专题10 统计与概率综合（题型专练）（广东专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题10 统计与概率综合 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 全面调查、抽样调查、事件的分类 题型02 统计图（表）的分析 题型03 统计数据分析 题型04 列举法求概率 题型05 用频率估计概率 题型06 概率与游戏公平性问题 题型07 统计与概率综合 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 全面调查、抽样调查、事件的分类 典例引领 【典例01】（2025·广东揭阳·三模）下列调查方式中，合适的是（   ） A．了解某班学生中哪个月份出生的人数最多，用抽样调查 B．神舟十九号载人飞船发射前对其零部件的检查，用抽样调查 C．了解广东省九年级学生的视力情况，用全面调查 D．了解一批冷饮的质量达标情况，用抽样调查 【答案】D 【分析】根据全面调查和抽样调查的适用条件，逐一分析解答即可． 本题考查了全面调查和抽样调查，熟练掌握选择调查的方法是解题的关键． 【详解】解：A. 了解某班学生中哪个月份出生的人数最多，用全面调查； B. 神舟十九号载人飞船发射前对其零部件的检查，用全面调查； C. 了解广东省九年级学生的视力情况，用抽样调查； D. 了解一批冷饮的质量达标情况，用抽样调查． 故选：D． 【典例02】（2025·广东梅州·一模）下列调查中，调查方式选择合理的是（   ） A．调查某班同学的视力水平，采用抽样调查方式 B．调查某品牌手机的使用满意度，采用普查的方式 C．调查某热门景区游客的体验情况，采用抽样调查的方式 D．要了解我省初中生的体育爱好情况，采用普查的方式 【答案】C 【分析】本题主要考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．本题主要考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似． 【详解】解：A、调查某班同学的视力水平，应采用全面调查方式，选项不合理，不符合题意； B、调查某品牌手机的使用满意度，应采用抽样调查的方式，选项不合理，不符合题意； C、调查某热门景区游客的体验情况，采用抽样调查的方式，选项合理，符合题意； D、要了解我省初中生的体育爱好情况，应采用抽样调查的方式，选项不合理，不符合题意． 故选：C． 方法透视 考向解读 基础必考题，选择/填空为主，考查调查方式的选择、抽样调查的代表性、事件的分类（确定/随机、必然/不可能），侧重概念理解与实际场景判断。 方法技能 ①调查选择：范围小/要求精准用全面调查，范围大/具有破坏性用抽样调查，抽样需保证样本随机且有代表性； ②事件分类：必然事件一定发生，不可能事件一定不发生，其余为随机事件。 变式演练 【变式01】（2025·广东深圳·二模）下列说法正确的是（    ） A．可能性是的事件在一次实验中一定会发生 B．将只有颜色不同的5个白球、4个黑球放在一个不透明的布袋中，摸到白球和黑球的可能性相等 C．了解茅洲河的水质情况，采用抽样调查的方式 D．从4000名学生中随机抽取400名学生进行调查，样本容量为4000 【答案】C 【分析】本题考查了概率的意义，全面调查与抽样调查，样本容量的概念，根据概率的意义，全等调查与抽样调查，样本容量的概念，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、可能性为的事件在一次实验中不一定会发生，故A说法错误，不符合题意； B、将只有颜色不同的5个白球、4个黑球放在一个不透明的布袋中，摸到白球和黑球的可能性不相等，故B说法错误，不符合题意； C、了解茅洲河的水质情况，采用抽样调查的方式，故C说法正确，符合题意； D、从4000名学生中随机抽取400名学生进行调查，样本容量为400；故D说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式02】（2025·广东广州·三模）下列说法正确的是（   ） A．一组数据2，3，3，4，5，6的众数和中位数都是3 B．“打开电视机，正在播放足球赛”是必然事件 C．了解贵州省中学生观看电影《哪吒2》的情况适合采用普查（全面调查） D．甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定 【答案】D 【分析】本题主要考查了众数、中位数的定义、随机事件的概念、调查方式的选择、方差的意义等知识点，掌握它们的概念和特点是解题的关键． 利用众数、中位数的定义、随机事件的概念、调查方式的选择、方差的意义逐项判定即可． 【详解】解：A．一组数据2，3，3，4，5，6的众数是3，中位数是，故该选项错误，不符合题意； B．“打开电视机，正在播放足球赛”是随机事件，故该选项错误，不符合题意； C．了解贵州省中学生观看电影《哪吒2》的情况适合采用抽样调查，故该选项错误，不符合题意； D．由，所以乙组数据比甲组数据稳定，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式03】（2025·广东惠州·三模）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（   ） A．对洛阳市区空气质量的调查 B．对某批次汽车的抗撞击能力的调查 C．对“神舟十八号”飞船零部件质量的调查 D．对全市市民观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查 【答案】C 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断． 【详解】解：A、对洛阳市区空气质量的调查，适宜采用抽样调查方式，本选项不符合题意； B、对某批次汽车的抗撞击能力的调查，适宜采用抽样调查方式，本选项不符合题意； C、对“神舟十八号”飞船零部件质量的调查，需采用全面调查方式，本选项符合题意； D、对全市市民观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查，适宜采用抽样调查方式，本选项不符合题意． 故选：C． 题型02 统计图（表）的分析 典例引领 【典例01】（2025·广东深圳·三模）5网络是第五代移动通信网络，它将推动我国数字经济发展迈上新台阶．据预测，2020年到2030年中国5G直接经济产出和间接经济产出的情况如图所示，根据如下图提供的信息，下列推断不合理的是（   ） A．2024年直接经济产出比间接经济产出少3万亿元 B．2020年到2030年，直接经济产出和间接经济产出都是逐年增长 C．2029年直接经济产出约为2020年直接经济产出的10倍 D．2024年到2025年，间接经济产出的增长率和直接经济产出的增长率相同 【答案】D 【分析】本题主要考查了折线统计图， 观察统计图可知2024年直接经济产出和间接经济产出，再作差解答A；再观察统计图解答B即可；观察统计图可知2029年直接经济产出和2020年直接经济产出，再作商解答C；观察统计图可知2024到2025年直接经济产出和间接经济产出的增长金额，并求出增长率，比较解答D． 【详解】解：观察统计图可知2024年直接经济产出为3万亿，间接经济产出为6万亿，所以直接经济产出比间接经济产出少（万亿），则A正确； 观察统计图可知2020年到2030年，直接经济产出逐年增长，间接经济产出也逐年增长，则B正确； 观察统计图可知2029年直接经济产出是5万亿元，2020年直接经济产出为0.5万亿元，可知，即2029年直接经济产出约是2020年直接经济产出的10倍，所以C正确； 观察统计图可知2024到2025年直接经济产出分别为3万亿，3.3万亿，可知其增长率为，2024到2025年间接经济产出分别为6万亿，6.3万亿，可知其增长率为，可知增长率不同，所以D不合理． 故选：D． 【典例02】（2025·广东汕头·模拟预测）某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理，绘制成如图所示的统计图（四次参加模拟考试的学生人数不变），下列结论中不正确的是（   ） A．共有名学生参加模拟测试 B．第个月增长的“优秀”人数最多 C．从第个月到第个月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 D．第个月测试成绩“优秀”的学生人数达到人 【答案】D 【分析】本题主要考查了条形统计图，折线统计图，熟练掌握统计图的相关知识是解题的关键．用第个月的优秀人数除以对应的优秀率可求出参加模拟测试的学生人数，据此可判断A；分别求出第个月，第个月，第个月优秀率的增长情况即可判断B；根据折线统计图即可判断C；用乘以第个月的优秀率即可求出第个月测试成绩“优秀”的学生人数，据此可判断D． 【详解】解：名， ∴共有名学生参加模拟测试，故A结论正确，不符合题意； ∵， ∴第个月增长的“优秀”人数最多，故B结论正确，不符合题意； 由折线统计图可知从第个月到第个月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长，故C结论正确，不符合题意； 人， ∴第个月测试成绩“优秀”的学生人数达到人，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 方法透视 考向解读 高频基础题，全题型覆盖，考查条形、折线、扇形统计图及频数分布表的解读与补全，核心求频数、频率、百分比，侧重图表信息提取与数据换算。 方法技能 ①扇形图：百分比=部分/总体，圆心角=百分比×360°； ②条形/折线图：直接读频数，补全需结合总数量计算； ③频数分布表：频率=频数/总数，各组频数和=总数，频率和=1。 变式演练 【变式01】（2025·广东江门·模拟预测）小明同学统计了某学校六年级部分同学每天阅读图书的时间，并绘制了统计图，如图所示．下面有四个推断不正确的是：（   ） A．小明此次一共调查了100位同学 B．每天阅读图书时间不足15分钟的同学人数多于45-60分钟的人数 C．每天阅读图书时间在15-30分钟的人数最多 D．每天阅读图书时间超过30分钟的同学人数是调查总人数的 【答案】B 【分析】本题考查频数分布直方图，根据频数分布直方图中的数据，可以判断各个选项的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由直方图可得， 小明此次一共调查了名同学，故A推断正确； 每天阅读图书时间不足15分钟的同学人数和分钟的人数一样多，故B推断错误； 每天阅读图书时间在分钟的人数最多，故C推断正确； 每天阅读图书时间超过30分钟的同学人数是调查总人数的：，故D推断正确； 故选：B． 【变式02】（2025·广东韶关·一模）观察，如图所示为20名学生每分钟跳绳次数的频数直方图，其中这一组的频数为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查频数分布直方图，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．根据直方图中的数据，可以得到组界为这一组的频数． 【详解】解：由直方图可得， 组界为这一组的频数是， 故选：A． 【变式03】（2025·广东阳江·模拟预测）小刚家2019年和2020年的家庭支出如下，已知2020年的总支出比2019年的总支出增加了2成，则下列说法正确的是（    ） A．2020年教育方面的支出是2019年教育方面的支出的1.4倍； B．2020年衣食方面的支出比2019年衣食方面的支出增加了10%； C．2020年总支出比2019年总支出增加了2%； D．2020年其他方面的支出与2019年娱乐方面的支出相同． 【答案】A 【分析】设2019年总支出为a元，则2020年总支出为1.2a元，根据扇形统计图中的信息逐项分析即可． 【详解】解：设2019年总支出为a元，则2020年总支出为1.2a元， A．2019年教育总支出为0.3a，2020年教育总支出为，，故该项正确； B．2019年衣食方面总支出为0.3a，2020年衣食方面总支出为，，故该项错误； C．2020年总支出比2019年总支出增加了20%，故该项错误； D．2020年其他方面的支出为，2019年娱乐方面的支出为0.15a，故该项错误； 故选：A． 题型03 统计数据分析 典例引领 【典例01】（2025·广东广州·模拟预测）某班七个兴趣小组人数分别为：3，3，4，x，5，5，6，已知这组数据的平均数是4，则这组数据的中位数是（    ）． A．2 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】本题考查的是中位数和平均数的定义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．中位数把样本数据分成了相同数目的两部分． 先算出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数． 【详解】解：，按从小到大排列为2，3，3，4，5，5，6， 所以中位数为4． 故选：B． 【典例02】（2025·广东清远·三模）为丰富群众精神文化生活，某市春节期间开展了以“我们的中国梦——文化进万家”为主题的艺术活动，从5个街道办收集到的艺术作品数量（单位：件）分别为50，52，49，46，52，则这组数据的中位数是（    ） A．46 B．49 C．50 D．52 【答案】C 【分析】本题考查了中位数的知识，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数， 【详解】解：将这五个数从小到大排列为：46，49，50，52，52， 排在最中间的是50，即中位数是50， 故选C 方法透视 考向解读 核心必考题，选择/解答均有，考查平均数、中位数、众数、方差、极差的计算与应用，侧重根据实际场景选择合适统计量分析数据特征。 方法技能 ①计算：平均数（加权）算平均水平，中位数找中间值（排序后），众数找出现次数最多的数，方差算数据波动（方差越小越稳定）； ②应用：比较稳定性看方差，描述多数水平看众数，反映整体平均看平均数。 变式演练 【变式01】（2025·广东中山·模拟预测）七年级（1）班学生在某周参加运动的次数只有4次，5次，6次，7次四种情况，图中描述了这班学生运动的相关的情况．则下列有关该七年级（1）班说法正确的是（    ） A．七年级（1）班学生数为40人 B．七年级（1）班学生这周参加运动的次数的众数为16 C．七年级（1）班学生这周参加运动的次数平均数为5 D．七年级（1）班学生这周参加运动次数中位数为5 【答案】D 【分析】本题考查了条形统计图，众数，平均数和中位数，读懂统计图和掌握众数，平均数和中位数的定义是解决问题的关键．还考查了学生对统计的应用和运算能力． 根据条形统计图中的数据以及众数、平均数和中位数的意义判断即可． 【详解】解：A、七年级（1）班学生数为（人），故不符合题意； B、七年级（1）班学生这周参加运动的次数的众数为5，故不符合题意； C、七年级（1）班学生这周参加运动的次数平均数为，故不符合题意； D、七年级（1）班学生这周参加运动次数中位数为，故符合题意． 故选：D． 【变式02】（2025·广东韶关·模拟预测）某校30位同学参加10球投篮训练，将某次投篮成绩绘制成如图所示的条形统计图，则这次成绩的众数和中位数分别是（    ）． A．7，7.5 B．7，7 C．8，6 D．8，7.5 【答案】B 【分析】本题主要考查了条形统计图、中位数、众数等知识点，理解中位数和众数的求解是解题的关键． 根据条形统计图的数据分析，按照中位数和众数的定义求解即可． 【详解】解：由条形统计图中出现频数最大条形最高的数据是在第三组，7环，故众数是7（环）； 因图中是按从大到小的顺序排列的，最中间的环数是7（环）、7（环），故中位数是7（环）． 故答案选B． 【变式03】（2025·广东东莞·模拟预测）如图是甲、乙两地去年某月1日到7日每日最高气温的折线统计图，为比较两地这7天每日最高气温的稳定情况，应选择的统计量是（    ） A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数 【答案】B 【分析】本题主要考查平均数、中位数、众数及方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则与平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好； 【详解】解：根据题意“为比较两地这7天每日最高气温的稳定情况，”应选择方差作为统计量， 故选：B． 题型04 列举法求概率 典例引领 【典例01】（2025·广东梅州·模拟预测）2025年我县冬季运动会新增了四个项目：冰壶，滑板，匹克球，蹦床，依次记为．体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，了解该项目在县运会中的得分标准，恰好抽到B（滑板）的概率是_____； (2)体育老师想从中选出两个项目，做成手抄报在学校进行普及．他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是（冰壶）和（匹克球）的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）概率公式：； （2）画树状图求概率． 【详解】（1）解：恰好抽到B（滑板）的概率是； （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是A（冰壶）和C（匹克球）的结果数为2， ∴体育老师抽到的两张卡片恰好是A（冰壶）和C（匹克球）的概率为：． 【典例02】（2025·广东潮州·模拟预测）电影《哪吒之魔童闹海》截止至2025年3月10日，票房突破亿元人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：哪吒，敖丙，太乙真人，申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片． (1)第一次取出的卡片图案为“哪吒”的概率为_______； (2)用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“哪吒”的结果有1种，然后利用概率公式可得答案； （2）画树状图展示所有等可能的结果数以及取出的卡片为“哪吒”和“太乙真人”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“哪吒”的结果有1种， ∴第一次取出的卡片图案为“哪吒”的概率为， 故答案为：； （2）解：任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，作出树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的结果数为2种， ∴取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率为， 答：取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率为． 方法透视 考向解读 高频中档题，解答题为主，考查列表法、树状图法求随机事件的概率，适用于两步及以上试验，侧重不重不漏列举所有等可能结果。 方法技能 ①核心公式：符合条件的结果数/所有等可能结果数； ②列表法：适用于两步试验，横向纵向列两种试验结果； ③树状图法：适用于两步及以上试验，分层列举所有结果，再数符合条件的数量。 变式演练 【变式01】（2025·陕西铜川·模拟预测）铜川市耀州区特产——耀州瓷是北方青瓷的代表，其中的倒流壶、良心壶、凤鸣壶、公道杯被称为“耀瓷四绝”，有“巧如范金，精比琢玉”的美誉．小新一家去铜川市旅游，想购买“耀瓷四绝”作为纪念，但由于预算有限，只能从这4种瓷器中购买2种，一时间不知道如何购买，于是小新制作了如图所示的4张卡片（卡片除正面内容不同外其余完全相同），将卡片背面朝上洗匀后，让妈妈先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，爸爸再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，最终以爸爸和妈妈所抽取的卡片正面内容为准进行购买． (1)妈妈抽取的是B．良心壶的概率为______； (2)请用列表法或画树状图法求爸爸和妈妈都没有抽中．凤鸣壶的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到爸爸和妈妈都没有抽中．凤鸣壶的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解；∵一共有4张卡片，且每张卡片被抽取的概率相同， ∴妈妈从中抽取一张卡片，抽取的是B．良心壶的概率为； （2）解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中爸爸和妈妈都没有抽中．凤鸣壶的结果有6种， ∴P（爸爸和妈妈都没有抽中C．凤鸣壶）． 【变式02】（2025·广东广州·二模）为了丰富校园文化生活，培养学生的创新精神和实践能力，学校举办了一场精彩纷呈的校园科技节．在科技节中，设置了多个比赛项目，每个学生需要参与四个项目的角逐，其中项目、、为固定必选项目，项目和中随机抽取一个． (1)在参与科技节的众多学生中，有一个小组的8名同学抽到了项目．他们在该项目中的表现成绩如下：7，6，8，9，10，5，8，7．这组成绩的中位数是________，平均数是________； (2)某班有50名学生，下表是各项目成绩统计，则该班此次科技节的平均成绩为________； 项目 测试人数（人） 50 50 50 30 20 单科平均成绩（分） 9 8 7 8 9 (3)诗诗和妍妍是该班级的两位同学，请用列表法或画树状图法，求她俩参赛的四个项目不完全相同的概率． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）求中位数，需先将数据从小到大排序，再根据数据个数的奇偶性确定中位数的计算方法．本题数据个数为8（偶数个），则中位数是中间两个数的平均数．运用平均数公式，将所有数据相加再除以数据个数即可． （2）根据加权平均数公式（其中是第i组数据的数值，是第i组数据的频数）来计算． （3）用列表法或树状图法列出诗诗和妍妍选择项目的所有可能情况，再找出她俩参赛的四个项目不完全相同的情况数，最后根据概率公式（n是总情况数，m是事件A发生的情况数）计算概率． 【详解】（1）解：将成绩5，6，7，7，8，8，9，10从小到大排序． ∵数据个数为偶数， ∴中位数是中间两个数7和8的平均数，即 根据平均数公式 故答案为：，； （2）解：总人数为50人． 项目A的加权分为；项目B的加权分为；项目C的加权分为；项目D的加权分为；项目E的加权分为 ∴平均成绩 （3）解：设项目D、E，诗诗选项目有2种可能（选D或选E），妍妍选项目也有2种可能（选D或选E）． 用列表法： 诗诗              妍妍 D E D E 总情况数种，她俩参赛的四个项目不完全相同的情况有、，共种． ∴她俩参赛的四个项目不完全相同的概率 【变式03】（2025·广东肇庆·模拟预测）九年级物理学习了电学知识后，小明选取了四个开关按键、一个电源、一个小灯泡和若干电线设计了如图的电路图（四个开关按键都处于打开状态，在开关闭合的情况下，再闭合中的任意一个开关，小灯泡就会发光）． (1)若闭合，则任意闭合其余三个开关按键中的一个，小灯泡能发光的概率为 ； (2)求同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率．（用列表法或树状图法） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式计算得出答案； （2）利用树状图列举出所有可能，进而求出答案． 【详解】（1）若闭合，还剩下3个开关按键，只有闭合开关按键，灯泡才会发光， 所以P（灯泡发光）； （2）画树状图如下： 一共有12种不同的情况，其中有6种情况下灯泡能发光， 所以P（灯泡发光）． 题型05 用频率估计概率 典例引领 【典例01】（2025·广东东莞·模拟预测）在一个暗箱里放有个除颜色外完全相同的球，这个球中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，从中随机摸出一球，记下颜色后放回．通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.2，由此可以推算出的值约为（   ） A．8 B．2 C．10 D．20 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，解题的关键是掌握“利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率”．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，进而利用概率公式列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故选：D． 【典例02】（2025·广东珠海·三模）林业部门要考查某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据，估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为（　    　） 移植的棵数n 1000 1500 2500 4000 8000 15000 20000 30000 成活的棵数m 865 1356 2220 3500 7056 13170 17580 26430 成活的频率 0.865 0.904 0.888 0.875 0.882 0.878 0.879 0.881 A．0.87 B．0.88 C．0.89 D．0.90 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率，当试验次数足够多时，频率会稳定在某个常数附近，该常数可作为概率的估计值．观察表格中随着移植棵数增加，成活频率接近0.88，即可得到答案． 【详解】解： 观察表格，随着移植棵数增大，成活频率逐渐稳定， 最后三次试验（）对应的频率分别为0.878、0.879、0.881，均接近0.88， 因此，成活的概率估计值为0.88， 故选：B． 方法透视 考向解读 基础必考题，选择/填空为主，考查频率与概率的关系，利用大量重复试验的频率估计事件发生的概率，侧重概念理解与简单计算。 方法技能 ①核心规律：大量重复试验中，频率会稳定在概率附近； ②计算：频率=频数/试验次数，用多次试验的平均频率作为概率的估计值； ③注意：试验次数越少，频率与概率偏差可能越大。 变式演练 【变式01】（2025·广东深圳·三模）2024年11月，中国苹果产业协会和国家苹果产业技术体系最新联合发布，截至目前，中国苹果产量世界第一，当前我国已培育自主产权苹果新品种152个．某科学研究院为研究一类新品种苹果树的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示：估计这一类新品种苹果树成活的概率为（　　） 移植总数n 50 270 400 750 1500 3500 7000 10000 14000 成活总数m 47 235 369 682 1359 3203 6398 9102 12782 成活率 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用频率估计概率，根据表格频率接近，即可求解，理解概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，熟练掌握用频率估计概率的条件和方法是解题的关键． 【详解】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率， ∴估计这一类新品种苹果树成活的概率为， 故选：A． 【变式02】（2025·广东潮州·模拟预测）一个不透明的口袋中装有n个球，其中有3个是红球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则n的值为（　　） A．27 B．30 C．33 D．36 【答案】B 【分析】本题考查了用频率估计概率，熟知大量反复试验下频率的稳定值即为概率值是解题的关键．由题意可知，摸到红球的概率为，再利用概率计算公式即可解答． 【详解】解：由题意得，． 故选：B． 【变式03】（2025·广东河源·模拟预测）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个黑球、3个白球、2个蓝球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（   ） A．黑球 B．白球 C．蓝球 D．红球 【答案】C 【分析】本题考查了概率公式，由频率估计概率，先求出四种颜色球出现的概率，再根据频率估计出概率，即可求解． 【详解】解：由题意可知，袋子中的球共有：（个）， ∴黑球出现的概率为：， 白球出现的概率为：， 蓝球出现的概率为：， 红球出现的概率为：， ∵试验中该颜色的球出现的频率稳定在0.2左右， ∴该颜色的球出现的概率为0.2， ∴该种球的颜色最有可能是蓝球， 故选：C． 题型06 概率与游戏公平性问题 典例引领 【典例01】（2025·广东潮州·模拟预测）从一副扑克牌中取出的两组牌，分别是黑桃1、2和方块1、2、3，将它们背面朝上分别重新洗牌后，从两组牌中各摸出一张．小明和小红制定了游戏规则：若摸出的两张牌的牌面数字之和为3则小明胜，两张牌的牌面数字之和为4则小红胜．这个规则公平吗？ 请你用列表法或画树状图分析说明． 【答案】这个规则公平，理由见解析 【分析】本题考查用列表法与树状图法求概率，游戏的公平性；根据题意列出树状图，找出所有等可能的情况数，找出两张牌面数字之和为3和数字之和为4的情况数，求出两张牌面数字之和为3和数字之和为4的概率，即可判断． 【详解】解：这个规则公平，理由如下： 画树状图如下： 得出所有等可能的情况有6种，其中两张牌面数字之和为3的情况有2种，两张牌面数字之和为4的情况有2种 摸出的两张牌面数字之和为3的概率是，两张牌面数字之和为4的概率是， 则这个规则公平． 【典例02】（2025·广东清远·模拟预测）“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． (1)小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率． (2)小强和小刚玩游戏，在（1）的规则上，若两人抽到的卡片有指南针，则小强胜，否则小刚胜，请判断上述游戏是否公平，并说明理由． 【答案】(1) (2)公平，见解析 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）画树状图得出所有等可能的结果数和两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的结果数，再利用概率公式可得出答案． （2）根据两人抽到的卡片有指南针的结果数有种，得出小强、小刚胜的概率分别为，即可求解． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片恰好是“A．指南针”和“B．造纸术”的结果有2种， 两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率为． 故答案为： （2）解：上述游戏公平，理由如下： 两人抽到的卡片有指南针的结果数有种， ∴小强胜的概率为 小刚胜概率为 ∴上述游戏公平 方法透视 考向解读 中档综合题，解答题为主，考查通过计算概率判断游戏规则是否公平，常结合列举法求概率，侧重公平性的判定与规则设计。 方法技能 ①判断公平性：分别计算游戏双方获胜的概率，概率相等则公平，否则不公平； ②设计公平规则：调整试验结果的得分/获胜条件，使双方获胜概率相等。 变式演练 【变式01】（2025·广东湛江·模拟预测）有甲、乙两个不透明袋子，甲袋装有三个小球，分别标有数字1，2，4，乙袋装有两个小球，分别标有数字2，3，这些小球除数字不同外其余都相同． (1)从甲袋任意摸出一个小球，求“恰好摸到数字为1的小球”的概率； (2)现制定游戏规则如下：游戏者先选定一个袋子摸出一个小球，再从另一个袋子摸出一个小球，若第一个袋子摸出小球的数字小于第二个袋子摸出小球的数字，则该游戏者可获得一份奖品．为了使获奖的可能性更大，游戏者应先选定从哪个袋子摸球？说明你的理由． 【答案】(1) (2)先选定从甲袋摸球，见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性以及列表法与树状图法．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． （1）根据概率公式求解即可； （2）分两种情况，画树状图得出所有等可能结果，从中找到该游戏者可获得一份奖品的结果数，根据概率公式计算出两种不同顺序的概率即可得出答案． 【详解】（1）（1）从甲袋任意摸出一个小球，标有数字的所有可能结果为1，2，4，共3种等可能的结果， 恰好摸到数字为1的小球的结果只有1种， 所以P（恰好摸到数字为1的小球）； （2）游戏者应先从甲袋摸球．理由如下： （ⅰ）若先选定从甲袋摸球，画树状图如下： 共有6种等可能结果，其中“第一个袋子摸出小球的数字小于第二个袋子摸出小球的数字”的共有3种结果， 所以P（先选甲袋而获奖）． （ⅱ）若先选定从乙袋摸球，画树状图如下： 共有6种等可能结果，其中“第一个袋子摸出小球的数字小于第二个袋子摸出小球的数字”的共有2种结果， 所以P（先选乙袋而获奖）． 因为，所以游戏者应先选定从甲袋摸球． 【变式02】（2025·广东中山·模拟预测）中雅培粹学校根据《南充市中小学生课后服务实施意见》，积极开展课后延时服务活动，提供了“合唱，舞蹈，科创，书法，美术，课本剧，棋类”等课程供学生自由选择．半学期后，该校为了解学生对课后延时服务的满意情况，随机对部分学生进行问卷调查，并将调查结果按照“A．满意；B．比较满意；C．基本满意；D．不满意”四个等级绘制成如图所示的两幅不完整统计图． 请根据图中信息，解答下列问题：    (1)将条形统计图补充完整； (2)表示等级D的扇形的圆心角是____________度； (3)由于学校条件限制，“课本剧”课程仅剩下一个名额，而学生小华和小亮都想参加，他们决定采用抽纸牌的方法来确定，规则是：“将背面完全相同，正面分别标有数字1，2，3，4的四张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，每人随机抽一次且一次只抽一张；一人抽后记下数字，将牌放回洗匀背面朝上放置在桌面上，再由另一人抽．若小华抽得的数字比小亮抽得的数字大，名额给小华，否则给小亮．”请用画树状图或列表的方法计算出小华和小亮获得该名额的概率，并说明这个规则对双方是否公平． 【答案】(1)见解析 (2)60 (3)不公平，见解析 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，准确画树状图是解题的关键． （1）由A等级人数及其所占百分比求出总人数，总人数减去A、C、D等级人数求出B等级人数，从而补全图形； （2）用乘以等级C所占的百分比即可得出答案； （3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出小华抽得的数字比小亮抽得的数字大的情况数，然后根据概率公式求出名额给小华和小亮的概率，最后进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）根据题意，得（人）， B类人数为：（人）， 补图如下：    ． （2）根据题意，得， 故答案为：60． （3）根据题意，画树状图如下：    ∴一共有16种等可能结果，其中小华抽得的数字比小亮抽得的数字大的情况有6种． 故，． ∵， ∴这个规则对双方不公平． 【变式03】（2025·广东惠州·模拟预测）如图，有四张正面标有数字﹣2，﹣1，0，1，背面颜色一样的卡片，正面朝下放在桌面上，小红从四张卡片中随机抽取一张卡片记下数字，小明再从余下的三张卡片中随机抽取一张卡片记下数字．设小红抽到的数字为x，小明抽到的数字为y，点A的坐标为（x，y）． (1)请用列表法或画树状图的方法列出点A所有结果； (2)若点A在坐标轴上，则小红胜；反之，则小明胜．请你用概率的相关知识解释这个游戏是否公平？ 【答案】(1)见解析 (2)公平；理由见解析 【分析】（1）画树状图共有12种等可能结果； （2）找出在坐标轴上的点的数目，求其概率；找出不在坐标轴上的点的数目，求其概率； 【详解】（1）解：画树状图如图： 共有12个等可能的结果，所以点A的结果为： （2）公平；理由如下： 点A在坐标轴上共有6个，概率为， 不在坐标轴上共有6个，概率为， 因为两种情况概率相等，所以是公平的． 题型07 统计与概率综合 典例引领 【典例01】（2025·广东深圳·一模）某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：．高锰酸钾制取氧气；．电解水；．木炭还原氧化铜；．高温煅烧石灰石；．碳酸钠和稀盐酸反应，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）． 请结合统计图，回答下列问题： (1)________，所对应的扇形圆心角是________； (2)请你根据调查结果，估计该校九年级名学生中有________人最喜欢的实验是“．高温煅烧石灰石” (3)某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊，若小明从上面的五个实验中任意选取两个，请求出两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率________． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了统计图表的综合运用（条形图、扇形图）、用样本估计总体以及概率的计算，准确提取图表信息、掌握概率公式是解题关键． （1）先通过“实验人数及对应百分比”求出抽取的总人数，再用总人数减去其他实验的人数得到；利用“实验人数总人数”计算对应的扇形圆心角； （2）先算出样本中“实验”的人数占比，再用该占比乘以九年级总人数，估计喜欢实验的人数； （3）先确定能产生二氧化碳的实验，再通过列表法列出所有取两个实验的可能结果，最后根据“符合条件的结果数总结果数”计算概率． 【详解】（1）解：抽取的学生人数为（人）， 选择的学生人数为（人） ， 所对应的扇形圆心角是； （2）解：（人）， 答：估计该校九年级名学生中有人最喜欢的实验是“．高温煅烧石灰石”． （3）解：本次调查的五个实验中，三个实验均能产生二氧化碳， 列表如下， 由列表可知，共有种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的情况有种， （两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊）． 【典例02】（2025·广东广州·模拟预测）我县实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，胡老师为了了解班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对某班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： (1)本次调查中，胡老师一共调查了______名同学，其中女生共有______名； (2)将上面的条形统计图补充完整； (3)为了共同进步，胡老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率． 【答案】(1)20，11； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）用特别好（A）的人数特别好的百分数，得出调查的学生数，根据扇形图得出“D”类男生数及女生数，再求女生总人数； （2）求出“C”类别女生数，结合（1）中所求D类男生数，补充条形统计图； （3）由计算可知，A类别1男2女，D类别1男1女，利用列表法求解即可． 【详解】（1）解：调查学生数为（人）， “D”类别学生数为（人）， 其中男生为（人）， 调查女生数为（人）， 故答案为：20，11． （2）解：C类学生总数为（人），C类女生人数为（人）； 由（1）D类男生人数为1人； 补充条形统计图如图所示； （3）解：由题意，列表如下： 男A 女 女 男D 男A，男D 男D，女 男D，女 女D 女D，男A 女D，女 女D，女 共有6种等可能的结果，其中一男一女的结果有3种， ∴． 方法透视 考向解读 压轴中档题，解答题为主，融合统计图（表）分析、统计量计算、概率求解，常以实际场景（抽样调查、游戏、统计分析）为背景，侧重数据处理与综合应用能力。 方法技能 ①第一步：从统计图/表中提取数据，补全图表、计算统计量（平均数、百分比等）； ②第二步：根据试验类型，用列举法/几何法求概率； ③第三步：结合统计量和概率，分析实际问题并给出结论/建议。 变式演练 【变式01】（2025·广东江门·二模）为进一步落实双减工作，丰富学生课后服务内容，某学校增设了科技项目课程，分别是：“无人机、人工智能、动漫，编程”四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的爱好情况，学校随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下： 并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图： (1)请补全条形统计图． (2)扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角为______度． (3)估计全体1000名学生中最喜欢C活动的人数约为多少人？ (4)学校现从喜好“编程”的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加青少年科技创新比赛，请用树状图或列表法求恰好甲和丁同学被选到的概率是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比求出调查的学生总人数，再求出选择课程和课程的人数，补全条形统计图即可． （2）用乘以本次调查中选择的学生人数所占的百分比，即可得出答案． （3）根据用样本估计总体，用1000乘以样本中选择课程的学生人数所占的百分比，即可得出答案． （4）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好甲和丁同学被选到的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：调查的学生人数为（人）， 选择课程的人数为（人）， 选择课程的人数为（人）． 补全条形统计图如图所示． （2）解：扇形统计图中“”对应扇形的圆心角为. （3）解：（人． 估计全体1000名学生中最喜欢活动的人数约为300人． （4）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好甲和丁同学被选到的结果有：甲丁，丁甲，共2种， 恰好甲和丁同学被选到的概率为． 【变式02】（2025·广东汕头·一模）为庆祝中国共产党建党周年，我区某校组织全校名学生进行了党史知识竞赛，参赛学生均获奖．为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题： (1)本次被抽取的部分人数是 名，扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是 ； (2)根据抽样结果，请估计该校获得特等奖的人数为 名； (3)某班有4名获特等奖的学生小利、小芳、小明、小亮，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求小利被选中的概率． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件∶树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验，用到的知识点为∶概率=所求情况数与总情况数之比，也考查了条形统计图和扇形统计图． （1）由C级的人数和所占百分比求出本次被抽取的部分人数，再由乘以B级所占的比例即可； （2）由全校学生名乘以获得特等奖的人数所占的比例即可； （3）画树状图，共有种等可能的结果，小利被选中的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解∶本次抽样测试的人数为∶ (名)， ∴扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是 故答案为∶，． （2）解：估计该校获得特等奖的人数为∶ (名)， 故答案为∶． （3）解：把小利、小芳、小明、小亮分别记为A、B、C、D， 画树状图如图∶ 共有种等可能的结果，小利被选中的结果有6种， 小利被选中的概率为∶． 答：小利被选中的概率为． 【变式03】（2025·广东韶关·二模）白土月饼是非物质文化遗产，始创于明崇祯年间，至今已有400多年历史，为了解同学们对某白土月饼厂家生产的多种月饼的喜爱情况，某实践探究小组对九年级部分同学做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告： xx小组关于xx学校学生月饼品种喜爱情况调查报告 数据收集 调查方式 抽样调查 调查对象 xx学校九年级部分学生 数据的整理与描述 品种    数据分析及运用 （1）本次被抽样调查的学生总人数为______，扇形统计图中，______； （2）请补全条形统计图； （3）该学校总人数为2000人，请你估计该学校学生喜欢吃莲蓉月饼和冰皮月饼的总人数； （4）甲乙两位同学根据调查的数据，发现A，C，E三种月饼最受欢迎，计划从这三个品种中挑选一种推荐给朋友，请用树状图或列表的方法求出他们恰好选择同一种月饼的概率． 【答案】（1）120，30；（2）图见解析；（3）1100人；（4） 【分析】（1）根据频数除以所占百分比等于样本容量，再求解圆心角的度数即可； （2）根据频数之和等于样本容量，确定C组的人数，完善统计图即可； （3）利用样本估计总体的思想，计算解答即可． （4）画树状图，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 (人)， ， 故， 故答案为：120，30． （2）解：喜欢豆沙月饼的人数为： (人)， 补图如下： ． （3）解：根据题意，得（人） 答：估计该学校学生喜欢吃莲蓉月饼和冰皮月饼的总人数为1100人． （4）解：根据题意，画树状图如下： 一共有9种等可能结果，其中两位同学选择同一种月饼有3种可能结果        ∴P（甲乙两同学选择同一种月饼） 题●型●训●练 1．（2025·广东东莞·二模）长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查概率，根据概率公式直接计算即可，掌握概率计算公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，从四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，共有种结果，其中选中“巴蜀文化”的结果只有种， ∴选中“巴蜀文化”的概率是， 故选：． 2．（2025·广东深圳·中考真题）某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查简单的概率计算，根据等可能事件的概率公式求解． 【详解】解：共有4本书，每本书被抽中的可能性相等， 抽到《九章算术》是其中1种可能， 因此概率为成功事件数除以总事件数，即， 故选：C． 3．（2025·广东广州·中考真题）某地一周的每天最高气温如下表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的是（   ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 最高气温/℃ 25 25 28 30 33 30 29 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是选择合适的统计图，根据条形图，折线图，扇形图的特点进行选择即可． 【详解】解：∵扇形统计图可以清楚地表示各部分数量和总量之间的关系；条形统计图可以清楚地看出数量的多少；折线统计图，不仅可以清楚地看出数量的多少，而且还能清楚地看出数量的增减变化趋势； ∴最适合描述气温变化趋势的是折线统计图； 故选：C． 4．（2025·广东·中考真题）某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（   ） A．92，94 B．95，95 C．94，95 D．95，96 【答案】B 【分析】本题考查了中位数和众数，熟知中位数和众数的定义是解题的关键．中位数是将数据从小到大排列后位于中间位置的数；众数是出现次数最多的数，据此即可求解． 【详解】解：将7个评委分数从小到大排列为：88，92，94，95，95，95，96， 中位数为第4个数，即95； 数据中出现次数最多的数是95（出现3次），故众数为95； ∴这组数据的中位数、众数分别是95，95． 故选：B． 5．（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，过点A作于点D，证明出是等腰直角三角形，求出，然后得到，然后分别求出和，然后根据概率公式求解即可． 【详解】如图所示，过点A作于点D ∵是直径 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴， ∴ ∴， ∴该粒米落在扇形内的概率为． 故选：D． 6．（2025·广东东莞·一模）不透明的袋子中装有2个红球和4个黄球，除了颜色外没有任何不同，随机摸出一个是黄球的概率为__________． 【答案】 【分析】本题考查简单概率的计算，利用概率公式求解，总球数为6，黄球数为4，概率为黄球数与总球数的比值； 【详解】袋中共有球 个，其中黄球有4个，因此随机摸出一个球是黄球的概率为 . 故答案为 . 7．（2025·广东惠州·二模）若一组数据3，4，5，，6，7的众数是6，则中位数是___________． 【答案】 【分析】本题考查了众数，中位数的概念，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据众数概念推出，再根据中位数的概念求解，即可解题． 【详解】解：一组数据3，4，5，，6，7的众数是6， ， 则中位数． 故答案为：5.5． 8．（2025·广东潮州·模拟预测）端午节吃粽子是中华民族的传统习惯，妈妈买了3只红豆粽、2只碱水粽、2只干肉粽，粽子除内部馅料不同外其它均相同，小颖随意吃一个，吃到红豆粽的概率是_______． 【答案】 【分析】本题考查简单概率的计算，先求出粽子总数，再用红豆粽数量除以粽子总量即可． 【详解】解：（只）． 一共有7只粽子，其中红豆粽有3个，所以吃到红豆粽的概率是：， 故答案为：． 9．（2025·广东肇庆·一模）如图是广州市2025年1月1日-1月7日每天最高气温（）的统计结果，这7天最高气温的众数是___________． 【答案】23 【分析】本题考查了确定一组数据的众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．根据众数的定义求解． 【详解】解：因为最高气温出现了4次，出现的次数最多， 这7天最高气温的众数是． 故答案为：23． 10．（2025·广东清远·三模）广东省是一个著名的旅游胜地，广州塔、白云山、丹霞山、深圳湾公园是广东省的著名景点．寒假期间，嘉琪一家准备从这4个旅游景点中选择1个前往实地观光，则选中“广州塔”的概率是_____． 【答案】 【分析】本题考查了简单的概率公式，直接利用简单的概率公式求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：选中“广州塔”的概率是， 故答案为：． 11．（2025·广东·中考真题）2025年2月，广东省教育厅发布《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》．某校为更好地落实文件精神并了解学生参加体育活动的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并对所得数据进行处理．部分信息如下： 调查问卷 整理与描述 1．你每天参加体育活动（含体育课）的时间（单位：小时）（   ）（单选） A．     B． C．     D． 2．随着体育活动时间的延长，学校拟增设体育活动项目，你希望增设的活动项目有（   ）（可多选） E．球类    F．田径类 G．体操类    H．水上类 希望增设的活动项目统计表 活动项目 球类 田径类 体操类 水上类 百分比 根据以上信息，解答下列问题： (1)求参与这次问卷调查的学生人数． (2)估计该校1000名学生中每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数． (3)基于上述两项调查的数据，提炼出一条信息，并向学校提出相应的建议． 【答案】(1)200人 (2)375人 (3)见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，用样本估计总体，统计表等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据条形统计图得到参加体育活动（合体育课）的时间人数，再相加即可； （2）用1000人乘以每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数占比即可； （3）答案不唯一，合理即可． 【详解】（1）解：这次问卷调查的学生人数为：（人）， 答：参与这次问卷调查的学生人数有200人； （2）解：（人）， 答：每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数为人； （3）解：从第二项活动可看出学生更加喜欢球类活动，建议：学校可以适当的增加有关球类活动的项目和设施．（答案不唯一） 12．（2025·广东清远·三模）某校对直播软件功能进行筛选，学校选定了A和B两款软件进行试用，并抽取部分师生对这两款软件打分（分数为整数，满分为5分）． 信息一：分别随机抽取20名学生打分情况的折线统计图如图所示： 信息二：学生打分的平均数、众数、中位数如下表所示： 软件 平均数 众数 中位数 A 4 B 4 信息三：抽取的10位教师对A和B这两款软件打分的平均分分别为分和4分． 请根据以上信息解答下列问题： (1)填空：_____，_____． (2)学生对这两款软件评价较高的是哪一款？请说明理由． (3)学校决定选择综合平均分高的软件进行教学，其中综合平均分中教师打分占，学生打分占，请你通过计算分析学校会采用哪款软件进行教学． 【答案】(1)3，4 (2)学生对这两款软件评价较高的是B，理由见解析 (3)学校会采用A软件进行教学 【分析】本题主要考查了折线统计图，中位数，众数和加权平均数，熟练掌握这些知识点的应用是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义进行求解即可； （2）根据学生对钉钉打分的中位数和平均数都比对直播打分的中位数和平均数高即可得到答案； （3）分别计算出两款软件的得分即可得到答案； 【详解】（1）解：由折线图可得，第10位与第11位的得分都是3分， ∴中位数， 由折线图可知，B软件得分出现次数最多的是4分． ∴众数， 故答案：3，4； （2）学生对这两款软件评价较高的是B，理由如下： ∵学生对B打分的平均数和中位数都比A高， ∴学生对这两款软件评价较高的是B； （3）A软件的得分为（分）， B软件的得分为（分）， ∵， ∴学校会采用A软件进行教学． 13．（2025·广东深圳·一模）百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中_______， _______， _______． (2)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． (3)（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 【答案】(1)，， (2)估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人 (3)图见解析， 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体，列表法或树状图法求概率等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． （1）根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值，用分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，即可得出的值； （2）由甲、乙两款的非常满意的人数之和即可得出答案； （3）用树状图法求解即可． 【详解】（1）解：甲款评分数据中“满意”的数据中出现的次数最多， 众数． 乙款评分数据中、两组共有个数据， 乙款评分数据的中位数为第个和第个数据的平均数，而这两个数据分别为、，中位数． 乙款评分数据在组人数所占百分比为， 即． 故答案为：，，． （2）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比， 对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为： （人）． 答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人． （3）解：画树状图为： 由树状图可知，共有种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为种，所以两人都选择同款聊天机器人的概率为． 14．（2025·广东深圳·中考真题）某班级拟开展科技主题班会活动，现从“科技安全”，“科技畅想”，“科技生活”，“科技前沿”，“科技故事”中挑选一个主题．全班同学通过投票选出最受欢迎的主题，投票结果的条形统计图与扇形统计图如下： 请根据以上信息，完成下列问题： (1)本次投票共__________人参与，其中科技安全所占百分比为__________，并补全条形统计图． (2)为确定班会科技主题，从该班选择7名学生代表为“科技畅想”和“科技故事”打分，分数列表如下： 科技畅想 10 9 9 3 6 9 10 科技故事 9 10 7 8 6 8 8 平均数 中位数 众数 科技畅想 9 科技故事 8 8 c 求表中的数据：________，________，________． (3)结合上述信息，应该选择哪个科技主题，并说明理由． 【答案】(1)，补全统计图见解析 (2)8，9，8 (3)见解析（言之有理即可） 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，求中位数、众数、平均数等知识点，正确理解统计图是解题的关键． （1）由科技生活的人数除以占比得到投票人数，用总人数减去其余的人数求出科技安全的人数，再除以总人数，即可求出占比，以及补全条形统计图； （2）根据平均数，中位数，众数的定义即可求解； （3）可以根据中位数和众数分别进行分析即可． 【详解】（1）解：本次投票人数为：（人）， 科技安全人数为：（人）， ∴占比为：， 补全条形统计图为： 故答案为：； （2）解：， 将“科技畅想”的打分排列为：3，6，9，9，9，10，10， 则中位数； 在“科技故事”打分中，8分出现次数最多， ∴， 故答案为：8，9，8； （3）解：应该选择“科技畅想”，因为给“科技畅想”活动的打高分的人数最多，表示其更受欢迎（答案不唯一）． 15．（2025·广东广州·中考真题）为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计．进入决赛的前两名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如下表所示： 选手 内容 能力 效果 甲 乙 (1)分别计算甲、乙两名选手的平均成绩（百分制），能否以此确定两人的名次？ (2)如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照的比确定，以此计算两名选手的平均成绩（百分制），并确定两人的名次； (3)如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由． 【答案】(1)甲、乙的平均成绩均为90分，不能以此确定两人的名次； (2)甲排名第一，乙排名第二； (3)设计三项成绩的比为，理由内容是演讲的核心，占比最高，效果直接影响观众，次之，能力是基础，占比最低．（答案不唯一） 【分析】本题考查了加权平均数，算术平均数，权重等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用算术平均数即可求解； （）利用加权平均数即可求解； （）改变权重即可． 【详解】（1）解：不能以此确定两人的名次， 甲的平均成绩：（分）， 乙的平均成绩：（分）， ∴， ∴不能以此确定两人的名次； （2）解：甲的平均成绩：（分）， 乙的平均成绩：（分）， ∴， ∴甲排名第一，乙排名第二； （3）解：设计三项成绩的比为，理由， 内容是演讲的核心，占比最高，效果直接影响观众，次之，能力是基础，占比最低．（答案不唯一） 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 统计与概率综合 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 全面调查、抽样调查、事件的分类 题型02 统计图（表）的分析 题型03 统计数据分析 题型04 列举法求概率 题型05 用频率估计概率 题型06 概率与游戏公平性问题 题型07 统计与概率综合 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 全面调查、抽样调查、事件的分类 典例引领 【典例01】（2025·广东揭阳·三模）下列调查方式中，合适的是（   ） A．了解某班学生中哪个月份出生的人数最多，用抽样调查 B．神舟十九号载人飞船发射前对其零部件的检查，用抽样调查 C．了解广东省九年级学生的视力情况，用全面调查 D．了解一批冷饮的质量达标情况，用抽样调查 【典例02】（2025·广东梅州·一模）下列调查中，调查方式选择合理的是（   ） A．调查某班同学的视力水平，采用抽样调查方式 B．调查某品牌手机的使用满意度，采用普查的方式 C．调查某热门景区游客的体验情况，采用抽样调查的方式 D．要了解我省初中生的体育爱好情况，采用普查的方式 方法透视 考向解读 基础必考题，选择/填空为主，考查调查方式的选择、抽样调查的代表性、事件的分类（确定/随机、必然/不可能），侧重概念理解与实际场景判断。 方法技能 ①调查选择：范围小/要求精准用全面调查，范围大/具有破坏性用抽样调查，抽样需保证样本随机且有代表性； ②事件分类：必然事件一定发生，不可能事件一定不发生，其余为随机事件。 变式演练 【变式01】（2025·广东深圳·二模）下列说法正确的是（    ） A．可能性是的事件在一次实验中一定会发生 B．将只有颜色不同的5个白球、4个黑球放在一个不透明的布袋中，摸到白球和黑球的可能性相等 C．了解茅洲河的水质情况，采用抽样调查的方式 D．从4000名学生中随机抽取400名学生进行调查，样本容量为4000 【变式02】（2025·广东广州·三模）下列说法正确的是（   ） A．一组数据2，3，3，4，5，6的众数和中位数都是3 B．“打开电视机，正在播放足球赛”是必然事件 C．了解贵州省中学生观看电影《哪吒2》的情况适合采用普查（全面调查） D．甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定 【变式03】（2025·广东惠州·三模）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（   ） A．对洛阳市区空气质量的调查 B．对某批次汽车的抗撞击能力的调查 C．对“神舟十八号”飞船零部件质量的调查 D．对全市市民观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查 题型02 统计图（表）的分析 典例引领 【典例01】（2025·广东深圳·三模）5网络是第五代移动通信网络，它将推动我国数字经济发展迈上新台阶．据预测，2020年到2030年中国5G直接经济产出和间接经济产出的情况如图所示，根据如下图提供的信息，下列推断不合理的是（   ） A．2024年直接经济产出比间接经济产出少3万亿元 B．2020年到2030年，直接经济产出和间接经济产出都是逐年增长 C．2029年直接经济产出约为2020年直接经济产出的10倍 D．2024年到2025年，间接经济产出的增长率和直接经济产出的增长率相同 【典例02】（2025·广东汕头·模拟预测）某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理，绘制成如图所示的统计图（四次参加模拟考试的学生人数不变），下列结论中不正确的是（   ） A．共有名学生参加模拟测试 B．第个月增长的“优秀”人数最多 C．从第个月到第个月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 D．第个月测试成绩“优秀”的学生人数达到人 方法透视 考向解读 高频基础题，全题型覆盖，考查条形、折线、扇形统计图及频数分布表的解读与补全，核心求频数、频率、百分比，侧重图表信息提取与数据换算。 方法技能 ①扇形图：百分比=部分/总体，圆心角=百分比×360°； ②条形/折线图：直接读频数，补全需结合总数量计算； ③频数分布表：频率=频数/总数，各组频数和=总数，频率和=1。 变式演练 【变式01】（2025·广东江门·模拟预测）小明同学统计了某学校六年级部分同学每天阅读图书的时间，并绘制了统计图，如图所示．下面有四个推断不正确的是：（   ） A．小明此次一共调查了100位同学 B．每天阅读图书时间不足15分钟的同学人数多于45-60分钟的人数 C．每天阅读图书时间在15-30分钟的人数最多 D．每天阅读图书时间超过30分钟的同学人数是调查总人数的 【变式02】（2025·广东韶关·一模）观察，如图所示为20名学生每分钟跳绳次数的频数直方图，其中这一组的频数为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式03】（2025·广东阳江·模拟预测）小刚家2019年和2020年的家庭支出如下，已知2020年的总支出比2019年的总支出增加了2成，则下列说法正确的是（    ） A．2020年教育方面的支出是2019年教育方面的支出的1.4倍； B．2020年衣食方面的支出比2019年衣食方面的支出增加了10%； C．2020年总支出比2019年总支出增加了2%； D．2020年其他方面的支出与2019年娱乐方面的支出相同． 题型03 统计数据分析 典例引领 【典例01】（2025·广东广州·模拟预测）某班七个兴趣小组人数分别为：3，3，4，x，5，5，6，已知这组数据的平均数是4，则这组数据的中位数是（    ）． A．2 B．4 C．4.5 D．5 【典例02】（2025·广东清远·三模）为丰富群众精神文化生活，某市春节期间开展了以“我们的中国梦——文化进万家”为主题的艺术活动，从5个街道办收集到的艺术作品数量（单位：件）分别为50，52，49，46，52，则这组数据的中位数是（    ） A．46 B．49 C．50 D．52 方法透视 考向解读 核心必考题，选择/解答均有，考查平均数、中位数、众数、方差、极差的计算与应用，侧重根据实际场景选择合适统计量分析数据特征。 方法技能 ①计算：平均数（加权）算平均水平，中位数找中间值（排序后），众数找出现次数最多的数，方差算数据波动（方差越小越稳定）； ②应用：比较稳定性看方差，描述多数水平看众数，反映整体平均看平均数。 变式演练 【变式01】（2025·广东中山·模拟预测）七年级（1）班学生在某周参加运动的次数只有4次，5次，6次，7次四种情况，图中描述了这班学生运动的相关的情况．则下列有关该七年级（1）班说法正确的是（    ） A．七年级（1）班学生数为40人 B．七年级（1）班学生这周参加运动的次数的众数为16 C．七年级（1）班学生这周参加运动的次数平均数为5 D．七年级（1）班学生这周参加运动次数中位数为5 【变式02】（2025·广东韶关·模拟预测）某校30位同学参加10球投篮训练，将某次投篮成绩绘制成如图所示的条形统计图，则这次成绩的众数和中位数分别是（    ）． A．7，7.5 B．7，7 C．8，6 D．8，7.5 【变式03】（2025·广东东莞·模拟预测）如图是甲、乙两地去年某月1日到7日每日最高气温的折线统计图，为比较两地这7天每日最高气温的稳定情况，应选择的统计量是（    ） A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数 题型04 列举法求概率 典例引领 【典例01】（2025·广东梅州·模拟预测）2025年我县冬季运动会新增了四个项目：冰壶，滑板，匹克球，蹦床，依次记为．体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，了解该项目在县运会中的得分标准，恰好抽到B（滑板）的概率是_____； (2)体育老师想从中选出两个项目，做成手抄报在学校进行普及．他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是（冰壶）和（匹克球）的概率． 【典例02】（2025·广东潮州·模拟预测）电影《哪吒之魔童闹海》截止至2025年3月10日，票房突破亿元人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：哪吒，敖丙，太乙真人，申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片． (1)第一次取出的卡片图案为“哪吒”的概率为_______； (2)用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率． 方法透视 考向解读 高频中档题，解答题为主，考查列表法、树状图法求随机事件的概率，适用于两步及以上试验，侧重不重不漏列举所有等可能结果。 方法技能 ①核心公式：符合条件的结果数/所有等可能结果数； ②列表法：适用于两步试验，横向纵向列两种试验结果； ③树状图法：适用于两步及以上试验，分层列举所有结果，再数符合条件的数量。 变式演练 【变式01】（2025·陕西铜川·模拟预测）铜川市耀州区特产——耀州瓷是北方青瓷的代表，其中的倒流壶、良心壶、凤鸣壶、公道杯被称为“耀瓷四绝”，有“巧如范金，精比琢玉”的美誉．小新一家去铜川市旅游，想购买“耀瓷四绝”作为纪念，但由于预算有限，只能从这4种瓷器中购买2种，一时间不知道如何购买，于是小新制作了如图所示的4张卡片（卡片除正面内容不同外其余完全相同），将卡片背面朝上洗匀后，让妈妈先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，爸爸再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，最终以爸爸和妈妈所抽取的卡片正面内容为准进行购买． (1)妈妈抽取的是B．良心壶的概率为______； (2)请用列表法或画树状图法求爸爸和妈妈都没有抽中．凤鸣壶的概率． 【变式02】（2025·广东广州·二模）为了丰富校园文化生活，培养学生的创新精神和实践能力，学校举办了一场精彩纷呈的校园科技节．在科技节中，设置了多个比赛项目，每个学生需要参与四个项目的角逐，其中项目、、为固定必选项目，项目和中随机抽取一个． (1)在参与科技节的众多学生中，有一个小组的8名同学抽到了项目．他们在该项目中的表现成绩如下：7，6，8，9，10，5，8，7．这组成绩的中位数是________，平均数是________； (2)某班有50名学生，下表是各项目成绩统计，则该班此次科技节的平均成绩为________； 项目 测试人数（人） 50 50 50 30 20 单科平均成绩（分） 9 8 7 8 9 (3)诗诗和妍妍是该班级的两位同学，请用列表法或画树状图法，求她俩参赛的四个项目不完全相同的概率． 【变式03】（2025·广东肇庆·模拟预测）九年级物理学习了电学知识后，小明选取了四个开关按键、一个电源、一个小灯泡和若干电线设计了如图的电路图（四个开关按键都处于打开状态，在开关闭合的情况下，再闭合中的任意一个开关，小灯泡就会发光）． (1)若闭合，则任意闭合其余三个开关按键中的一个，小灯泡能发光的概率为 ； (2)求同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率．（用列表法或树状图法） 题型05 用频率估计概率 典例引领 【典例01】（2025·广东东莞·模拟预测）在一个暗箱里放有个除颜色外完全相同的球，这个球中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，从中随机摸出一球，记下颜色后放回．通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.2，由此可以推算出的值约为（   ） A．8 B．2 C．10 D．20 【典例02】（2025·广东珠海·三模）林业部门要考查某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据，估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为（　    　） 移植的棵数n 1000 1500 2500 4000 8000 15000 20000 30000 成活的棵数m 865 1356 2220 3500 7056 13170 17580 26430 成活的频率 0.865 0.904 0.888 0.875 0.882 0.878 0.879 0.881 A．0.87 B．0.88 C．0.89 D．0.90 方法透视 考向解读 基础必考题，选择/填空为主，考查频率与概率的关系，利用大量重复试验的频率估计事件发生的概率，侧重概念理解与简单计算。 方法技能 ①核心规律：大量重复试验中，频率会稳定在概率附近； ②计算：频率=频数/试验次数，用多次试验的平均频率作为概率的估计值； ③注意：试验次数越少，频率与概率偏差可能越大。 变式演练 【变式01】（2025·广东深圳·三模）2024年11月，中国苹果产业协会和国家苹果产业技术体系最新联合发布，截至目前，中国苹果产量世界第一，当前我国已培育自主产权苹果新品种152个．某科学研究院为研究一类新品种苹果树的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示：估计这一类新品种苹果树成活的概率为（　　） 移植总数n 50 270 400 750 1500 3500 7000 10000 14000 成活总数m 47 235 369 682 1359 3203 6398 9102 12782 成活率 A． B． C． D． 【变式02】（2025·广东潮州·模拟预测）一个不透明的口袋中装有n个球，其中有3个是红球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则n的值为（　　） A．27 B．30 C．33 D．36 【变式03】（2025·广东河源·模拟预测）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个黑球、3个白球、2个蓝球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（   ） A．黑球 B．白球 C．蓝球 D．红球 题型06 概率与游戏公平性问题 典例引领 【典例01】（2025·广东潮州·模拟预测）从一副扑克牌中取出的两组牌，分别是黑桃1、2和方块1、2、3，将它们背面朝上分别重新洗牌后，从两组牌中各摸出一张．小明和小红制定了游戏规则：若摸出的两张牌的牌面数字之和为3则小明胜，两张牌的牌面数字之和为4则小红胜．这个规则公平吗？ 请你用列表法或画树状图分析说明． 【典例02】（2025·广东清远·模拟预测）“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． (1)小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率． (2)小强和小刚玩游戏，在（1）的规则上，若两人抽到的卡片有指南针，则小强胜，否则小刚胜，请判断上述游戏是否公平，并说明理由． 方法透视 考向解读 中档综合题，解答题为主，考查通过计算概率判断游戏规则是否公平，常结合列举法求概率，侧重公平性的判定与规则设计。 方法技能 ①判断公平性：分别计算游戏双方获胜的概率，概率相等则公平，否则不公平； ②设计公平规则：调整试验结果的得分/获胜条件，使双方获胜概率相等。 变式演练 【变式01】（2025·广东湛江·模拟预测）有甲、乙两个不透明袋子，甲袋装有三个小球，分别标有数字1，2，4，乙袋装有两个小球，分别标有数字2，3，这些小球除数字不同外其余都相同． (1)从甲袋任意摸出一个小球，求“恰好摸到数字为1的小球”的概率； (2)现制定游戏规则如下：游戏者先选定一个袋子摸出一个小球，再从另一个袋子摸出一个小球，若第一个袋子摸出小球的数字小于第二个袋子摸出小球的数字，则该游戏者可获得一份奖品．为了使获奖的可能性更大，游戏者应先选定从哪个袋子摸球？说明你的理由． 【变式02】（2025·广东中山·模拟预测）中雅培粹学校根据《南充市中小学生课后服务实施意见》，积极开展课后延时服务活动，提供了“合唱，舞蹈，科创，书法，美术，课本剧，棋类”等课程供学生自由选择．半学期后，该校为了解学生对课后延时服务的满意情况，随机对部分学生进行问卷调查，并将调查结果按照“A．满意；B．比较满意；C．基本满意；D．不满意”四个等级绘制成如图所示的两幅不完整统计图． 请根据图中信息，解答下列问题：    (1)将条形统计图补充完整； (2)表示等级D的扇形的圆心角是____________度； (3)由于学校条件限制，“课本剧”课程仅剩下一个名额，而学生小华和小亮都想参加，他们决定采用抽纸牌的方法来确定，规则是：“将背面完全相同，正面分别标有数字1，2，3，4的四张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，每人随机抽一次且一次只抽一张；一人抽后记下数字，将牌放回洗匀背面朝上放置在桌面上，再由另一人抽．若小华抽得的数字比小亮抽得的数字大，名额给小华，否则给小亮．”请用画树状图或列表的方法计算出小华和小亮获得该名额的概率，并说明这个规则对双方是否公平． 【变式03】（2025·广东惠州·模拟预测）如图，有四张正面标有数字﹣2，﹣1，0，1，背面颜色一样的卡片，正面朝下放在桌面上，小红从四张卡片中随机抽取一张卡片记下数字，小明再从余下的三张卡片中随机抽取一张卡片记下数字．设小红抽到的数字为x，小明抽到的数字为y，点A的坐标为（x，y）． (1)请用列表法或画树状图的方法列出点A所有结果； (2)若点A在坐标轴上，则小红胜；反之，则小明胜．请你用概率的相关知识解释这个游戏是否公平？ 题型07 统计与概率综合 典例引领 【典例01】（2025·广东深圳·一模）某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：．高锰酸钾制取氧气；．电解水；．木炭还原氧化铜；．高温煅烧石灰石；．碳酸钠和稀盐酸反应，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）． 请结合统计图，回答下列问题： (1)________，所对应的扇形圆心角是________； (2)请你根据调查结果，估计该校九年级名学生中有________人最喜欢的实验是“．高温煅烧石灰石” (3)某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊，若小明从上面的五个实验中任意选取两个，请求出两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率________． 【典例02】（2025·广东广州·模拟预测）我县实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，胡老师为了了解班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对某班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： (1)本次调查中，胡老师一共调查了______名同学，其中女生共有______名； (2)将上面的条形统计图补充完整； (3)为了共同进步，胡老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率． 方法透视 考向解读 压轴中档题，解答题为主，融合统计图（表）分析、统计量计算、概率求解，常以实际场景（抽样调查、游戏、统计分析）为背景，侧重数据处理与综合应用能力。 方法技能 ①第一步：从统计图/表中提取数据，补全图表、计算统计量（平均数、百分比等）； ②第二步：根据试验类型，用列举法/几何法求概率； ③第三步：结合统计量和概率，分析实际问题并给出结论/建议。 变式演练 【变式01】（2025·广东江门·二模）为进一步落实双减工作，丰富学生课后服务内容，某学校增设了科技项目课程，分别是：“无人机、人工智能、动漫，编程”四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的爱好情况，学校随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下： 并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图： (1)请补全条形统计图． (2)扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角为______度． (3)估计全体1000名学生中最喜欢C活动的人数约为多少人？ (4)学校现从喜好“编程”的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加青少年科技创新比赛，请用树状图或列表法求恰好甲和丁同学被选到的概率是多少？ 【变式02】（2025·广东汕头·一模）为庆祝中国共产党建党周年，我区某校组织全校名学生进行了党史知识竞赛，参赛学生均获奖．为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题： (1)本次被抽取的部分人数是 名，扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是 ； (2)根据抽样结果，请估计该校获得特等奖的人数为 名； (3)某班有4名获特等奖的学生小利、小芳、小明、小亮，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求小利被选中的概率． 【变式03】（2025·广东韶关·二模）白土月饼是非物质文化遗产，始创于明崇祯年间，至今已有400多年历史，为了解同学们对某白土月饼厂家生产的多种月饼的喜爱情况，某实践探究小组对九年级部分同学做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告： xx小组关于xx学校学生月饼品种喜爱情况调查报告 数据收集 调查方式 抽样调查 调查对象 xx学校九年级部分学生 数据的整理与描述 品种    数据分析及运用 （1）本次被抽样调查的学生总人数为______，扇形统计图中，______； （2）请补全条形统计图； （3）该学校总人数为2000人，请你估计该学校学生喜欢吃莲蓉月饼和冰皮月饼的总人数； （4）甲乙两位同学根据调查的数据，发现A，C，E三种月饼最受欢迎，计划从这三个品种中挑选一种推荐给朋友，请用树状图或列表的方法求出他们恰好选择同一种月饼的概率． 题●型●训●练 1．（2025·广东东莞·二模）长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东深圳·中考真题）某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东广州·中考真题）某地一周的每天最高气温如下表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的是（   ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 最高气温/℃ 25 25 28 30 33 30 29 A． B． C． D． 4．（2025·广东·中考真题）某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（   ） A．92，94 B．95，95 C．94，95 D．95，96 5．（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·广东东莞·一模）不透明的袋子中装有2个红球和4个黄球，除了颜色外没有任何不同，随机摸出一个是黄球的概率为__________． 7．（2025·广东惠州·二模）若一组数据3，4，5，，6，7的众数是6，则中位数是___________． 8．（2025·广东潮州·模拟预测）端午节吃粽子是中华民族的传统习惯，妈妈买了3只红豆粽、2只碱水粽、2只干肉粽，粽子除内部馅料不同外其它均相同，小颖随意吃一个，吃到红豆粽的概率是_______． 9．（2025·广东肇庆·一模）如图是广州市2025年1月1日-1月7日每天最高气温（）的统计结果，这7天最高气温的众数是___________． 10．（2025·广东清远·三模）广东省是一个著名的旅游胜地，广州塔、白云山、丹霞山、深圳湾公园是广东省的著名景点．寒假期间，嘉琪一家准备从这4个旅游景点中选择1个前往实地观光，则选中“广州塔”的概率是_____． 11．（2025·广东·中考真题）2025年2月，广东省教育厅发布《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》．某校为更好地落实文件精神并了解学生参加体育活动的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并对所得数据进行处理．部分信息如下： 调查问卷 整理与描述 1．你每天参加体育活动（含体育课）的时间（单位：小时）（   ）（单选） A．     B． C．     D． 2．随着体育活动时间的延长，学校拟增设体育活动项目，你希望增设的活动项目有（   ）（可多选） E．球类    F．田径类 G．体操类    H．水上类 希望增设的活动项目统计表 活动项目 球类 田径类 体操类 水上类 百分比 根据以上信息，解答下列问题： (1)求参与这次问卷调查的学生人数． (2)估计该校1000名学生中每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数． (3)基于上述两项调查的数据，提炼出一条信息，并向学校提出相应的建议． 12．（2025·广东清远·三模）某校对直播软件功能进行筛选，学校选定了A和B两款软件进行试用，并抽取部分师生对这两款软件打分（分数为整数，满分为5分）． 信息一：分别随机抽取20名学生打分情况的折线统计图如图所示： 信息二：学生打分的平均数、众数、中位数如下表所示： 软件 平均数 众数 中位数 A 4 B 4 信息三：抽取的10位教师对A和B这两款软件打分的平均分分别为分和4分． 请根据以上信息解答下列问题： (1)填空：_____，_____． (2)学生对这两款软件评价较高的是哪一款？请说明理由． (3)学校决定选择综合平均分高的软件进行教学，其中综合平均分中教师打分占，学生打分占，请你通过计算分析学校会采用哪款软件进行教学． 13．（2025·广东深圳·一模）百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中_______， _______， _______． (2)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． (3)（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 14．（2025·广东深圳·中考真题）某班级拟开展科技主题班会活动，现从“科技安全”，“科技畅想”，“科技生活”，“科技前沿”，“科技故事”中挑选一个主题．全班同学通过投票选出最受欢迎的主题，投票结果的条形统计图与扇形统计图如下： 请根据以上信息，完成下列问题： (1)本次投票共__________人参与，其中科技安全所占百分比为__________，并补全条形统计图． (2)为确定班会科技主题，从该班选择7名学生代表为“科技畅想”和“科技故事”打分，分数列表如下： 科技畅想 10 9 9 3 6 9 10 科技故事 9 10 7 8 6 8 8 平均数 中位数 众数 科技畅想 9 科技故事 8 8 c 求表中的数据：________，________，________． (3)结合上述信息，应该选择哪个科技主题，并说明理由． 15．（2025·广东广州·中考真题）为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计．进入决赛的前两名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如下表所示： 选手 内容 能力 效果 甲 乙 (1)分别计算甲、乙两名选手的平均成绩（百分制），能否以此确定两人的名次？ (2)如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照的比确定，以此计算两名选手的平均成绩（百分制），并确定两人的名次； (3)如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $