专题08 几何最值问题（“将军饮马”及其拓展）（题型专练）（广东专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题08 几何最值问题（“将军饮马”及其拓展） 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 几何最值问题：将军饮马问题 题型02 几何最值问题：阿氏圆问题 题型03 几何最值问题：胡不归问题 题型04 几何最值问题：隐圆问题 题型05 几何最值问题：费马点问题 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 几何最值问题：将军饮马问题 典例引领 【典例01】（2025·广东佛山·模拟预测）已知一次函数的图象与反比例函数交于点和． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)设点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 【典例02】（2025·广东广州·模拟预测）如图为的正方形网格，每个小正方形的边长为1，顶点称为格点，线段的端点均在格点上．按要求画图（只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法）． (1)在图中画出一个以为边的等腰钝角三角形，使点C在格点上． (2)图中的面积为________． (3)在（1）的基础上，在线段上找点P，在线段上找点Q，使最短． 方法透视 考向解读 高频中档题，选择/解答均有，考查两定点到直线上一动点的线段和/差最值，经典对称型最值模型，常拓展至两线一动、两动一定等变式，侧重对称转化思想。 方法技能 1 核心思路：作对称点，转化线段（将折线转化为直线，利用两点之间线段最短）； 2 线段和最小问题：作其中一个定点关于动直线的对称点，连接对称点与另一定点，与动直线交点即为动点，线段长为最小值； 3 线段差最大问题：连接两定点并延长，与动直线交点即为动点，线段差的绝对值为最大值（同侧定点直接连，异侧定点先作对称）。 变式演练 【变式01】（2025·广东深圳·二模）在中，，D为延长线上一点，点E为线段，的垂直平分线的交点，连接． (1)如图1，当时，则 °； (2)当时， ①如图2，连接，判断的形状，并证明； ②如图3，直线与交于点F，满足．P为直线上一动点．当的值最大时，用等式表示与之间的数量关系为 ，并证明． 【变式02】（2025·广东珠海·模拟预测）综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 【变式03】（2025·广东广州·三模）数学中的轴对称就像镜子一样，可以展现出图形对称的美，初中常见的轴对称图形有：等腰三角形、菱形、圆等．如图，在等腰中，． (1)尺规作图：作关于直线对称的（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，交于点，若，四边形周长为，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，若点、点分别在和上运动，当取最小值时，求的长． 题型02 几何最值问题：阿氏圆问题 典例引领 【典例01】（2025·广东揭阳·模拟预测）问题提出：如图1，在中，，，，的半径为2，P为圆上一动点，连接，，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图1，连接，在上取一点D，使，连接，则．又因为，所以，所以．所以．所以．请你完成余下的思考，并求出的最小值； (2)自主探案：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图2，已知在扇形中，，，，，P是上一点，求的最小值． 【典例02】（2025·广东肇庆·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点． (1)求的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 方法透视 考向解读 压轴难点题，解答题为主，考查“平面内一动点到两定点的定比线段和/差”的最值（形如，，动点在定圆上），区别于胡不归的直线动点，侧重阿氏圆的定比构造。 方法技能 1 核心思路：构造阿氏圆的定比分点，转化k·PB为等长线段（利用阿氏圆定理：圆上任意一点到两定点的线段比为定值）； 2 步骤：连接圆心与定点B，按比例k作定比分点C，使（O为定圆圆心）；连接AC，与定圆的交点即为动点，AC长为的最小值； 3 关键：找准定圆、定比，构造正确的定比分点，将比例线段转化为共线线段。 变式演练 【变式01】（2025·广东阳江·二模）已知与有公共顶点C，为等边三角形，在中，． (1)如图1，当点E与点B重合时，连接AD，已知四边形ABDC的面积为，求的值； (2)如图2，， A、E、D三点共线，连接、，取中点M，连接，求证：； (3)如图3，，，将以C为旋转中心旋转，取中点F，当的值最小时，求的值． 【变式02】（2025·广东珠海·一模）如图，以直径，已知，点为⊙上一动点． (1)如图1所示，时，求的长． (2)如图2所示，移动点使它和边上的点满足且，四边形是什么四边形，请说明理由； (3)如图3，在中，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，求的最大值． 【变式03】（2025·广东惠州·一模）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是直线下方的抛物线上一个动点，是否存在点使四边形的面积为16，若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由； (3)如图2，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作，点为上的一个动点，求的最小值． 题型03 几何最值问题：胡不归问题 典例引领 【典例01】（2025·广东广州·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，与轴交于点，连接，若． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，过作于点，是轴上两个动点，点在点的上方，且．当取得最大值时，求的最小值： (3)将该抛物线先向左平移2个单位，再向上平移2个单位长度得到的新抛物线，为新抛物线上的一个动点，当时，请求出所有符合条件点的横坐标． 【典例02】（2025·广东深圳·三模）（1）如图①，已知，，，若，，则________； （2）如图②，等腰中，，，点为边上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转至，连接、，求证：； （3）如图③，等边中，，于，为线段的中点，点为边的中点，点为线段的中点．点是射线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，，，当的值最小时求的面积． 方法透视 考向解读 难点模型题，解答题为主，考查“定点到直线上动点的线段+动点到另一定点的定比线段”的和最值（形如，），侧重构造三角函数转化定比线段。 方法技能 1 核心思路：构造定角，转化k·PB为等长线段（利用三角函数将比例线段转化为直角三角形的直角边/斜边）； 2 步骤：过定点B作射线，使射线与动直线的夹角满足；作定点A向该射线作垂线，垂线与动直线的交点即为动点，垂线段长为最小值； 3 关键：确定定比k对应的三角函数角度，完成线段转化。 变式演练 【变式01】（2025·广东汕头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴直线与x轴交于点D，点E为点C关于x轴的对称点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方且在对称轴左侧的抛物线上的一动点，过点P作平行于y轴，交于点Q，过点Q作，交抛物线对称轴于点F．点M为抛物线对称轴上的动点，点N为y轴上的动点，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及取得最小值时点N的坐标； (3)将抛物线沿射线平移，平移后的新抛物线与x轴两交点间的距离为3，点G是线段上的动点，线段关于的对称线段为，线段所在直线交新抛物线于点K．若直线与直线所成夹角等于，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出求解点K的横坐标的其中一种情况的过程． 【变式02】（2025·广东梅州·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线的顶点，连接，点F是上方抛物线上一动点，过点F作于点E，过点F作轴于点H，点N是x轴上一动点．连接，当取得最大值时，求出点F的坐标及的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新拋物线的顶点，延长线交抛物线于点Q，点K为抛物线上一动点，当直线与直线所夹锐角为的两倍时，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标． 【变式03】（2025·广东韶关·二模）如图1，抛物线与x轴交于A、和B两点，与y轴交于点C，点M在第一象限内的抛物线上，连接，与线段交于点N． (1)点A坐标为 、点B坐标为 ； (2)当时，判断与的位置关系，并说明理由； (3)连接，设的面积为，的面积为，求的最大值． (4)如图2，P是x轴上一动点，点在y轴上，连接，则的最小值为 ． 题型04 几何最值问题：隐圆问题 典例引领 【典例01】（2026·广东汕头·二模）问题探究 (1)如图①，是的中位线，点在上，，连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为___________． (2)如图②，在中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段的最小值． 问题解决 (3)如图③，某学校规划一块矩形劳动实践基地，用于班级种植，是两个工具房，分别在，边上，且，沿铺设一条运送通道，再从点铺设一条垂直于的小路，在点处修一个肥料存放点，点处是基地水房，为方便参加劳动实践的同学取水后能最快到达点处获取肥料，需要沿铺设一条小路，要求尽可能的短，已知，．请问是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．（工具房、肥料存放点、水房的大小均忽略不计） 【典例02】（2025·广东肇庆·二模）如图，在中，，，D为线段上一点，连接，将射线绕点D顺时针旋转交直线于点E，连接． (1)如图1，若，，求线段的长． (2)如图2，若，过点B作，交射线于点F，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． (3)如图3，若，，过点A作的垂线，垂足为点M，当取得最小值时，直线上方有一点Q，使得，当取得最小值时，直接写出的值． 方法透视 考向解读 高频压轴题，全题型覆盖，考查动点轨迹为隐藏圆时的线段/角度最值，核心考“找隐圆、定圆心半径”，常结合定角、定弦、定距离等条件命题，是动态几何的核心模型。 方法技能 ①核心：根据几何条件判定隐圆类型，确定圆心和半径； ②常见隐圆：定角对定弦（圆周角定理，圆心为定弦中垂线交点）、动点到定点距离为定值（圆心为定点，半径为定值）、对角互补的四边形（四点共圆）； ③求最值：将问题转化为定点到圆上点的单线段最值，用“点到圆心距离±半径”求解。 变式演练 【变式01】（2025·广东广州·模拟预测）如图，在矩形中，． (1)如图1，过点D作，垂足为E，求证：； (2)如图2，在（1）条件下，点F为上一点，连接并延长至点G，交于点O，连接、，当时，判断的形状，并说明理由； (3)如图3，平面内一点M，满足，，，连接并延长至点H，使，连接，当线段取最小值时，求线段的长． 【变式02】（2025·广东梅州·三模）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点的对应点分别为． (1)如图①，当点恰好落在上时，点坐标为___________，点的坐标___________； (2)如图②，当点落在线段上时，交于点，求点的坐标； (3)若点为线段的中点，连接，取的中点，连接，写出的取值范围（直接写出结果）． 【变式03】（2025·广东云浮·模拟预测）折纸起源于大约公元1世纪的中国，与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．小明通过近期的学习发现，与圆有关的折叠问题渐渐成为探究的热点，他决定做个系列探究活动． (1)【初步尝试】 如图1，在中，是直径，点为圆上一点，将劣弧沿着弦翻折，交于点D，连接，已知，求的度数； 小明在解决这个问题时发现：解决圆的翻折问题有一个关键是翻折后的弧与没有翻折的弧其实原本是在同一个圆中，翻折后它们所在的圆依然是等圆．这样一来，图1中易得． 请在小明的“发现”的提示下，求出的度数； (2)【深入探究】 如图2，在中，是直径，点C为圆上一点，将劣弧沿着弦翻折，交于点D，连接，若已知的半径为5，且． ①求此时的长； ②直径上方半圆的中点为P，弧的中点为Q，连接，则的长为 ______； (3)【思维进阶】 如图3，在（2）的条件下，点M为弧上的动点，连接并延长，交于点N，的中点为G，连接，请直接写出的最小值． 题型05 几何最值问题：费马点问题 典例引领 【典例01】（2025·广东广州·一模）如图1，正方形的边长为4，以B为圆心的与，分别交于点E，F，连接，． (1)求的长； (2)连接，把绕点B顺时针旋转，在旋转的过程中． ①求的取值范围； ②如图2，取的中点G，连接并延长交直线于点H，点P为正方形内一动点，求的最小值． 【典例02】（2025·广东茂名·模拟预测）阅读下面材料，并解决问题： (1)思维指引 如图①等边内有一点，若点到顶点的距离分别为，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，连接，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； (2)知识迁移 如图②，中，，，、为上的点且，，求的长度； (3)方法推广 如图③，在中，，，，点为内一点，连接，直接写出的最小值． 方法透视 考向解读 压轴难题，选择/解答均有，考查三角形内一动点到三个顶点的线段和最小，核心考旋转转化，适用于三角形各内角均小于120°的场景，常拓展至四边形、带系数的费马点变式。 方法技能 ①核心：旋转60°，化折为直，利用“两点之间线段最短”将转化为单线段； ②步骤：将△ABP绕某顶点旋转60°得到△A’B’P’，连接（等边三角形），则，当共线时和最小，该点即为费马点； ③关键：旋转60°构造等边三角形，实现线段的等效转化，确保三点共线。 变式演练 【变式01】（2025·广东中山·模拟预测） 中，． (1)如图1，若，平分交于点，且．证明：； (2)如图2，若，取中点，将绕点逆时针旋转至，连接并延长至，使，猜想线段、、之间存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若，为平面内一点，将沿直线翻折至，当取得最小值时，直接写出的值． 【变式02】（2025·广东东莞·模拟预测）【问题提出】 （1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________． （2）如图2，在中，，，求的最小值． 【问题解决】 （3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积． 【变式03】（2025·广东湛江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xoy中，点B的坐标为(0，2)，点在轴的正半轴上，，OE为△BOD的中线，过B、两点的抛物线与轴相交于、两点（在的左侧）. （1）求抛物线的解析式； （2）等边△的顶点M、N在线段AE上，求AE及的长； （3）点为△内的一个动点，设，请直接写出的最小值,以及取得最小值时，线段的长. 题●型●训●练 1．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，是轴上方的一个动点．若的面积等于面积的，则当的值最小时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东珠海·模拟预测）如图，立方体的棱长为2，P是上一动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在中，,,，直线垂直平分线段，若点为边BC的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（） A．9 B．13 C．12 D．14 4．（2026·江苏苏州·模拟预测）矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广东梅州·模拟预测）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·广东江门·模拟预测）如图，等腰三角形的底边长为，面积是．若点为边的中点，点为线段上一动点，仔细观察图中利用尺规作图的痕迹，可知周长的最小值是_____． 7．（2025·广东茂名·模拟预测）已知在中，，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是__________． 8．（2025·广东深圳·二模）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M，N分别是，的中点连接，，，点E在边上，，则的最小值是___________． 9．（2025·广东揭阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，和分别是轴正半轴和线段上的动点，满足，连接，则的最大值是___________． 10．（2025·广东汕尾·模拟预测）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且，当点从点运动到点时，点运动的路径长是____________． 11．（2025·广东肇庆·模拟预测）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图（1），将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】小亮：如图（2），作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图（3），在直线上另取不同于点的任一点，连接，，． ∵点、关于直线对称，点、在直线上， ∴______，______， ∴______． ∵在中，， ∴______，即最小． 【解决问题】 任务一 请将小亮的说明过程补充完整．（直接填在横线上） 任务二 如图（4），将军从地出发，先到草地边某一处牧马；再到河边饮马，然后回到处，请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短．（保留画图痕迹） 任务三 如图（5），在、两村之间有一条河，且这条河的宽度处处相等，从村前往村，要经过这条河，现要在这条河上造一座垂直于河岸的桥，则这座桥造在何处可使由村到村的路程最短？（保留画图痕迹，在图上画出道路和桥的位置） 12．（2025·广东佛山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中画出关于x轴对称的； (2)在y轴上作出一点P，使最小，请在图中标出点P的位置． (3)连接，则的面积为______． 13．（2025·广东广州·一模）【问题原型】 如图①，，点C为上一点，且，D是边上的动点，，且，连接，求的最大值． 【问题探究】 如图②，小明过点C做，过点E作，可得，连结、，将转化为，再利用，通过面积计算，从而确定为定值，又因为，最终确定点E的轨迹进而解决问题． 以下是小明确认为定值的部分过程： 证明：由【问题探究】的作法可知，． 证明过程缺失 ． 请你补全缺失的证明过程 【问题解决】 请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出【问题原型】中的点E的轨迹，并直接写出最大值______（保留作图痕迹） 【问题拓展】 如图，，C为上一点，，D是边上的动点，，且，直接写出的最大值______． 14．（2025·广东梅州·模拟预测）等腰中，，点是轴上一个动点，点在轴上且点． (1)若时， ①如图1，求的长； ②如图1，求点的坐标； ③如图2，点在直线上且位于第一象限内，当时，求的面积； (2)如图3，移动点，连接，直接写出的周长的最小值． 15．（2025·广东中山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点、点，直线与直线交于点，与轴交于点，且． (1)求直线的解析式； (2)如图1，点为直线上一点，点，是直线上的动点，且，求的最小值，并求出此时点的坐标； (3)如图2，过点作交轴于点，点为直线上一点，满足，点是平面直角坐标系内一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 几何最值问题（“将军饮马”及其拓展） 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 几何最值问题：将军饮马问题 题型02 几何最值问题：阿氏圆问题 题型03 几何最值问题：胡不归问题 题型04 几何最值问题：隐圆问题 题型05 几何最值问题：费马点问题 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 几何最值问题：将军饮马问题 典例引领 【典例01】（2025·广东佛山·模拟预测）已知一次函数的图象与反比例函数交于点和． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)设点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查反比例函数待定系数法，一次函数的图像与性质，轴对称的最短路径问题等，熟练掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，当三点共线时，的周长最小，先求出点的对称点，求出直线的解析式，再求解点的坐标． 【详解】（1）解：将代入得： ， ∴； 将和代入得： ， 解得：， ∴； （2）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， ∴ ∴． 当三点共线时，的周长最小， ∵， ∴， ∵设直线的解析式为， 将、代入，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵在直线上，当时，， ∴． 【典例02】（2025·广东广州·模拟预测）如图为的正方形网格，每个小正方形的边长为1，顶点称为格点，线段的端点均在格点上．按要求画图（只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法）． (1)在图中画出一个以为边的等腰钝角三角形，使点C在格点上． (2)图中的面积为________． (3)在（1）的基础上，在线段上找点P，在线段上找点Q，使最短． 【答案】(1)作图见解析 (2)1.5 (3)作图见解析 【分析】本题重点考查了轴对称的性质，割补法求三角形面积，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）在网格中，通过观察和尝试，找到一个格点C，使得，且为钝角即可； （2）利用割补法计算的面积，将放置在一个边长为3的正方形中，用正方形的面积减去周围三个直角三角形的面积以及一个小正方形的面积，即可得到的面积； （3）利用轴对称的性质求最短路径，要使最短，可以作点C关于线段的对称点，过作，根据垂线段最短，此时的长度即为最小值，从而确定点P，点Q． 【详解】（1）解：符合条件的点C有两个，如图，即为所求； （2）解：； （3）解：如图，作点C关于线段的对称点，则， ∴， 过作，此时，P，Q三点共线，有最小值，最小值为的长，此时P，点Q即为所求． 同理，当点C在线段右侧，作图如下， 方法透视 考向解读 高频中档题，选择/解答均有，考查两定点到直线上一动点的线段和/差最值，经典对称型最值模型，常拓展至两线一动、两动一定等变式，侧重对称转化思想。 方法技能 1 核心思路：作对称点，转化线段（将折线转化为直线，利用两点之间线段最短）； 2 线段和最小问题：作其中一个定点关于动直线的对称点，连接对称点与另一定点，与动直线交点即为动点，线段长为最小值； 3 线段差最大问题：连接两定点并延长，与动直线交点即为动点，线段差的绝对值为最大值（同侧定点直接连，异侧定点先作对称）。 变式演练 【变式01】（2025·广东深圳·二模）在中，，D为延长线上一点，点E为线段，的垂直平分线的交点，连接． (1)如图1，当时，则 °； (2)当时， ①如图2，连接，判断的形状，并证明； ②如图3，直线与交于点F，满足．P为直线上一动点．当的值最大时，用等式表示与之间的数量关系为 ，并证明． 【答案】(1) (2)①时等边三角形，理由见解析；②，理由见解析． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、多边形的内角和等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质是解题的关键． （1）求出，由四边形内角和为即可得到； （2）①证明，求出，即可证明结论；②作点D关于直线的对称点，连接．当点P在的延长线上时，的值最大，此时，证明是等边三角形，再证明，得到，进一步得到，即可得到． 【详解】（1）解：如图1中， ∵点E是线段，的垂直平分线的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①结论：是等边三角形． 理由：如图2中， ∵点E是线段，的垂直平分线的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ②结论：． 理由：如图3中，作点D关于直线的对称点，连接． 当点P在的延长线上时，的值最大，此时， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式02】（2025·广东珠海·模拟预测）综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 【答案】(1)证明见解析 (2)11 (3)110 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）连接，则B是C关于m的对称点，当B、P、A三点共线时，即当P是与的交点时，的周长最小； （3）分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值，根据轴对称的性质解题即可． 本题考查“将军饮马”问题的探究、轴对称性的应用． 【详解】（1）证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； （2）解：如图，连接， ∵m是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 当且仅当B、P、A三点共线时，等号成立， 即当P是与的交点时，的周长最小，最小为11， 故答案为：11； （3）解：如图，分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值， 根据对称性可知，， ∴， ， ， ， ， 故答案为：110． 【变式03】（2025·广东广州·三模）数学中的轴对称就像镜子一样，可以展现出图形对称的美，初中常见的轴对称图形有：等腰三角形、菱形、圆等．如图，在等腰中，． (1)尺规作图：作关于直线对称的（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，交于点，若，四边形周长为，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，若点、点分别在和上运动，当取最小值时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3) 【分析】（1）分别以点、为圆心，、为半径画弧，在右侧相交于点，连接、，则图形即为所求； （2）由（1）得四边形是菱形，根据菱形的性质和勾股定理可得的长度，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解； （3）作点关于的对称点，连接、，则，，此时，故当时，取最小值，通过三角形的面积可求出的长度，再运用勾股定理即可求出的长度，进而可得的长度． 【详解】（1）解：分别以点、为圆心，、为半径画弧，在右侧相交于点，连接、，如图： 由作图知，， ， ， 四边形是菱形，与关于直线对称． （2）解：由（1）知四边形是菱形， 又四边形周长为， ，，，， ， ， 菱形的面积． （3）解：作点关于的对称点，连接、，则，， 此时， ， 当时，取最小值， 由（2）得，，， ， ， 解得， ， ． 题型02 几何最值问题：阿氏圆问题 典例引领 【典例01】（2025·广东揭阳·模拟预测）问题提出：如图1，在中，，，，的半径为2，P为圆上一动点，连接，，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图1，连接，在上取一点D，使，连接，则．又因为，所以，所以．所以．所以．请你完成余下的思考，并求出的最小值； (2)自主探案：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图2，已知在扇形中，，，，，P是上一点，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)13 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）连接，得到当点A，P，D在同一条直线上时，最小，即的最小值为的长．求出的长即可； （2）连接，在上取点D，使，连接，，证明．得到．则．当点B，P，D在同一直线上时，的值最小，即的最小值为的长，进一步求出的长即可； （3）延长到点E，使，连接，．证明．得到．．当E，P，B三点共线时，取得最小值，即的最小值为的长．进一步求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ，要使最小，即最小． 当点A，P，D在同一条直线上时，最小，即的最小值为的长． 在中，，，． 的最小值为． （2）如图，连接，在上取点D，使，连接，，． ， ． ． ． ． 当点B，P，D在同一直线上时，的值最小，即的最小值为的长， 在中，． 的最小值为． （3）如图，延长到点E，使，连接，． ． ，， ． ， ． ． ． ． 当E，P，B三点共线时，取得最小值，即的最小值为的长． 在中，． 的最值为13． 【典例02】（2025·广东肇庆·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点． (1)求的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）通过长度先得到点坐标，再将两点代入函数解析式，解方程即可； （2）先求出直线的函数表达式，设出点坐标为，进而得到两点坐标，再通过列出方程，解方程即可； （3）取取，连接，，先证得，得到，进而可得到，再通过两点坐标求得长度． 【详解】（1）解：， 点坐标为， 将，代入， 得， 解得， （2）解：设直线的表达式为， 由（1）可知抛物线的表达式为， 故点坐标为， 直线的表达式为 设点坐标为， 则， ， ， 若， 则， 解得， ， 故，此时点坐标为； （3）如图，取，连接， ，，， 又， ， ， ， ， ， 故的最小值为． 方法透视 考向解读 压轴难点题，解答题为主，考查“平面内一动点到两定点的定比线段和/差”的最值（形如，，动点在定圆上），区别于胡不归的直线动点，侧重阿氏圆的定比构造。 方法技能 1 核心思路：构造阿氏圆的定比分点，转化k·PB为等长线段（利用阿氏圆定理：圆上任意一点到两定点的线段比为定值）； 2 步骤：连接圆心与定点B，按比例k作定比分点C，使（O为定圆圆心）；连接AC，与定圆的交点即为动点，AC长为的最小值； 3 关键：找准定圆、定比，构造正确的定比分点，将比例线段转化为共线线段。 变式演练 【变式01】（2025·广东阳江·二模）已知与有公共顶点C，为等边三角形，在中，． (1)如图1，当点E与点B重合时，连接AD，已知四边形ABDC的面积为，求的值； (2)如图2，， A、E、D三点共线，连接、，取中点M，连接，求证：； (3)如图3，，，将以C为旋转中心旋转，取中点F，当的值最小时，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）延长到T，使得连接，过点D做于N，证明，得出，，证明为等边三角形，设，得出，求出x的值即可得出答案； （2）延长到使得，连接、，证明，得出，证明为的中位线，得出，即可证明结论； （3）连接，过点A作于点G，以点C为圆心，为半径作圆，在上截取，连接，证明，得出，即，得出，连接与交于一点，当点F在此点时，最小，即最小，过点M作于点N，过点A作于点Q，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：延长到T，使得连接，过点D做于N，如图所示： ∵为等边三角形，， ∴，， 四边形中，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∵四边形ABDC的面积为， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）证明：延长到使得，连接、，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵A为中点，M为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，过点A作于点G，以点C为圆心，为半径作圆，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵点F为等边三角形的边中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的长度为定值， ∴在旋转时，点F在以C为圆心，为半径的圆上运动， ∴如图，连接与交于一点，当点F在此点时，最小，即最小，过点M作于点N，过点A作于点Q， ， ， ， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式02】（2025·广东珠海·一模）如图，以直径，已知，点为⊙上一动点． (1)如图1所示，时，求的长． (2)如图2所示，移动点使它和边上的点满足且，四边形是什么四边形，请说明理由； (3)如图3，在中，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，求的最大值． 【答案】(1) (2)菱形，见解析 (3) 【分析】本题是圆的综合题，考查了等腰直角三角形性质和判定，圆周角定理及其推论，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理． （1）先根据圆周角定理得，再由勾股定理即可解答； （2）先根据垂径定理得：，再证明，得，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得结论； （3）如图3，连接，先根据圆周角定理可知：点在以为直径的圆上，且，由旋转可得：点在以为圆心，2为半径的圆上，则当为相切时，的值最大，即可解答． 【详解】（1）∵为直径， ∴在中． ∵在中， （2）∵为直径 ，． 四边形是平行四边形 ∴四边形是平行四边形 ∴平行四边形是菱形 （3）如图，，， ∴点是在以为直径的圆上运动， ，且是绕点C旋转， ∴点是在以为圆心，以为半径的圆上运动， ， ∵当最小时，最大，此时与圆C相切于点D， ， ， 连接 ， ， ， 此时，即AE的最大值为． 【变式03】（2025·广东惠州·一模）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是直线下方的抛物线上一个动点，是否存在点使四边形的面积为16，若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由； (3)如图2，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作，点为上的一个动点，求的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据点的坐标为，抛物线的对称轴是直线．待定系数法求二次函数解析式即可， （2）先求得直线解析式，设，则，过点作轴交直线于点，根据等于16建立方程，解一元二次方程即可求得的值，然后求得的坐标， （3）在上取，过点作，构造，则当三点共线时，取得最小值，最小值为，勾股定理解直角三形即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，抛物线的对称轴是直线， ∴， ， 解得， 抛物线解析式为：， （2）当，即， 解得， ， ， 设直线解析式为， ， 解得， 直线解析式为， 设，过点作轴交直线于点， 则， ， 四边形的面积为16， ， 解得， 或， （3）如图，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作， 是抛物线的对称轴， ， ， ，， ， ， 在上取，过点作，交轴于点，交抛物线对称轴于点，则， ， ， ，， ， ， ， ， 当三点共线时，取得最小值，最小值为， ． 则的最小值为． 题型03 几何最值问题：胡不归问题 典例引领 【典例01】（2025·广东广州·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，与轴交于点，连接，若． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，过作于点，是轴上两个动点，点在点的上方，且．当取得最大值时，求的最小值： (3)将该抛物线先向左平移2个单位，再向上平移2个单位长度得到的新抛物线，为新抛物线上的一个动点，当时，请求出所有符合条件点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、三角函数、线段和最值（胡不归模型）、轴对称最短路径（将军饮马）、抛物线平移变换及角度相等的存在性问题；解题的关键是：①利用三角函数及交点坐标求解析式；②将线段和的最值问题转化为垂线段或轴对称问题；③通过构造等腰三角形处理角度相等条件． （1）由)和可得，结合，利用交点式求抛物线解析式； （2）先证明为等腰直角三角形，得，从而，转化为求最大值；利用直线与抛物线解析式设点坐标，表示长度，通过二次函数性质求最值；在取得最值的条件下，利用轴对称（将军饮马模型）求的最小值； （3）先求出平移后的抛物线解析式；由，可构造平行线和等腰三角形，分点在轴上方或下方两种情况讨论，通过几何关系建立方程求解点横坐标． 【详解】（1）由，令得， ，，故， 又在轴负半轴，则 抛物线过， 设，代入： ，解得， 故抛物线解析式为 （2）由，得直线 设， ∵ ∴ 则 ∵ ∴为等腰直角三角形 ∴ ∵轴，即 ∴ 又∵ ∴为等腰直角三角形 ∴ 设，为二次函数，开口向下 当时，取最大值，此时， 此时在轴上，，点在上方 要求最小值，为定值，即求最小值 设，则 将点向下平移1单位得，则 故，， 作关于轴的对称点，则 故的最小值为． （3）原抛物线向左平移2个单位，再向上平移2个单位得： 设， 由得， 解得， 则 由（1）得 ①当在轴上方， ∵ ∴ ∵直线与轴交点为点，直线与轴交点为点 ∴可以将直线看作直线向左平移个单位 即向左平移个单位， 则 联立 解得，（舍） ②过中点，作垂线于，与延长线交于 由得，中点即 设点， ， ， 由勾股定理得： ，故点， 设， 解得，即 联立： ，整理得 或（舍） 则点的横坐标为． 综上所述，的横坐标为或． 【典例02】（2025·广东深圳·三模）（1）如图①，已知，，，若，，则________； （2）如图②，等腰中，，，点为边上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转至，连接、，求证：； （3）如图③，等边中，，于，为线段的中点，点为边的中点，点为线段的中点．点是射线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，，，当的值最小时求的面积．      【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据勾股定理求出的长，再求出结果即可； （2）根据等腰三角形的性质求出，证明，得出，求出，即可得出结论； （3）取的中点，连接、，，，，证明，得出，说明点在直线上，以点H为角的顶点，为角的一条边，在下方作，交于点M，过点G作于点K，证明，过点C作于点，延长，交于点，连接，根据两点之间线段最短，且垂线段最短，得出当点G在点处时，最小，即最小，求出此时的面积，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转至， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵为等边三角形，点E为的中点，点H为的中点，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， 取的中点，连接、，，，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵线段绕点顺时针旋转得线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∵H为的中点， ∴，， ∴， ∴点在直线上， 以点H为角的顶点，为角的一条边，在下方作，交于点M，过点G作于点K， 则， ∴， ∴， 过点C作于点，延长，交于点，连接， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当点G在点处时，最小，即最小， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：，负值已舍去， ∴， 即当的值最小时求的面积为． 方法透视 考向解读 难点模型题，解答题为主，考查“定点到直线上动点的线段+动点到另一定点的定比线段”的和最值（形如，），侧重构造三角函数转化定比线段。 方法技能 1 核心思路：构造定角，转化k·PB为等长线段（利用三角函数将比例线段转化为直角三角形的直角边/斜边）； 2 步骤：过定点B作射线，使射线与动直线的夹角满足；作定点A向该射线作垂线，垂线与动直线的交点即为动点，垂线段长为最小值； 3 关键：确定定比k对应的三角函数角度，完成线段转化。 变式演练 【变式01】（2025·广东汕头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴直线与x轴交于点D，点E为点C关于x轴的对称点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方且在对称轴左侧的抛物线上的一动点，过点P作平行于y轴，交于点Q，过点Q作，交抛物线对称轴于点F．点M为抛物线对称轴上的动点，点N为y轴上的动点，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及取得最小值时点N的坐标； (3)将抛物线沿射线平移，平移后的新抛物线与x轴两交点间的距离为3，点G是线段上的动点，线段关于的对称线段为，线段所在直线交新抛物线于点K．若直线与直线所成夹角等于，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出求解点K的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）先由抛物线对称轴为直线求得b的值，再根据抛物线与x轴交于点，求出c的值，从而得到抛物线的表达式； （2）求直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点L，过点Q作于点K，过点N作于点R，在中，运用勾股定理求出的长度，再证，则，即， ，设，，， ，求出当时，取得最大值，证，，从而得出 ，当且P，M，N，R四点共线时，有最小值，作且P，M，N，R四点共线，作轴于点S，证，从而求出，，最后求出N点坐标； （3）先求出平移后的抛物线解析式，证明，分两种情况进行讨论，求出对应K点横坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴抛物线， ∵抛物线与x轴交于， ∴将代入中，得， 解得， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：∵抛物线的表达式为， ∴令，得，即， ∵，， ∴直线的解析式为， 如图1，设直线与抛物线对称轴交于点L，过点Q作于点K，过点N作于点R， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵直线与抛物线对称轴交于点L， ∴， ∴， 在中， ， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵抛物线的对称轴是直线，直线的解析式为， ∴设，，， ∴，， ∴， ∵，开口向下， 又∵， ∴时，取最大值，此时． ∵点E为点C关于x轴的对称点，， ∴， ∵抛物线与x轴交于，B两点，抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴，， 在中， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当且P，M，N，R四点共线时， ， 此时的最小值为的长． 如图2，作且P，M，N，R四点共线，作轴于点S， ∵， ∴， ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中， ，， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴ （3）解：设抛物线沿射线向右移动了m个单位长度，则抛物线向上平移了个单位长度， 设平移后的抛物线为， 设平移后的抛物线与x轴的交点横坐标分别为，， 令，整理得， ∵平移后的新抛物线与x轴两交点间的距离为3， ∴， 解得， ∴平移后的抛物线， 设， ∵点E为点C关于x轴的对称点， ∴， ①如图3，当点在直线上，且时，设此时直线交x轴于点J，交直线于点M，则直线与直线所成夹角为，此时，点K的横坐标为，理由如下： 在x轴上截取，连接， ∵，， ∴，， 在中， ， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵在中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵线段关于的对称线段为， ∴， ∵， ∴， ∵在中， ， 在中， ， ∴， ∵，， ∴， 即此时直线与直线所成夹角为，且， ∴点K的横坐标为； ②如图4，当点在y轴上，且时，设此时直线交直线于点U，则直线与直线所成夹角为，此时，点K的横坐标为，理由如下： ∵线段关于的对称线段为， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∵，， ∴， 此时，， 直线解析式为：， ∴联立， 解得或， ∴； 综上或． 【变式02】（2025·广东梅州·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线的顶点，连接，点F是上方抛物线上一动点，过点F作于点E，过点F作轴于点H，点N是x轴上一动点．连接，当取得最大值时，求出点F的坐标及的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新拋物线的顶点，延长线交抛物线于点Q，点K为抛物线上一动点，当直线与直线所夹锐角为的两倍时，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标． 【答案】(1) (2)点F的坐标为；的最小值为 (3)点K的横坐标是或 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）过点作轴分别交x轴、于点、，对称轴交x轴于点，设，易求直线的解析式，从而得的坐标，利用“”得，进而可得，则，根据二次函数的性质值，即可求出点F的坐标；根据题意可知是“胡不归模型”，则构造，，且，当点、、在同一条直线上时，的值最小，利用勾股定理，计算，的值，即可求出最小值； （3）利用待定系数法求新抛物线和直线的解析式，得，根据题意可得，直线与直线的交点在射线上或在射线上两种情况，利用等腰三角形的性质和两点间的距离公式，求出交点、的坐标，从而求出直线的解析式，进而列方程，求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点C， 当时，，则， ， ，， ，， ，， 抛物线与x轴交于A、B两点， ，解得， ； （2）如图，过点作轴分别交x轴、于点、，对称轴交x轴于点， ， 顶点，则，， 在中，， 设，则，，， 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 当时，， ，则，， 轴，轴， 轴， ， 又， ， ，轴， ， ， ，即， 则， ， ， 当时，取得最大值， 当时，， 当取得最大值时，点F的坐标为， 如图，作，过点作，使得， 在中，， ， ，即当点、、在同一条直线上时，的值最小， ， ，轴， ，则， 在中，，即， 则，即， 解得， ， ， ，， ， ， 则的最小值为； （3）点K的横坐标是或； 由平移可知，平移后解析式的二次项系数不变， 新抛物线的顶点， 新抛物线的解析式为：，即， 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 则，解得，， 当时，， ， ， 由图可得，直线与直线的交点在射线上或在射线上， 情况一：如图，当交点在射线上时，连接， 直线与直线所夹锐角为的两倍， 则， ， ，即是等腰三角形， ， 设， ，， ，， ， ， 左右平方，得， 解得，则， ， 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 则，解得，， 点的横坐标是4， 点K的横坐标是； 情况二：如图，当交点在射线上时，连接， 直线与直线所夹锐角为的两倍， 则， ， ，即是等腰三角形， ， 设， ，， ，， ，左右平方，得， 解得（舍去）或， 当，， ， 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 则，解得，， 点的横坐标是4， 点K的横坐标是， 综上：点K的横坐标是或． 【变式03】（2025·广东韶关·二模）如图1，抛物线与x轴交于A、和B两点，与y轴交于点C，点M在第一象限内的抛物线上，连接，与线段交于点N． (1)点A坐标为 、点B坐标为 ； (2)当时，判断与的位置关系，并说明理由； (3)连接，设的面积为，的面积为，求的最大值． (4)如图2，P是x轴上一动点，点在y轴上，连接，则的最小值为 ． 【答案】(1)， (2) (3) (4)3 【分析】本题为二次函数综合题，考查了二次函数的性质，相似三角形判定与性质，利用三角函数解直角三角形，胡不归求线段最短问题，综合性强，难度较大﹒ （1）把代入二次函数得，解得，即可得到点A坐标为、点B坐标为； （2）求出点C坐标为﹒作轴，垂足为H﹒设点M坐标为，则，，在中，根据，得到，解得，舍去，即可得到点M坐标为，结合点C坐标为，即可得到； （3）设交于点G，作，交直线于点K﹒求出直线解析式为，进而求出点K坐标为，得到﹒设点M坐标为，得到点G坐标为，﹒根据设与有公共高，得到﹒证明，得到，即可得到﹒从而得到当时，有最大值，最大值为； （4）求出，得到﹒作，垂足为E﹒根据在中，，得到，从而得到当点D、P、E在同一直线上时，，此时值最小，最小值为﹒证明，得到，即可得到最小值为3﹒ 【详解】（1）解：把代入得 ， 解得， ∴点A坐标为、点B坐标为﹒ 故答案为：，； （2）解：把代入得， ∴点C坐标为﹒ 如图，作轴，垂足为H﹒ 设点M坐标为， 则，， ∵在中，， ∴， 解得， 经检验，都是分式方程的解，其中不合题意，舍去， ∴点M坐标为， ∵点C坐标为， ∴； （3）解：如图2，设交于点G，作，交直线于点K﹒ 设直线解析式为， ∵点B坐标为，点C坐标为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵点A坐标为， ∴当时，， ∴点K坐标为， ∴， 设点M坐标为， ∴点G坐标为， ∴﹒ ∵设与有公共高， ∴﹒ ∵，轴， ， ∴， ∴， ∴ ∴﹒ ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （4）解：∵点B坐标为，点C坐标为， ∴， ∴， ∴﹒ 如图，作，垂足为E﹒ ∴在中，， ∴， ∴当点D、P、E在同一直线上时，，此时值最小，最小值为﹒ ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即最小值为3﹒ 故答案为：3 题型04 几何最值问题：隐圆问题 典例引领 【典例01】（2026·广东汕头·二模）问题探究 (1)如图①，是的中位线，点在上，，连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为___________． (2)如图②，在中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段的最小值． 问题解决 (3)如图③，某学校规划一块矩形劳动实践基地，用于班级种植，是两个工具房，分别在，边上，且，沿铺设一条运送通道，再从点铺设一条垂直于的小路，在点处修一个肥料存放点，点处是基地水房，为方便参加劳动实践的同学取水后能最快到达点处获取肥料，需要沿铺设一条小路，要求尽可能的短，已知，．请问是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．（工具房、肥料存放点、水房的大小均忽略不计） 【答案】(1) (2) (3)存在最小值，为 【分析】（1）根据三角形中位线定理，可得，，从而可得，进而可求，计算即可求出； （2）根据，，易得，则可得动点的运动轨迹是圆弧，以的中点为圆心，为半径画圆弧交于点，连接，交圆弧于一点，即为点，此时线段的值最小，再根据勾股定理，计算即可求解； （3）延长、相交于点，连接，点是的中点，作，以点为圆心，为直径作圆弧，连接，交圆弧于点，此时的值最小，利用相似三角形的判定和性质，易求，再根据勾股定理，得，则，利用垂径定理，得，最后根据勾股定理，求得，，计算即可． 【详解】（1）解：是的中位线，， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ，即， ， ， ， 则动点是在以的中点为圆心，的长为直径的圆上，且在内部的圆弧上， 如图②，以的中点为圆心，为半径画圆弧交于点，连接，交圆弧于一点，即为点，此时线段的值最小，    ， ， 在，，， ， 则线段的最小值为； （3）存在最小值， 如图③，延长、相交于点，连接，点是的中点，作， 矩形， ，， ， ， ， ，即， ，即， 动点的运动轨迹是以点为圆心，为直径的圆弧上， 以点为圆心，为直径作圆弧，连接，交圆弧于一点，即为点，此时的值最小， 在中，，， ， ， ， ， 在中，， ， 在中， ， ， 则存在最小值，最小值为． 【典例02】（2025·广东肇庆·二模）如图，在中，，，D为线段上一点，连接，将射线绕点D顺时针旋转交直线于点E，连接． (1)如图1，若，，求线段的长． (2)如图2，若，过点B作，交射线于点F，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． (3)如图3，若，，过点A作的垂线，垂足为点M，当取得最小值时，直线上方有一点Q，使得，当取得最小值时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）过点D作于点F，过点D作于点G，证明四边形是矩形，先由，，，求得，从而得到，最后在中，由求得； （2）过点A作交延长线于点G，连接，过点G作交于点H，先证，再证，从而得到； （3）先由瓜豆原理得到点M的轨迹为线段，当垂直于该线段时，取得最小值，此时点M为线段的中点，点D为线段的中点，再根据定角定弦，得到点Q在以线段的中点O为圆心，为半径的圆上，当C，O，Q三点共线且点Q在C，O之间时，取得最小值，连接，过点M作于点R，通过，求得的长度，再根据，求得的长度，最后根据三角形面积公式求出． 【详解】（1）解：如图1，过点D作于点F，过点D作于点G， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图2，过点A作交延长线于点G，连接，过点G作交于点H， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，过点A作的垂线，垂足为点M， ∴，， 如图3，取的中点，连接，当点D与重合时，设此时的对应点为 连接，由瓜豆原理，点M的运动轨迹即为直线的一部分． ∵在中，，， ∴， 即， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 当时，取得最小值， 此时点M与点重合，点D与点重合，即点M为线段的中点，点D为线段的中点． 如图4，当点M为线段的中点，点D为线段的中点时， ∵， ∴点Q在以线段的中点O为圆心，为半径的圆上， 连接，交于点Q，且点Q位于点C与点O之间，此时取得最小值， 连接，过点M作于点R， ∵，O为线段的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∵M为线段的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， 设，则， ∵， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 方法透视 考向解读 高频压轴题，全题型覆盖，考查动点轨迹为隐藏圆时的线段/角度最值，核心考“找隐圆、定圆心半径”，常结合定角、定弦、定距离等条件命题，是动态几何的核心模型。 方法技能 ①核心：根据几何条件判定隐圆类型，确定圆心和半径； ②常见隐圆：定角对定弦（圆周角定理，圆心为定弦中垂线交点）、动点到定点距离为定值（圆心为定点，半径为定值）、对角互补的四边形（四点共圆）； ③求最值：将问题转化为定点到圆上点的单线段最值，用“点到圆心距离±半径”求解。 变式演练 【变式01】（2025·广东广州·模拟预测）如图，在矩形中，． (1)如图1，过点D作，垂足为E，求证：； (2)如图2，在（1）条件下，点F为上一点，连接并延长至点G，交于点O，连接、，当时，判断的形状，并说明理由； (3)如图3，平面内一点M，满足，，，连接并延长至点H，使，连接，当线段取最小值时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，根据垂直的定义得到，则，通过证明，得到，再利用比例的性质即可证明； （2）先证明，得到，结合（1）中的结论得到，再证明，得到，结合垂直的定义得到，则有，即可得出结论； （3）根据题意可知点在以为圆心，半径为1的圆上运动，作交延长线于点，与交于点，连接，先证明，得到，再证明，得到，得出，则点在过点且与垂直的直线上运动，当时，线段取最小值，此时四边形是矩形，再利用矩形的性质和勾股定理即可求出线段的长． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴； ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，点F为上一点， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵， ∴， ∴点在以为圆心，半径为1的圆上运动， 作交延长线于点，与交于点，连接， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴是定点， ∴点在过点且与垂直的直线上运动， ∴当时，线段取最小值， ∵矩形， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． 【变式02】（2025·广东梅州·三模）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点的对应点分别为． (1)如图①，当点恰好落在上时，点坐标为___________，点的坐标___________； (2)如图②，当点落在线段上时，交于点，求点的坐标； (3)若点为线段的中点，连接，取的中点，连接，写出的取值范围（直接写出结果）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）过点作轴于点，过点作轴于点，根据勾股定理求出，由旋转可得，，，证明得到，求出，，可得点坐标，证明得到，求出，，可得点的坐标； （2）由旋转可得，，，证明得到，求出，即可求解； （3）由题意可得，点在以为圆心，半径为的圆上运动，点在以为圆心，半径为的圆上运动，点在以为圆心，半径为的圆上运动，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图①，过点作轴于点，过点作轴于点， 点，点，四边形是矩形， ，，， ， 由旋转可得，，， ，， ， ，即， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， 故答案为：，； （2）由旋转可得，，，， ， ， ， ， ， ，即， ， ； （3）由题意可得，点在以为圆心，半径为的圆上运动，点在以为圆心，半径为的圆上运动，点在以为圆心，半径为的圆上运动， ，， ， ，， ． 【变式03】（2025·广东云浮·模拟预测）折纸起源于大约公元1世纪的中国，与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．小明通过近期的学习发现，与圆有关的折叠问题渐渐成为探究的热点，他决定做个系列探究活动． (1)【初步尝试】 如图1，在中，是直径，点为圆上一点，将劣弧沿着弦翻折，交于点D，连接，已知，求的度数； 小明在解决这个问题时发现：解决圆的翻折问题有一个关键是翻折后的弧与没有翻折的弧其实原本是在同一个圆中，翻折后它们所在的圆依然是等圆．这样一来，图1中易得． 请在小明的“发现”的提示下，求出的度数； (2)【深入探究】 如图2，在中，是直径，点C为圆上一点，将劣弧沿着弦翻折，交于点D，连接，若已知的半径为5，且． ①求此时的长； ②直径上方半圆的中点为P，弧的中点为Q，连接，则的长为 ______； (3)【思维进阶】 如图3，在（2）的条件下，点M为弧上的动点，连接并延长，交于点N，的中点为G，连接，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)①的长为；②； (3) 【分析】本题考查圆的基本性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，准确添加辅助线以及熟练运用各知识点是解题的关键． （1）利用翻折的性质或，得出对应圆心角的度数，通过角度之间的计算即可求出的度数； （2）①过点作，交于点，连接、，得出，由等腰三角形三线合一，得出，结合勾股定理先算出的长度，再算出的长度； ②添加辅助线构造出与有关的直角三角形，利用垂径定理，勾股定理等，计算出、的长，利用添加的辅助线证出四边形为矩形，即可得出与有关的直角三角形的两条直角边的长度，最后利用勾股定理得出的长度； （3）由翻折后的弧与没有翻折的弧其实原本是在同一个圆中，翻折后它们所在的圆依然是等圆，可得，添加适当的辅助线，证明出，确定点的运动轨迹，判断出当点、、三点共线（位于之间）时，长度最小，利用勾股定理计算出该情况下、的长度，最终得到长度的最小值． 【详解】（1）解：在找出点对应的原位置，连接、、、，如下图所示： 由翻折的性质，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：①过点作，交于点，连接、，如下图所示： ∵， ∴， 又∵， ∴点为中点， ∵， ∴， ∵圆的半径为5， 故， ∴， ∵， 由勾股定理得，， 即的长为． ②过点作，作，关于的对称点，，连接，交于点，连接，过点作交于点，如下图所示： ∵， ∴， ∵为弧的中点，故为弧的中点， 即垂直平分， ∵，， 由勾股定理得， ∴， ∴，，， ∵，，为半圆的中点， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理得， 故答案为：． （3）解：由（1）中翻折后的弧与没有翻折的弧其实原本是在同一个圆中，翻折后它们所在的圆依然是等圆，可得，连接、、，如下图所示： ∵， ∴，故为等腰三角形， 又∵为中点， ∴，即， ∴点运动轨迹为以为直径所在的圆上， 取中点为，为圆心，当点、、三点共线（位于之间）时，长度最小，连接，，如下图所示： ∵，，为直角三角形， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故的最小值为． 题型05 几何最值问题：费马点问题 典例引领 【典例01】（2025·广东广州·一模）如图1，正方形的边长为4，以B为圆心的与，分别交于点E，F，连接，． (1)求的长； (2)连接，把绕点B顺时针旋转，在旋转的过程中． ①求的取值范围； ②如图2，取的中点G，连接并延长交直线于点H，点P为正方形内一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）由题可知是等腰直角三角形，即可求解． （2）①当分别为的切线时，最大或最小，由，可知，即可求解； ②延长到，使得，连接，证明，由角度转换得到，再取的中点O，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接，当点五点共线时，取最小值，且最小值为，分别求出的长度，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， ， ． （2）解：①如图，连接， 当分别为的切线时，最大或最小， 为正方形的对角线， ，， 当点E移动到位置时，最小， ， ， ， ， 当点E移动到位置时，最大， ， ， ， ， ． ②如图，延长到，使得，连接， 则是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 点分别为线段的中点， ， ， ， ， 取的中点O，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接， 则，，， ， ， ， 则当点五点共线时，取最小值，且最小值为， ，， ， ， 故的最小值为． 【典例02】（2025·广东茂名·模拟预测）阅读下面材料，并解决问题： (1)思维指引 如图①等边内有一点，若点到顶点的距离分别为，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，连接，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； (2)知识迁移 如图②，中，，，、为上的点且，，求的长度； (3)方法推广 如图③，在中，，，，点为内一点，连接，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）由全等三角形和旋转的性质可得为等边三角形，即得， ，进而由勾股定理的逆定理可得，进而可得，即可求解； （）把绕点逆时针旋转得到，可证，得到，再根据等腰直角三角形和旋转的性质可得，进而利用勾股定理求出的长即可求解； （）在内部任取一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，由旋转的性质可得，可知当四点共线时，取最小值，最小值为，过点作的垂线交延长线于点，分别求出和的长，再利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∵为等边三角形， ∴， 由旋转得，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， 故答案为：； （2）解：如图②，把绕点逆时针旋转得到， 由旋转得，，，，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图③，在内部任取一点，连接， 将绕点顺时针旋转得到， 由旋转得，，，， ， ∴， ∴， ∴当四点共线时，取最小值，最小值为， 如图，过点作的垂线交延长线于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 方法透视 考向解读 压轴难题，选择/解答均有，考查三角形内一动点到三个顶点的线段和最小，核心考旋转转化，适用于三角形各内角均小于120°的场景，常拓展至四边形、带系数的费马点变式。 方法技能 ①核心：旋转60°，化折为直，利用“两点之间线段最短”将转化为单线段； ②步骤：将△ABP绕某顶点旋转60°得到△A’B’P’，连接（等边三角形），则，当共线时和最小，该点即为费马点； ③关键：旋转60°构造等边三角形，实现线段的等效转化，确保三点共线。 变式演练 【变式01】（2025·广东中山·模拟预测） 中，． (1)如图1，若，平分交于点，且．证明：； (2)如图2，若，取中点，将绕点逆时针旋转至，连接并延长至，使，猜想线段、、之间存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若，为平面内一点，将沿直线翻折至，当取得最小值时，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点分别作，的垂线，垂足为，，易得，由，可得，由，求得，可证得； （2）延长，使得，连接，，易证为等边三角形，进而可证，可得，，可知，易证得，可得，由可得结论； （3）由题意可知是等边三角形，如图，作，且，作，且，可得，，可知，可得，由可知点，都在线段上时，有最小值，过点作，过点作交延长线于，可得，，可证，得，设由等边三角形的性质，可得，进而可得，，结合可得：，可得，由翻折可知，，可求得的值． 【详解】（1）证明：过点分别作，的垂线，垂足为，， ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴，则， 又∵， ∴， ∴； （2），理由如下： 延长，使得，连接，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵绕点逆时针旋转至， ∴，，则， ∴， ∴， ∴，，则， ∵， ∴， 又∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵，， ∴是等边三角形， 如图，作，且，作，且， 则，， ∴，， 则， ∴，则 ∴， ∴，即：， ∴ 即：点，都在线段上时，有最小值，如下图， 过点作，过点作交延长线于， 则， ，， 又∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形，设 ∴，，则， ∵， ∴，则，， 则由可得：， 整理得：，得， 由翻折可知，， ∴． 【变式02】（2025·广东东莞·模拟预测）【问题提出】 （1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________． （2）如图2，在中，，，求的最小值． 【问题解决】 （3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积． 【答案】（1）等边三角形；（2）BC的最小值为；（3）平行四边形公园ABCD的面积为（平方米）． 【分析】（1）由旋转得BN=BM，∠MBN=60°，可判断出△BMN是等边三角形即可； （2）设AB=a，则AC=10-a，进而根据勾股定理得出即可得出结论； （3）先判断出点A'，E'，E，C在同一条线上，设BF=x，进而依次得出AB=2x，BC=6-2x，CF=6-x，再利用勾股定理得出，得出x=是A'C最小，进而求出A'F，BC，利用平行四边形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：的形状是等边三角形，理由如下; 由旋转知，BN=BM，∠MBN=60° ∴△BMN为等边三角形 故答案为：等边三角形； （2）解：设AB=a， ∵AB+AC=10， ∴AC=10-AB=， 在Rt△ABC中，根据勾股定理得， ， ∵， ∴，即， ∴， 即BC的最小值为； （3）解：如图3， 将△ABE绕点B逆时针旋转60°得到△A'BE'， ∴△ABE≌△A'BE'， ∴∠A'E'B=∠AEB，AB=A'B，A'E'=AE，BE'=BE，∠EBE'=60°， ∴△EBE'为等边三角形， ∴∠BE'E=∠BEE'=60°，EE'=BE， ∴AE+BE+CE=A'E'+EE'+CE， 要AE+BE+CE最小，即点A'，E'，E，C在同一条线上，即最小值为A'C， 过点A'作A'F⊥CB，交CB的延长线于F， 在Rt△A'FB中，∠A'BF=180°-∠ABA'-∠ABC=60°， 设BF=x，则A'B=2x， 根据勾股定理得，A'F=， ∵AB=A'B， ∴AB=2x， ∵AB+BC=6， ∴BC=6-AB=6-2x， ∴CF=BF+BC=6-x， 在Rt△A'FC中，根据勾股定理得，， ∴当x=，即AB=2x=3时，最小， 此时，BC=6-3=3，A'F=， ∴平行四边形公园ABCD的面积为（平方千米）． 【变式03】（2025·广东湛江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xoy中，点B的坐标为(0，2)，点在轴的正半轴上，，OE为△BOD的中线，过B、两点的抛物线与轴相交于、两点（在的左侧）. （1）求抛物线的解析式； （2）等边△的顶点M、N在线段AE上，求AE及的长； （3）点为△内的一个动点，设，请直接写出的最小值,以及取得最小值时，线段的长. 【答案】(1)  (2) ；或   （3）可以取到的最小值为．当取得最小值时，线段的长为 【分析】（1）已知点B的坐标，可求出OB的长；在Rt△OBD中，已知了∠ODB=30°，通过解直角三角形即可求得OD的长，也就得到了点D的坐标；由于E是线段BD的中点，根据B、D的坐标即可得到E点的坐标；将B、E的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，由此确定抛物线的解析式； （2）过E作EG⊥x轴于G，根据A、E的坐标，即可用勾股定理求得AE的长；过O作AE的垂线，设垂足为K，易证得△AOK∽△AEG，通过相似三角形所得比例线段即可求得OK的长；在Rt△OMK中，通过解直角三角形，即可求得MK的值，而AK的长可在Rt△AOK中由勾股定理求得，根据AM=AK-KM或AM=AK+KM即可求得AM的长； （3）由于点P到△ABO三顶点的距离和最短，那么点P是△ABO的费马点，即∠APO=∠OPB=∠APB=120°；易证得△OBE是等边三角形，那么PA+PO+PB的最小值应为AE的长；求AP的长时，可作△OBE的外接圆（设此圆为⊙Q），那么⊙Q与AE的交点即为m取最小值时P点的位置；设⊙Q与x轴的另一交点（O点除外）为H，易求得点Q的坐标，即可得到点H的坐标，也就得到了AH的长，相对于⊙Q来说，AE、AH都是⊙Q的割线，根据割线定理（或用三角形的相似）即可求得AP的长． 【详解】（1）过E作EG⊥OD于G ∵∠BOD=∠EGD=90°，∠D=∠D， ∴△BOD∽△EGD， ∵点B（0，2），∠ODB=30°， 可得OB=2，OD＝2； ∵E为BD中点， ∴= ∴EG=1，GD＝ ∴OG＝ ∴点E的坐标为(，1) ∵抛物线经过、两点， ∴. 可得. ∴抛物线的解析式为. （2）∵抛物线与轴相交于、，在的左侧， ∴点的坐标为. 过E作EG⊥x轴于G ∴, ∴在△AGE中，, . 过点作⊥于， 可得△∽△． ∴． ∴． ∴ ∴. ∵△是等边三角形, ∴． ∴． ∴,或     （3）如图； 以AB为边做等边三角形AO′B，以OA为边做等边三角形AOB′； 易证OE=OB=2，∠OBE=60°，则△OBE是等边三角形； 连接OO′、BB′、AE，它们的交点即为m最小时，P点的位置（即费马点）； ∵OA=OB′，∠B′OB=∠AOE=150°，OB=OE， ∴△AOE≌△B′OB； ∴∠B′BO=∠AEO； ∵∠BOP=∠EOP′，而∠BOE=60°， ∴∠POP'=60°， ∴△POP′为等边三角形， ∴OP=PP′， ∴PA+PB+PO=AP+OP′+P′E=AE； 即m最小=AE= 如图；作正△OBE的外接圆⊙Q， 根据费马点的性质知∠BPO=120°，则∠PBO+∠BOP=60°，而∠EBO=∠EOB=60°； ∴∠PBE+∠POE=180°，∠BPO+∠BEO=180°； 即B、P、O、E四点共圆； 易求得Q（，1），则H（，0）； ∴AH=； 由割线定理得：AP•AE=OA•AH， 即：AP=OA•AH÷AE=×÷= 故： 可以取到的最小值为． 当取得最小值时，线段的长为 题●型●训●练 1．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，是轴上方的一个动点．若的面积等于面积的，则当的值最小时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最短路径问题、坐标与图形的性质，关键是利用坐标求解出和的面积，得到点的运动路径是在的直线上，然后，作点关于直线对称的点，连接，利用 “将军饮马” 模型即可得出结果． 【详解】解：∵点，的坐标分别为， ∴， 与同底边，且的面积等于面积的， ∴点P到的距离是3，即点的纵坐标为， 点在直线上运动， 作点关于直线对称的点，连接，则点， ． 当三点共线时，的值最小． 设直线的表达式为， 把点代入，得， 解得， ．令，则， 解得， 当的值最小时，点的坐标为． 故选：C． 2．（2025·广东珠海·模拟预测）如图，立方体的棱长为2，P是上一动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的性质． 延长到点T，使，连接，，，证明四边形是平行四边形，则点E，D和直线在同一个平面内，根据垂直平分线的性质得到点E和T关于直线对称，则，可知，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：延长到点T，使，连接，，． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴点E，D和直线在同一个平面内． ∵，， ∴点E和T关于直线对称， ∴， ∴. 故选：D． 3．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在中，,,，直线垂直平分线段，若点为边BC的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（） A．9 B．13 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、线段垂直平分线的性质等知识，掌握将军饮马模型是解题关键． 连接，，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题． 【详解】解：连接，， ∵直线垂直平分线段． ， ∵点为边的中点，， 周长， 周长的最小值为， ，点为边的中点， ∵,， ， 解得， 周长的最小值为， 故选：C． 4．（2026·江苏苏州·模拟预测）矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，矩形的性质，旋转的性质．取的中点，连接，先判断出点在上运动，当共线时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：取的中点，连接， 由旋转的性质知：， ∴点在上运动， ∴当共线时，有最小值， 由旋转的性质知：，， ∴,， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 5．（2025·广东梅州·模拟预测）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】四边形中，线段和的长度是确定的，将四边形周长的最小值转化为两条线段和的最小值，可通过平移点B关于抛物线对称轴的对称点构造平行四边形确定点D的位置，求出直线的解析式即可求出点D的坐标； 本题主要考查了抛物线的对称性和两点之间线段最短等知识点，利用抛物线的对称性构造平行四边形是解题的关键． 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点， 连接交对称轴于D点，如图， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， 四边形的周长， 此时四边形的周长最小； 当时，， 解得， ， 抛物线的对称轴为直线，， 当时，， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ． 故选：D． 6．（2025·广东江门·模拟预测）如图，等腰三角形的底边长为，面积是．若点为边的中点，点为线段上一动点，仔细观察图中利用尺规作图的痕迹，可知周长的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题考查轴对称-最短路径问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 先连接，，由于是等腰三角形，点为边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据尺规作图的痕迹判断是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，． ∵等腰三角形，点为边的中点， ∴， ∵，， 又∵， ∴． ∵由图中尺规作图的痕迹可以判断出为线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴的长为的最小值， ∴周长的最小值为． 故答案为：． 7．（2025·广东茂名·模拟预测）已知在中，，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】延长至，使,则可得点和B点关于对称．过点作交于E点，交于F点，连接．由“垂线段最短”可知，此时的值最小，最小值为的长．根据面积法求出的长，即可得的最小值． 本题考查了轴对称的性质，勾股定理，“垂线段最短”，利用“垂线段最短”求线段之和最小．熟练掌握以上知识，正确地作出图形是解题的关键． 【详解】解：延长至，使， ∵， ∴， ∴点和B点关于对称， 过点作交于E点，交于F点，连接． 此时，且，E，F三点共线， 根据“垂线段最短”可知，此时的值最小，最小值为的长， ∵中，，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得， ∴的最小值是． 故答案为：． 8．（2025·广东深圳·二模）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M，N分别是，的中点连接，，，点E在边上，，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了斜中半定理，三角形中位线的性质以及运用将军饮马模型求线段和的最小值，综合运用以上知识是解题的关键．运用斜中半定理以及三角形中位线性质，证明四边形是平行四边形，求的最小值等同于求的最小值，最后运用将军饮马模型以及勾股定理求得最小值． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点M，N分别是，的中点， ∴，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴的最小值就是的最小值， 作点C关于直线对称点Q，连接、， ， 当点B、P、Q三点共线时，的最小值就是的长度， 在中，，，， ∴， ∴的最小值． 故答案为：． 9．（2025·广东揭阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，和分别是轴正半轴和线段上的动点，满足，连接，则的最大值是___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形和函数综合，取点的坐标为，即，通过乘积式相等证明，进而可得、、、在以为直径的圆上，从而得出，设，再利用相似三角形的性质勾股定理列方程表示出，，从而可得，利用平方和完全平方公式变形求出分母最小值，得出分式最大值（分子一定，正数范围内）．解题关键是构造得出，再利用分式变形求出最大值． 【详解】解：取点的坐标为，即，连接，， ∵，即， ∴， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴、、、在以为直径的圆上， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 又∵在中，， ∴， ∴ 整理变形得：， ∵， ∴， ∴当最小时，即最大，即最大值， ∴， 故答案为． 10．（2025·广东汕尾·模拟预测）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且，当点从点运动到点时，点运动的路径长是____________． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，求弧长，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，确定点的运动轨迹，是解题的关键． 作 ，交于点，以为直径画，证明，推出点在以为直径的运动，并求出半径，再连接，推出点运动的路径长为，然后根据三角形函数和圆周角定理解出，最后运用弧长公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿直线翻折得到， ∴， 作 ，交于点，以为直径画， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点在以为直径的运动， ∵点从点运动到点， ∴连接，点运动的路径长为， ∵，，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴的弧长为． ∴点的运动路径总长为：． 故答案为：． 11．（2025·广东肇庆·模拟预测）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图（1），将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】小亮：如图（2），作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图（3），在直线上另取不同于点的任一点，连接，，． ∵点、关于直线对称，点、在直线上， ∴______，______， ∴______． ∵在中，， ∴______，即最小． 【解决问题】 任务一 请将小亮的说明过程补充完整．（直接填在横线上） 任务二 如图（4），将军从地出发，先到草地边某一处牧马；再到河边饮马，然后回到处，请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短．（保留画图痕迹） 任务三 如图（5），在、两村之间有一条河，且这条河的宽度处处相等，从村前往村，要经过这条河，现要在这条河上造一座垂直于河岸的桥，则这座桥造在何处可使由村到村的路程最短？（保留画图痕迹，在图上画出道路和桥的位置） 【答案】任务一: ,,,; 任务二:见详解； 任务三：见详解． 【分析】本题考查了轴对称之将军饮马模型，掌握轴对称变换和两点之间线段最短是解题的关键． 【详解】解：任务一 ∵点、关于直线对称，点、在直线上， ∴，， ∴． ∵在中，， ∴，即最小； 任务二 如图，即为最短路径． 任务三 如图，即为最短路径． 12．（2025·广东佛山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中画出关于x轴对称的； (2)在y轴上作出一点P，使最小，请在图中标出点P的位置． (3)连接，则的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中轴对称作图，求网格三角形的面积，最短路径问题，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）作出点关于x轴对称的点，再依次相连，即可求解； （2）作出点关于y轴对称的点，连接，与y轴相交于点P，再连接，即可求解； （3）连接，根据图形，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：作出点关于y轴对称的点，连接，与y轴相交于点P，再连接． （3）解：如图，连接， 根据图形可知． 故答案为：． 13．（2025·广东广州·一模）【问题原型】 如图①，，点C为上一点，且，D是边上的动点，，且，连接，求的最大值． 【问题探究】 如图②，小明过点C做，过点E作，可得，连结、，将转化为，再利用，通过面积计算，从而确定为定值，又因为，最终确定点E的轨迹进而解决问题． 以下是小明确认为定值的部分过程： 证明：由【问题探究】的作法可知，． 证明过程缺失 ． 请你补全缺失的证明过程 【问题解决】 请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出【问题原型】中的点E的轨迹，并直接写出最大值______（保留作图痕迹） 【问题拓展】 如图，，C为上一点，，D是边上的动点，，且，直接写出的最大值______． 【答案】问题探究：见解析；问题解决：；问题拓展： 【分析】本题是三角形的综合题，考查了平行线的性质，圆周角定理，含角的直角三角形的性质，三角形的面积，勾股定理等知识，正确运用类比的方法解决问题是解本题的关键． 问题探究：如图1，根据三角形的面积公式和平行线间的距离相等即可解答； 问题解决：以为直径作圆，点E的轨迹是，当O，G，E三点共线时，有最大值，根据勾股定理即可解答； 问题拓展：同理作辅助线，即可解答． 【详解】解：问题探究：如图1，过点C作，过点E作，连接，， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， 长为定值； 问题解决：， ∴点E在上运动； 如图2，作的垂直平分线交于点G，以G为圆心，为直径作圆，点E的运动轨迹就是， 当过点G时的值最大， ， ， 由勾股定理得：， ， 即的最大值是； 故答案为：； 问题拓展：如图3，过点C作，过点E作，连接，，过点C作于点M， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 长为定值； 如图4，， ∴点E在上运动， 过点G作于点N，过点F作于点K， ∴四边形、是矩形， ∴，， 当过点G时的值最大， ， ∴由勾股定理得：， ， 即的最大值为， 故答案为：． 14．（2025·广东梅州·模拟预测）等腰中，，点是轴上一个动点，点在轴上且点． (1)若时， ①如图1，求的长； ②如图1，求点的坐标； ③如图2，点在直线上且位于第一象限内，当时，求的面积； (2)如图3，移动点，连接，直接写出的周长的最小值． 【答案】(1)①；②；③； (2) 【分析】（1）①利用勾股定理即可求出的长； ②过点作轴于点，易证，利用全等三角形的性质可得，的长，从而可求出点的坐标； ③由且点位于第一象限内得，点的纵坐标为1，利用待定系数法求出直线的解析式，将代入即可求出点的坐标，从而可求的面积； （2）由得，则点在直线上运动，连接，作点关于直线的对称点，，可得当三点共线时，取得最小值，此时的周长取得最小值，据此求解即可． 本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，最短路径问题，过点作轴于点，通过证明得到点在直线上运动是解题的关键． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②过点作轴于点，如图， ∴，， 在等腰中，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； ③∵，点位于第一象限内， ∴， ∴点的纵坐标为1， 设直线的解析式为， 将点，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴将代入得， 解得， ∴， ∴； （2）解：由（1）②得，， ∴点在直线上运动， ∵连接，作点关于直线的对称点， ∴，， 则当三点共线时，取得最小值， 此时的周长取得最小值． 15．（2025·广东中山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点、点，直线与直线交于点，与轴交于点，且． (1)求直线的解析式； (2)如图1，点为直线上一点，点，是直线上的动点，且，求的最小值，并求出此时点的坐标； (3)如图2，过点作交轴于点，点为直线上一点，满足，点是平面直角坐标系内一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)最小值：； (3)，，或 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解、线段和的最小值问题（将军饮马模型）以及等腰直角三角形的存在性问题；解题的关键是准确求出相关点的坐标，并灵活运用几何变换（如平移、对称、旋转）将线段和问题进行转化，同时注意分类讨论等腰直角三角形的不同情况． （1）先求出直线与坐标轴的交点的坐标，进而得到的长度，再根据与的关系求出点的坐标，将点代入直线的方程求出，从而得到点的坐标，最后利用点和点的坐标求出直线的解析式； （2）先求出点的坐标；通过平移变换得到，计算得到，从而证明，将转化为，利用轴对称模型，作点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为所求点，进而求出最小值； （3）根据得到，找到点作图，是以为直角边的等腰直角三角形，分四种情况讨论；根据等积法找到得长度，从而找到点坐标，待定系数法求得，找到点，坐标，再根据找到，再利用中点坐标公式求得，，． 【详解】（1）解：由直线，令得， 点的坐标为，则 代入，得， 即 由，且点在负半轴上，即 设，将，代入得 解得 ∴直线的解析式： （2）∵点为直线上一点 ∴将代入得 ， ∴ 过点作轴于点；过点作，与轴交于点，连接 ∴， ∵直线，与轴交于点 ∴令， ∴， ∴ ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴， ∴， 过点作于，过点作的延长线于点 ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ 作点关于对称点，连接与交于， ∴ ∴ ∴，即最小值为，此时点在处 设与交于 ∵点，点关于对称 ∴， ∵ ∴ ∴为中点 ∴， ∵， ∴为中点 ， ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， 设，， 则解得， ∴ 联立：，解得 ∴ ∴最小，此时 （3）∵ ∴ 设直线与轴交于点，令， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设点， 整理得:， ， ∴点 设， 解得 ∴，令， 即 ∴ 设， 则 整理得 （舍）， ∴ ∴ ①当在处，，时； 过作轴于点，过作轴于点 ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴， ， ∴ ②当在处，，时； 则， ∴共线，且 ∴为的中点 则， ∴， ∴ ③当在处，，时； ， ∴， ∴可由平移而来 ∴ ∴ ∴ ④当在处，，时； ∴ ∴共线 又∵，∴为中点 ∴， ∴， ∴ 综上所述，，，或 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $