第五章分式与分式方程培优卷 2025—2026学年北师大版数学八年级下册

第五章分式与分式方程培优卷北师大版2025—2026学年八年级数学下册 总分：120分 时间：90分钟 姓名：________ 班级：_____________成绩：___________ 一．单项选择题（每小题5分，满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 2．已知分式的值为 0，则 （       ） A．1 B． C．1 或 D．0 3．如果把分式中的同时扩大到原来的3倍，那么该分式的值（    ） A．不变 B．扩大到原来的4倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 4．已知，且，则的值为（      ） A． B．± C．2 D． 5．某农场开挖一条长480米的渠道，开工后每天比原计划多挖30米，结果少花4天完成任务，若设原计划每天挖米，那么下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，则等于（    ）． A． B． C． D． 7．关于x的分式方程的解是正数，则实数m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 8．若，且，则的值是（    ） A． B．3 C． D．2 二．填空题（每小题5分，满分20分） 9．化简的结果是____________________ ． 10．若x=m是关于x的方程的解，则代数式的值是____________． 11．已知，则的值________； 12．已知实数满足，则代数式________． 三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 13．化简求值：，其中． 14．解分式方程： (1)； (2)． 15．探索并解决问题． 【计算】 请你计算下列算式，观察并归纳其中的规律： （1） ； （2） ； （3） （4） 【归纳】 - ． 这个结果与上面的计算有什么联系吗？ 【应用】 （1）计算： ⋯； （2）解分式方程： 16．某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等． (1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少； (2)现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润． 17．已知，且（x，y为整数，且，）． (1)求证：M能被3整除； (2)若整数a，b满足，且．求出的值． 18．定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“整差式”，这个常数称为A关于B的“整差值”． 如分式，，，则A是B的“整差式”，A关于B的“整差值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“整差式”，若不是，请说明理由；若是，请求出C关于D的“整差值”； (2)已知分式，，P是Q的“整差式”，且P关于Q的“整差值”是2，x为正整数，且“整差式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值； (3)已知分式，（a，b，c为整数），M是N的“整差式”，且M关于N的“整差值”是1，求的值． 参考答案 一、选择题 1．C 2．B 3．C 4．A 5．A 6．C 7．D 8．C 二、填空题 9． 10．4 11． 12． 三、解答题 13．【详解】解：原式 当时，原式 14．【详解】（1）解：， 去分母，得， 解得； 检验，当时，， 故是原方程的解； （2）解：， 去分母，得， 解得； 当时，， ∴是原方程的增根，舍去； ∴原方程无解. 15．【详解】解：【计算】（1）； （2）原式； （3）原式； （4）原式； 【归纳】原式； 这个结果与上面的计算是有联系的，上面计算中的每个分数可以拆分为形如这个结果的两个分数的差； 【应用】（1）原式．．． ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解， ∴． 16．【详解】（1）解：设每台空调的进价为a元，则每台电冰箱的进价为元， 由题意，得：， 解得， 经检验是原方程的解； ； 答：每台空调的进价为1600元，每台电冰箱的进价为2000元； （2）解：设购进电冰箱x台，则购进空调台， 由题意，得： 解得， x为整数， ，共3种方案； ， y随x的增大而减小， 当时，购进空调台，y有最大值为13300元， 答：购买电冰箱34台，购进空调66台，利润最大，为13300元． 17．【详解】（1）证明：∵， 由， 整理得，即， ∴， ∴， ∵x，y为整数， ∴为整数， ∴M能被3整除； （2）解：由得，， 将代入， 得， 由（1）可知， ∴，整理得， ∵x，y为整数， ∴为整数， ∴为整数，即为整数， ∵a为整数， ∴或， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴的值为或6或0或2． 18．【详解】（1）解：∵，， ∴ ， 则C是D的“整差式”，C关于D的“整差值”为1； （2）由条件得， 即， 解得， ∴， ∵x为正整数，且“整差式”P的值也为整数， ∴当时，或当时，， 则，或； （3）由条件得， 即， 整理得恒成立， ∴， ∴， ∴， 即 ∴， ∵a，b，c为整数， ∴或， 则或， ∴， 或． 学科网（北京）股份有限公司 $