数（期中知识清单）五年级数学下学期（苏教版）

苏教版 第三单元 因数与倍数（知识清单） 适用对象：苏教版小学五年级下册数学 核心目标：理解因数、倍数、质数、合数等核心概念，掌握2、3、5的倍数特征，能熟练找出一个数的因数与倍数、两个数的公因数与公倍数，会分解质因数，能运用相关知识解决实际问题，建立数论思维基础 知识框架：核心概念→基础知识点→重难点突破→易错点点拨→典型例题→真题小练→学习锦囊 一、核心概念（理解本质·夯实基础） 概念 定义 关键特征/注意事项 因数与倍数 若整数a（a≠0）乘整数b（b≠0）等于c（c为整数），则a和b是c的因数，c是a和b的倍数 研究范围为非0自然数；因数与倍数相互依存，不能单独说某数是因数或倍数 质数（素数） 只有1和它本身两个因数的非0自然数 最小质数是2（唯一偶质数），1不是质数 合数 除了1和它本身还有其他因数的非0自然数 最小合数是4；合数至少有3个因数 奇数 不是2的倍数的非0自然数 个位为1、3、5、7、9；最小奇数是1 偶数 是2的倍数的非0自然数 个位为0、2、4、6、8；最小偶数是2，0是偶数 质因数 既是一个数的因数，又是质数的数 质因数必须是质数，不是合数或1 分解质因数 把一个合数用质数相乘的形式表示出来 结果中只能含质数，不能含1或合数 公因数 几个数公有的因数 公因数的个数是有限的，最小公因数是1 最大公因数 几个数公有的因数中最大的一个 用符号“（a,b）”表示a和b的最大公因数 公倍数 几个数公有的倍数 公倍数的个数是无限的，没有最大公倍数 最小公倍数 几个数公有的倍数中最小的一个 用符号“[a,b]”表示a和b的最小公倍数 二、基础知识点（精梳细理·全面掌握） 1. 因数与倍数的求法 （1）找一个数的因数 方法：① 列乘法算式（从1开始，成对列举积为该数的算式，不重复不遗漏）；② 列除法算式（用该数依次除以1、2、3……，商为整数且无余数时，除数和商都是因数）。 特征：一个数的因数个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身。 示例：找18的因数→乘法算式：1×18=18、2×9=18、3×6=18，因数有1、2、3、6、9、18；除法算式：18÷1=18、18÷2=9、18÷3=6，因数有1、2、3、6、9、18。 （2）找一个数的倍数 方法：用该数依次乘1、2、3……，所得的积都是该数的倍数。 特征：一个数的倍数个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 示例：找3的倍数→3×1=3、3×2=6、3×3=9……，倍数有3、6、9、12……（用省略号表示无限）。 2. 2、3、5的倍数特征（必考） 倍数类型 核心特征 示例 2的倍数 个位上是0、2、4、6、8 12、30、58、74 5的倍数 个位上是0或5 15、40、65、90 3的倍数 各位上数字的和是3的倍数 12（1+2=3）、45（4+5=9）、78（7+8=15） 既是2又是5的倍数 个位上是0 20、50、100、360 既是2、3又是5的倍数 个位上是0，且各位数字和是3的倍数 30、60、120、270 3. 质数与合数的判断 （1）判断方法 质数：只有1和它本身两个因数，不能被其他数整除（除了1和它本身）。 合数：除了1和它本身，还能被其他数整除（至少有3个因数）。 特殊情况：1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内质数表（必背） 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97（共25个）。 4. 分解质因数的方法 （1）短除法（常用） 步骤：① 用最小的质数（2、3、5……）去除合数；② 除到商是质数为止；③ 把所有除数和最后的商写成连乘形式。 示例：分解30→用2除30得15，用3除15得5（质数），所以30=2×3×5。 （2）列举法 步骤：把合数写成两个数相乘的形式，再把其中的合数继续分解，直到所有因数都是质数。 示例：分解28→28=4×7，4=2×2，所以28=2×2×7。 5. 公因数与最大公因数的求法 （1）列举法 步骤：① 分别列出两个数的所有因数；② 找出公有的因数；③ 其中最大的就是最大公因数。 示例：找8和12的最大公因数→8的因数：1、2、4、8；12的因数：1、2、3、4、6、12；公因数：1、2、4；最大公因数：4。 （2）短除法 步骤：① 用两个数公有的质数去除（从最小质数开始）；② 除到两个商只有公因数1为止；③ 把所有除数相乘，积就是最大公因数。 示例：找18和24的最大公因数→用2除得9和12，用3除得3和4（只有公因数1），最大公因数=2×3=6。 6. 公倍数与最小公倍数的求法 （1）列举法 步骤：① 分别列出两个数的若干个倍数；② 找出公有的倍数；③ 其中最小的就是最小公倍数。 示例：找6和9的最小公倍数→6的倍数：6、12、18、24、30、36……；9的倍数：9、18、27、36、45……；公倍数：18、36……；最小公倍数：18。 （2）短除法 步骤：① 用两个数公有的质数去除（从最小质数开始）；② 除到两个商只有公因数1为止；③ 把所有除数和最后的商相乘，积就是最小公倍数。 示例：找12和18的最小公倍数→用2除得6和9，用3除得2和3（只有公因数1），最小公倍数=2×3×2×3=36。 7. 特殊数的最大公因数与最小公倍数 数的关系 最大公因数 最小公倍数 示例 互质数（只有公因数1） 1 两数的乘积 3和5→最大公因数1，最小公倍数15 倍数关系（大数是小数的倍数） 较小数 较大数 6和12→最大公因数6，最小公倍数12 一般关系 用短除法或列举法求 用短除法或列举法求 8和15→最大公因数1，最小公倍数120 三、重难点突破（抓关键·破瓶颈） 重点1：因数与倍数的相互依存关系 关键：不能单独说“12是倍数” “3是因数”，必须说“12是3的倍数” “3是12的因数”，强调相互依存，缺一不可。 示例：判断“5是因数，25是倍数”→错误，应表述为“5是25的因数，25是5的倍数”。 重点2：2、3、5的倍数特征综合应用 关键：① 判断同时是2和5的倍数，优先看个位是否为0；② 判断3的倍数，重点计算各位数字之和，与个位无关。 示例：找出100以内同时是2、3、5的倍数的数→个位是0，且各位和是3的倍数，即30、60、90。 重点3：分解质因数的规范书写 关键：结果必须是质数相乘的形式，不能包含1或合数，书写时按质数从小到大的顺序排列。 示例：分解12→正确：12=2×2×3；错误：12=4×3（4是合数）、12=1×2×2×3（包含1）。 难点1：互质数的判断 突破：常见互质数类型① 1和任何非0自然数（如1和7）；② 两个不同的质数（如2和5）；③ 相邻的两个自然数（如8和9）；④ 一个质数和一个合数（合数不是质数的倍数，如3和8）。 示例：判断14和15是否为互质数→14的因数：1、2、7、14；15的因数：1、3、5、15；只有公因数1，是互质数。 难点2：最大公因数与最小公倍数的实际应用 突破：① 求“最多能分成多少组” “最大边长”等问题，用最大公因数；② 求“至少需要多少个” “最小周期” “下次同时发生的时间”等问题，用最小公倍数。 示例：把长15厘米、宽9厘米的长方形纸裁成同样大的正方形（无剩余），正方形最大边长是多少→求15和9的最大公因数，即3厘米。 四、易错点点拨（避陷阱·少失分） 1.混淆“因数”与“质因数” 错：认为“6是12的质因数”（6是合数，不是质数）。 对：质因数必须是质数，12的质因数是2和3，6是12的因数但不是质因数。 2.忽略“非0自然数”的研究范围 错：认为“0是3的倍数” “0有因数”。 对：研究因数与倍数时，所说的数特指非0自然数，0不在研究范围内。 3.分解质因数时包含1或合数 错：分解18=1×2×3×3（包含1）、20=4×5（4是合数）。 对：分解质因数结果只能是质数相乘，18=2×3×3，20=2×2×5。 4.判断质数时误将1归为质数 错：认为“1是质数”（1只有1个因数）。 对：质数必须有2个因数（1和它本身），1既不是质数也不是合数。 5.求最小公倍数时漏乘最后的商 错：用短除法求12和18的最小公倍数，只乘除数2×3=6（漏乘最后的商2和3）。 对：最小公倍数=除数×最后的商，即2×3×2×3=36。 6.偶数一定是合数的错误认知 错：认为“所有偶数都是合数”（2是偶数但不是合数）。 对：2是最小的质数，也是唯一的偶质数，偶数中只有2是质数，其余偶数（0除外）都是合数。 五、典型例题（课本原型·精讲精练） 例1：因数与倍数的判断（课本P30） 题目：根据4×3=12，说说哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数。 思路：因数与倍数相互依存，积是乘数的倍数，乘数是积的因数。 解答：4和3是12的因数，12是4和3的倍数。 点拨：不能单独说4是因数、12是倍数，必须明确相互关系。 例2：2、3、5的倍数特征应用（课本P32） 题目：从0、5、6、7中选出3个数字，组成是3的倍数的三位数，能组成多少个？ 思路：先找出数字和是3的倍数的组合，再组成三位数（0不能在首位）。 解答：数字组合① 0、5、7（5+7+0=12，是3的倍数），组成三位数：507、570、705、750；② 5、6、7（5+6+7=18，是3的倍数），组成三位数：567、576、657、675、756、765；共10个。 点拨：组合数字时，先满足3的倍数特征，再考虑0的位置限制。 例3：分解质因数（课本P38） 题目：用短除法把30分解质因数。 思路：用最小质数依次去除，直到商是质数。 解答： 30=2×3×5 点拨：短除法中，除数必须是质数，最后的商也必须是质数。 例4：最大公因数的实际应用（课本P45） 题目：把一张长15厘米、宽9厘米的长方形纸裁成同样大的正方形（纸无剩余），裁出的正方形边长最大是多少厘米？一共可以裁出多少个这样的正方形？ 思路：正方形边长最大是长和宽的最大公因数，再用长方形面积除以正方形面积得个数。 解答：① 求15和9的最大公因数→3厘米；② 长方形面积=15×9=135（平方厘米），正方形面积=3×3=9（平方厘米）；③ 个数=135÷9=15（个）。 答：裁出的正方形边长最大是3厘米，一共可以裁出15个。 例5：最小公倍数的实际应用（课本P46） 题目：1路和2路公共汽车早上7时同时从起始站发车，1路车每6分钟发一辆，2路车每8分钟发一辆，这两路车第二次同时发车的时间是几时几分？ 思路：第二次同时发车时间是6和8的最小公倍数对应的分钟数，加上起始时间。 解答：① 求6和8的最小公倍数→24分钟；② 7时+24分=7时24分。 答：第二次同时发车的时间是7时24分。 六、学习锦囊（巧学妙记·提分快） 1. 核心口诀 因数倍数相互依，非0自然数是范围； 因数有限找成对，倍数无限乘1起； 2的倍数看个位，0、2、4、6、8来归； 5的倍数个位0或5，3的倍数看和对； 质数只有1和己，合数至少3个意； 分解质因数，质数相乘要牢记； 公因数找最大，公倍数找最小； 互质关系积为倍，倍数关系大是倍。 2. 解题小技巧 找因数：成对列举，从1和本身开始，避免重复遗漏； 判倍数：先看个位（2、5的倍数），再算数字和（3的倍数），综合判断更快捷； 分解质因数：短除法最简便，除数从小到大，商为质数停笔； 求最大公因数/最小公倍数：优先判断数的关系（互质、倍数），再用短除法，提高效率； 实际应用：先判断是求最大公因数（均分无剩余、最大边长）还是最小公倍数（至少需要、同时发生），再列式计算。 3. 课后实践建议 1.制作“100以内质数表”卡片，每天记忆5个，熟练掌握； 2.整理错题本，重点记录“质因数判断错误” “最大公因数与最小公倍数混淆” “实际应用审题错误”等题型，标注错因； 3.生活中找应用：如整理书本时按“最大公因数”分堆，安排活动时用“最小公倍数”算下次同时参与的时间，巩固知识点。 七、真题小练（实战演练·当堂过关） 基础题 1．如果a÷5＝b，（且a和b是不为0的自然数），那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 2．182至少加上( )，才是3的倍数；至少减去( )，才是5的倍数。 3．航模比赛前设置了公平性抽选环节，系统随机抽取1——9中的一个数字，抽到奇数则淘气先开赛，抽到偶数则笑笑先开赛。这个游戏规则( )，理由是：( )。（第一空填“公平”或“不公平”） 4．m，n是两个非零自然数。 (1)如果m＝7n，那么m和n的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 (2)如果m＝n＋1，那么m和n的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 5．自然数A、B、C，A＞B＞C。如果A除以5余3，B除以5余2，C除以5余1，那么（A＋B）与5的最大公因数是( )；（A－C）除以5余数可能是( )。 6．已知a，b是两个非零自然数，若a是b的3倍，则a和b的最小公倍数是( )；若a－1＝b，则a和b的最大公因数是( )。 提升题 7．小宇用AI画板画出的三角形中，有两条边的长度分别是7厘米和2厘米，第三条边的长度数值是一个质数（单位：厘米）。那么小宇画的这个三角形是一个（    ）三角形。 A．等腰 B．等边 C．直角 8．用3、5、7三个数字组成的三位数，（    ）。 A．不一定是3的倍数 B．不可能是25的倍数 C．一定不是5的倍数 D．一定是3的倍数 9．下列说法错误的是（    ）。 A．最小的合数是4 B．最小的质数是3 C．1既不是质数也不是合数 10．如果a是一个不为0的自然数，那么a和的最小公倍数是它们最大公因数的（    ）倍。 A．a B． C． D．1 11．用0、3、6、9四个数字组成一个四位数，这个四位数既是2的倍数，又有因数5。这样的四位数一共有（    ）个。 A．3 B．6 C．12 D．24 拓展题 12．在某次活动中，灯光师准备在舞台四周等距离地安装一些彩灯。如果舞台长12米，宽8米，那么至少要装几盏彩灯？ 13．公路一边共有梧桐树28棵（两端都有），每相邻两棵之间的距离原来都是8米，现在因树显得较密，要改成12米的间隔。如果起点的树不动，那么不需要移动的树共有多少棵？ 14．如图，李村村委会为了方便村民出行，打算在村中路和村东路的一侧安装路灯（点A、B、C处均安装），每两盏路灯之间距离相等。村委会至少要安装多少盏路灯？ 15．小张用长6厘米，宽4厘米的小长方形拼成了一个大的正方形，这个正方形的边长至少是多少厘米？一共要多少张小长方形才能拼成这个大正方形？ 16．公路处要对老街AB、BC进行亮化改造，装上一些路灯。要求每相邻两盏灯之间的距离相等，并且A点、B点、C点以及AB中点、BC中点处各装一盏灯。这两条老街一侧最少要装多少盏路灯？ 17．为了搞好城市绿化，工人们在火车站和商场之间的公路两侧栽了72棵梧桐树（两端都栽），每相邻两棵树的间距是3米，现在为了不影响树的生长，如果把间距调整为5米，那么有多少棵树不需要移动位置？ 18．淮安小学第十九届体艺文化节于2024年5月9日成功开幕。运动场外围一圈大约200米，原计划每4米一面彩旗，后来因部分彩旗破损，临时改成每5米一面彩旗。请计算一下，无需移动的彩旗一共有多少面？ 参考答案 1． b a 分析：根据a÷5＝b可知：a是b的5倍，存在倍数关系的两个数，它们的最大公因数是两个数中的较小数，最小公倍数是两个数中的较大数，据此解答。 详解：如果a÷5＝b，（且a和b是不为0的自然数），那么a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a。 2． 1 2 分析：3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数；5的倍数特征：末尾数字是0或5的数是5的倍数，据此解答即可。 详解：1＋8＋2＝11， 距离11最近且比11大的3的倍数是12，12－11＝1，则182至少要加上1才是3的倍数； 距离182最近且比182小的5的倍数是180，182－180＝2，则至少要减去2才是5的倍数。 3． 不公平 因为1~9中奇数有5个，偶数有4个，5＞4，抽到奇数的可能性大于抽到偶数的可能性，所以游戏不公平。 分析：不能被2整除的数叫做奇数；能被2整除的数叫做偶数；据此求出1~9中的奇数个数和偶数个数。 游戏规则的公平性就是指对游戏的双方来说，机会是均等的，也就是双方获胜的可能性的大小相等。确定一个游戏是否公平，要先找出事件发生的所有可能，然后看对于游戏双方，获胜的可能性是否相同。若相同，则游戏规则公平；若不相同，则游戏规则不公平。 详解：1~9中，奇数有：1，3，5，7，9，一共有5个； 偶数有：2，4，6，8，一共有4个。 因为1~9中奇数有5个，偶数有4个，5＞4，抽到奇数的可能性大于抽到偶数的可能性，所以游戏不公平。 航模比赛前设置了公平性抽选环节，系统随机抽取1~9中的一个数字，抽到奇数则淘气先开赛，抽到偶数则笑笑先开赛。这个游戏规则不公平，理由：因为1~9中奇数有5个，偶数有4个，5＞4，抽到奇数的可能性大于抽到偶数的可能性，所以游戏不公平。 4．(1) n m (2) 1 mn 分析：两个非零自然数的最大公因数和最小公倍数的规律：若两数成倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；若两数是相邻自然数（差为1），则两数互质，最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积。 详解：（1）（1）当时，m是n的7倍（倍数关系）： 最大公因数是较小数n​； 最小公倍数是较大数m​。 （2）（2）当时，m和n是相邻自然数（互质）： 最大公因数是1​； 最小公倍数是两数乘积mn​。 5． 5 2 分析：根据题意，A除以5余3，B除以5余2，C除以5余1，假设商都是1，根据“被除数＝商×除数＋余数”分别求出A、B、C的值； 然后把A、B的值代入（A＋B）中算出和，再求出和与5的最大公因数； 把A、C的值代入（A－C）中算出差，再用差除以5，求出余数即可。 详解：假设商都是1，那么： A＝5×1＋3＝5＋3＝8 B＝5×1＋2＝5＋2＝7 C＝5×1＋1＝5＋1＝6 A＋B＝8＋7＝15，15是5的倍数，15和5的最大公因数是5； A－C＝8－6＝2，2除以5的余数是2。 所以，（A＋B）与5的最大公因数是5；（A－C）除以5余数可能是2。 6． a 1 分析：两个数为倍数关系时，较大数就是它们的最小公倍数，因为a是b的3倍，则a＞b，所以最小公倍数是a； 已知a－1＝b，说明a和b是相邻的非零自然数，相邻的非零自然数互质，互质的两个数最大公因数是1。据此解答。 详解：已知a是b的3倍，则a和b存在倍数关系，且a＞b，所以a和b的最小公倍数是a； 已知a－1＝b，则a和b是相邻的非零自然数，相邻的非零自然数互质，所以a和b的最大公因数是1。 7．A 分析：根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，据此求出第三边，再进行判断，即可解答。 详解：7＋2＝9（厘米），第三边＜9厘米； 7－2＝5（厘米），第三边＞5厘米。 5~9之间有6，7，8；其中7是质数，第三边是7厘米。 三角形中有两条边是7厘米，这个三角形是等腰三角形。 小宇用AI画板画出的三角形中，有两条边的长度分别是7厘米和2厘米，第三条边的长度数值是一个质数（单位：厘米）。那么小宇画的这个三角形是一个等腰三角形。 故答案为：A 8．D 分析：根据5的倍数特征：个位上的数字是0和5的数是5的倍数， 根据3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数；据此判断即可。 详解：A．3＋5＋7＝15，15能被3整除，所以3、5、7三个数字组成的三位数一定是3的倍数，该选项说法错误。 B．如375；375÷25＝15，375能被25整除，所以3、5、7三个数字组成的三位数可能是25的倍数，该选项说法错误。 C．如735；735÷5＝147；735能被5整数，所以3、5、7三个数字组成的三位数可能是5的倍数，该选项说法错误。 D．3＋5＋7＝15，15能被3整除，所以3、5、7三个数字组成的三位数一定是3的倍数，该选项说法正确。 用3、5、7三个数字组成的三位数，一定是3的倍数。 故答案为：D 9．B 分析：合数是指除了1和它本身之外，还有其他因数的自然数。质数是指一个大于1的自然数，除了1和它本身之外，没有其他因数的数。 根据合数和质数的定义，逐项分析每个选项是否正确，找出错误的选项。 详解：A．要确定最小的合数，需从最小的自然数开始分析：0和1既不是质数也不是合数；2的因数只有1和2，是质数；3的因数只有1和3，是质数；4的因数有1、2、4，除了1和本身外还有因数2，所以4是合数。因此最小的合数是4 ，说法正确； B．2的因数只有1和2，是质数；3的因数只有1和3，也是质数，但2比3小，所以最小的质数是2，不是3，说法错误； C．根据质数与合数的定义，1的因数只有1这一个，不符合质数（有两个因数）和合数（有两个以上因数）的定义，所以1既不是质数也不是合数，说法正确。 故答案为：B 10．C 分析：相邻的两个自然数互质，互质的两个数最小公倍数是它们的乘积，最大公因数是1，据此分析即可。 详解：a和的最小公倍数是； a和的最大公因数是1； ÷1＝ 故答案为：C 11．B 分析：2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数。5的倍数的特征：个位上是0或5的数。既是2的倍数又有因数5的数的特征：个位上必须是0。这个四位数的个位数字一定是0。千位、百位、十位数字从3、6、9中选择排列。千位数字有3种选择（3、6、9）。千位数字选好后，百位数字有2种选择（剩下的两个数字）。百位数字选好后，十位数字有1种选择（剩下的1个数字）。可得这样的四位数的个数为3×2×1＝6个。 详解：根据分析： 既是2的倍数又有因数5的数的特征：个位上必须是0。 千位数字有3种选择，百位数字有2种选择，十位数字有1种选择。 3×2×1＝6（个） 这样的四位数一共有6个。 故答案为：B 12． 10盏 分析：要在舞台四周等距离装彩灯且数量最少，需先确定最大的等距间隔，即长和宽的最大公因数，再计算长方形舞台周长＝（长＋宽）×2，最后用周长除以间隔得到彩灯数。 详解：求长和宽的最大公因数：12和8的最大公因数是4，即最大等距间隔为4米。 计算舞台周长：舞台是长方形，周长为 （米） 计算彩灯数量：用周长除以间隔：（盏）。 答：至少要装10​盏彩灯。 13．10棵 分析：全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数，据此求出原来与现在间隔距离的最最小公倍数是不需要移动的树的间隔距离。两端都植，段数＝棵数－1，原来的间距×（原来的棵数－1）＝总长度，如果起点的树不动，总长度÷不需要移动的树的间隔距离＋1＝不需要移动的棵数。 详解：8＝2×2×2、12＝2×2×3 2×2×2×3＝24（米） 8×（28－1） ＝8×27 ＝216（米） 216÷24＋1 ＝9＋1 ＝10（棵） 答：不需要移动的树共有10棵。 14．18盏 分析：根据题意，在150米村中路和105米村东路的一侧安装路灯，每两盏路灯之间距离相等，那么每两盏路灯之间距离是150和105的公因数；求至少要安装路灯的数量，也就是求150和105的最大公因数； 把150和105分解质因数后，再把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数，也就是每两盏路灯之间的最大间距； 因为路的两端都要安装路灯，属于两端都栽的植树问题，则路灯的数量＝间隔数＋1；先用加法求出两段路的全长，再用全长除以间距，求出间隔数，最后加1，即是至少需要安装路灯的总数量。 详解：150＝2×3×5×5 105＝3×5×7 150和105的最大公因数是：3×5＝15 即每15米安装一盏路灯。 （150＋105）÷15＋1 ＝255÷15＋1 ＝17＋1 ＝18（盏） 答：村委会至少要安装18盏路灯。 15． 12厘米；6张 分析：要拼成正方形，边长需为小长方形长和宽的公倍数，最小边长为最小公倍数。可用短除法计算。再用边长分别除以小长方形的长和宽，所得的商再相乘即可得解。 详解： （厘米） （张） 答：这个正方形的边长至少是12厘米，一共要6张小长方形才能拼成这个大正方形。 16．23盏 分析：先求出AB、BC长度的一半，即490÷2＝245米，280÷2＝140米。要使相邻两盏灯距离相等且灯最少，这个距离就是245和140的最大公因数。求出最大公因数后，分别计算AB、BC段的灯数，再加上B点的灯（避免重复计算）。 详解：求245和140的最大公因数，245＝5×49＝5×7×7，140＝5×28＝5×4×7， 最大公因数是35。 AB段灯数：490÷35＋1＝14＋1＝15（盏）； BC段灯数：280÷35＋1＝8＋1＝9（盏）； 总共灯数：15＋9－1＝23（盏）（B点重复计算，需减1 ）。 答：这两条老街一侧最少要装23盏路灯。 17．16棵 分析：公路两侧共72棵树，单侧就是72÷2＝36棵；因为两端都栽树，间隔数比树数少1，即36－1＝35个间隔；原来间距3米，所以公路长3×35＝105米；3和5的最小公倍数是15，说明每隔15米的树不用动，105米里，105÷15＝7，即有7个完整的15米间隔，两端都栽时，树的数量＝间隔数＋1，所以单侧不用移动的树有7＋1＝8棵，两侧就是8×2＝16棵。 详解：72÷2＝36（棵） 36－1＝35 3×35＝105（米） 3和5的最小公倍数是15 105÷15＝7 7＋1＝8（棵） 8×2＝16（棵） 答：有16棵树不需要移动位置。 18．10面 分析：根据题意可知，无需移动的彩旗位置是4和5的公倍数；先求出4和5的最小公倍数，（因为4和5互质，所以它们的最小公倍数就是它们的乘积），这个最小公倍数就是无需移动的彩旗的最小间隔。 因为运动场是封闭图形，所以用运动场的周长除以最小间隔，即是无需移动的彩旗数量。 详解：4×5＝20，4和5的最小公倍数是20，即每隔20米有一面彩旗不用动。 200÷20＝10（面） 答：无需移动的彩旗一共有10面。 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