专题09 尺规作图与几何原理（题型专练）（广东专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题09 尺规作图与几何原理 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 角平分线的尺规作图与几何证明 题型02 垂直平分线的尺规作图与几何证明 题型03 圆的尺规作图与几何证明 题型04 角度的尺规作图与几何证明 题型05 平行线与垂线的尺规作图与几何证明 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 角平分线的尺规作图与几何证明 典例引领 【典例01】（2025·广东阳江·模拟预测）作图与探究 阅读下列材料，并完成相应的任务． 如题（1）图，在中，．小明用尺规作底边的垂直平分线的过程如下： ①以点A为圆心，小于长为半径作弧，分别交，于点D，E； ②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P； ③作射线，则． (1)根据小明的作图方法在（1）图中作出图形，他得出“”的依据是哪个定理？ ， (2)如（2）图，已知在四边形中，，，求作对角线的垂直平分线，小亮只用直尺作直线，就得到对角线的垂直平分线．请你帮小亮说明理由． (3)如（3）图，已知在四边形中，，．请你只用直尺作出边的垂直平分线．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)作图见解析，等腰三角形顶角的平分线与底边上的高和底边上的中线互相重合 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查角平分线的尺规作图，等腰三角形的性质及判定，垂直平分线的判定，掌握垂直平分线的判定定理是解题的关键． （1）依据角平分线的作图方法即可完成作图，根据等腰三角形三线合一即可得依据； （2）分别证明点A和点C在线段的垂直平分线上，即可说明理由； （3）分别延长和相交于点E，连接，相交于点F，则直线为所求． 【详解】（1）解：所求图形，如图所示． 由作图可得是的平分线，又，则根据等腰三角形的“三线合一”可得， 所以，得出“”的依据是：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高和底边上的中线互相重合； 故答案为：等腰三角形顶角的平分线与底边上的高和底边上的中线互相重合； （2）解：∵， ∴点A在线段的垂直平分线上，， ∵， ∴，即， ∴， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴直线是对角线的垂直平分线； （3）解：如图，直线即为所求． 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴点E在的垂直平分线上， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点F在的垂直平分线上， ∴直线是的垂直平分线． 【典例02】（2025·广东揭阳·一模）如图所示，在中，，在的延长线上，连接，为的中点． (1)用直尺和圆规，在上找一点，使点到和的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，根据（1）中所作的图形，证明：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，角平分线的判定定理，三角形中位线定理，三线合一定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）点到和的距离相等，则点F在的角平分线上，据此根据角平分线的尺规作图方法作图； （2）根据题意可得点F在的角平分线上，由三线合一定理可得点F为的中点，则为的中位线，由三角形中位线定理即可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，点F即为所求； （2）证明：如图所示，连接， ∵点到和的距离相等， ∴点F在的角平分线上，即平分， ∵， ∴点F为的中点， 又∵点E为的中点， ∴为的中位线， ∴，即． 方法透视 考向解读 基础必考题，选择/解答均有，考查角平分线尺规作图步骤、痕迹识别，结合角平分线性质（角等、到两边距离相等）/判定定理完成几何证明，常与全等、等腰三角形结合。 方法技能 ①作图：以角顶点为圆心画弧交两边，再以两交点为圆心画等弧，交点与顶点连线即为角平分线； ②证明：作角平分线上点到两边的垂线，用“距离相等”证角等/三角形全等，或由角等结合判定定理证角平分线。 变式演练 【变式01】（2025·广东中山·模拟预测）如图，在中，，以为直径的与交于点D，连接． (1)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点E．（不写作法，保留作图痕迹），连接交于F点，并证明：； (2)若的半径等于4，且与相切于A点，求劣弧的长度和阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】(1)见解析 (2)劣弧的长度为，阴影的面积为 【分析】（1）作的角平分线即可得出弧的中点，连接，根据圆周角定理得出相等的角，证明，即可得出结论； （2）连接，根据垂直和等边得出，然后利用弧长公式和扇形面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，作的角平分线交于点E，交于点， ∴点E为所求的劣弧的中点． 证明：连接， ∵， ∴． ∴． ∴． 即； （2）解：如图，连接， ∵与相切，为半径， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴劣弧的长度． ． 【变式02】（2025·广东珠海·模拟预测）已知：如图，四边形是平行四边形． (1)尺规作图：作的角平分线交的延长线于E点（不要求写作法，但要保留作图痕迹）； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了用直尺和圆规作角平分线，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握用直尺和圆规作角平分线及平行四边形的性质是解题的关键． （1）由角平分线的作法可得答案； （2）由平行四边形的性质可知，，所以，再结合已知可推出，所以，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， ． 【变式03】（2025·广东中山·模拟预测）如图，在中，，，． (1)作的平分线交于；（用尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）题的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可； （2）证明为等腰直角三角形，得到，角平分线结合三角形的内角和定义，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 题型02 垂直平分线的尺规作图与几何证明 典例引领 【典例01】（2025·广东清远·二模）如图，在中，以为直径的与交于点D，连接． (1)尺规作图：作出劣弧的中点（不写作法，保留作图痕迹）： (2)连接交于点，连接，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)证明过程见解析． 【分析】本题考查作线段垂直平分线，同弧（等弧）所对圆周角相等，三角形相似的判定． （1）分别以点，为圆心，大于为半径画弧，交于点，，直线与相交，交点即为劣弧的中点； （2）根据同弧（等弧）所对圆周角相等，可得，，即可证得结论． 【详解】（1）解：如图，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，交于点，，直线与交于点，点即为所求． （2）证明：∵是的直径，点，在上， ∴， ∵点为弧的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【典例02】（2026·广东中山·模拟预测）如图，是矩形的对角线，，． (1)请用尺规作图法，作的垂直平分线，垂足为，分别交于点、；（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析； (2)四边形的周长:． 【分析】本题考查作垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）作线段的垂直平分线即可解决问题； （2）先根据垂直平分线的性质得到，，设，，再结合矩形的性质和勾股定理求出，即可求出四边形的周长． 【详解】（1）如图所示，为所求作的直线， （2）如图，连接，， ∵垂直平分于点，交于点、， ∴，， ∵矩形，，， ∴，，． ∵设，， ∴，． ∵在中，， ∴，即， 解得：， ∴． ∵在中，， ∴，即， 解得：， ∴， ∴菱形的周长为． 方法透视 考向解读 高频基础题，全题型覆盖，考查线段垂直平分线作图、痕迹推导，结合其性质（垂直、平分线段、点到两端距离相等）/判定定理证明，常与等腰三角形、圆的半径性质结合。 方法技能 ①作图：分别以线段两端为圆心，大于半长为半径画交叉弧，连接弧交点得垂直平分线；②证明：利用“垂直平分线上点到两端距离相等”证边等/等腰三角形，或由点到线段两端距离相等证垂直平分线。 变式演练 【变式01】（2025·广东广州·模拟预测）如图，为的直径，点是上一点，点是劣弧的中点． (1)作点，并连接（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)（1）的条件下，延长，它们的延长线交于点，若点为的中点． ①求证：点为的中点； ②若，求的半径． 【答案】(1)图见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】本题考查作图—中垂线的做法、垂径定理、平行直线的判定、平行直线分线段成比例定理、三角形中位线的性质、直径所对圆周角直角、勾股定理： （1）作弦的中垂线，中垂线与劣弧的交点即为D； （2）①证明，再根据平行线分线段成比例定理即可证明． 【详解】（1）解：作的垂直平分线：以A、C为圆心，大于的长为半径画圆弧，两端圆弧交于两点，过这两点作直线与劣弧的交点为D，连接： （2）解：①如图，与的交点为F， ∵， ∴， ∵是圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 点为的中点， ， ∴，即， ∴点为的中点； ②设圆的半径为R， 由①知B是中点，是中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵O是中点，F是中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 在中，，即， 解得． 【变式02】（2025·广东·模拟预测）如图，是等边三角形． (1)请用尺规作图法，作出的中点D，并在的延长线上找一点E，使得；(保留作图痕迹，不要求写作法) (2)在（1）的条件下，连接，则 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的外角性质，尺规作图---线段的垂直平分线，等腰三角形的性质等知识点． （1）先作出线段的垂直平分线与交点即为点，然后在的延长线上截取即可； （2）由等腰三角形得到，由等边三角形得到，再由三角形的外角性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式03】（2025·广东惠州·模拟预测）【问题】如图，你能用一张锐角三角形纸片折出一个菱形，使为这个菱形的一个内角吗？ 【操作】折叠，使得边与边重合，折痕与交于点D，展开，然后翻折使得点A与点D重合，折痕分别与，交于点E，F． 【应用】请尝试用尺规作图法，作出四边形 (不要求写作法，保留作图痕迹)，并证明四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图，菱形的判定．折叠，即作的角平分线，翻折使得点A与点D重合，即作的垂直平分线．证明四边形是菱形时，先根据两组对边平行证明四边形是平行四边形，再根据邻边相等，证明四边形是菱形． 【详解】解：如图，四边形即为所求． 证明：由作图知，平分，垂直平分， ，， ， ， ， 同理可证， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 题型03 圆的尺规作图与几何证明 典例引领 【典例01】（2025·广东佛山·三模）如图，在中，． (1)尺规作图：以点为圆心，为切线作； (2)与相切于点，与相交于点，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，切线的判定和性质． （1）过点A作于点D，以A为圆心，为半径作即可； （2）如图，过点A作于点H，证明即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：如图，过点A作于点H， ∵，， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴． 【典例02】（2025·广东韶关·模拟预测）如图，在中，． (1)实践与操作：用尺规作图法在下方求作，使得，且；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，是的中点，连接．求证：． 【答案】(1)图见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）分别以为圆心，长为半径画弧，两弧交下方于一点，以该点为圆心，长为半径画圆，再以为圆心，长为半径画弧，与前述圆的交点即为点，连接，得到． （2）设，则，根据等腰直角三角形的性质得出，，即可得出，根据，即可证明． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作．（作法不唯一） 分别以为圆心，长为半径画弧，两弧交下方于一点，以该点为圆心，长为半径画圆，再以为圆心，长为半径画弧，与前述圆的交点即为点，连接，得到． （2）证明：如图， 是的中点， ． 设，则， ， ， ， ， ． ， ． 方法透视 考向解读 中档综合题，解答题为主，考查过定点作圆、作外接圆/内切圆、作圆的切线等尺规作图，结合圆的基本性质（半径相等、垂径定理、切线性质）完成证明，侧重作图原理与圆的定理结合。 方法技能 ①作图：作外接圆（作两边垂直平分线找圆心，以圆心到顶点为半径画圆）；作切线（已知切点连半径作垂线，未知切点作圆心到直线垂线证半径）； ②证明：由作图得半径相等/垂直关系，结合垂径定理、切线判定定理完成边/角/垂直证明。 变式演练 【变式01】（2025·广东广州·模拟预测）如图，在中，． (1)尺规作图：以为直径作，交于点，交于点． (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，三线合一定理，相似三角形的性质与判定，圆内接四边形的性质，线段垂直平分线的尺规作图等等，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线交于O，以点O为圆心，的长为半径画圆交于点，交于点； （2）由直径所对的圆周角是直角得到，则由三线合一定理即可证明结论； （3）连接，求出，证明，利用相似三角形的性质列出比例式求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：如图所示，连接， ∵为的直径，点E在上， ∴，即， ∵， ∴； （3）解：如图所示，连接，     ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【变式02】（2025·广东珠海·一模）如题图，在中，是钝角． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若．求证：是的切线； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，切线的判定，圆周角定理及等腰三角形的性质，，掌握线段垂直平分线的性质及切线的判定是解题的关键． （）根据作线段垂直平分线的作法和画圆的作图即可； （）连接，由是直径，可得，根据等边对等角可得，再根据，推出，即，即可证明． 【详解】（1）解：作出垂直平分线，作出，如图即为所求； （2）证明：连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线． 【变式03】（2025·广东湛江·一模）如图，已知四边形是矩形，把沿对角线翻折得到，交于点，是的外接圆．    (1)利用尺规作出的外接圆（要求保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：； (3)若，试判断与直线的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)直线是的切线，理由见解析 【分析】此题是圆的综合题，主要考查了尺规作图，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，锐角三角函数，求出是解本题的关键． （1）先作出，的垂直平分线，找出圆心，即可得出结论； （2）先判断出，即可得出结论； （3）先求出，进而依次求出，，，再判断出，进而求出，判断出是等边三角形，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，为所求作的图形．    （2）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴． （3）解：直线是的切线， 如图，连接，，    ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点在上， ∴直线是的切线． 题型04 角度的尺规作图与几何证明 典例引领 【典例01】（2025·广东东莞·模拟预测）已知如图所示． (1)用尺规作图法在边上找一点，使得；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的作图下，若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图—基本作图，相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用尺规作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】（1）如图所示，点即为所求． （2），， ， ，即， 解得． 【典例02】（2025·广东广州·三模）如图，在中，． (1)尺规作图：求作点D，使得；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，尺规作图—作与已知角相等的角，熟知相关知识是解题的关键． （1）先作，再作，交于点D，则点D即为所求； （2）设交于点，过点作于点，设，由等边对等角得到， 则，解直角三角形得到，则可求出，证明，得到，设，则，，解得， 可求出，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图，点为所作； （2）解：交于点，过点作于点，如图， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ，， △△， ， 设，则， △△， ，即， 解得， ． 方法透视 考向解读 基础常考题，选择/填空/解答均有，考查作等角、作特殊角（30°/45°/60°/90°）、作角的和差倍分，结合全等三角形、平行线性质证明所作角与已知角的数量关系，侧重作图痕迹的角度推导。 方法技能 ①作图：作等角（仿角平分线作图步骤，复制已知角）；特殊角（利用等边三角形作60°，再作角平分线得30°，作垂线得90°/45°）； ②证明：由作图痕迹得全等三角形，证角相等，再结合角的和差倍分、平行线的同位角/内错角性质推导角度关系。 变式演练 【变式01】（2025·广东广州·二模）正方形的边长为6，E为边上的动点（点E不与点B、C重合），连接． (1)尺规作图，作交边于F； (2)作的角平分线，直线交线段于点H． ①当点E从点B运动到点C的过程中，的外接圆圆心随之运动，求该圆心离边的最大值； ②设一点K在线段上，且线段长为1，当点E从点K运动到点C的过程中，求点H运动的路径长度． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的外接圆，配方法求最值等知识点，解题关键是找准相似三角形求出相关线段． （1）利用作一个角等于已知角求解； （2）①设，利用相似三角形的性质与判定得到，求出的最大值，设的外接圆圆心为点，过点作于点，通过证明得到，求出的最大值即可解答； ②先探索出点H的运动路径，再求出路径长即可． 【详解】（1）解：如图，作交边于F，即为所求作； （2）解：①平分， ， ，， ， ， 四边形是正方形，正方形的边长为6， ，， ，的中点为的外接圆圆心， ， ， ， 设，则， ， 解得：， 当时，有最大值， 过点作于点， ∵，，为的外接圆圆心， ，， ， ， ， 当有最大值时，有最大值，此时的最大值为， 该圆心离边的最大值为； ②当点E在点K处时，， 与①同理可证：， ， ∵线段长为1， ∴， ， ，解得：， 当点E从点K运动到的中点时，达到最高，由①可知此时， 当点E从运动到点C时，． 所以点E的运动路径为从到点C的距离为处到最高点（），再返回点C（），路径的长为． 【变式02】（2025·广东东莞·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与x轴相交于点C，连接． (1)求一次函数及反比例函数的表达式； (2)请用无刻度的直尺和圆规过点B作，交线段于点（保留作图痕迹，不写作法），并直接写出四边形的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； (2)图见解析，9． 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，涉及待定系数法，尺规作图等知识，解题的关键是掌握待定系数法． （1）把代入可得，故反比例函数的表达式为，再求出，用待定系数法可得一次函数的表达式为； （2）以C为圆心，任意长为半径作弧交于E，交于F，以B为圆心，长为半径作弧交于G，再以G为圆心，的长为半径作弧交前弧于H，作射线交于D，点D即为所求；求的解析式为：，结合过点B作平行于x轴，交于点D，，可得，，由为，可得，，再利用梯形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得， 反比例函数的表达式为， 把代入得：， 解得， ， 把，代入得：， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：以C为圆心，任意长为半径作弧交于E，交于F，以B为圆心，长为半径作弧交于G，再以G为圆心，的长为半径作弧交前弧于H，作射线交于D，如图： 点D即为所求； ∵，设的解析式为：，则， 解得， ∴的解析式为：， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵为， 当，则，即， ∴， ∴梯形的面积为：． 【变式03】（2025·广东中山·三模）如图，在中，． (1)用直尺和圆规在的内部作射线，使（不要求写作法，保留作图痕迹） (2)若（1）中的射线交于D，，，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了基本作图以及相似三角形的判定与性质的运用，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质定理． （1）根据尺规作图的方法，以为一边，在的内部作即可； （2）由题意求出，得，代入边长即可求出，进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图，射线即为所作； （2）解：∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 题型05 平行线与垂线的尺规作图与几何证明 典例引领 【典例01】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在中，是钝角． (1)尺规作图：在上取一点O，以O为圆心，作出，使其过A、C两点，交于点D，连接；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，若，，． ①求证：是的切线； ②求直径的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②32 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作交于点D； （2）①证明即可；②证明，推出，由此可得结论． 【详解】（1）解：图形如图所示； （2）①证明：连接． ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴直线是的切线； ②在中， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的直径为32． 【典例02】（2025·广东佛山·模拟预测）如图，在中，，，， (1)利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点E，交于点D（保留作图痕迹，不写作法） (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质及尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质及尺规作图是解题的关键； （1）分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，交于两点，连接这两点，然后问题可求解； （2）由（1）作图可知，然后问题可求解 【详解】（1）解：线段的垂直平分线，如图所示： （2）解：∵垂直平分线段， ∴， ∵，， ∴的周长． 方法透视 考向解读 基础必考题，全题型覆盖，考查过直线外一点作平行线/垂线的尺规作图，结合平行线判定（同位角相等/内错角相等）、垂线性质（直角、垂线段最短）完成证明，常与三角形、四边形性质结合。 方法技能 ①作图：作垂线（过点作弧交直线两点，再作交叉弧，连接交点与已知点）；作平行线（作已知直线的垂线，再作该垂线的垂线，利用“垂直于同一直线的两直线平行”）； ②证明：由作图得直角/等角，结合平行线判定定理证平行，或由垂线作图得直角，结合勾股定理、全等三角形完成垂直证明。 变式演练 【变式01】（2025·广东深圳·二模）如图，圆内有一点M，弦与点M分别位于圆心的异侧． (1)尺规作图：作过点M的弦，使得不写作法，保留作图痕迹； (2)在（1）中，若该圆的半径为6，，，求圆被弦与所夹的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长交于F点，再作交于E点，然后延长交于D点，则满足条件； （2）过O点作于Q点，于P点，连接，根据垂径定理得到，，再利用勾股定理计算出，所以，于是可判断，然后证明，同理可得，然后根据扇形的面积公式，利用该圆位于与之间的图形的面积进行计算即可． 【详解】（1）解：如图1，为所求； （2）解：如图2，过O点作于Q点，于P点，连接， 则，， 在中，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 同理， 该圆位于与之间的图形的面积 ． 【变式02】（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在平行四边形中，，点E是上一点，且． (1)尺规作图：过点E作，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知平行四边形的周长是20，，求证：四边形为菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）在的上方作，交于点 F，则即为所求； （2）由题意得四边形为平行四边形，根据平行四边形的周长是20，可得，则，进而可得，则，可知四边形为菱形． 本题考查作图一复杂作图、平行四边形的性质、菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵平行四边形的周长是20， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 【变式03】（2025·广东潮州·模拟预测）如图，是的角平分线． (1)用直尺和圆规过点作，垂足为（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查作图—基本作图，角平分线的性质， （1）利用基本作图，过点作于； （2）如图，过点作于，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式得，可得答案； 解题的关键是熟练掌握种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）如图，过点作于， ∵是的角平分线，于， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即的长为． 题●型●训●练 1．（2025·广东深圳·模拟预测）已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图-基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法．观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线、角平分线、垂线的性质，逐项判断即可． 【详解】解：A、图中是垂直平分线的作图，不能确定； B、图中是垂直平分线的作图，可得，能确定； C、图中是垂线或高线的作图，不能确定； D、图中是角平分线的作图，不能确定． 故选：B． 2．（2025·广东清远·一模）如题图，在平行四边形中，，，以点D为圆心，任意长为半径画弧，交于点P，交于点Q，分别以P、Q为圆心，大于为半径画弧交于点M，连接并延长，交于点E，连接，则（    ） A．平分 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：由作图可知平分，故选项A正确， 则， 在平行四边形中，，， ∴，，故B不正确， 则， ∴， ∴，则， 故无法判断选项C，D是否正确． 故选：A． 3．（2025·广东清远·模拟预测）如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，，相交于点，，．若，，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图、线段垂直平分线的尺规作图、等腰三角形的判定、勾股定理等知识．先得出平分，垂直平分，从而可得，，，再求出，从而可得，等腰直角三角形，最后利用勾股定理即可得解． 【详解】解：由题意可知，平分，垂直平分，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴等腰直角三角形， ∵， ∴， 故选：A． 4．（2025·广东韶关·二模）数轴上点A，B，D分别对应2，4，6，分别以A，D为圆心，大于的长度为半径画弧，交于点和点，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点对应的数是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】先由基本尺规作图-作垂直平分线得到是线段的垂直平分线，再由画弧作两条线段相等得到，在中，由勾股定理求出长，再由画弧得到，由数轴上的点表示无理数即可得到答案． 【详解】解：由尺规作图可知，是线段的垂直平分线， ， 以点为圆心，长为半径画弧，交于点， ， 在中，，，，则由勾股定理可得， 以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点， ， 故选：C． 5．（2025·广东梅州·模拟预测）如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，再用尺规作图作出于点，则的长为（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质定理、三角形面积公式，由勾股定理可得，由作图可得平分，由角平分线的性质定理可得，再由三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由作图可得：平分， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选：A． 6．（2025·广东汕头·模拟预测）如图，在中，，．以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，交的延长线于点E；分别以D，E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F；作射线．则的度数为__________． 【答案】 【分析】此题考查了三角形外角的性质、角平分线的作图、角平分线的定义，根据三角形外角的性质求出的度数，再由平分即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 由题意知：平分， ∴， 故答案为：． 7．（2025·广东湛江·二模）如图，已知．现按如下步骤作图：①以为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于；②分别以为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于；③以为圆心，长为半径画弧，交于点；④以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点；⑤作射线交于点．若测得，则点到的距离为______． 【答案】3 【分析】如图所示，过点作交的延长线于点，根据作图得出，则，进而根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据平行线间的距离处处相等，即可求解． 【详解】解： 如图，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据作图可知为的角平分线，， ∴ ∴点E到的距离为 故答案为：3． 8．（2025·广东云浮·模拟预测）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，若，则________． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形性质的应用，由题意，得到是线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质，得到，得到等腰三角形的两底角相等，再利用等腰三角形得到的度数，从而得到结果． 【详解】解：，， ， ， 分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点连接， 是线段的垂直平分线， ， ， ． 故答案为：． 9．（2025·广东肇庆·一模）如图，已知中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交边，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；③作射线交于点；④分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，；⑤作直线，分别交，于点，，若，，则的面积是________． 【答案】 【分析】本题考查了垂线和角平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握尺规作图的方法和步骤是解题的关键． 由作图方法得平分，垂直平分，先证明，得到，再由线段垂直平分线的性质得到，根据勾股定理可得的长，证明，可得，求出，进而可以解决问题． 【详解】解：连接，设交于O，如图所示， 由作图方法得平分，垂直平分， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（2025·广东揭阳·一模）如图所示为一直角三角形，，，，用圆规以A点为圆心画圆弧s，分别交于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接交于点G，最后以点G为圆心，以的长度为半径画圆交圆弧s于点M，N，连接分别交于点P，Q，连接，则四边形的周长为________． 【答案】16 【分析】通过题干的尺规作图得出是的角平分线，直线是的垂直平分线，再通过证明，则，所以四边形是菱形，结合三角形外角性质，则，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， 如图： ∵用圆规以A点为圆心画圆弧s，分别交于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接交于点G， ∴是的角平分线， ∴， ∵以点G为圆心，以的长度为半径画圆交圆弧s于点M，N，连接分别交于点P，Q，连接， ∴直线是的垂直平分线， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即 ∴四边形是菱形， 则中，， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 即菱形的周长是， 故答案为：． 11．（2025·广东广州·二模）如图，是的直径，点在上． (1)尺规作图：在直径下方半圆上，作点，使，连接，交于点，连接，；（保留痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中， ①若，求与的面积之比． ②若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】过点作的垂线交于点，连接，，即可． 利用相似三角形的性质求解； 解直角三角形求出，即可． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）解：是直径， ， ， ， 设，则， ， ， ，， ， 与的面积之比； 过点作于点． ， ， ， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ， ． 12．（2025·广东深圳·三模）如图，在中， (1)实践与操作：点在线段上，以为圆心作，恰好过，两点，并与线段交于另一点小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示．请你用尺规作图：作出点与点，并补全． (2)推理与计算：在的条件下，若 求证：直线是的切线； 若，，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)见解析；． 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，直角三角形的性质，勾股定理，尺规作图，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 作出线段的垂直平分线找出圆心，再以点为圆心，为半径画圆即可； 连接，利用圆周角定理，直角三角形的性质得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可； 设的半径为，则，，利用勾股定理列出方程解答即可． 【详解】（1）解：如下图所示， 作线段的垂直平分线交于点， 以点为圆心，为半径画圆，与交于点， 则点，点与为所求； （2）证明：如下图所示，连接， 则， ， ， ， ， 为的半径， 直线是的切线； 解：设的半径为，则， ， ， ， ， ， 解得：， 的半径为． 13．（2025·广东湛江·模拟预测）如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，恰好经过点，连接、． (1)由作法可知　　，　　； (2)求和的度数． 【答案】(1)； (2)， 【分析】本题主要考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键． （1）根据题意可得，， （2）根据矩形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质分别算出和，再根据角的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：∵以点为圆心，长为半径画弧，交于点， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画弧，恰好经过点， ∴， 故答案为：；； （2）四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ． 14．（2025·广东东莞·一模）如图，在平面直角坐标系中，，． (1)若线段绕点A逆时针旋转，则点B对应点的坐标是__________；（不用画图） (2)请仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．在图中，找一格点P，使得，在图中标出P点．（画出一个点即可） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查作图——旋转作图、坐标与图形变化——旋转，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意作出旋转后的图形，即可得到点B对应点的坐标； （2）根据等腰直角三角形的性质，将线段绕点A逆时针或顺时针旋转，则点O对应点即为点P；或者将线段绕点O逆时针或顺时针旋转，则点A对应点即为点P． 【详解】（1）解：如图，点对应点的坐标是． 故答案为：； （2）解：如图，点，，，为所求（选择其中一个即可）． 15．（2025·广东韶关·二模）如图，在中，是的直径． (1)尺规作图：作半径的垂直平分线，交于两点，交半径于点；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)若的半径是4，连接，沿着半径剪开，把和构成的扇形围成圆锥的侧面，求这个圆锥的底面周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的基本作图解答即可． （2）根据弧长公式，圆锥的展开图性质解答即可． 本题考查了线段的垂直平分线的基本作图，圆锥的展开图，弧长公式，熟练掌握基本作图，弧长公式是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示， 则直线为所求． （2）解：连接， ∵直线是线段的垂直平分线，的半径是4； ∴； ∴； ∴；                            ∵； ∴； ∴； ∵的长为； 又∵扇形围成圆锥的侧面时，圆锥的底面周长等于扇形的弧长， ∴圆锥的底面周长是． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 尺规作图与几何原理 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 角平分线的尺规作图与几何证明 题型02 垂直平分线的尺规作图与几何证明 题型03 圆的尺规作图与几何证明 题型04 角度的尺规作图与几何证明 题型05 平行线与垂线的尺规作图与几何证明 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 角平分线的尺规作图与几何证明 典例引领 【典例01】（2025·广东阳江·模拟预测）作图与探究 阅读下列材料，并完成相应的任务． 如题（1）图，在中，．小明用尺规作底边的垂直平分线的过程如下： ①以点A为圆心，小于长为半径作弧，分别交，于点D，E； ②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P； ③作射线，则． (1)根据小明的作图方法在（1）图中作出图形，他得出“”的依据是哪个定理？ (2)如（2）图，已知在四边形中，，，求作对角线的垂直平分线，小亮只用直尺作直线，就得到对角线的垂直平分线．请你帮小亮说明理由． (3)如（3）图，已知在四边形中，，．请你只用直尺作出边的垂直平分线．（不写作法，保留作图痕迹） 【典例02】（2025·广东揭阳·一模）如图所示，在中，，在的延长线上，连接，为的中点． (1)用直尺和圆规，在上找一点，使点到和的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，根据（1）中所作的图形，证明：． 方法透视 考向解读 基础必考题，选择/解答均有，考查角平分线尺规作图步骤、痕迹识别，结合角平分线性质（角等、到两边距离相等）/判定定理完成几何证明，常与全等、等腰三角形结合。 方法技能 ①作图：以角顶点为圆心画弧交两边，再以两交点为圆心画等弧，交点与顶点连线即为角平分线； ②证明：作角平分线上点到两边的垂线，用“距离相等”证角等/三角形全等，或由角等结合判定定理证角平分线。 变式演练 【变式01】（2025·广东中山·模拟预测）如图，在中，，以为直径的与交于点D，连接． (1)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点E．（不写作法，保留作图痕迹），连接交于F点，并证明：； (2)若的半径等于4，且与相切于A点，求劣弧的长度和阴影部分的面积（结果保留π）． 【变式02】（2025·广东珠海·模拟预测）已知：如图，四边形是平行四边形． (1)尺规作图：作的角平分线交的延长线于E点（不要求写作法，但要保留作图痕迹）； (2)求证：． 【变式03】（2025·广东中山·模拟预测）如图，在中，，，． (1)作的平分线交于；（用尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）题的条件下，求证：． 题型02 垂直平分线的尺规作图与几何证明 典例引领 【典例01】（2025·广东清远·二模）如图，在中，以为直径的与交于点D，连接． (1)尺规作图：作出劣弧的中点（不写作法，保留作图痕迹）： (2)连接交于点，连接，求证：． 【典例02】（2026·广东中山·模拟预测）如图，是矩形的对角线，，． (1)请用尺规作图法，作的垂直平分线，垂足为，分别交于点、；（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求四边形的周长． 方法透视 考向解读 高频基础题，全题型覆盖，考查线段垂直平分线作图、痕迹推导，结合其性质（垂直、平分线段、点到两端距离相等）/判定定理证明，常与等腰三角形、圆的半径性质结合。 方法技能 ①作图：分别以线段两端为圆心，大于半长为半径画交叉弧，连接弧交点得垂直平分线；②证明：利用“垂直平分线上点到两端距离相等”证边等/等腰三角形，或由点到线段两端距离相等证垂直平分线。 变式演练 【变式01】（2025·广东广州·模拟预测）如图，为的直径，点是上一点，点是劣弧的中点． (1)作点，并连接（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)（1）的条件下，延长，它们的延长线交于点，若点为的中点． ①求证：点为的中点； ②若，求的半径． 【变式02】（2025·广东·模拟预测）如图，是等边三角形． (1)请用尺规作图法，作出的中点D，并在的延长线上找一点E，使得；(保留作图痕迹，不要求写作法) (2)在（1）的条件下，连接，则 ． 【变式03】（2025·广东惠州·模拟预测）【问题】如图，你能用一张锐角三角形纸片折出一个菱形，使为这个菱形的一个内角吗？ 【操作】折叠，使得边与边重合，折痕与交于点D，展开，然后翻折使得点A与点D重合，折痕分别与，交于点E，F． 【应用】请尝试用尺规作图法，作出四边形 (不要求写作法，保留作图痕迹)，并证明四边形是菱形． 题型03 圆的尺规作图与几何证明 典例引领 【典例01】（2025·广东佛山·三模）如图，在中，． (1)尺规作图：以点为圆心，为切线作； (2)与相切于点，与相交于点，连接，求证：． 【典例02】（2025·广东韶关·模拟预测）如图，在中，． (1)实践与操作：用尺规作图法在下方求作，使得，且；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，是的中点，连接．求证：． 方法透视 考向解读 中档综合题，解答题为主，考查过定点作圆、作外接圆/内切圆、作圆的切线等尺规作图，结合圆的基本性质（半径相等、垂径定理、切线性质）完成证明，侧重作图原理与圆的定理结合。 方法技能 ①作图：作外接圆（作两边垂直平分线找圆心，以圆心到顶点为半径画圆）；作切线（已知切点连半径作垂线，未知切点作圆心到直线垂线证半径）； ②证明：由作图得半径相等/垂直关系，结合垂径定理、切线判定定理完成边/角/垂直证明。 变式演练 【变式01】（2025·广东广州·模拟预测）如图，在中，． (1)尺规作图：以为直径作，交于点，交于点． (2)求证：； (3)若，求的长． 【变式02】（2025·广东珠海·一模）如题图，在中，是钝角． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若．求证：是的切线； 【变式03】（2025·广东湛江·一模）如图，已知四边形是矩形，把沿对角线翻折得到，交于点，是的外接圆．    (1)利用尺规作出的外接圆（要求保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：； (3)若，试判断与直线的位置关系，并说明理由． 题型04 角度的尺规作图与几何证明 典例引领 【典例01】（2025·广东东莞·模拟预测）已知如图所示． (1)用尺规作图法在边上找一点，使得；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的作图下，若，求的长度． 【典例02】（2025·广东广州·三模）如图，在中，． (1)尺规作图：求作点D，使得；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 方法透视 考向解读 基础常考题，选择/填空/解答均有，考查作等角、作特殊角（30°/45°/60°/90°）、作角的和差倍分，结合全等三角形、平行线性质证明所作角与已知角的数量关系，侧重作图痕迹的角度推导。 方法技能 ①作图：作等角（仿角平分线作图步骤，复制已知角）；特殊角（利用等边三角形作60°，再作角平分线得30°，作垂线得90°/45°）； ②证明：由作图痕迹得全等三角形，证角相等，再结合角的和差倍分、平行线的同位角/内错角性质推导角度关系。 变式演练 【变式01】（2025·广东广州·二模）正方形的边长为6，E为边上的动点（点E不与点B、C重合），连接． (1)尺规作图，作交边于F； (2)作的角平分线，直线交线段于点H． ①当点E从点B运动到点C的过程中，的外接圆圆心随之运动，求该圆心离边的最大值； ②设一点K在线段上，且线段长为1，当点E从点K运动到点C的过程中，求点H运动的路径长度． 【变式02】（2025·广东东莞·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与x轴相交于点C，连接． (1)求一次函数及反比例函数的表达式； (2)请用无刻度的直尺和圆规过点B作，交线段于点（保留作图痕迹，不写作法），并直接写出四边形的面积． 【变式03】（2025·广东中山·三模）如图，在中，． (1)用直尺和圆规在的内部作射线，使（不要求写作法，保留作图痕迹） (2)若（1）中的射线交于D，，，求长． 题型05 平行线与垂线的尺规作图与几何证明 典例引领 【典例01】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在中，是钝角． (1)尺规作图：在上取一点O，以O为圆心，作出，使其过A、C两点，交于点D，连接；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，若，，． ①求证：是的切线； ②求直径的长． 【典例02】（2025·广东佛山·模拟预测）如图，在中，，，， (1)利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点E，交于点D（保留作图痕迹，不写作法） (2)求的周长． 方法透视 考向解读 基础必考题，全题型覆盖，考查过直线外一点作平行线/垂线的尺规作图，结合平行线判定（同位角相等/内错角相等）、垂线性质（直角、垂线段最短）完成证明，常与三角形、四边形性质结合。 方法技能 ①作图：作垂线（过点作弧交直线两点，再作交叉弧，连接交点与已知点）；作平行线（作已知直线的垂线，再作该垂线的垂线，利用“垂直于同一直线的两直线平行”）； ②证明：由作图得直角/等角，结合平行线判定定理证平行，或由垂线作图得直角，结合勾股定理、全等三角形完成垂直证明。 变式演练 【变式01】（2025·广东深圳·二模）如图，圆内有一点M，弦与点M分别位于圆心的异侧． (1)尺规作图：作过点M的弦，使得不写作法，保留作图痕迹； (2)在（1）中，若该圆的半径为6，，，求圆被弦与所夹的面积． 【变式02】（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在平行四边形中，，点E是上一点，且． (1)尺规作图：过点E作，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知平行四边形的周长是20，，求证：四边形为菱形． 【变式03】（2025·广东潮州·模拟预测）如图，是的角平分线． (1)用直尺和圆规过点作，垂足为（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，，求的长． 题●型●训●练 1．（2025·广东深圳·模拟预测）已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东清远·一模）如题图，在平行四边形中，，，以点D为圆心，任意长为半径画弧，交于点P，交于点Q，分别以P、Q为圆心，大于为半径画弧交于点M，连接并延长，交于点E，连接，则（    ） A．平分 B． C． D． 3．（2025·广东清远·模拟预测）如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，，相交于点，，．若，，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 4．（2025·广东韶关·二模）数轴上点A，B，D分别对应2，4，6，分别以A，D为圆心，大于的长度为半径画弧，交于点和点，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点对应的数是（   ） A． B．5 C． D． 5．（2025·广东梅州·模拟预测）如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，再用尺规作图作出于点，则的长为（   ） A． B．3 C． D．5 6．（2025·广东汕头·模拟预测）如图，在中，，．以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，交的延长线于点E；分别以D，E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F；作射线．则的度数为__________． 7．（2025·广东湛江·二模）如图，已知．现按如下步骤作图：①以为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于；②分别以为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于；③以为圆心，长为半径画弧，交于点；④以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点；⑤作射线交于点．若测得，则点到的距离为______． 8．（2025·广东云浮·模拟预测）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，若，则________． 9．（2025·广东肇庆·一模）如图，已知中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交边，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；③作射线交于点；④分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，；⑤作直线，分别交，于点，，若，，则的面积是________． 10．（2025·广东揭阳·一模）如图所示为一直角三角形，，，，用圆规以A点为圆心画圆弧s，分别交于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接交于点G，最后以点G为圆心，以的长度为半径画圆交圆弧s于点M，N，连接分别交于点P，Q，连接，则四边形的周长为________． 11．（2025·广东广州·二模）如图，是的直径，点在上． (1)尺规作图：在直径下方半圆上，作点，使，连接，交于点，连接，；（保留痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中， ①若，求与的面积之比． ②若，，求的长． 12．（2025·广东深圳·三模）如图，在中， (1)实践与操作：点在线段上，以为圆心作，恰好过，两点，并与线段交于另一点小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示．请你用尺规作图：作出点与点，并补全． (2)推理与计算：在的条件下，若 求证：直线是的切线； 若，，求的半径． 13．（2025·广东湛江·模拟预测）如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，恰好经过点，连接、． (1)由作法可知　　，　　； (2)求和的度数． 14．（2025·广东东莞·一模）如图，在平面直角坐标系中，，． (1)若线段绕点A逆时针旋转，则点B对应点的坐标是__________；（不用画图） (2)请仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．在图中，找一格点P，使得，在图中标出P点．（画出一个点即可） 15．（2025·广东韶关·二模）如图，在中，是的直径． (1)尺规作图：作半径的垂直平分线，交于两点，交半径于点；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)若的半径是4，连接，沿着半径剪开，把和构成的扇形围成圆锥的侧面，求这个圆锥的底面周长． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $