精品解析：2026年3月 云南省下关第一中学初中部九年级学业水质量检测数学试卷

下关一中初中部2026年九年级学业水平质量检测 数学试题卷 【考生注意】 1．本卷共三大题，27个小题．总分100分，考试时间120分钟． 2．请在答题卡相应的位置作答；在试卷、草稿纸上答题无效． 3．考试结束请将答题卡交回． 一、选择题（本大题含15个小题，每小题2分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1. 规定：表示向右移动1，记作，则表示向左移动5，记作（ ） A. B. C. D. 2. 2025年3月，中国科研团队成功实现从中国本土到南非的12900公里点对点量子通讯，这标志着保密通讯技术的重大突破．将12900用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，则（ ） A. 80° B. 100° C. 50° D. 130° 4. 若点在一次函数图象上，则k的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 6. 历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是心思，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 7. 下列立体图形中，主视图和左视图均为三角形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点P是反比例函数图象上的一点，过点P向x轴作垂线，垂足为M，连接，则的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 9. 如图，在中，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 下列航天领域的图标，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，相似比为，若的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 12. 冬季是流感等呼吸道传染病高发季节，某班级最初有1人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有16人患流感，若设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 13. 在某次射击训练中，张山的成绩(单位：个)如下：，，，，，．这些成绩的中位数和众数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 14. 正值云南春季干燥季节，小明的爷爷准备用传统手工制作一个圆锥形竹篓来收纳新采摘的茶叶．已知竹篓口大小（底面直径）为，篓高（圆锥高）为，则这个竹篓的侧面积为（ ） A. B. C. D. 15. 按一定规律排列的式子：，，，，…，第n个式子是（ ） A. B. C. D. 二、填空题；（本大题含4小题，每小题2分，共8分） 16. 当_______________时，二次根式有意义． 17. 因式分解：________． 18. 如图，点O是矩形对角线的中点，点E是的中点，连接，．若，，则矩形的面积为_______ 19. “爱护眼睛，拥抱光明”．某校数学兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行调查，并按照国家分类标准统计人数，绘制成如下两幅不完整的统计图表： 抽取的学生视力情况统计表 抽取的学生视力情况统计图 A 正常 80 B 轻度近视 C 中度近视 75 D 重度近视 若该校共有学生2000人，估算该校学生近视程度为中度和重度的总人数为________人． 三、解答题：（本大题含8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 计算：． 21. 如图所示，点在外部，点在边上．交于，若，，，求证：． 22. 某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：    请求出排球的单价是多少元？ 23. 数学文化是人类文化的一种，是现代文明的重要组成部分．为了解数学文化相关知识，甲、乙两位同学分别从《九章算术》《几何原本》《世界数学通史》《古今数学思想》（依次用表示）四本数学名著中各自随机选择一本进行阅读．假设这两位同学选择阅读哪本名著不受任何因素影响，且每一本被选到的可能性相等． A．九章算术 B．几何原本 C．世界数学通史 D．古今数学思想 （1）从四本名著中任意抽取一本，抽到《几何原本》概率是______； （2）求甲、乙两位同学选择阅读同一本名著的概率． 24. 如图，在平行四边形中，点O是对角线中点，过点O作交于点E，于点F，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 25. 低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，因此新能源汽车逐渐成为人们选择的交通工具．某汽车销售公司计划2024年购进一批新能源汽车，据了解，2辆A型汽车、5辆B型汽车的进价共计130万元；4辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计120万元． （1）求A型、B型汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若购进A、B两种型号汽车共10辆，所需进价不超过180万元，至少购买A种型号汽车多少辆？ 26. 已知抛物线． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若抛物线图象经过点是抛物线与轴交点的横坐标，记，比较与的大小． 27. 如图，是四边形的外接圆，点D是劣弧的中点，直径交于点 G，在劣弧上取一点 B，使得，延长至H，连接，使． （1）若，求的度数； （2）求证：直线是的切线； （3）若且，你认为的值是否等于一个常数k，若是，求出k的值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 下关一中初中部2026年九年级学业水平质量检测 数学试题卷 【考生注意】 1．本卷共三大题，27个小题．总分100分，考试时间120分钟． 2．请在答题卡相应的位置作答；在试卷、草稿纸上答题无效． 3．考试结束请将答题卡交回． 一、选择题（本大题含15个小题，每小题2分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1. 规定：表示向右移动1，记作，则表示向左移动5，记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反意义的量“用正负数表示两种具有相反意义的量，具有相反意义的量都是相互依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量”，熟记相反意义的量的定义是解题关键． 根据相反意义的量的定义求解即可得． 【详解】解：∵向右移动与向左移动的意义相反， ∴若表示向右移动1，记作，则表示向左移动5，记作． 故选：B． 2. 2025年3月，中国科研团队成功实现从中国本土到南非的12900公里点对点量子通讯，这标志着保密通讯技术的重大突破．将12900用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是掌握科学记数法的形式为（其中，为整数）． 先确定的值，使它满足，再根据原数的位数确定的值，从而写出正确的科学记数法形式． 【详解】解：A、，但，不满足科学记数法的要求，此选项不符合题意； B、，此选项不符合题意； C、，且，此选项符合题意； D、，但，不满足科学记数法的要求，此选项不符合题意； 故选：C． 3. 如图，，，则（ ） A. 80° B. 100° C. 50° D. 130° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质定理和判定定理，能熟记平行线的性质定理和判定定理是解此题的关键. 求出，根据平行线的判定定理得出，根据平行线的性质定理得出，再求出 即可. 【详解】解：如图 ， ， ， ， ， . 故选：B． 4. 若点在一次函数的图象上，则k的值为（ ） A 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式． 把点代入一次函数，通过解一元一次方程来求的值． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ， 解得． 故选：A． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂的除法，单项式乘单项式，乘方的定义，分别根据积的乘方，同底数幂的除法，单项式乘单项式的运算法则及乘方的定义计算即可判断． 【详解】解：A、，故原计算错误，不符合题意； B、，故原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，故原计算错误，不符合题意． 故选：C． 6. 历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是心思，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求多边形的内角和，根据多边形的内角和公式，，进行求解即可． 【详解】解：八边形的内角和为； 故选A． 7. 下列立体图形中，主视图和左视图均为三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图的识别，解决本题的关键是熟练掌握三视图的识别． 根据圆柱，四棱柱，圆锥以及三棱柱的几何特征判断主视图和左视图即可． 【详解】解：A选项，主视图为矩形，左视图为矩形，故A选项错误； B选项，主视图为矩形（或正方形），左视图为矩形（或正方形），故B选项错误； C选项，主视图为三角形，左视图为三角形，故C选项正确； D选项，主视图为矩形，左视图为矩形，故D选项错误． 故选：C ． 8. 如图，点P是反比例函数图象上的一点，过点P向x轴作垂线，垂足为M，连接，则的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，该知识点是中考的重要考点．根据反比例函数系数k的几何意义可知，的面积． 【详解】解：依据比例系数k几何意义可得， 面积等于， 故选：D． 9. 如图，在中，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，直角三角形中，一个锐角的正切值等于该锐角所对的直角边的长与另外一条直角边的长的比值，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故选：A． 10. 下列航天领域的图标，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．熟练掌握相关定义是解答本题关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A选项既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； B选项是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； D选项是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意． 故选：C． 11. 已知，相似比为，若的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质．利用相似三角形周长的比等于相似比来计算即可求解． 【详解】解：∵，相似比为， ∴的周长的周长， ∵的周长为， 设的周长为，则， 即， 解得． 故选：C． 12. 冬季是流感等呼吸道传染病高发的季节，某班级最初有1人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有16人患流感，若设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据传染模型，每轮传染中所有病人均参与传染，两轮后总人数为初始人数乘以的平方，即可作答． 【详解】解：∵初始患病人数1， ∴第一轮传染后，患病人数为 ∴第二轮传染时，有人，每人传染x人， ∴ 新传染人数为， ∴第二轮后总患病人数为， 又∵ 两轮后共有16人患流感， ∴， 故选：A 13. 在某次射击训练中，张山的成绩(单位：个)如下：，，，，，．这些成绩的中位数和众数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 众数是出现次数最多的数，出现3次；中位数需将数据排序后取中间值，偶数个数据取中间两个数的平均值，排序后为，，，，，，中间两个均为，故中位数为； 【详解】解：∵ 数据为，，，，，， ∴ 众数为出现次数最多的数，出现3次，故众数为， 将数据排序：，，，，，， ∵ 数据个数为偶数， ∴ 中位数为第3和第4个数的平均值，即， 故中位数为，众数为； 故选：D； 14. 正值云南春季干燥季节，小明的爷爷准备用传统手工制作一个圆锥形竹篓来收纳新采摘的茶叶．已知竹篓口大小（底面直径）为，篓高（圆锥高）为，则这个竹篓的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆锥侧面积公式与勾股定理，先根据勾股定理求出圆锥的母线长，再代入圆锥侧面积公式计算，即可选出正确选项． 【详解】解：∵圆锥底面直径为，圆锥高为， ∴圆锥底面半径， 由勾股定理得圆锥母线长， ∴圆锥侧面积． 15. 按一定规律排列的式子：，，，，…，第n个式子是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查代数式变化的规律，观察单项式的系数和次数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，奇数项的系数为负，偶数项的系数为正，且各项系数的绝对值的分子都是1，分母为从1开始的连续奇数， 所以第n个式子的系数为：； 观察单项式列中各单项式的次数可知， ， ， ， …， 所以第n个式子的次数为：， 所以第n个式子可表示为：． 故选：C． 二、填空题；（本大题含4小题，每小题2分，共8分） 16. 当_______________时，二次根式有意义． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式性质．根据二次根式的性质，被开方数必须为非负数． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得， 解得：， 故答案为：． 17. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式m，再用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 18. 如图，点O是矩形的对角线的中点，点E是的中点，连接，．若，，则矩形的面积为_______ 【答案】 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得到，利用中位线定理得到，利用勾股定理得到，即求得矩形的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点O是矩形的对角线的中点， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴矩形的面积为． 故答案为： 【点睛】此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识，熟练掌握直角三角形的性质和三角形中位线定理是解题的关键． 19. “爱护眼睛，拥抱光明”．某校数学兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行调查，并按照国家分类标准统计人数，绘制成如下两幅不完整的统计图表： 抽取的学生视力情况统计表 抽取的学生视力情况统计图 A 正常 80 B 轻度近视 C 中度近视 75 D 重度近视 若该校共有学生2000人，估算该校学生近视程度为中度和重度的总人数为________人． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、用样本估计总体．根据类型的人数和所占的百分比，可以计算出本次抽查的人数；再用总人数乘样本中视程度为中度和重度所占比例即可． 【详解】解：所抽取的学生共有：（人）， 中度近视所占百分比为：， （人）， 估算该校学生近视程度为中度和重度的总人数为人． 故答案为：． 三、解答题：（本大题含8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算．利用负整数指数幂、特殊角三角函数、二次根式的加减运算、零指数幂、立方根进行计算即可． 【详解】解： ． 21. 如图所示，点在外部，点在边上．交于，若，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由题意可得出，再利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即． 在和中，， ∴． 【点睛】本题考查三角形全等的判定．掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 22. 某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：    请求出排球的单价是多少元？ 【答案】排球的单价为100元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出合适的等量关系列出方程是解题的关键． 设排球单价为元，则篮球单价为元，根据“用2000元购买的排球个数和用3200元购买的篮球个数相等”列方程求解即可． 【详解】解：设排球单价为元，则篮球单价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，为原方程的解， 答：排球的单价为100元． 23. 数学文化是人类文化的一种，是现代文明的重要组成部分．为了解数学文化相关知识，甲、乙两位同学分别从《九章算术》《几何原本》《世界数学通史》《古今数学思想》（依次用表示）四本数学名著中各自随机选择一本进行阅读．假设这两位同学选择阅读哪本名著不受任何因素影响，且每一本被选到的可能性相等． A．九章算术 B．几何原本 C．世界数学通史 D．古今数学思想 （1）从四本名著中任意抽取一本，抽到《几何原本》的概率是______； （2）求甲、乙两位同学选择阅读同一本名著的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率的问题，概率公式，解题的关键是列出表格或画出树状图． （1）理解题意，运用概率公式进行分析，即可作答． （2）根据题意列出表格，找到甲、乙两名同学选择阅读同一本名著的情况，得出概率． 小问1详解】 解：∵从四本名著中任意抽取一本，且四本名著分别是《九章算术》《几何原本》《世界数学通史》《古今数学思想》， ∴抽到《几何原本》的概率是． 【小问2详解】 解：根据题意列表如下： A B C D A B C D 共有以上16种等可能结果． 其中甲、乙两位同学选择阅读同一本名著的结果有4种： 甲、乙两位同学选择阅读同一本名著的概率为． 24. 如图，在平行四边形中，点O是对角线中点，过点O作交于点E，于点F，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）36 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质得到，，．再根据平行四边形的性质推导出得到，进而利用菱形的判定可得结论； （2）先由已知得到，再利用菱形的性质和勾股定理得到，进而求得，然后利用菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵点O是中点，， ∴是的垂直平分线， ∴，，． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，, 在和中， ∴． ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴ ∴， 即， 在中，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 25. 低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，因此新能源汽车逐渐成为人们选择的交通工具．某汽车销售公司计划2024年购进一批新能源汽车，据了解，2辆A型汽车、5辆B型汽车的进价共计130万元；4辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计120万元． （1）求A型、B型汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若购进A、B两种型号汽车共10辆，所需进价不超过180万元，至少购买A种型号汽车多少辆？ 【答案】（1）A型汽车每辆进价为15万元，B型汽车每辆进价为20万元． （2）至少购买A种型号汽车辆． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元，根据“2辆A型汽车、5辆B型汽车进价共计130万元；4辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计120万元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． （2）设购买A种型号汽车辆，则B种型号汽车辆，根据“所需进价不超过180万元”，进行列式，即可作答． 【小问1详解】 解：设A型汽车每辆进价为x万元，B型汽车每辆进价为y万元， 根据题意得：， 解得：． 答：A型汽车每辆进价为15万元，B型汽车每辆进价为20万元． 【小问2详解】 解：设购买A种型号汽车辆，则B种型号汽车辆 依题意，， 解得， ∴至少购买A种型号汽车辆． 26. 已知抛物线． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若抛物线图象经过点是抛物线与轴交点的横坐标，记，比较与的大小． 【答案】（1） （2）当时，；当时， 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式求解即可． （2）将已知点代入解析式求a，求出函数的解析式，然后令求t值，再对进行变形化简，得出T关于t的表达式，最后分情况比较T与​​的大小． 【小问1详解】 解：抛物线为， 对称轴为直线． 即抛物线的对称轴为直线． 【小问2详解】 解：图象经过点，把代入，则 解得：， 故抛物线解析式， 是抛物线与轴交点的横坐标， ， 解得：， ， ， ，故． 当时，，此时； 当时，，此时． 【点睛】本题考查二次函数的对称轴、待定系数法求解析式，抛物线与轴的交点以及代数式化简和大小比较．关键在于熟练运用公式及对进行合理变形 ． 27. 如图，是四边形的外接圆，点D是劣弧的中点，直径交于点 G，在劣弧上取一点 B，使得，延长至H，连接，使． （1）若，求的度数； （2）求证：直线是的切线； （3）若且，你认为的值是否等于一个常数k，若是，求出k的值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3）是， 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补求解即可； （2）连接，由直径可得，再结合等边对等角的性质，推出，则，即可证明结论； （3）连接、、、．延长、交于点，根据垂直平分线的判定定理，推出是的直径，证明，得到，再证明，得到，证明，设，，，，得出，进而得出，再根据，得出，即可求解． 【小问1详解】 解：是四边形的外接圆， ， ， ； 【小问2详解】 证明：如图，连接， 是直径， ， ， ， ， ， ，即， ， ∵为半径， ∴直线是的切线； 【小问3详解】 解：如图，连接、、、．延长、交于点， ∵点是劣弧的中点， ∴劣弧劣弧， ∴， ∵，， ∴、、三点都在的垂直平分线上， ∴是的直径， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴ ∴， 又， ∴， ， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∵、为直径， ∴， ∴和是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴设，，，， ， ， ， ， ∵， ． 【点睛】本题考查了圆内接四边形，圆周角，等腰三角形的判定和性质，圆的切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定等知识，掌握相关知识点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $