解答题02 一次函数与反比例函数综合9大考向（专项训练）（上海专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

解答题02 一次函数与反比例函数综合（专项训练） （9大考向） 考向01 一次函数背景下的面积问题 1．（2025·上海青浦·二模）已知：在平面直角坐标系中，一次函数（）与反比例函数（）的图像交于、两点． (1)求一次函数的表达式； (2)求的面积． 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，与y轴交于点C（0，2），已知的面积为6． (1)求这两个函数的解析式； (2)根据图象直接写出，当时，的取值范围． 3．（2025·上海闵行·二模）如图，已知函数和的图像交于点，这两个函数的图像与轴分别交于点、． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求的面积； (3)请根据图像直接写出不等式的解集． 4．（2025·上海杨浦·二模）已知平面直角坐标系，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，过点C作轴交抛物线于点E． (1)直接写出抛物线的对称轴及点A、B的坐标； (2)联结，如果平分，求a的值； (3)点P是抛物线上一点，线段交于点F，如果，那么直线是否一定会经过一个定点？如果会，求出这个定点的坐标；如果不会，请说明理由． 考向02 一次函数的实际应用（行程问题） 研考向·通技法 相遇问题：联立两人的路程解析式，求交点坐标； 追及问题：比较两人的路程差，列方程求解时间； 最值／距离问题：代入特定时间，计算对应的路程或距离。 1．（2025·上海杨浦·模拟预测）五一期间，小海与小华两家人相约到乙城市某景区游玩，小海家驾驶私家车从甲城市直接前往乙城市该景区，已知小海家出发40分钟后，途经服务区休息了20分钟，继续出发，此时小华家乘高铁从甲城市出发，先到乙城市的火车站．图中的折线和线段分别反映了小海、小华两家人所行路程（千米）与时间（小时）的函数关系，根据图象提供的信息回答下列问题： (1)线段反映了小华家乘坐高铁所行的路程（千米）与时间（小时）的函数关系．请求出线段的表达式，不用写出定义域； (2)当小华家追上小海家时，距离乙城市的火车站还有_________千米； (3)当小华家到达乙城市的火车站，小海家还需_________小时到达景区． 2．（2024·上海杨浦·二模）寒假期间，小华一家驾车去某地旅游，早上6∶00点出发，以80千米/小时的速度匀速行驶一段时间后，途经一个服务区休息了1小时，再次出发时提高了车速．如图，这是她们离目的地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图像． 根据图像提供的信息回答下列问题： (1)图中的_______，______； (2)求提速后y关于x的函数解析式（不用写出定义域）； (3)她们能否在中午12∶30之前到达目的地？请说明理由． 3．（2024·上海黄浦·三模）在一条笔直的公路上有两地，小明骑自行车从地去地，小刚骑电动车从地去地，然后立即原路返回到地，如图是两人离地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数图像．请根据图像回答下列问题： (1)求小明离地的距离关于行驶时间之间的函数解析式； (2)若两人间的距离不超过千米时，能够用无线对讲机保持联系，求两人从途中相遇后到地的过程中，无法用无线对讲机保持联系的总时间是多少小时？ 考向03 一次函数的应用（解决实际生活问题） 研考向·通技法 一、出题情景 方案选择、费用计算、利润最大化、工程问题、分段计费等，侧重从文字或图表中提取信息、建立函数模型并决策。 二、解题方法 1.审题找变量：确定自变量 x（如数量、时间、用量）和因变量 y（如费用、利润、长度），明确问题目标。 2.列关系式：根据题意，用文字描述写出 y 与 x 的等量关系，转化为一次函数 y=kx+b（k≠0），注意分段计费场景需建立分段函数。 3.求解析式：利用表格、图像或已知条件，用待定系数法求出 k、b，确定完整函数解析式（含自变量取值范围）。 4.分析决策： 比较方案：联立不同方案的函数解析式，求交点，分析不同区间内的最优选择； 最值问题：结合自变量范围，利用一次函数增减性求最值； 范围问题：根据不等式约束（如费用不超过、数量不少于）求解 x 的取值范围。 5.验证作答：检验结果是否符合实际意义，写出清晰结论与建议。 1．（2025·上海静安·二模）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度（千米/时）与高架路上每百米车的数量（辆）的关系如图所示．    (1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②如果车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？ 2．（2025·上海徐汇·二模）某文具商店为了了解3月份计算器的销售情况，对3月份各种型号计算器的销售情况进行调查，并将调查的结果绘制成如图1、图2所示的两幅不完整的统计图. (1)根据图中提供的信息，求3月份各种型号计算器的销售总量； (2)求3月份A型计算器的销售量，并将条形统计图补充完整； (3)该店4月份准备只进购A、B、C三种型号的计算器，总数量和3月份各型号计算器销售的总量相同，结果恰好用完进货款8200元，设购进A型计算器个、B型计算器个，求关于的函数关系式．其中，三种型号的计算器的进价如下表： A型 B型 C型 进价（单位：元／个） 50 30 20 3．（2025·上海虹口·二模）其工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，该工厂一年最多能生产200吨，已知蓝莓的采购成本价（万元/吨）与蓝莓的采购量（吨）成一次函数关系，其中的几组数据如表2所示．每吨原材料（蓝莓）的加工费为1万元，减重率为，蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动，从一年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了条形统计图（如图）． 表2 （吨） （万元/吨） (1)求与的函数解析式（不写定义域）； (2)求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价； (3)根据样本中蓝莓蜜饯的平均销售价，该工厂一年能否恰好获得780万元的利润：如果能，求需要采购蓝莓的重量；如果不能，请说明理由． （备注：蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后重量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算公式：减重率） 4．中国石化推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售，使用这张加油卡加油，单价优惠0.3元，假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完，且油价一直不变． (1)某人购买一张加油卡，他实际支付了多少元？ (2)设油的原价为x元/升，优惠后油的单价为y元/升，求y关于x的函数解析式 (3)油的原价是元/升，求：优惠后油的单价比原价少多少元（保留2位有效数字）． 5．（2024·上海闵行·二模）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆分钟） 25 22 19 16 13 (1)请用一次函数分别表示与、与之间的函数关系．（不写定义域） (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 考向04 一次函数与几何综合 研考向·通技法 1. 一、考向分析 2. 中考中档压轴题，核心是一次函数与平面几何的综合应用，常结合三角形、四边形、坐标系、面积、对称、折叠等知识点，考查数形结合与逻辑推理能力。 3. 二、出题情景 4. 线段长度：用两点间距离公式或勾股定理计算； 5. 角度关系：利用斜率、平行（相等）、垂直（乘积为 −1）等性质转化； 6. 面积问题：用割补法或坐标法（如底乘高、铅垂高法）计算图形面积。 7. 三、核心技法 列方程求解：根据几何条件（如等腰、全等、相似、平行、垂直），建立关于坐标或参数的方程，求解未知量。 8. 分类讨论：遇到动点、多解问题时，按位置、形状等分类讨论，避免漏解，最后验证结果是否符合题意。 1．[函数背景下的角度问题]（2024·上海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，四边形是平行四边形，直线经过点C，交x轴于点D， (1)求m的值； (2)点是线段上的一个动点(点P不与O，B两点重合)，过点P作x轴的平行线，分别交于点E，F，G．设线段EG的长为d，求d与t之间的函数关系式 (直接写出自变量t的取值范围)； (3)在（2）的条件下，点H是线段上一点，连接交于点M，当以为直径的圆经过点M时，恰好使．此时点H的坐标为_________ 2．[全等三角形的存在性问题]如图，抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线解析式及点D坐标； (2)点N是y轴负半轴上的一点且，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接，与抛物线的对称轴交于点M，连接，当平分时，求点Q坐标； (3)如图，直线交抛物线的对称轴于E，P是坐标平面内一点，当与全等时，请直接写出点P坐标． 3．[一次函数与圆的综合]（2025·上海奉贤·三模）已知：在平面直角坐标系中（如图），反比例函数在第一象限内的图像与直线的交点为，且直线与直线平行． (1)求直线的表达式； (2)若以A为圆心、半径长为r的与以原点O为圆心、半径长为1的相切，求r的值． 考向05 求反比例函数解析式 研考向·通技法 一、考向分析 中考核心基础考点，重点考查待定系数法求反比例函数解析式，常结合图像、几何图形、实际问题等情境，是反比例函数模块的基础。 二、解题方法 1．设解析式：设反比例函数解析式为 （ 为常数）。 2．代点求 ：将已知点的坐标 代入解析式，得到 ，计算出 的值。 3．写解析式：将 代回所设形式，得到最终的反比例函数解析式 。 1．（2026·上海闵行·一模）人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示． 表一：地面所受压强与接触面积之间的关系 地面所受压强 …… …… 接触面积 …… …… 表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系 地面材质 玻璃 木地板 大理石 能承受的最大压强（） (1)求地面所受压强关于接触面积的函数表达式（不写定义域）； (2)求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？ 2．（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，点在直线上，点B在曲线上． (1)求曲线的解析式； (2)连结，若直线和直线平行，求的度数和的正弦值． 3．（2025·上海宝山·二模）在平面直角坐标系中（如图），反比例函数（是常数，且）的图像经过点． (1)求的值； (2)点在该反比例函数图像上（点与点在不同的象限内），联结，与轴交于点，且，求的正切值． 4．（2024·上海·模拟预测）已知一次函数与反比例函数的图象交于，B两点 (1)求反比例函数解析式 (2)将在平面内沿某个方向平移得到其中点、、的对应点分别是、、，若、同时在反比例函数的图象上，求点的坐标． 考向06 反比例函数的应用 研考向·通技法 一、考向分析 中考高频应用题，核心是用反比例函数模型解决实际问题，常见场景有：工程效率、物理压强、杠杆平衡、商品定价等，侧重从文字中提取＂乘积为定值＂的关系，建立函数模型并求解。 二、解题方法（5步建模法） 1．审题找关系：识别＂乘积一定＂的反比例本质（如：工作总量 = 效率 × 时间，路程 = 速度 × 时间），确定自变量 和因变量 。 2．设解析式：设反比例函数为 ，其中 是题目中的定值（如总工作量、总路程）。 3．代值求 ：代入题目给出的一组对应值 ，计算 ，确定函数解析式（注意标注自变量取值范围）。 4．代入求解：将已知的 或 代入解析式，求出未知量。 5．验证作答：检验结果是否符合实际意义，写出完整结论。 1．（2025·上海普陀·三模）在现代智能仓储系统中，一款名为“”的智能机器狗，为了研究其载重能力W（千克）与其运动速度v（米/秒）的关系，工程师通过实验测得以下数据： 载重W（kg） … 10 12 15 20 30 … 速度v（m/s） … 6 5 4 3 2 … (1)把表中W，v的各组对应值作为点的坐标，如，…，已在图中坐标系描出了相应的点，请用平滑的曲线顺次连接这些点； (2)观察所画的图象，猜测v与W之间的函数关系，并求出函数关系式； (3)某次任务要求机器狗在8分钟内将货物运送至2400米外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量． 2．建筑是一门不断演化和创新的艺术，近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．图1为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑，其横截面（图2）由两条曲线，（反比例函数图象的一部分）和若干线段围成，为轴对称图形，其中四边形与四边形均为矩形，，，，，，以AC的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 请回答下列问题： (1)如图2，求所在图象的函数表达式． (2)如图3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架，并加装了始终垂直于的伸缩机械臂用来雕刻所在曲面的花纹，请问点在上滑动过程中，最长为多少米？ 3．视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1  国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1  检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 素材2  图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足． 探究2  当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围． 素材3  如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 探究3  若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 考向07 反比例函数与几何综合 研考向·通技法 一、考向分析 中考中档压轴题，核心是反比例函数与平面几何的综合应用，常结合三角形、四边形、坐标系、面积、相似、对称等知识点，重点考查 $|k|$ 的几何意义与数形结合能力。 二、解题方法（5 步通法） 1．抓核心性质：反比例函数 上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积为 $|k|$ ，三角形面积为 。 2.设点表坐标：设反比例函数上点为 ，用坐标表示线段长度、垂直关系、平行关系等几何条 3．几何转代数： 面积问题：利用 ∣k∣ 的几何意义或割补法，结合坐标列面积方程； 相似 / 全等：将线段比例、角度关系转化为坐标比例或等式； 垂直 / 平行：利用斜率乘积为 −1（垂直）或斜率相等（平行）列方程。 4.联立求解：联立几何条件与反比例函数解析式，求出未知点坐标或参数 k。 5．分类讨论：遇到动点、多解问题时，按位置、形状分类讨论，避免漏解，最后验证结果是否符合题意。 1．（2025·上海普陀·二模）【问题背景】 我们学过用尺规作图平分一条线段，小普同学想借助所学过的函数知识平分线段． 在如图1中，已知线段，为了平分线段，小普同学进行了如下的操作： ①在平面直角坐标系中，画出函数的图像； ②在轴的正半轴上截取，过点A作轴交函数的图像于点； ③以点为圆心，长为半径作弧，交于点． 所以点平分线段． 【解决问题】 (1)根据小普同学的做法，如果要将线段三等分，那么可以借助函数________的图像在图71中的线段上，找到点，使，于是可作出线段上的一个三等分点．（填函数解析式） (2)平面内的点可以用有序实数对来表示．在图2中，点在轴的正半轴上，．运用我们学过的函数知识，在图72中作出坐标为的点，写出画图步骤．（保留作图痕迹） 2．（2024·上海静安·三模）已知：如图，第一象限内的点在反比例函数的图像上，点在轴上，轴，点的坐标为，且．求： (1)反比例函数的解析式； (2)点的坐标； (3)的余弦值． 3．（2025·上海浦东新·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为（其中），射线与反比例函数的图像交于点，点、分别在函数的图像上，且轴，轴． (1)当点横坐标为6，求直线的表达式； (2)连接，当时，求点坐标； (3)连接、，试猜想：的值是否随的变化而变化？如果不变，求出的值；如果变化，请说明理由． 考向08 一次函数与反比例函数的交点问题 研考向·通技法 一、考向分析 中考高频中档题，核心考查一次函数与反比例函数的交点求解，常结合图像、面积、不等式等综合考查，重点是联立方程与数形结合思想。 二、解题方法（4步速解） 1．联解析式：将一次函数 与反比例函数 联立，得到方程组： 2．消元解方程：消去 ，得到一元二次方程 ，求解方程的根（即交点横坐标）。 3．求交点坐标：将根代回一次函数解析式，求出对应的 值，得到交点坐标 。 4．数形结合分析： 交点个数：由判别式 判断（ 两个交点， 一个交点， 无交点）； 不等式解集：结合图像，根据上下位置关系确定 或 的解集； 面积计算：以交点、坐标轴为顶点，用割补法求图形面积。 1．（2025·上海黄浦·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴交于、两点，反比例函数的图像经过直线上的点． (1)求直线的表达式； (2)已知点在反比例函数的图像上，且，求点的坐标． 2．（2024·上海闵行·一模）如图，在坐标平面中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)过点A作轴，垂足为点C，将一次函数图象向右平移，且经过点C，求平移后的一次函数的解析式． 3.（2025·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系中，双曲线（为常数，且）与直线都经过点． (1)求与的值； (2)过点作平行于轴的直线，与双曲线相交于点，与直线相交于点，在中，当时，求边的长度． 4．（2025·上海·二模）在平面直角坐标系中，直线与双曲线（k是常数，且）交于点． (1)求k与m的值： (2)直线与x轴交于点B，过点B作y轴的平行线．交双曲线于点C，求的面积． 5．（2025·上海普陀·一模）如图，在平面直角坐标系中，经过原点的直线与双曲线交于点，点在射线上，点的坐标为． (1)求直线的表达式； (2)如果，求点的坐标． 6．（2024·上海宝山·三模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点两点，与x轴、y轴分别交于两点，且点A的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)求的面积． 7．（2024·上海·三模）如图，已知直线与轴交于点A，与y轴交于点C，矩形的顶点B在第一象限的反比例函数图像上，过点B作，垂足为F，设． (1)求的正切值； (2)已知直线与反比例函数图像都经过第一象限的点D，连接，若轴，求m的值． 8．（2024·上海杨浦·三模）已知一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点，与轴交于点． (1)求一次函数解析式； (2)设点关于轴的对称点为点，求的面积． 考向09 新定义问题 1．（2024·上海·模拟预测）新定义：无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为，在平面直角坐标系中建立点为的青一坐标，同理可得的青一区间为，为的青一坐标，两坐标的距离，叫做的青一距． (1)的青一坐标与的青一坐标关于_________对称； (2)的青一区间为_______，的青一区间为_________，的青一距为_______； (3)实数x，y满足关系式：，若直线过的青一坐标和的青一坐标，求：的青一距和直线与x轴夹角的正弦值． 2．（2024·上海·模拟预测）如图1，已知点，，直线与反比例函数的图象与第一象限交于． (1)求k的值； (2)如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，，试问在轴上是否存在一点，使的面积与的面积相等，若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)新定义：如图2，在平面内，若三角形的一边等于另一边的3倍，则两边较长的那一边叫做麒麟边，两边夹角叫做麒麟角，三角形叫做麒麟三角形，若为麒麟三角形，为麒麟边，为麒麟角，A，B在反比例函数上，且点A横坐标为，直线交y轴于C，与y轴的截距为2，求n的值． 刷模拟 1．（2025·上海闵行·二模）一个数学兴趣小组尝试探究一次函数图象与两坐标轴所围成三角形面积的问题．为了较为全面地研究这个问题，他们准备把它分成两种类型问题来分别进行研究： 类型I：一条直线（、都不为0）与两条坐标轴所围成的三角形面积大小； 类型II：两条直线和（、，且都不为零）与坐标轴所围成的三角形的面积、直线与两条坐标轴所围成的三角形面积、直线与两条坐标轴所围成的三角形面积之间的关系． 小组成员认为第一类问题只要将直线与两坐标轴的交点坐标分别求出来，就能解决；而第二类的问题需要根据两个函数和符号的不同情况，分别进行研究，才能得出相应的结论． (1)如图1，请你帮助小组求出的面积（用含和的式子表示）． (2)将直线与两条坐标轴所围成的三角形面积记为，直线与两条坐标轴所围成的三角形面积记为，直线、和轴所围成的三角形面积记为，它们和轴所围成的三角形面积记为． ①在图2中已经画出了直线和大致图象的一种情况，那么关于这两个一次函数的和符号选项正确的是______． A．，，，        B．，，， C．，，，        D．，，， 此时、、和之间的关系式是______． ②如图3，保持直线不变，改变直线中和的符号（不考虑和的大小），请在图中画出直线的大致图象，此时、、和之间的关系式是______． 2．（2025·上海闵行·一模）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，与双曲线在第一象限分支交于点，过点作轴的平行线，交轴于点，． (1)求点、的坐标； (2)求的值； (3)求的值． 3．（2025·上海徐汇·二模）已知：在直角坐标系中直线与轴、轴相交于点、．当的值小于0时，的值大于4，且该直线与轴的夹角为．抛物线经过点和点． (1)【问题提出】如何求抛物线解析式 观察条件“当的值小于0时，的值大于4”，可得当的值小于4时，的值__________（选填“大于”或“小于”）0，该条直线的大致图像可能是__________（选填“A”或“B”），其中与轴交点的坐标为__________．继续阅读条件，“该直线与轴的夹角为”告诉我们其与轴的交点的坐标是__________，最终带入抛物线，列出方程组__________，解得__________，__________． (2)【综合运用】 是线段上一点，过点作直线的平行线，与轴相交于点，把沿直线翻折，点的对应点是点，如果点在抛物线上，求点的坐标． 4．[建系法]（2025·上海·模拟预测）如图，点、、都在的小正方形网格的格点上．如果设的坐标为，点的坐标为．请只使用无刻度的直尺画图（不写画法，保留画图痕迹，写出结论）． (1)画出的中线； (2)找到的重心，直接写出重心的坐标． 刷真题 1．（2025•上海）某品牌储水机的容量是200升，当加水加满时，储水机会自动停止加水，已知加冷水量（升和时间（分钟）的图象如图所示，加水过程中，水的温度（摄氏度）和（分钟）的关系：． （1）求与的函数关系式，并写出定义域； （2）求储水机中的水加满时，储水机内水的温度． 2．（2024•上海）在平面直角坐标系中，反比例函数为常数且上有一点，且与直线交于另一点． （1）求与的值； （2）过点作直线轴与直线交于点，求的值． 3．（2023•上海）“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完． （1）他实际花了多少钱购买加油卡？ （2）减价后每升油的单价为元升，原价为元升，求关于的函数解析式（不用写出定义域）． （3）油的原价是7.30元升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？ 4．（2022•上海）一个一次函数的截距为1，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）点，在某个反比例函数上，点横坐标为6，将点向上平移2个单位得到点，求的值． 2 / 87 1 / 87 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题02 一次函数与反比例函数综合（专项训练） （9大考向） 考向01 一次函数背景下的面积问题 1．（2025·上海青浦·二模）已知：在平面直角坐标系中，一次函数（）与反比例函数（）的图像交于、两点． (1)求一次函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)6 【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法可求得反比例函数解析式，将点代入反比例函数，得到点坐标，然后将点、分别代入一次函数，解方程组即可； （2）先求得一次函数的图像与x轴交点为，然后利用，即可得到答案． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数，得，解得， ， 将点代入反比例函数，得， ， 将点、分别代入一次函数，得． 解这个方程组，得． 一次函数解析式为； （2）解：当时，代入，得到， 一次函数的图像与x轴交点， ． 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，与y轴交于点C（0，2），已知的面积为6． (1)求这两个函数的解析式； (2)根据图象直接写出，当时，的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【知识点】求反比例函数解析式、求一次函数解析式、一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了利用待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）过点作轴于点，过点作轴于点，利用待定系数法解答即可； （2）观察图象，利用数形结合法解答即可得出结论． 【详解】（1）过点作轴于点，过点作轴于点，如图， 点， ， ，, ，， ，的面积为6， ， ∴， ， ， 反比例函数的解析式为：， 一次函数的图象经过点，， ， 解得：， 一次函数的解析式为． （2）点在反比例函数上， ∴， ∴． ∴， 由图象可知：第二象限中点的左侧部分，满足，第四象限中点的左侧部分，满足，对应的的取值范围分别为：或． ∴当时，的取值范围为：或． 3．（2025·上海闵行·二模）如图，已知函数和的图像交于点，这两个函数的图像与轴分别交于点、． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求的面积； (3)请根据图像直接写出不等式的解集． 【答案】(1)这两个函数的解析式分别为和 (2) (3) 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程等，熟练掌握待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴的交点，利用函数图像直接得出不等式的解集，是解答此题的关键． （1）把点分别代入函数和，求出a、b的值即可； （2）根据（1）中两个函数的解析式得出A、B两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论； （3）直接观察函数图像即可得出结论． 【详解】（1）解：∵将点 代入， 得， 解得， 将点代入， 得， 解得， 这两个函数的解析式分别为和； （2）解：∵在中， 令，得， ， 在中， 令，得， ， ， （3） ； 解：由函数图像可知，当时，． 4．（2025·上海杨浦·二模）已知平面直角坐标系，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，过点C作轴交抛物线于点E． (1)直接写出抛物线的对称轴及点A、B的坐标； (2)联结，如果平分，求a的值； (3)点P是抛物线上一点，线段交于点F，如果，那么直线是否一定会经过一个定点？如果会，求出这个定点的坐标；如果不会，请说明理由． 【答案】(1)直线， (2) (3)直线恒过定点． 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、一次函数与几何综合、角度问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，两点距离计算公式等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据对称轴计算公式求出对称轴，再求出函数值为0时自变量的值即可求出A、B的坐标； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义可推出，则，再根据题意可得点C和点E关于抛物线的对称轴对称，则；求出点C坐标，进而表示出，根据建立方程求解即可； （3）根据图形面积之间的关系可得，则，求出D、E坐标，进而得到直线解析式为，则直线解析式为，进一步求出，同理可得直线解析式为，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，解得或， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵轴，且C、E都在抛物线上， ∴点C和点E关于抛物线的对称轴对称， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴或（舍去）； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴， 由对称性可知， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴可设直线解析式为， 把代入中得：，解得， ∴直线解析式为， 联立解得或， ∴， 同理可得直线解析式为， 在中，当时，， ∴直线恒过定点． 考向02 一次函数的实际应用（行程问题） 研考向·通技法 相遇问题：联立两人的路程解析式，求交点坐标； 追及问题：比较两人的路程差，列方程求解时间； 最值／距离问题：代入特定时间，计算对应的路程或距离。 1．（2025·上海杨浦·模拟预测）五一期间，小海与小华两家人相约到乙城市某景区游玩，小海家驾驶私家车从甲城市直接前往乙城市该景区，已知小海家出发40分钟后，途经服务区休息了20分钟，继续出发，此时小华家乘高铁从甲城市出发，先到乙城市的火车站．图中的折线和线段分别反映了小海、小华两家人所行路程（千米）与时间（小时）的函数关系，根据图象提供的信息回答下列问题： (1)线段反映了小华家乘坐高铁所行的路程（千米）与时间（小时）的函数关系．请求出线段的表达式，不用写出定义域； (2)当小华家追上小海家时，距离乙城市的火车站还有_________千米； (3)当小华家到达乙城市的火车站，小海家还需_________小时到达景区． 【答案】(1) (2)60 (3)0.25 【知识点】求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入，求解即可； （3）根据题意求得当小华家到达火车站时，小海家已经行驶了1.75小时，据此即可求解． 【详解】（1）解：设线段的表达式为， 由题知：，， ， 解得：， 所以线段的表达式为； （2）解：由题意得，将代入， 得， 小华家到达火车站时，所以距离乙城市火车站还有（千米）； 故答案为：60； （3）解：小华家到达乙城市火车站用时（小时）， 小海家到达景区用时2小时， 当小华家到达火车站时，小海家已经行驶了1.75小时， 所以还需（小时）． 故答案为：． 2．（2024·上海杨浦·二模）寒假期间，小华一家驾车去某地旅游，早上6∶00点出发，以80千米/小时的速度匀速行驶一段时间后，途经一个服务区休息了1小时，再次出发时提高了车速．如图，这是她们离目的地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图像． 根据图像提供的信息回答下列问题： (1)图中的_______，______； (2)求提速后y关于x的函数解析式（不用写出定义域）； (3)她们能否在中午12∶30之前到达目的地？请说明理由． 【答案】(1)；； (2)提速后y关于x的函数解析式为． (3)能．理由见解析 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据图象求出a的值，根据“离目的地的路程=家与目的地之间的距离行驶的路程”可计算b的数值； （2）利用待定系数法求解即可； （3）当时求出对应x的值，计算出到达目的地的时间，从而作出判断即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ． （2）设提速后y关于x的函数解析式为（k、b为常数，且k≠0）． 将坐标和代入， 得 ， 解得 ， ∴提速后y关于x的函数解析式为． （3）能．理由如下： 当她们到达目的地时，， 得， 解得， 小时=6时12分， ∴她们于12：12分到达目的地． 3．（2024·上海黄浦·三模）在一条笔直的公路上有两地，小明骑自行车从地去地，小刚骑电动车从地去地，然后立即原路返回到地，如图是两人离地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数图像．请根据图像回答下列问题： (1)求小明离地的距离关于行驶时间之间的函数解析式； (2)若两人间的距离不超过千米时，能够用无线对讲机保持联系，求两人从途中相遇后到地的过程中，无法用无线对讲机保持联系的总时间是多少小时？ 【答案】(1)； (2)小时． 【知识点】求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】（）根据题意列出函数解析式即可； （）求出两人途中相遇的时间，可求出小刚此时距地的距离，再算出相遇后两人相距千米的时间，求出此时小刚距的距离，进而求出小刚到达地的时间，然后求出小刚从地返回地与小明相距的时间，把两个时间相加即为两人无法用无线对讲机保持联系的总时间； 本题考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，小明骑自行车的速度为千米小时， ∴小明离地的距离关于行驶时间之间的函数解析式为； （2）解：由图可得，小刚骑电动车的速度为千米小时， 当两人在途中相遇时，有， ∴， 此时，小刚距地千米， 相遇后设小时两人相距千米，则， ∴， 此时，小刚距地千米，到达需要的时间为， 设小刚从地返回地小时与小明相距千米， 则， 解得， ∴两人从途中相遇后到地的过程中，无法用无线对讲机保持联系的总时间为小时． 考向03 一次函数的应用（解决实际生活问题） 研考向·通技法 一、出题情景 方案选择、费用计算、利润最大化、工程问题、分段计费等，侧重从文字或图表中提取信息、建立函数模型并决策。 二、解题方法 1.审题找变量：确定自变量 x（如数量、时间、用量）和因变量 y（如费用、利润、长度），明确问题目标。 2.列关系式：根据题意，用文字描述写出 y 与 x 的等量关系，转化为一次函数 y=kx+b（k≠0），注意分段计费场景需建立分段函数。 3.求解析式：利用表格、图像或已知条件，用待定系数法求出 k、b，确定完整函数解析式（含自变量取值范围）。 4.分析决策： 比较方案：联立不同方案的函数解析式，求交点，分析不同区间内的最优选择； 最值问题：结合自变量范围，利用一次函数增减性求最值； 范围问题：根据不等式约束（如费用不超过、数量不少于）求解 x 的取值范围。 5.验证作答：检验结果是否符合实际意义，写出清晰结论与建议。 1．（2025·上海静安·二模）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度（千米/时）与高架路上每百米车的数量（辆）的关系如图所示．    (1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②如果车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？ 【答案】(1)，，且x为整数； (2)①25辆；②20分钟 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）设出函数解析式，再根据函数图象利用待定系数法求解即可； （2）①根据（1）所求函数解析式，令函数值为30，求出x的值即可得到答案；②令函数值小于20求出x的取值范围，再根据每百米车辆数每4分钟增加1辆和现在每百米车的数量为25辆列式求解即可． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴关于的函数解析式为， 在中，当时，， ∴，且x为整数； （2）解：①在中，当时，， ∴该时刻高架路上每百米车的数量为25辆； ②由题意得，， 解得， 分钟， 答：为了避免严重拥堵，那么最晚20分钟需启动限流措施． 2．（2025·上海徐汇·二模）某文具商店为了了解3月份计算器的销售情况，对3月份各种型号计算器的销售情况进行调查，并将调查的结果绘制成如图1、图2所示的两幅不完整的统计图. (1)根据图中提供的信息，求3月份各种型号计算器的销售总量； (2)求3月份A型计算器的销售量，并将条形统计图补充完整； (3)该店4月份准备只进购A、B、C三种型号的计算器，总数量和3月份各型号计算器销售的总量相同，结果恰好用完进货款8200元，设购进A型计算器个、B型计算器个，求关于的函数关系式．其中，三种型号的计算器的进价如下表： A型 B型 C型 进价（单位：元／个） 50 30 20 【答案】(1)3月份各种型号计算器的销售总量为300个 (2)A型计算器销售量为120个，图形见解析 (3)y关于x的函数关系式为 【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了统计图和一次函数，解决本题的关键是利用一次函数的性质解决实际问题． （1）根据条形统计图B型的销售量和扇形统计图B型计算器所占百分比求出3月份各种型号计算器的销售总量； （2）根据A型计算器所占的百分比计算A型计算器的数量，即可补充条形图； （3）根据设购进A型计算器x只，B型计算器y只，则C型计算器为只，根据其数量和与3份计算器销量的总数量相同，结果恰好用完进化款共8200元，得到，整理即可． 【详解】（1）解：（个）， ∴3月份各种型号计算器的销售总量为300个； （2）解：A型计算器销售量为：（个）， 条形统计图如图： （3）解：∵设购进A型计算器x只，B型计算器y只， ∴C型计算器为只， 根据其数量和与3份计算器销量的总数量相同，结果恰好用完进化款共8200元， ∴， 整理得：， ∴y关于x的函数关系式为． 3．（2025·上海虹口·二模）其工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，该工厂一年最多能生产200吨，已知蓝莓的采购成本价（万元/吨）与蓝莓的采购量（吨）成一次函数关系，其中的几组数据如表2所示．每吨原材料（蓝莓）的加工费为1万元，减重率为，蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动，从一年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了条形统计图（如图）． 表2 （吨） （万元/吨） (1)求与的函数解析式（不写定义域）； (2)求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价； (3)根据样本中蓝莓蜜饯的平均销售价，该工厂一年能否恰好获得780万元的利润：如果能，求需要采购蓝莓的重量；如果不能，请说明理由． （备注：蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后重量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算公式：减重率） 【答案】(1) (2)万元/吨 (3)需要采购蓝莓的重量为吨 【知识点】求加权平均数、其他问题(一次函数的实际应用)、其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，求平均数，理解题意是解题的关键； （1）设与的函数解析式为，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据条形统计图，根据加权平均数求得平均数，即可求解． （3）根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设与的函数解析式为 代入， ∴ 解得： ∴ （2）解：依题意，平均销售价为（万元/吨） （3）解：依题意， 原方程组整理得， 解得：（舍去） 答：需要采购蓝莓的重量为吨 4．中国石化推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售，使用这张加油卡加油，单价优惠0.3元，假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完，且油价一直不变． (1)某人购买一张加油卡，他实际支付了多少元？ (2)设油的原价为x元/升，优惠后油的单价为y元/升，求y关于x的函数解析式 (3)油的原价是元/升，求：优惠后油的单价比原价少多少元（保留2位有效数字）． 【答案】(1)900元 (2) (3)元 【知识点】有理数乘法的实际应用、其他问题(一次函数的实际应用)、列一次函数解析式并求值 【分析】本题主要考查了有理数乘法应用、一次函数解析式、一次函数的应用等知识点，理解题意、正确的列出算式和一次函数解析式是解题的关键． （1）根据打九折列出算式计算即可； （2）根据每一升油，油的单价降低元,然后根据题意列出函数关系式即可； （3）当可得，根据优惠后油的单价比原价便宜元，据此计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意知，（元）， 答：实际花了900元购买会员卡． （2）解：由题意知，，整理得． ∴y关于x的函数解析式为． （3）解：当时，， ∵． ∴优惠后油的单价比原价便宜元． 5．（2024·上海闵行·二模）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆分钟） 25 22 19 16 13 (1)请用一次函数分别表示与、与之间的函数关系．（不写定义域） (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 【答案】(1)， (2)8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东，理由见解析 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，一元一次不等式的应用.待定系数法求一次函数解析式是解题的关键. （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据，求出关于的函数关系式，分，两种情况讨论，求出对应的取值范围即可． 【详解】（1）解： 设、为常数，且． 将，和，代入， 得， 解得， ． 设、为常数，且． 将，和，代入， 得， 解得， ． （2）． 当时，即，解得； 当时，即，解得． 8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东． 考向04 一次函数与几何综合 研考向·通技法 1. 一、考向分析 2. 中考中档压轴题，核心是一次函数与平面几何的综合应用，常结合三角形、四边形、坐标系、面积、对称、折叠等知识点，考查数形结合与逻辑推理能力。 3. 二、出题情景 4. 线段长度：用两点间距离公式或勾股定理计算； 5. 角度关系：利用斜率、平行（相等）、垂直（乘积为 −1）等性质转化； 6. 面积问题：用割补法或坐标法（如底乘高、铅垂高法）计算图形面积。 7. 三、核心技法 列方程求解：根据几何条件（如等腰、全等、相似、平行、垂直），建立关于坐标或参数的方程，求解未知量。 8. 分类讨论：遇到动点、多解问题时，按位置、形状等分类讨论，避免漏解，最后验证结果是否符合题意。 1．[函数背景下的角度问题]（2024·上海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，四边形是平行四边形，直线经过点C，交x轴于点D， (1)求m的值； (2)点是线段上的一个动点(点P不与O，B两点重合)，过点P作x轴的平行线，分别交于点E，F，G．设线段EG的长为d，求d与t之间的函数关系式 (直接写出自变量t的取值范围)； (3)在（2）的条件下，点H是线段上一点，连接交于点M，当以为直径的圆经过点M时，恰好使．此时点H的坐标为_________ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、一次函数与几何综合、圆周角定理 【分析】（1）根据直线求出点A、B的坐标，从而得到的长度，再根据平行四边形的对边相等求出的长度，过点C作轴于K，从而得到四边形是矩形，根据矩形的对边相等求出的长度，从而得到点C的坐标，然后把点C的坐标代入直线即可求出m的值． （2）延长交y轴于N分别过点E，G作x轴的垂线，垂足分别是R，Q，则四边形、四边形、四边形是矩形，再利用的正切值求出的长度，利用的正切值求出的长度，再利用的长度减去的长度，再减去的长度，计算即可得解． （3）根据平行四边形的对边平行可得，再根据平行线内错角相等求出，用t表示出，再根据与的正切值相等列式求出的长度，再表示出的长度，然后根据直径所对的圆周角是直角可得，根据直角推出∠BGP=∠BOC，再利用∠BGP与∠BOC的正切值相等列式求解即可得到t的值；先根据加的关系求出，再判定和相似，根据相似三角形对应边成比例可得，再根据，求出，利用勾股定理求出的长度，代入数据进行计算即可求出的值，然后求出的值，从而得到点H的坐标． 【详解】（1）解：如图，过点C作轴于K， ∵交x轴和y轴于A，B， ∴． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． 又∵四边形是矩形， ∴． ∴． 将代入，得：，解得：． （2）解：如图，延长交y轴于N分别过点E，G作x轴的垂线，垂足分别是R，Q， 则四边形、四边形、四边形是矩形． ∴． ∵，即， ∴． ∵交x轴和y轴于D，N， ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． （3）解：如图： ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 由（2）， ∴． ∵以为直径的圆经过点M， ∴． ∴． ∴． ∴，解得． ∵， ∴． ∴，即． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题属于一次函数的综合，主要考查了直线与坐标轴的交点问题、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理、解直角三角形的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 2．[全等三角形的存在性问题]如图，抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线解析式及点D坐标； (2)点N是y轴负半轴上的一点且，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接，与抛物线的对称轴交于点M，连接，当平分时，求点Q坐标； (3)如图，直线交抛物线的对称轴于E，P是坐标平面内一点，当与全等时，请直接写出点P坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、一次函数与几何综合、特殊三角形问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）用待定系数法，直接将代入解析式即可求解解析式，再把解析式化为顶点式求出点D的坐标即可； （2）由平分，平行即可求出，继而得出点坐标，由直线解析式即可求出与抛物线交点坐标即可． （3）由三点的坐标可得三边长，由坐标可得和中，则另两组边对应相等即可，设点坐标为；利用两点间距离公式即列方程求解． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为， ∴顶点D的坐标为； （2）解：如图1，设对称轴与轴交于点， 平分， ， 又， ， ， ． 由（1）可知对称轴为直线，则 在中，，． ， ；． ①当时，直线解析式为：， 联立得． 解得：，， 点在对称轴右侧的抛物线上运动， ， ②当时，直线解析式为：， 同理可求：， 综上所述：点的坐标为：或； （3）解：由题意可知：，，， ， ， ， 直线经过，， 直线解析式为， 抛物线对称轴为，而直线交对称轴于点， 坐标为； ， 设点坐标为，则，， ， ∴与全等，有两种情况， 当，，即时， ， 解得：，， 即点坐标为或． 当，，即时， ， 解得：，， 即点坐标为或． 综上所述，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，一次函数与几何综合，勾股定理等等．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 3．[一次函数与圆的综合]（2025·上海奉贤·三模）已知：在平面直角坐标系中（如图），反比例函数在第一象限内的图像与直线的交点为，且直线与直线平行． (1)求直线的表达式； (2)若以A为圆心、半径长为r的与以原点O为圆心、半径长为1的相切，求r的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】一次函数与几何综合、已知直线和圆的位置关系求半径的取值、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式和两圆相切的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式和两圆相切的性质是解题的关键． （1）根据交点求出m的值，再根据两直线平行求出k的值，再代入点A坐标即可求出b的值； （2）根据相切的性质，分两圆内切和外切两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数在第一象限内的图像与直线的交点为， ∴， ∵直线与直线平行， ∴， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵以A为圆心、半径长为r的与以原点O为圆心、半径长为1的相切， 当两圆外切时，， ∴； 当两圆内切时，， ∴； ∴r的值为或． 考向05 求反比例函数解析式 研考向·通技法 一、考向分析 中考核心基础考点，重点考查待定系数法求反比例函数解析式，常结合图像、几何图形、实际问题等情境，是反比例函数模块的基础。 二、解题方法 1．设解析式：设反比例函数解析式为 （ 为常数）。 2．代点求 ：将已知点的坐标 代入解析式，得到 ，计算出 的值。 3．写解析式：将 代回所设形式，得到最终的反比例函数解析式 。 1．（2026·上海闵行·一模）人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示． 表一：地面所受压强与接触面积之间的关系 地面所受压强 …… …… 接触面积 …… …… 表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系 地面材质 玻璃 木地板 大理石 能承受的最大压强（） (1)求地面所受压强关于接触面积的函数表达式（不写定义域）； (2)求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？ 【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数解析式、实际问题与反比例函数 【分析】本题主要考查了以物理知识为情境的反比例函数的应用相关知识，知道物理学中压力、压强与接触面积三者之间的关系是解题的关键．计算时需要仔细． （1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系，设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为，将一对数据代入即可求出的值． （2）为确保机器人在所有地面材质上都能安全行驶，其压强不能超过三种材质能承受的最大压强的最小值，即木地板的Pa。当压强最大时，接触面积最小。把代入（1）中所求函数表达式中，即可求出这种机器人与地面的最小接触面积． 【详解】（1）解：由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系． 设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． 将代入，得， 地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． （2）解：为确保机器人在所有地面材质上都能安全行驶，其压强不能超过三种材质能承受的最大压强的最小值，即木地板的Pa。当压强最大时，接触面积最小。把代入得，， 答：该机器人与地面的接触面积至少为平方米． 2．（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，点在直线上，点B在曲线上． (1)求曲线的解析式； (2)连结，若直线和直线平行，求的度数和的正弦值． 【答案】(1) (2)°， 【知识点】求角的正弦值、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式以及三角函数的求解，正确求出函数解析式是解题关键． （1）将代入求得，推出；将代入求得，即可求解； （2）由题意得直线的解析式为：；联立与得：；可推出是等腰直角三角形，得；根据，得；作，即可求解； 【详解】（1）解：将代入得：； 求得：； ∴； 将代入得：， 求得：； ∴； （2）解：由（1）可得：； ∵直线和直线平行， ∴直线的解析式为：； 联立与得：； ∴轴，且； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴； 作，如图所示： 则； ∵，， ∴； ∴； 3．（2025·上海宝山·二模）在平面直角坐标系中（如图），反比例函数（是常数，且）的图像经过点． (1)求的值； (2)点在该反比例函数图像上（点与点在不同的象限内），联结，与轴交于点，且，求的正切值． 【答案】(1)的值为 (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征列出，求出值即可； （2）过点分别作轴的垂线，垂足为点，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，，再利用三角形相似的性质得到，最后根据正切的定义求出的正切值即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ， 解得； 所以，的值为2． （2）解：过点分别作轴的垂线，垂足为点， 由（1）可知，点，则，， ， ， ， ， 当时，， ， ， ， 所以，在中，． 4．（2024·上海·模拟预测）已知一次函数与反比例函数的图象交于，B两点 (1)求反比例函数解析式 (2)将在平面内沿某个方向平移得到其中点、、的对应点分别是、、，若、同时在反比例函数的图象上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、利用平移的性质求解、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，平移的性质，数形结合是解题的关键． 将点代入，可得点的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数，从而得出答案； 由平行四边形和反比例函数的对称性可知与，A与关于原点对称，即可求得，根据、的坐标得到平移的距离，从而求得点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入得，， 解得， ， 反比例函数的图象经过点A， ， 反比例函数解析式； （2）列方程组， 解得或， ， 由题意可知，， 四边形是平行四边形， 由反比例函数与平行四边形是中心对称图形可知，与，A与关于原点对称， ， 点向右平移个单位，向下平移个单位得到点， 点的坐标为． 考向06 反比例函数的应用 研考向·通技法 一、考向分析 中考高频应用题，核心是用反比例函数模型解决实际问题，常见场景有：工程效率、物理压强、杠杆平衡、商品定价等，侧重从文字中提取＂乘积为定值＂的关系，建立函数模型并求解。 二、解题方法（5步建模法） 1．审题找关系：识别＂乘积一定＂的反比例本质（如：工作总量 = 效率 × 时间，路程 = 速度 × 时间），确定自变量 和因变量 。 2．设解析式：设反比例函数为 ，其中 是题目中的定值（如总工作量、总路程）。 3．代值求 ：代入题目给出的一组对应值 ，计算 ，确定函数解析式（注意标注自变量取值范围）。 4．代入求解：将已知的 或 代入解析式，求出未知量。 5．验证作答：检验结果是否符合实际意义，写出完整结论。 1．（2025·上海普陀·三模）在现代智能仓储系统中，一款名为“”的智能机器狗，为了研究其载重能力W（千克）与其运动速度v（米/秒）的关系，工程师通过实验测得以下数据： 载重W（kg） … 10 12 15 20 30 … 速度v（m/s） … 6 5 4 3 2 … (1)把表中W，v的各组对应值作为点的坐标，如，…，已在图中坐标系描出了相应的点，请用平滑的曲线顺次连接这些点； (2)观察所画的图象，猜测v与W之间的函数关系，并求出函数关系式； (3)某次任务要求机器狗在8分钟内将货物运送至2400米外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量． 【答案】(1)见解析 (2)反比例函数关系， (3)12千克 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，连线即可作图得解； （2）依据题意可得，函数是反比例函数图象，从而可设，又图象过，求出，进而可以判断得解； （3）依据题意， 8分钟内将货物运送至2400米，从而（米/秒），故可得此时机器狗能承载的最大货物重量（千克），即可得解． 【详解】（1）解：由题意，连线作图如下． （2）解：由题意可得，v与W成反比例函数关系， ∴可设， 又∵图象过， ∴． ∴， 代入上式，均符合． ∴函数关系式为． （3）解：由题意，∵8分钟内将货物运送至2400米， ∴（米/秒）． ∴此时机器狗能承载的最大货物重量（千克）． 答：此时机器狗能承载的最大货物重量为12千克． 2．建筑是一门不断演化和创新的艺术，近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．图1为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑，其横截面（图2）由两条曲线，（反比例函数图象的一部分）和若干线段围成，为轴对称图形，其中四边形与四边形均为矩形，，，，，，以AC的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 请回答下列问题： (1)如图2，求所在图象的函数表达式． (2)如图3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架，并加装了始终垂直于的伸缩机械臂用来雕刻所在曲面的花纹，请问点在上滑动过程中，最长为多少米？ 【答案】(1) (2)米 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式、求一次函数解析式、实际问题与反比例函数 【分析】（1）根据题意可得，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）先求出所在直线解析式为，再根据反比例函数图像轴对称的性质，可得曲线关于直线轴对称，然后联立，即可求解． 【详解】（1）解：，，，为中点，， ， 设所在双曲线的表达式为， 将点坐标代入表达式中，得： 解得：， 抛物线表达式为； （2）解：根据题意得：点与点坐标分别为，， 设所在直线解析式为， 将、两点坐标代入得：， 解得，， 所在直线解析式为， 根据反比例函数图像轴对称的性质，曲线关于直线轴对称， 联立， 解得， ∴， 联立， 解得：， ∴， ． 【点睛】本题主要查了反比例函数的实际应用，求反比例函数解析式，求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键． 3．视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1  国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1  检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 素材2  图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足． 探究2  当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围． 素材3  如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 探究3  若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 【答案】探究检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为； 探究； 探究3：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、实际问题与反比例函数 【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，由待定系数法可得，将 代入得：； 探究2：由，知在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，故当时，，即可得； 探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得，即可解得答案． 【详解】探究 由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系， 设，将其中一点代入得：， 解得：， ，将其余各点一一代入验证，都符合关系式； 将 代入得：； 答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为； 探究 ， 在自变量的取值范围内，随着的增大而减小， 当时，， ， ； 探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得， 由探究1知， ， 解得， 答：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为． 【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决． 考向07 反比例函数与几何综合 研考向·通技法 一、考向分析 中考中档压轴题，核心是反比例函数与平面几何的综合应用，常结合三角形、四边形、坐标系、面积、相似、对称等知识点，重点考查 $|k|$ 的几何意义与数形结合能力。 二、解题方法（5 步通法） 1．抓核心性质：反比例函数 上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积为 $|k|$ ，三角形面积为 。 2.设点表坐标：设反比例函数上点为 ，用坐标表示线段长度、垂直关系、平行关系等几何条 3．几何转代数： 面积问题：利用 ∣k∣ 的几何意义或割补法，结合坐标列面积方程； 相似 / 全等：将线段比例、角度关系转化为坐标比例或等式； 垂直 / 平行：利用斜率乘积为 −1（垂直）或斜率相等（平行）列方程。 4.联立求解：联立几何条件与反比例函数解析式，求出未知点坐标或参数 k。 5．分类讨论：遇到动点、多解问题时，按位置、形状分类讨论，避免漏解，最后验证结果是否符合题意。 1．（2025·上海普陀·二模）【问题背景】 我们学过用尺规作图平分一条线段，小普同学想借助所学过的函数知识平分线段． 在如图1中，已知线段，为了平分线段，小普同学进行了如下的操作： ①在平面直角坐标系中，画出函数的图像； ②在轴的正半轴上截取，过点A作轴交函数的图像于点； ③以点为圆心，长为半径作弧，交于点． 所以点平分线段． 【解决问题】 (1)根据小普同学的做法，如果要将线段三等分，那么可以借助函数________的图像在图71中的线段上，找到点，使，于是可作出线段上的一个三等分点．（填函数解析式） (2)平面内的点可以用有序实数对来表示．在图2中，点在轴的正半轴上，．运用我们学过的函数知识，在图72中作出坐标为的点，写出画图步骤．（保留作图痕迹） 【答案】(1) (2)见详解 【知识点】反比例函数与几何综合、正比例函数的性质、画圆(尺规作图) 【分析】（1）由题意得，，设，则，点，即可解答． （2）先画出和 的图像，再过点B作轴的垂线，分别交两个函数于C、D两点，再作圆O，长为半径画圆交x轴于点E，过点E作直线垂直于x轴，过E为圆心，为半径画圆交直线l于点Q，即可解答． 【详解】（1）解：若，， 设，则，点， ∴． （2）如图： 画图步骤：①画平面直角坐标系中和 的图像； ②过点B作轴的垂线，分别交两个函数于C、D两点，则，， ③以点O为圆心，长为半径画圆交x轴于点E． ④过点E作直线垂直于x轴； ⑤过E为圆心，为半径画圆交直线l于点Q． ∴Q为所求． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，熟练掌握反比例函数的性质，尺规作图，正比例函数． 2．（2024·上海静安·三模）已知：如图，第一象限内的点在反比例函数的图像上，点在轴上，轴，点的坐标为，且．求： (1)反比例函数的解析式； (2)点的坐标； (3)的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】反比例函数与几何综合、解直角三角形的相关计算、坐标与图形、求反比例函数解析式 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的应用，涉及待定系数法求函数解析式、图形与坐标、锐角三角函数，数形结合思想的运用是解答的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）过A作于D，则，设，根据坐标与图形性质得到，，进而列方程求解t值即可； （3）先求得，再根据勾股定理求解，再根据余弦定义求解即可． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， ∵第一象限内的点在反比例函数的图像上，点的坐标为， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：过A作于D，则， 设， ∵轴， ∴，， ∴， 解得，经检验，符合所列方程， 故点C坐标为； （3）解：∵轴， ∴点B的纵坐标为1， 将代入中，得，则， ∴， 又，， ∴， ∴． 3．（2025·上海浦东新·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为（其中），射线与反比例函数的图像交于点，点、分别在函数的图像上，且轴，轴． (1)当点横坐标为6，求直线的表达式； (2)连接，当时，求点坐标； (3)连接、，试猜想：的值是否随的变化而变化？如果不变，求出的值；如果变化，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不变，值为1 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，反比例函数与几何的综合应用，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）求出点坐标，进而求出直线的解析式即可； （2）根据轴，得到的纵坐标为，代入反比例函数的解析式，进而求出点坐标，根据，列出方程进行求解即可； （3）延长交轴和轴于点，由题意，得：，进而得到，值的几何意义得到，进而推出，根据同高三角形的面积比等于底边比得到，进而得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得：，解得：， ∴； （2）∵轴，点的坐标为， ∴的纵坐标为， 当时，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3），值不变： 延长交轴和轴与点，由题意，得：， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴． 考向08 一次函数与反比例函数的交点问题 研考向·通技法 一、考向分析 中考高频中档题，核心考查一次函数与反比例函数的交点求解，常结合图像、面积、不等式等综合考查，重点是联立方程与数形结合思想。 二、解题方法（4步速解） 1．联解析式：将一次函数 与反比例函数 联立，得到方程组： 2．消元解方程：消去 ，得到一元二次方程 ，求解方程的根（即交点横坐标）。 3．求交点坐标：将根代回一次函数解析式，求出对应的 值，得到交点坐标 。 4．数形结合分析： 交点个数：由判别式 判断（ 两个交点， 一个交点， 无交点）； 不等式解集：结合图像，根据上下位置关系确定 或 的解集； 面积计算：以交点、坐标轴为顶点，用割补法求图形面积。 1．（2025·上海黄浦·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴交于、两点，反比例函数的图像经过直线上的点． (1)求直线的表达式； (2)已知点在反比例函数的图像上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入反比例函数解析式，求出点P坐标，再把点P坐标代入一次函数解析式，求出k值即可； （2）根据得出，利用两直线平行，比例系数相同，得求出直线的表达式为：，再联立函数解析式，求出直线与反比例函数的交点坐标即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， 解得：， ∴直线的表达式为：． （2）解：如图， ∵， ∴， 又∵直线的表达式为：， ∴直线的表达式为：， 联立，得， 解得：，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数图象交点问题，函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，平行线的判定，熟练掌握两直线平行，解析式的比例系数相等是解题的关键． 2．（2024·上海闵行·一模）如图，在坐标平面中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)过点A作轴，垂足为点C，将一次函数图象向右平移，且经过点C，求平移后的一次函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，待定系数法求函数的解析式，一次函数图象的平移问题，正确的理解题意是解题的关键． （1）把点代入得到，把代入，求得，于是得到结论； （2）根据平移前后的一次函数的解析式k相等，设平移后的一次函数的解析式为：，将点C的坐标代入可得结论． 【详解】（1）解：∵点在上， ∴， ∴， ∴， ∵在上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：； （2）设平移后的一次函数的解析式为：， ∵轴，且， ∴， 把点代入中，得：， ∴， ∴平移后的一次函数的解析式为：． 3.（2025·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系中，双曲线（为常数，且）与直线都经过点． (1)求与的值； (2)过点作平行于轴的直线，与双曲线相交于点，与直线相交于点，在中，当时，求边的长度． 【答案】(1)； (2) 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、其他问题(一元一次方程的应用)、反比例函数与几何综合、线段垂直平分线的判定 【分析】（1）将代入直线方程求出后可得点坐标，再将该坐标代入双曲线方程即可得到； （2）结合题意得出，，，根据垂直平分线的判定推得，解方程后可得，，将的值代入求得点和点坐标，满足存在即可． 【详解】（1）解：已知直线过点， 将代入直线方程， ， 双曲线过点，把，代入， ； （2）解：由题知：，，， ， 点在的垂直平分线上， ， ， ， ，， 当时，，，， 当时，，，此时、重合，舍去， 综上：． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数综合、垂直平分线的判定、两点间的距离、一元二次方程的实际应用，解题关键是运用数形结合思想解题． 4．（2025·上海·二模）在平面直角坐标系中，直线与双曲线（k是常数，且）交于点． (1)求k与m的值： (2)直线与x轴交于点B，过点B作y轴的平行线．交双曲线于点C，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题． （1）先利用一次函数求出m的值，得到点，再代入反比例函数解析式求出k的值即可： （2）求出点B的坐标，再求出点C的坐标，即可求出答案． 【详解】（1）解：把点代入得到， ∴， 把代入得到， 解得 （2）当时，，解得， ∴点B的坐标为， 由（1）可得，， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴ ∵， ∴的面积为． 5．（2025·上海普陀·一模）如图，在平面直角坐标系中，经过原点的直线与双曲线交于点，点在射线上，点的坐标为． (1)求直线的表达式； (2)如果，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合运用、锐角三角函数．解决本题的关键是运用待定系数法求出正比例函数的解析式，根据的正确值和正比例函数的解析式求出点的坐标． 根据点在双曲线上，可以求出，把点的坐标代入正比例函数中求出的值即可得到直线的表达式； 因为直线的解析式为，设点的坐标为，根据，可得关于的分式方程，解方程求出即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：点在双曲线上， 把代入， 可得：， 点的坐标为， 设直线的表达式为（）， 把，代入， 可得：， 直线的表达式为； （2）解：如下图所示，过点作轴，垂足为点， 设点的坐标为， 可得：，， 在中，， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ， 可得点的坐标为． 6．（2024·上海宝山·三模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点两点，与x轴、y轴分别交于两点，且点A的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2)8 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求表达式，以及一次函数与反比例函数的综合运用． （1）将点A坐标代入一次函数，即可求出b，将点A代入反比例函数，即可求出表达式了． （2）两个函数表达式建立方程，即可求出点A、B的坐标，在根据一次函数求出点C的坐标，即可求解的面积． 【详解】（1）解：（1）把代入得：． 解得：． ∴一次函数的表达式为． 把代入得：． 解得：． ∴反比例函数的表达式为． （2）解：连接，如图所示． 由， 解得：． ∴． 在上，当时， 解得：． ∴． ∴． ∴． ∴． 7．（2024·上海·三模）如图，已知直线与轴交于点A，与y轴交于点C，矩形的顶点B在第一象限的反比例函数图像上，过点B作，垂足为F，设． (1)求的正切值； (2)已知直线与反比例函数图像都经过第一象限的点D，连接，若轴，求m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、求角的正切值 【分析】本题考查一次函数与反比例函数与四边形的综合题目，难度中等，与全等综合转化相关的线段与角度是解题关键． （1）根据一次函数解析式算出点的坐标即可求算； （2）作轴，根据矩形的性质得出，从而表示出的坐标，再根据条件表示的坐标，再根据均在反比例图象上从而算出． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点A，与轴交于点C， ∴， ∴； （2）解：如图，作轴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， 又∵轴，在上， ∴， ∵,均在反比例上： ∴， 解得：， ∵四边形是矩形， ∴舍去， ∴， ∴． 8．（2024·上海杨浦·三模）已知一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点，与轴交于点． (1)求一次函数解析式； (2)设点关于轴的对称点为点，求的面积． 【答案】(1) (2)的面积为15 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，反比例函数图象上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，关于轴对称的点的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）由反比例函数的解析式求出点A、B两点坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式； （2）利用一次函数的解析式求出点C坐标，根据对称的性质得出点D 坐标，利用即可求得结论． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点， ∴，， ∴， 将和代入得 ，解得 ∴一次函数的解析式为：； （2）如图，当时，， ∴， ∵，关于轴的对称， ∴， ∴， ∴ 考向09 新定义问题 1．（2024·上海·模拟预测）新定义：无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为，在平面直角坐标系中建立点为的青一坐标，同理可得的青一区间为，为的青一坐标，两坐标的距离，叫做的青一距． (1)的青一坐标与的青一坐标关于_________对称； (2)的青一区间为_______，的青一区间为_________，的青一距为_______； (3)实数x，y满足关系式：，若直线过的青一坐标和的青一坐标，求：的青一距和直线与x轴夹角的正弦值． 【答案】(1)原点 (2)，， (3)青一距为，正弦值为 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求角的正弦值、无理数的大小估算、判断两个点是否关于原点对称 【分析】本题考查坐标与中心对称，无理数的估算，求一次函数的解析式，求正弦值： （1）根据点的坐标特征，进行判断即可； （2）根据青一区间和青一距的定义，进行求解即可； （3）非负性求出的值，进而求出青一区间和青一距，待定系数法求出函数解析式，数形结合求出角的正弦值即可． 【详解】（1）解：和的横纵坐标均为相反数， 故的青一坐标与的青一坐标关于原点对称； 故答案为：原点； （2）∵， ∴的青一区间为； ∵ ∴的青一区间为； ∵， ∴的青一区间为，的青一区间为； ∴的青一距为； 故答案为：；；； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的青一区间为：，的青一区间为：， ∴的青一距为； ∵直线过的青一坐标和的青一坐标，即直线过和， ∴，解得：， ∴， 如图：不妨设，过点作轴，则：， ∴， ∴ ∴的青一距青一距为，直线与x轴夹角的正弦值为． 2．（2024·上海·模拟预测）如图1，已知点，，直线与反比例函数的图象与第一象限交于． (1)求k的值； (2)如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，，试问在轴上是否存在一点，使的面积与的面积相等，若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)新定义：如图2，在平面内，若三角形的一边等于另一边的3倍，则两边较长的那一边叫做麒麟边，两边夹角叫做麒麟角，三角形叫做麒麟三角形，若为麒麟三角形，为麒麟边，为麒麟角，A，B在反比例函数上，且点A横坐标为，直线交y轴于C，与y轴的截距为2，求n的值． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为：或 (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、求反比例函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、反比例函数与几何综合 【分析】（1）利用待定系数法求得直线的解析式，即可得点，则待定系数法即可求的反比例函数； （2）当点在点右侧时，过点作直线，交轴于点，则点为所求点，即可求解；当点在点的左侧时，根据点的对称性即可求解； （3）由题意可知，因此当为直角三角形时，不可能为斜边，有或两种情况讨论．作辅助线构造三垂直模型，证得相似三角形，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的表达式为：， 由点，点得 ，解得 则直线的表达式为：， 当时，即，则， 即点， 将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 即反比例函数的表达式为：； （2）解：存在，理由： 点是反比例函数图象上一点，则点， 当点在点右侧时， 过点作直线，交轴于点，则点为所求点， 直线的表达式为：，， 则直线的表达式为：， 令，则， 解得：，则点， 则， 当点在点的左侧时，由对称性可得点的坐标为：， 即点， 综上，点的坐标为：或； （3）解：为“麒麟三角形”， 为“麒麟边”， 为“麒麟角”， ， 是直角三角形， 不可能为斜边，即， 或， 如图1，当时，过作轴于，过作轴于， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 点坐标为， ， 此时，点不可能在反比例函数上，故该情况不存在； ②如图2，当时，过作轴于，过作轴交于， ， ， ， ， ， ， ，， 设，， ， ， 点坐标，点坐标． ，在上， ， 解得：； 综上，， 则点的坐标为：， 将点的坐标代入函数表达式得：． 【点睛】本题为反比例函数综合题，主要考查了求一次函数解析式、反比例函数的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质，以及对称性，解题的关键是构造直角三角形和相似三角形，以及分类讨论思想的应用． 刷模拟 1．（2025·上海闵行·二模）一个数学兴趣小组尝试探究一次函数图象与两坐标轴所围成三角形面积的问题．为了较为全面地研究这个问题，他们准备把它分成两种类型问题来分别进行研究： 类型I：一条直线（、都不为0）与两条坐标轴所围成的三角形面积大小； 类型II：两条直线和（、，且都不为零）与坐标轴所围成的三角形的面积、直线与两条坐标轴所围成的三角形面积、直线与两条坐标轴所围成的三角形面积之间的关系． 小组成员认为第一类问题只要将直线与两坐标轴的交点坐标分别求出来，就能解决；而第二类的问题需要根据两个函数和符号的不同情况，分别进行研究，才能得出相应的结论． (1)如图1，请你帮助小组求出的面积（用含和的式子表示）． (2)将直线与两条坐标轴所围成的三角形面积记为，直线与两条坐标轴所围成的三角形面积记为，直线、和轴所围成的三角形面积记为，它们和轴所围成的三角形面积记为． ①在图2中已经画出了直线和大致图象的一种情况，那么关于这两个一次函数的和符号选项正确的是______． A．，，，        B．，，， C．，，，        D．，，， 此时、、和之间的关系式是______． ②如图3，保持直线不变，改变直线中和的符号（不考虑和的大小），请在图中画出直线的大致图象，此时、、和之间的关系式是______． 【答案】(1) (2)①D，；②． 【分析】本题考查了函数与不等式的关系，掌握函数的性质和三角形的面积公式是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式求解； （2）①根据一次函数的性质求解； ②根据三角形的面积的和差求解． 【详解】（1）解：当时，， 当时，，解得：， ∴，， ∴； （2）解：①观察图形得：经过一二三象限，经过一二四象限， ∴，，，，， 故选：D；， ②∵，， ∴图象如下： 由图象得：． 2．（2025·上海闵行·一模）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，与双曲线在第一象限分支交于点，过点作轴的平行线，交轴于点，． (1)求点、的坐标； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，勾股定理的应用以及解直角三角形等，求得交点坐标是解题的关键． （1）令和时，代入解析式得出坐标即可； （2）先确定D点的纵坐标，进一步求得C点的坐标，然后利用待定系数法求得k； （3）作于E，利用勾股定理求得、，利用三角形面积公式求得，然后解直角三角函数即可． 【详解】（1）解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 将代入，得到：， ∴， 将代入，得到， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴D的纵坐标为2， 把代入得，， ∴， ∵双曲线过点C， ∴； （3）解：作于E，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（2025·上海徐汇·二模）已知：在直角坐标系中直线与轴、轴相交于点、．当的值小于0时，的值大于4，且该直线与轴的夹角为．抛物线经过点和点． (1)【问题提出】如何求抛物线解析式 观察条件“当的值小于0时，的值大于4”，可得当的值小于4时，的值__________（选填“大于”或“小于”）0，该条直线的大致图像可能是__________（选填“A”或“B”），其中与轴交点的坐标为__________．继续阅读条件，“该直线与轴的夹角为”告诉我们其与轴的交点的坐标是__________，最终带入抛物线，列出方程组__________，解得__________，__________． (2)【综合运用】 是线段上一点，过点作直线的平行线，与轴相交于点，把沿直线翻折，点的对应点是点，如果点在抛物线上，求点的坐标． 【答案】(1)（1）大于，，，，，1，4 (2)点是坐标是 【知识点】判断一次函数的图象、其他问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、证明四边形是正方形 【分析】（1）根据图象和已知条件可得，，随的增大而减小，再将点和的坐标代入抛物线的解析式，解方程组即可解答； （2）设点的坐标为，证明是等腰直角三角形，则，再证明四边形是正方形，得，代入抛物线的解析式即可解答． 【详解】（1）解：∵当的值小于0时，的值大于4， 则与轴交点的坐标为， ∵该直线与轴的夹角为，且 ， 是等腰直角三角形， ∴， ∴与轴的交点的坐标是， 可得当的值小于4时，的值大于0， 即随的增大而减小， ∴该条直线的大致图象可能是B， 将，代入抛物线中得： ， 解得：； 故答案为：大于，B，，，，1，4； （2）解：设点的坐标为， ， ， 是等腰直角三角形， ， 由折叠得：，， ， ， 四边形是正方形， ， 点在抛物线上， ， 解得：， ∵是线段上一点， ． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，待定系数法的应用，正方形的性质和判定，等腰直角三角形，利用数形结合的思想是解题的关键． 4．[建系法]（2025·上海·模拟预测）如图，点、、都在的小正方形网格的格点上．如果设的坐标为，点的坐标为．请只使用无刻度的直尺画图（不写画法，保留画图痕迹，写出结论）． (1)画出的中线； (2)找到的重心，直接写出重心的坐标． 【答案】(1)画图见解析； (2)见解析，． 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求一次函数解析式、重心的概念 【分析】本题考查了无刻度直尺画图，点的坐标，三角形重心，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）取中点，连接，则即为所求； （）取中点，连接，交于点，然后通过待定系数法求出解析式即可求出点． 【详解】（1）解：如图，取中点，连接， ∴即为所求； （2）解：如图，取中点，连接，交于点， 由的坐标为，点的坐标为 通过画图可知，， 设解析式为， ∴，解得， ∴解析式为， 同理解析式为， 联立，解得：， ∴． 刷真题 1．（2025•上海）某品牌储水机的容量是200升，当加水加满时，储水机会自动停止加水，已知加冷水量（升和时间（分钟）的图象如图所示，加水过程中，水的温度（摄氏度）和（分钟）的关系：． （1）求与的函数关系式，并写出定义域； （2）求储水机中的水加满时，储水机内水的温度． 【分析】（1）求出每分钟加水量，从而写出与的函数关系式，当时，求出对应的值，从而写出定义域即可； （2）将对应的的值代入与的关系式，求出对应的值即可． 【解答】解：（1）每分钟加水量为（升， 则， 当时，解得， 与的函数关系式及定义域为． （2）当时，， 储水机中的水加满时，储水机内水的温度为32摄氏度． 【点评】本题考查一次函数的应用，求出与的函数关系式是解题的关键． 2．（2024•上海）在平面直角坐标系中，反比例函数为常数且上有一点，且与直线交于另一点． （1）求与的值； （2）过点作直线轴与直线交于点，求的值． 【分析】（1）将点坐标代入一次函数解析式求出，再将点坐标代入反比例函数解析式求出值，最后将点坐标代入反比例函数解析式求出即可； （2）求出点坐标，根据正弦函数定义直接写出结果即可． 【解答】解：（1）点在直线图象上， ，解得， ， 在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为， 点在反比例函数图象上， ． ． （2）在函数中，当时，， ， ， ． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 3．（2023•上海）“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完． （1）他实际花了多少钱购买加油卡？ （2）减价后每升油的单价为元升，原价为元升，求关于的函数解析式（不用写出定义域）． （3）油的原价是7.30元升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？ 【分析】（1）根据打九折列出算式，计算即可； （2）根据每一升油，油的单价降低0.30元知：； （3）当，可得，根据优惠后油的单价比原价便宜元，计算求解即可． 【解答】解：（1）由题意知，（元， 答：实际花了900元购买会员卡； （2）由题意知，， 整理得， 关于的函数解析式为； （3）当时，， ， 优惠后油的单价比原价便宜1.00元． 【点评】本题考查了有理数乘法应用，一次函数解析式，一次函数的应用，解题的关键在于理解题意，正确的列出算式和一次函数解析 式． 4．（2022•上海）一个一次函数的截距为1，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）点，在某个反比例函数上，点横坐标为6，将点向上平移2个单位得到点，求的值． 【分析】（1）理解截距得概念，再利用待定系数法求解； （2）数形结合，求两个点之间得距离，再利用三角函数得定义求解． 【解答】解：（1）设一次函数的解析式为：， ， 解得：， 一次函数的解析式为：． （2）点，在某个反比例函数上，点横坐标为6， ， ， △是直角三角形，且，， 根据勾股定理得：， ． 【点评】本题考查了待定系数法的应用，结合三角函数的定义求解是解题的关键． 2 / 87 1 / 87 学科网（北京）股份有限公司 $