专题07 圆的综合证明与计算（题型专练）（广东专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题07 圆的综合证明与计算 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 圆中角度的计算 题型02 圆中线段长度的计算 题型03 圆中弧长、面积的相关计算 题型04 圆与正多边形的相关计算 题型05 切线的证明 题型06 圆的证明与相似三角形综合问题 题型07 圆的证明与特殊四边形综合问题 题型08 圆的证明与锐角三角函数综合问题 题型09 圆与函数综合问题 题型10 圆中的动点问题 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 圆中角度的计算 典例引领 【典例01】（2025·广东广州·一模）如图，以为直径的上有一点D，的平分线交于另一点C，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·广东惠州·模拟预测）如图所示，是的直径，点A，C在上，，与交于点G，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 基础必考题，选择/填空为主，考查圆心角、圆周角、弦切角、圆内接四边形的角度关系，常结合弧、弦、直径性质命题，侧重角的转化与等量代换。 方法技能 1 核心定理：同弧所对圆周角是圆心角的一半，直径所对圆周角为90°； 2 圆内接四边形对角互补、外角等于内对角，弦切角等于所夹弧的圆周角； 3 找等弧/同弧关联角度，利用定理完成角的和差、倍分计算。 变式演练 【变式01】（2025·广东佛山·模拟预测）如图，为的外接圆，且是优弧的中点，点在劣弧上，连接、．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式02】（2025·广东清远·模拟预测）如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式03】（2025·广东中山·模拟预测）如图，是的直径，C，D是上的两点，连接，，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型02 圆中线段长度的计算 典例引领 【典例01】（2025·广东广州·模拟预测）如图，是的直径，C为上一点，连接、，于点E，是的切线，且，若，，则的长为（　　） A． B．4 C． D． 【典例02】（2025·广东深圳·一模）如图，是的直径，点D是的中点，过点D作于点E，交于另一点F．若，，则的半径是（   ） A． B． C．6 D．10 方法透视 考向解读 高频中档题，全题型覆盖，考查弦、半径、直径、弦心距、切线长、割线长的计算，常结合垂径定理、勾股定理、切线性质命题，侧重线段的直角三角形建模。 方法技能 1 垂径定理：作弦心距，构造“半径+弦心距+半弦”直角三角形，勾股定理求解； 2 切线性质：切线垂直于过切点的半径，得直角三角形计算； 3 切线长定理：从圆外一点引两切线，切线长相等，结合全等/勾股计算。 变式演练 【变式01】（2025·广东潮州·模拟预测）如图，已知的半径为5，弦与弦位于圆心O的异侧，，，在上取点E，连结并延长交于点F．若，则的长为（   ） A．12 B． C．6 D． 【变式02】（2025·广东汕尾·二模）如图，是的直径，，点在线段上运动，过点的弦，将位于右边的部分沿翻折，弧交直线于点，当的长为正整数时，则的长为（   ）． A．2 B． C． D．2或 【变式03】（2025·广东肇庆·模拟预测）游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一．如图，大摆锤以为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动次的运动轨迹可以看作，连接，交于点，已知，且点为的中点，，，则大摆锤的长度为（   ） A． B． C． D． 题型03 圆中弧长、面积的相关计算 典例引领 【典例01】（2025·广东茂名·一模）如图，点均在上，的半径为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·广东湛江·模拟预测）如图，点B、E是以为直径的半圆O的三等分点，弧的长为，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 基础必考题，选择/填空为主，考查扇形弧长、面积，弓形面积，常结合旋转、阴影面积计算命题，侧重公式的灵活应用与图形割补。 方法技能 1 牢记公式：弧长，扇形面积（为圆心角度数，为半径）； 2 弓形面积=扇形面积±三角形面积； 3 阴影面积：割补为扇形、三角形、圆的和差形式计算。 变式演练 【变式01】（2025·广东深圳·二模）如图，以含有角的三角尺的顶点B为圆心，长为半径画，交边于点D．若，则劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 【变式02】（2025·广东惠州·模拟预测）如图，是半圆的直径，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式03】（2025·广东广州·三模）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 题型04 圆与正多边形的相关计算 典例引领 【典例01】（2025·广东汕头·一模）如图，正六边形内接于，若正六边形的周长是，则的半径是__________． 【典例02】（2025·广东清远·一模）如图,正五边形的外接圆为,点P是劣弧上一点,连接,则的度数是__________. 方法透视 考向解读 基础中档题，选择/填空为主，考查正多边形的中心角、边长、边心距、周长、面积，核心是正多边形与外接圆的关联，侧重直角三角形建模。 方法技能 1 连接正多边形的中心与顶点、中心与边的中点，构造“半径+边心距+半边长”的直角三角形，中心角（为边数）； 2 利用三角函数/勾股定理求边长、边心距，再计算周长和面积。 变式演练 【变式01】（2025·广东揭阳·三模）如图，的周长为，正六边形内接于则的面积为______ ． 【变式02】（2025·广东广州·模拟预测）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图1，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得π的估计值为，如图2，是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，，若用圆内接正十二边形作近似估计，则π的估计值为 _____． 【变式03】（2025·广东云浮·二模）如图，正六边形内接于，的半径为，则这个正六边形的边心距的长为________．    题型05 切线的证明 典例引领 【典例01】（2025·广东佛山·一模）如图， 在中，，以为直径作． 为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：直线与相切； (2)若， 求的长． 【典例02】（2025·广东韶关·模拟预测）如图，为的直径，点C在直径上（点C与A，B两点不重合），，点D在上且满足，连接并延长到E点，使． (1)求证：是的切线； (2)当时，求半径的长． 方法透视 考向解读 必考解答题，单独成题或为综合题小问，考查切线的判定定理，分“已知切点”和“未知切点”两种情况，侧重定理条件的完整应用。 方法技能 1 已知切点：连半径，证垂直（用全等、勾股定理、圆周角定理等证夹角为90°）； 2 未知切点：作垂直，证半径（过圆心作直线垂线，证明垂线段长度等于半径）； 3 严格遵循“连半径（作垂直）→证垂直（证半径）→得切线”的步骤。 变式演练 【变式01】（2025·广东中山·模拟预测）如图，是的外接圆，是的直径，是上一点，连接，，平分，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 【变式02】（2025·广东阳江·模拟预测）如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【变式03】（2025·广东江门·三模）如图，四边形内接于，对角线为的直径，对角线是的平分线，过点作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 题型06 圆的证明与相似三角形综合问题 典例引领 【典例01】（2025·广东江门·二模）如图，在中，，以为直径作交于点．点在线段上，．连接并延长交于． (1)求证：； (2)连接交于点．若，，求的半径． 【典例02】（2025·广东湛江·三模）如图，是的直径，交的中点于， (1)求证：； (2)求证：是的切线． 方法透视 考向解读 中高档综合题，解答题为主，以圆的性质（圆周角、切线、弦）为载体构造相似三角形，常考查边成比例、角相等、线段长度计算，是圆综合的核心题型。 方法技能 1 由圆的性质找等角（同弧圆周角、弦切角=圆周角、对顶角等）； 2 用AA（最常用）、SAS、SSS判定三角形相似； 3 由相似得比例式，结合圆的线段性质（切线长、垂径定理）设未知数求解，或完成证明。 变式演练 【变式01】（2025·广东珠海·三模）如图，是的外接圆，点D位于外一点，连接，，．交于点E，连接．已知． (1)如图1，求证：； (2)如图2，经过圆心O，． ①求的值； ②若，求的半径． 【变式02】（2025·广东河源·模拟预测）如图，为的直径，C是上的一点，连接，延长至点D，连接，使． (1)若，求的大小； (2)求证：是的切线； (3)若点E是的中点，且满足，过点E作于点F．若，的半径为，求的长． 【变式03】（2025·广东梅州·模拟预测）如图，是的直径，内接于，以点为端点作射线交的延长线于点，且．过点作于点，，，且． (1)求证：是的切线； (2)求的半径的长． (3)求的值． 题型07 圆的证明与特殊四边形综合问题 典例引领 【典例01】（2025·广东阳江·二模）如图1，在正方形中，P是边上的动点，E在的外接圆上，且位于正方形的内部，，连结，． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，连结，过点E作于点F，请探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)当点P是的中点时，． ①求的长； ②若点Q是外接圆上的动点，且位于正方形的外部，连结．当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长． 【典例02】（2025·广东深圳·三模）如图，点G在线段上，，点B是线段上一动点，以为边向下方作正方形，以为腰向下方作等腰直角三角形，，当时，． (1)如下表，某同学分别用特殊值法和一般法求的长，请你将解答过程补充完整． 探究1 假设，求的长． 探究2 设，求的长． 解：… 解：… (2)过点A，F，G的交边于点H． ①连接，，若是等腰三角形，求的长． ②当与边有两个交点时，求的取值范围． 方法透视 考向解读 中高档综合题，解答题为主，结合平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质，与圆的切线、圆周角、直径性质综合，侧重图形性质的互推与结合。 方法技能 1 由圆的性质得边/角条件（如直径得直角、切线得垂直、等弧得等弦）； 2 利用特殊四边形的判定定理（如一组对边平行且相等得平行四边形，有一个直角的平行四边形得矩形）完成证明； 3 反之，由特殊四边形性质推圆的相关结论（如正方形对角线相等且垂直，推圆的直径/半径关系）。 变式演练 【变式01】（2025·广东茂名·模拟预测）如图，点E为正方形的边上的一点，是的外接圆，与交于点F，G是上一点，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求半径的长． 【变式02】（2025·广东云浮·一模）如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP． (1)求∠CPD的度数； (2)当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值． 【变式03】（2025·广东潮州·二模）如图1，在矩形中，，，点以1.5的速度从点向点运动，点以2的速度从点向点运动．点、同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆． (1)当时，的半径是 ，与直线CD的位置关系是 ； (2)在点从点向点运动过程中，①圆心的运动路径长是 ；②当与直线相切时，求的值． (3)连接，交于点，如图2，当时，求的值． 题型08 圆的证明与锐角三角函数综合问题 典例引领 【典例01】（2025·广东东莞·模拟预测）已知：如图，，垂足为，为直径，，为圆上一动点． (1)当F在弧上时，求证：． (2)当F在弧上时，将四边形沿翻折，得到， ①延长，若过点O，且，求的值； ②连接，交于P，若，且，求的值． 【典例02】（2025·广东揭阳·二模）如图，在中，，平分交于点，点是斜边上一点，以为直径的经过点，交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 方法透视 考向解读 中高档综合题，解答题为主，以圆的切线、直径、弦心距为背景构造直角三角形，考查三角函数的定义应用，侧重边与角的转化计算。 方法技能 1 由圆的性质（切线⊥半径、直径得直角、垂径定理）构造直角三角形； 2 确定目标角，利用三角函数定义列出“对边/邻边/斜边”的比例式； 3 结合勾股定理、圆的线段关系求未知边，进而计算三角函数值或线段长度。 变式演练 【变式01】（2025·广东深圳·一模）如图，是的直径，是上一点，的平分线交于点，过点作的切线交的延长线于点．    (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【变式02】（2025·广东惠州·模拟预测）如图，点，，在上，且是的直径，过点作，垂足为，连接，且平分． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 【变式03】（2025·广东江门·二模）如图，是的直径，点B在上，且，连接交于点E，交于点M，过点E作的切线，交于点F，当时． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 题型09 圆与函数综合问题 典例引领 【典例01】（2025·广东东莞·模拟预测）已知反比例函数经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)以平面直角坐标系原点为圆心，长为半径画圆，与该反比例函数图象有交点，求除点A外的其余交点的坐标； (3)若该反比例函数与在第一象限的另一个交点为点，求的面积． 【典例02】（2025·广东广州·三模）如图，已知二次函数与轴交于点、，与轴交于点，且以为直径的圆经过点． (1)若点，点，求的值； (2)若点，，试探索是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)若点是圆与抛物线的交点与、、不重合，在的条件下，轴上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 方法透视 考向解读 压轴难题，解答题最后一问，圆与一次函数、二次函数结合，考查圆的性质、函数解析式求解、动点坐标计算，侧重数形结合与代数几何综合建模。 方法技能 1 根据圆的性质（圆心、半径、切线）结合函数图象，求关键点坐标（圆心、切点、交点）； 2 利用待定系数法求函数解析式； 3 将圆的线段/角度条件转化为代数等式，结合函数解析式列方程求解坐标或参数。 变式演练 【变式01】（2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y= x与双曲线交于A，B两点，其中A的坐标为（1，a），P是以点C（ - 2，2）为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，Q为AP的中点. (1)求双曲线的解析式： (2)将直线y = x向上平移m（m > 0）个单位长度，若平移后的直线与⊙C相切，求m的值 (3)求线段OQ长度的最大值. 【变式02】（2025·广东汕尾·二模）定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图像与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆． (1)已知点P（2，2），以P为圆心，为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由； (2)已知二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值； (3)已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图像交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连接PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值． 【变式03】（2025·广东河源·三模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且，． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C，求面积的最大值； （3）在（2）中面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型10 圆中的动点问题 典例引领 【典例01】（2025·广东佛山·二模）在数学兴趣小组活动中，小明同学对几何动点问题进行了探究： 问题背景：在中，．点D为边上一动点，连接，点为边上一动点，连接，以为边，在右侧作等边，连接． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当点运动到的四等分点（靠近点）时，点停止运动，此时点从点运动到点，试判断点从点运动到点的过程中线段和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点从的四等分点（靠近点）出发，向终点A运动，同时，点从点出发，向终点运动，运动过程中，始终保持，求出的最小值． 【典例02】（2025·广东清远·二模）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为2，点是外的一个定点，．点在上，作点关于点的对称点，连接、．当点在上运动一周时，试探究点的运动路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长至点，使，连接，通过证明，可推出点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．下面是部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接． 1°当点在直线外时， 证明过程缺失 2°当点在直线上时， 易知． 综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆． 请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】如图③，在矩形中，点分别为边的中点，连接，点是中点，点是线段上的任意一点，．点是平面内一点，，连接．作点关于点的对称点，连接． （1）当点是线段中点时，点的运动路径长为________________． （2）当点在线段上运动时，连接．设线段长度的最大值为，最小值为，则________________． 方法透视 考向解读 压轴难题，解答题为主，考查圆上/圆内/圆外动点的线段最值、角度变化、图形存在性，侧重分类讨论、数形结合与动态分析，常结合最值定理、相似、三角函数命题。 方法技能 1 确定动点的运动范围（圆上/圆内/圆外），分析动点运动时的不变量（半径、定角、定线段）； 2 线段最值：利用“圆外一点到圆上点的最值=点到圆心距离±半径”求解； 3 角度/图形存在性：分类讨论动点的不同位置，结合圆的性质、相似、三角函数列方程，验证解的合理性。 变式演练 【变式01】（2025·广东韶关·模拟预测）在矩形中，已知，连接，，点O是边上的一动点，的半径为定值r． (1)如下图，当经过点C时，恰好与相切，求的半径r； (2)如下图，点M是上的一动点，求三角形面积的最大值： (3)若从B出发，沿BC方向以每秒一个单位长度向C点运动，同时，动点E，F分别从点A，点C出发，其中点E沿着AD方向向点D运动，速度为每秒1个单位长度，点F沿着射线方向运动，速度为每秒2个单位长度，连接，如下图所示，当平移至点C（圆心O与点C重合）时停止运动，点E，F也随之停止运动．设运动时间为t（秒）．在运动过程中，是否存在某一时间t，使与相切，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【变式02】（2025·广东云浮·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点，与轴、轴分别交于两点，点坐标为，为弧的中点．点，关于点成中心对称． (1)求点的坐标； (2)点从点开始在折线段上运动：点从点开始在射线上运动，两点的运动速度均为个长度单位每秒，设运动时间为．的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)在（）的条件下，若，求直线与相交所得的弦长． 【变式03】（2025·广东肇庆·模拟预测）如图1，在中，，，，是的中点．经过，，三点的交于点，连接． (1)求和的长； (2)如图2，两动点P、Q分别同时从点A和点C出发匀速运动，当点P运动到点E时，点Q恰好运动到点B，P、Q停止运动，连接． ①记，当的面积最大时，求x的值； ②如图3，连接并延长交于点，连接、．当平分时，求的值． 题●型●训●练 1．（2025·广东江门·三模）如图，正六边形内接于，若的面积为，则正六边形的边长为（   ） A． B．3 C．2 D． 2．（2025·广东广州·二模）如图，若的半径为，圆心到的距离为，则（ ）． A． B． C． D． 3．（2025·广东深圳·三模）如图，是的外接圆，，若的半径为1，则弦的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 4．（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广东广州·中考真题）如图，的直径，C为中点，点D在弧上，，点P是上的一个动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·广东河源·一模）如图，是的直径，C为上一点，过点C作的切线，交的延长线于点D，连接，若，则 ________ ． 7．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，则图中阴影部分的面积是 ____________________ ． 8．（2025·广东广州·模拟预测）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的表面积为______． 9．（2025·广东深圳·中考真题）如图，以矩形的点为圆心，的长为半径作，交于点，点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，点落在上，且点为中点．若，，则的长为__________． 10．（2025·广东广州·中考真题）已知的半径为，所在平面内有一动点，过点可以引的两条切线，，切点分别为，．点与圆心的距离为，则的取值范围是______；若过点作交直线于点（点不与点重合），线段与交于点．设，，则关于的函数解析式为______． 11．（2025·广东深圳·中考真题）如图1，在中，是的中点，，． (1)求证：四边形为菱形； (2)如图2，若点为上一点，，且，，三点均在上，连接，与相切于点， ①求__________； ②求的半径； (3)利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线，交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 12．（2025·广东·中考真题）如图，点是斜边边上的一点，以为半径的与边相切于点．求证：平分． 13．（2025·广东广州·中考真题）如图1，，为中点，点在上方，连接，． (1)尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形； (2)如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且． ①求证：； ②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 14．（2025·广东广州·模拟预测）如图1所示，已知矩形中，，，点E是边上一动点，连接，以为直径作，交于点F，过点F作于点H，直线交于点G． (1)如图2所示，当点E为的中点时，求证：为的切线； (2)当，求的长； (3)在点E的运动过程中，当时，能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时的长；如果不能，说明理由． 15．（2025·广东东莞·一模）在矩形中，，，点从点出发，在线段上向点以每秒的速度移动，以点为圆心，为半径作．设运动时间为秒．解答下列问题： 【知识技能】 （1）如图1，当过点时，求时间的值； 【数学理解】 （2）如图2，若在运动过程中，是否存在的值，使得与直线相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； 【拓展探索】 （3）如图3，当与直线相切时，切点为，为弧上的任意一点，过点作的切线分别交，于点，，设长度为． ①求的周长； ②记的面积为，的面积为，当时，求的值． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆的综合证明与计算 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 圆中角度的计算 题型02 圆中线段长度的计算 题型03 圆中弧长、面积的相关计算 题型04 圆与正多边形的相关计算 题型05 切线的证明 题型06 圆的证明与相似三角形综合问题 题型07 圆的证明与特殊四边形综合问题 题型08 圆的证明与锐角三角函数综合问题 题型09 圆与函数综合问题 题型10 圆中的动点问题 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 圆中角度的计算 典例引领 【典例01】（2025·广东广州·一模）如图，以为直径的上有一点D，的平分线交于另一点C，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据直径所对圆周角为，结合角平分线的定义得到，再根据已知利用直角三角形的性质求出，进而求出，得到，由圆周角定理得到，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，设交点为， ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【典例02】（2025·广东惠州·模拟预测）如图所示，是的直径，点A，C在上，，与交于点G，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】熟练掌握圆周角定理和三者之间的关系是解题的关键．根据直径所对的圆周角为，可知，根据，可得，根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，可得，最后根据三角形外角的定义和性质即可求出的度数． 【详解】解：∵是的直径 ， ∴， ∵ ， ， ∵ ， ∴， ∴， ∴． 方法透视 考向解读 基础必考题，选择/填空为主，考查圆心角、圆周角、弦切角、圆内接四边形的角度关系，常结合弧、弦、直径性质命题，侧重角的转化与等量代换。 方法技能 1 核心定理：同弧所对圆周角是圆心角的一半，直径所对圆周角为90°； 2 圆内接四边形对角互补、外角等于内对角，弦切角等于所夹弧的圆周角； 3 找等弧/同弧关联角度，利用定理完成角的和差、倍分计算。 变式演练 【变式01】（2025·广东佛山·模拟预测）如图，为的外接圆，且是优弧的中点，点在劣弧上，连接、．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据是优弧的中点，可证得，即，故可计算出，由圆周角定理可得． 【详解】解：∵是优弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式02】（2025·广东清远·模拟预测）如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，由圆周角定理得，即得，再根据圆内接四边形的性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵为的外接圆， ∴， ∴， 故选：． 【变式03】（2025·广东中山·模拟预测）如图，是的直径，C，D是上的两点，连接，，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角性质，直角三角形两锐角互余，解题关键是能够灵活运用圆周角定理及其推论． 连接，根据直径所对圆周角可得，由同弧所对圆周角相等可求出度数，利用直角三角形两锐角互余求出的度数即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ， ∵， ∴， ， 故选：A． 题型02 圆中线段长度的计算 典例引领 【典例01】（2025·广东广州·模拟预测）如图，是的直径，C为上一点，连接、，于点E，是的切线，且，若，，则的长为（　　） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据垂径定理得到，求得，根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，连接，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【典例02】（2025·广东深圳·一模）如图，是的直径，点D是的中点，过点D作于点E，交于另一点F．若，，则的半径是（   ） A． B． C．6 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 先证，进而得出，，由垂径定理得，再用勾股定理解即可． 【详解】解：点D是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，连接，设的半径为r，设， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 故选：A． 方法透视 考向解读 高频中档题，全题型覆盖，考查弦、半径、直径、弦心距、切线长、割线长的计算，常结合垂径定理、勾股定理、切线性质命题，侧重线段的直角三角形建模。 方法技能 1 垂径定理：作弦心距，构造“半径+弦心距+半弦”直角三角形，勾股定理求解； 2 切线性质：切线垂直于过切点的半径，得直角三角形计算； 3 切线长定理：从圆外一点引两切线，切线长相等，结合全等/勾股计算。 变式演练 【变式01】（2025·广东潮州·模拟预测）如图，已知的半径为5，弦与弦位于圆心O的异侧，，，在上取点E，连结并延长交于点F．若，则的长为（   ） A．12 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握垂径定理是解题的关键．连接，，根据，可得，即可得到，进而求得、的长度，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，，作于点N， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 故选：B． 【变式02】（2025·广东汕尾·二模）如图，是的直径，，点在线段上运动，过点的弦，将位于右边的部分沿翻折，弧交直线于点，当的长为正整数时，则的长为（   ）． A．2 B． C． D．2或 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据，可得或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：为直径，为弦， ， 当的长为正整数时，或2， 当时，即为直径， 将沿翻折交直线于点F，此时与点重合， 故； 当时，且在点在线段之间， 如图，连接， 此时， ， ， ， ， ； 当时，且点在线段之间，连接， 同理可得， ， 综上，可得线段的长为或或2， 故选：D． 【变式03】（2025·广东肇庆·模拟预测）游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一．如图，大摆锤以为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动次的运动轨迹可以看作，连接，交于点，已知，且点为的中点，，，则大摆锤的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理的应用是解题的关键．由，且点为的中点，可得，，设，则，然后通过勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：，且点为的中点，， ，， 设，则， ， ， 解得， 大摆锤的长度为． 故选：C． 题型03 圆中弧长、面积的相关计算 典例引领 【典例01】（2025·广东茂名·一模）如图，点均在上，的半径为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查弧长的计算及圆周角定理、圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质求出的度数，利用圆周角定理求出的度数，再由弧长公式计算即可． 【详解】如图，连接和， ∵点均在上， ∴， ∴， ∴的长为， 故选：B． 【典例02】（2025·广东湛江·模拟预测）如图，点B、E是以为直径的半圆O的三等分点，弧的长为，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求扇形的面积，勾股定理，求弧长，直角三角形的性质，余弦函数．先连接，设半径为R，根据“弧，弦，圆心角的关系”得，可得，再根据弧长公式求出即，接下来根据特殊角的三角函数值求出，再解直角三角形求出，，即可求出，最后根据得出阴影部分的面积． 【详解】解：连接，设半径为R， ∵点B,E是半的三等分点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得即． ∵是的直径， ∴， ∴， 在中，， ∴, 根据勾股定理，得， ∴． ∵和的面积相等， ∴． 故选：A． 方法透视 考向解读 基础必考题，选择/填空为主，考查扇形弧长、面积，弓形面积，常结合旋转、阴影面积计算命题，侧重公式的灵活应用与图形割补。 方法技能 1 牢记公式：弧长，扇形面积（为圆心角度数，为半径）； 2 弓形面积=扇形面积±三角形面积； 3 阴影面积：割补为扇形、三角形、圆的和差形式计算。 变式演练 【变式01】（2025·广东深圳·二模）如图，以含有角的三角尺的顶点B为圆心，长为半径画，交边于点D．若，则劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查含有角的直角三角形的性质、弧长计算．明确圆心角和半径是解题的关键．由含有角的三角形可先求出半径，再由弧长公式得出劣弧的长． 【详解】解：含有角的三角尺的顶点B为圆心， ，， ，， 长为半径画，交边于点D， ， ， ， 劣弧的长为：． 故答案为：B． 【变式02】（2025·广东惠州·模拟预测）如图，是半圆的直径，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆的性质．设半圆的圆心为O，连接，求出圆心角，再利用圆的周长公式即可求解． 【详解】解：设半圆的圆心为O，连接， ∵， ∴， ∴， ∴的长为， 故选：B． 【变式03】（2025·广东广州·三模）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的体积公式，勾股定理．设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，进而得出，再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可． 【详解】解：设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为， 圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，且扇形的半径是5， 扇形的弧长为， 圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等， ， ， 圆锥的高为， 故选：D． 题型04 圆与正多边形的相关计算 典例引领 【典例01】（2025·广东汕头·一模）如图，正六边形内接于，若正六边形的周长是，则的半径是__________． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，等边三角形的判定和性质；根据正多边形的性质求出边长和中心角，然后得到是等边三角形，即可得到圆的半径长． 【详解】解：连接，， ∵正六边形内接于， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴的半径是， 故答案为：． 【典例02】（2025·广东清远·一模）如图,正五边形的外接圆为,点P是劣弧上一点,连接,则的度数是__________. 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆综合，圆内接四边形，先理解正五边形的外接圆为,列式计算得，运用圆内接四边形对角互补进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵正五边形的外接圆为, ∴， ∵点P是劣弧上一点, ∴观察图中，四边形是圆内接四边形， ∴， 故答案为：． 方法透视 考向解读 基础中档题，选择/填空为主，考查正多边形的中心角、边长、边心距、周长、面积，核心是正多边形与外接圆的关联，侧重直角三角形建模。 方法技能 1 连接正多边形的中心与顶点、中心与边的中点，构造“半径+边心距+半边长”的直角三角形，中心角（为边数）； 2 利用三角函数/勾股定理求边长、边心距，再计算周长和面积。 变式演练 【变式01】（2025·广东揭阳·三模）如图，的周长为，正六边形内接于则的面积为______ ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系是正确解答的关键．根据正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【详解】解：设半径为r，由题意得，， 解得， 六边形是的内接正六边形， ， ， 是正三角形， ， 弦所对应的弦心距为， 故答案为： 【变式02】（2025·广东广州·模拟预测）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图1，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得π的估计值为，如图2，是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，，若用圆内接正十二边形作近似估计，则π的估计值为 _____． 【答案】3 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．过A作于M，求得，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，于是得到正十二边形的面积为，根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图2，是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心， 过A作于M， 在正十二边形中，， ∴， ∴， ∴正十二边形的面积为， ∴， ∴， ∴π的近似值为3， 故答案为：3． 【变式03】（2025·广东云浮·二模）如图，正六边形内接于，的半径为，则这个正六边形的边心距的长为________．    【答案】 【分析】本题考查圆内接正六边形的边心距问题，掌握正多边形的性质，会求中心角，会利用边心距和半径构成直角三角形，会用锐角三角函数求解是关键．连接，根据六边形是内接正六边形得出，进而根据三角函数的定义，求得的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，    ∵六边形是内接正六边形， ∴， ∴， 故答案为：． 题型05 切线的证明 典例引领 【典例01】（2025·广东佛山·一模）如图， 在中，，以为直径作． 为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：直线与相切； (2)若， 求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定定理，切线长定理，勾股定理等知识点，熟练掌握切线的判定与性质定理，学会添加常用辅助线是解题的关键． （1）连接，利用证明，结合已知推出，即，再根据圆的切线判定定理(垂直于半径外端的直线是圆的切线)，即可证明； （2）先设圆的半径，表示出，在中利用勾股定理列方程求解得半径为，进而得出；再根据切线长定理设，表示出，在中再次用勾股定理列方程解得；最后在中通过勾股定理计算出即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵点在圆上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴直线与相切； （2）解：设， ∵， ∴， 在中，，， 即， 解得， ∴； ∵是圆的切线， ∴设， 在中，， 即， 解得， ∴， 在中，． 【典例02】（2025·广东韶关·模拟预测）如图，为的直径，点C在直径上（点C与A，B两点不重合），，点D在上且满足，连接并延长到E点，使． (1)求证：是的切线； (2)当时，求半径的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】此题考查了圆的切线的判定，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，熟练地运用以上知识解题是关键． （1）先证明，再由，得，，进而得，于是有，从而即可证明结论成立； （2）设的半径为，在中，利用勾股定理得，求得． 【详解】（1）证明：为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：设的半径为r， ， ， ， ， 在中，， ， ，（舍去）， ∴半径的长为5． 方法透视 考向解读 必考解答题，单独成题或为综合题小问，考查切线的判定定理，分“已知切点”和“未知切点”两种情况，侧重定理条件的完整应用。 方法技能 1 已知切点：连半径，证垂直（用全等、勾股定理、圆周角定理等证夹角为90°）； 2 未知切点：作垂直，证半径（过圆心作直线垂线，证明垂线段长度等于半径）； 3 严格遵循“连半径（作垂直）→证垂直（证半径）→得切线”的步骤。 变式演练 【变式01】（2025·广东中山·模拟预测）如图，是的外接圆，是的直径，是上一点，连接，，平分，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质定理． （1）根据等边对等角可得，根据圆周角定理结合角平分线的性质可得，从而得到，根据，可得，即可得证； （2）过点作于点，于点，于点，过点作于点，根据直径所对的圆周角等于可得是直角三角形，在中，由勾股定理可求得的长，在中，由勾股定理可求得的长，由三角形的面积公式得：，可求得的长，证明四边形是矩形，得到，在中，由勾股定理可求得的长，根据角平分线的性质可得，在中，由勾股定理可求得的长，最后根据求解即可． 【详解】（1）证明：是的外接圆，是的直径，是上一点， ， ， 根据圆周角定理得：， ， 平分， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线； （2）解：如图所示，过点作于点，于点，于点，过点作于点， 是的外接圆，是的直径， ， 是直角三角形， 的半径为，， ，， 在中，由勾股定理得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：， ， ，，， 四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得：， 平分，，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ． 【变式02】（2025·广东阳江·模拟预测）如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理得到是的切线； （2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为直径， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，是的直径， ∴是的切线， ∵是的切线； ∴， ∵， ∴， 解得． 【变式03】（2025·广东江门·三模）如图，四边形内接于，对角线为的直径，对角线是的平分线，过点作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，由角平分线和同弧或等弧所对的圆周角相等可推出，再由等腰三角形的性质得，由平行线的性质即可得证； （2）过作交于，由平行线的性质及直径所对的圆周角为直角得到，由直角三角形的特征得，然后根据同弧所对的圆周角相等得到，进而得到，最后由勾股定理得，，即可求解； 【详解】（1）证明：连接， 是的平分线， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：过作交于， 则， ， ， 是的直径，， ， ， ， 由（1）可知，， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ． 的长为． 题型06 圆的证明与相似三角形综合问题 典例引领 【典例01】（2025·广东江门·二模）如图，在中，，以为直径作交于点．点在线段上，．连接并延长交于． (1)求证：； (2)连接交于点．若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角，易得垂直平分，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到，再根据同角的余角相等，得到，即可证明结论； （2）先根据等边对等角的性质和等角的余角相等，得出，由垂径定理可知，进而得到，再证明，得到从而求出，设的半径为，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的直径， ，即， ， 是线段的垂直平分线， ， ∴， ， ∵， ， 是的半径， 是的切线， 由弦切角定理可得：， ； （2）解：交于点，， 设，则，， ， ， ， 在中，， ， ， 是的直径， ， ， ， 在中，， ， 由垂径定理可得：， ， ， ， 在和中， ，， ， ， ， 解得，（不合题意，舍去）， ，，， 在中，，， 由勾股定理可得，， 设的半径为， ， ， 在中，由勾股定理可得，， ， 解得． 【典例02】（2025·广东湛江·三模）如图，是的直径，交的中点于， (1)求证：； (2)求证：是的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先利用直径所对的圆周角是直角，得到，再结合是中点，推出，从而得到，最后结合得到的直角，通过两角对应相等证明三角形相似． （2）连接，利用三角形中位线定理得到，再结合推出，从而根据切线的判定定理证明是切线． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ， ∵， ∴； （2）证明：连接， ∵，， 是的中位线， ∴， 又∵， ∴， 所以是的切线． 方法透视 考向解读 中高档综合题，解答题为主，以圆的性质（圆周角、切线、弦）为载体构造相似三角形，常考查边成比例、角相等、线段长度计算，是圆综合的核心题型。 方法技能 1 由圆的性质找等角（同弧圆周角、弦切角=圆周角、对顶角等）； 2 用AA（最常用）、SAS、SSS判定三角形相似； 3 由相似得比例式，结合圆的线段性质（切线长、垂径定理）设未知数求解，或完成证明。 变式演练 【变式01】（2025·广东珠海·三模）如图，是的外接圆，点D位于外一点，连接，，．交于点E，连接．已知． (1)如图1，求证：； (2)如图2，经过圆心O，． ①求的值； ②若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）由题意易得，，然后问题可求证； （2）①连接，，由题意易得，，然后可得，，则有，进而根据相似三角形的性质及三角函数可进行求解； ②延长交于点F，由题意易得，，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）证明：是的外接圆， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①如图2，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵经过圆心O， ∴是的直径， ∴， ∴； ②如图3，延长交于点F， ∴， ∴，， ∵O为的中点， ∴， 由（2）①可得， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴（负根舍去）， ∴． 【变式02】（2025·广东河源·模拟预测）如图，为的直径，C是上的一点，连接，延长至点D，连接，使． (1)若，求的大小； (2)求证：是的切线； (3)若点E是的中点，且满足，过点E作于点F．若，的半径为，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，解三角形等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据圆周角定理得出，再由三角形内角和定理求解即可； （2）连接，根据相似三角形的判定得出，再由其性质确定，利用各角之间的等量代换得出，即可证明； （3）根据勾股定理得出，，，过点O作，连接交于点G，得出，确定，再利用余弦得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴； （2）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴是的切线； （3）∵的半径为，， ∴， ∴， ∴， 连接交于点G，如图所示： ∵点E是的中点，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式03】（2025·广东梅州·模拟预测）如图，是的直径，内接于，以点为端点作射线交的延长线于点，且．过点作于点，，，且． (1)求证：是的切线； (2)求的半径的长． (3)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，然后利用等量代换可得，从而可得，即可解答； （2）根据垂直定义可得，从而可得，从而利用同角的余角相等可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，进而求出的长，即可解答． （3）在中，利用勾股定理求出的长，再证明，从而利用相似三角形的性质求出的长，进而利用线段的和差关系，利用勾股定理求出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：在中， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型07 圆的证明与特殊四边形综合问题 典例引领 【典例01】（2025·广东阳江·二模）如图1，在正方形中，P是边上的动点，E在的外接圆上，且位于正方形的内部，，连结，． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，连结，过点E作于点F，请探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)当点P是的中点时，． ①求的长； ②若点Q是外接圆上的动点，且位于正方形的外部，连结．当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)①；②或12 【分析】（1）如图1，在正方形中，，根据圆内接四边形的性质得到，求得．得到，于是得到结论； （2）如图2，延长交于点H．根据平行线的性质得到，根据垂直的定义得到，根据全等三角形的判定和性质定理得到，，于是得到结论； （3）①由（2）知．求得．根据是BC的中点，于是得到， ②推出，当时，如图3，，根据圆周角定理得到是圆的直径，根据勾股定理得到．当时，如图4，连接．由第一种情况可知是圆的直径，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图1，点在的外接圆上， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （2）解：结论：， 理由：如图2，延长交于点H， ，， ，即， ， ， ， ， 又是等腰直角三角形， ， ， ，， ∵四边形是正方形， ∴，， 又， ∴四边形是矩形， ，， ， ， ∴是等腰直角三角形， ； （3）解：①由（2）知． ， ， ∴， 是的中点， ． ②由①可知，， ∴， ∴，， 存在或， 当时，如图3，， ， ， 是圆的直径， 连接，则， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ， ∴， 当时，如图4，连结； 是圆的直径， ， ， ， ， 综上所述，的长是或12． 【典例02】（2025·广东深圳·三模）如图，点G在线段上，，点B是线段上一动点，以为边向下方作正方形，以为腰向下方作等腰直角三角形，，当时，． (1)如下表，某同学分别用特殊值法和一般法求的长，请你将解答过程补充完整． 探究1 假设，求的长． 探究2 设，求的长． 解：… 解：… (2)过点A，F，G的交边于点H． ①连接，，若是等腰三角形，求的长． ②当与边有两个交点时，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)①是等腰三角形，的长为2或；② 【分析】（1）探究1：由题意结合正方形的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，即可得解；探究2：由题意可得，结合正方形的性质可得，由等腰直角三角形的性质得出，即可得解； （2）①分三种情况：Ⅰ．当时，则；Ⅱ．当时，则，此种情形不存在；Ⅲ．当时，过点H作于点M，于点N；分别求解即可得解；②分两种情况：当点D在上时，连接，；当与边相切于点H时，连接，，作交于点R，作，；分别求解即可． 【详解】（1）解：探究1：∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴． 探究2：∵，， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴； （2）解：①是等腰三角形， Ⅰ．当时，如图，则， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴． ∴； Ⅱ．当时，则，此种情形不存在． Ⅲ．当时，过点H作于点M，于点N，如图， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，． 连接， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 综上，是等腰三角形，的长为2或； ②当点D在上时，连接，，如图， 设，则，，， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 当与边相切于点H时，连接，，作交于点R，作，，如图， ∵， ∴为的直径， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，． 设，则． ∵，， ∴，． ∴， ∵与相切， ∴． ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 在中，． ∵， ∴， ∴， 解得：． ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵与边有两个交点， ∴的取值范围为． 方法透视 考向解读 中高档综合题，解答题为主，结合平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质，与圆的切线、圆周角、直径性质综合，侧重图形性质的互推与结合。 方法技能 1 由圆的性质得边/角条件（如直径得直角、切线得垂直、等弧得等弦）； 2 利用特殊四边形的判定定理（如一组对边平行且相等得平行四边形，有一个直角的平行四边形得矩形）完成证明； 3 反之，由特殊四边形性质推圆的相关结论（如正方形对角线相等且垂直，推圆的直径/半径关系）。 变式演练 【变式01】（2025·广东茂名·模拟预测）如图，点E为正方形的边上的一点，是的外接圆，与交于点F，G是上一点，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求半径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据正方形的性质得出，则，根据，推出，进而得出，即可求证； （2）连接，证明四边形为矩形，设，则，， 证明，根据，求出x的值，最后根据勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：连接，    ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2）解：连接，    ∵为直径， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：，即， 根据勾股定理可得： ∴半径的长为． 【变式02】（2025·广东云浮·一模）如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP． (1)求∠CPD的度数； (2)当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接OD，OC，根据正方形ABCD内接于⊙O，结合圆周角定理可得∠CPD； （2）结合正多边形的性质以及圆周角定理得出∠COP的度数，进而得出答案． 【详解】（1）解：连接OD，OC， ∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴∠DOC＝90°， ∴． （2）解：连接PO，OB，如图所示： ∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴∠COB＝90°， ∵点P为的中点， ∴， ∴， ∴n＝360÷45＝8． 【变式03】（2025·广东潮州·二模）如图1，在矩形中，，，点以1.5的速度从点向点运动，点以2的速度从点向点运动．点、同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆． (1)当时，的半径是 ，与直线CD的位置关系是 ； (2)在点从点向点运动过程中，①圆心的运动路径长是 ；②当与直线相切时，求的值． (3)连接，交于点，如图2，当时，求的值． 【答案】(1)，相离 (2)； (3) 【分析】（1）过点作于，交于，根据矩形的性质，得出，，再根据圆周角定理和平行线的性质，得出的直径是，，再根据题意，得出当时，，，进而根据线段之间的数量关系，得出，，再根据勾股定理，得出的值，进而得出的半径，再根据中位线的性质得出的值，进而得出的值，即可判断与直线的位置关系； （2）①根据、运动的速度与、的比相等，得出圆心在对角线上，再根据图形和题意，得出和两点在时在点重合，当时，直径为对角线，根据中点的性质得出，再根据勾股定理解得的值，进而得出的长，即为圆心的运动路径长；②当与相切时，设切点为，连接并延长交于，再根据线段之间的数量关系和题意，得出，，再根据勾股定理解得的值，再根据圆的性质，得出，再根据中位线的性质，得出，根据线段之间的数量关系，列出关于的方程，求解即可得出答案； （3）过作，交的延长线于点，连接，证明，再根据全等三角形的性质得出，根据线段之间的数量关系得出，再根据勾股定理，列出方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于，交于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴的直径是，， 当时，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴的半径为， ∵，是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴与直线的位置关系是相离． 故答案为：；相离； （2）解：①如图， ∵、运动的速度与、的比相等， ∴圆心在对角线上， 由图可知，和两点在时在点重合， 当时，直径为对角线，是的中点， ∴，由勾股定理，可得， ∴， ∴圆心的运动路径长是． 故答案为：； ②如图，当与相切时， 设切点为，连接并延长交于， 则，， 则，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴，解得， ∴的值为； （3）解：如图，过作，交的延长线于点，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去），， ∴的值为． 题型08 圆的证明与锐角三角函数综合问题 典例引领 【典例01】（2025·广东东莞·模拟预测）已知：如图，，垂足为，为直径，，为圆上一动点． (1)当F在弧上时，求证：． (2)当F在弧上时，将四边形沿翻折，得到， ①延长，若过点O，且，求的值； ②连接，交于P，若，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）连接，，由垂径定理可得，，．由，结合三角函数的定义可得，，由圆周角定理可得，．根据直角三角形的性质，，命题得证； （2）①连接，，作，垂足为，由圆周角定理和轴对称的性质可得，，则．由可得，，使用垂径定理和勾股定理，计算得，．根据三角形的面积公式可求得，，在直角中，使用正弦函数的定义计算即可； ②连接，延长交于点，作，垂足为，设，由轴对称的性质可得，，，结合题干，可证明四边形是矩形，则，，．容易证明，根据相似三角形的性质可计算得，，．根据同角的余角相等，可证明，进而求出．使用勾股定理计算出，再根据余弦函数的定义求值即可． 【详解】（1）证明：如图， 连接，， ∵是圆的直径，且， ∴，，， ∴，， 在直角中，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：①如图，连接，，作，垂足为，设，，圆的半径为， ∵， ∴， 由圆内接四边形的性质可知，， ∴， 由轴对称的性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在直角中，， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， 解得，， ∴， ∵直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 在直角中，， ∵， ∴； ②如图，连接，延长交于点，作，垂足为，设， 由轴对称的性质可知，垂直平分， ∴，， ∵直径， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由圆内接四边形的性质可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， 在直角中，， ∴． 【典例02】（2025·广东揭阳·二模）如图，在中，，平分交于点，点是斜边上一点，以为直径的经过点，交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由，得到，由角平分线定义得到，因此，推出，得到半径，即可证明问题； （2）连接，，由，得到，由直角三角形的性质求出长，由锐角的余弦求出长，得到圆的半径长，由，推出阴影的面积＝扇形的面积，由扇形面积公式即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 方法透视 考向解读 中高档综合题，解答题为主，以圆的切线、直径、弦心距为背景构造直角三角形，考查三角函数的定义应用，侧重边与角的转化计算。 方法技能 1 由圆的性质（切线⊥半径、直径得直角、垂径定理）构造直角三角形； 2 确定目标角，利用三角函数定义列出“对边/邻边/斜边”的比例式； 3 结合勾股定理、圆的线段关系求未知边，进而计算三角函数值或线段长度。 变式演练 【变式01】（2025·广东深圳·一模）如图，是的直径，是上一点，的平分线交于点，过点作的切线交的延长线于点．    (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接．   是的直径， ． 平分， ． ． 是的切线， ． ． ． （2）解：如图，过点作，垂足为． ， ． ， 四边形是正方形． ． 在中，， ． ． ， ． ， ． ，解得． ． 【变式02】（2025·广东惠州·模拟预测）如图，点，，在上，且是的直径，过点作，垂足为，连接，且平分． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定，圆周角定理，三角函数等： （1）连接，由等腰三角形和角平分线的性质可得，进而可得，结合，即可求证； （2）连接，由圆周角定理得，进而由三角函数可得，再利用勾股定理可得，再根据可得，据此即可求解． 【详解】（1）如图，连接． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵为半径， ∴是的切线． （2）如图，连接． ∵是的直径， ∴． ∵的半径为， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【变式03】（2025·广东江门·二模）如图，是的直径，点B在上，且，连接交于点E，交于点M，过点E作的切线，交于点F，当时． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线性质得到，结合得到，根据圆周角定理求出，进而证明，即可证明； （2）连接，证明，根据得到，证明，得到，求出，﹒再依次求出，，，即可求出的半径为﹒ 【详解】（1）证明：连接，如图． ∵与相切于点E， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴﹒ ∴， ∴； （2）解：连接，如图． ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 由(1)知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴﹒ 在中，， ∴在中，， 在中，， ∴的半径为﹒ 题型09 圆与函数综合问题 典例引领 【典例01】（2025·广东东莞·模拟预测）已知反比例函数经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)以平面直角坐标系原点为圆心，长为半径画圆，与该反比例函数图象有交点，求除点A外的其余交点的坐标； (3)若该反比例函数与在第一象限的另一个交点为点，求的面积． 【答案】(1) (2)，，； (3) 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质、圆的性质、三角形的面积公式． （1）将点的坐标代入反比例函数解析式即可求解； （2）根据点的坐标求出的长，进而求出的方程，联立的方程和反比例函数的解析式即可求解； （3）根据点，的坐标，求出直线的解析式，进而求出直线与轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数中，得， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：∵点为圆心，，， ， 的方程为， 联立， 将代入得 ，即， 设，则， 解得或． 当时，，， 时 时． 当时，，， 时， 时． 除点外的其余交点的坐标为，，； （3）由（2）可知，点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入中，得 ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 直线与轴的交点坐标为， ． 【典例02】（2025·广东广州·三模）如图，已知二次函数与轴交于点、，与轴交于点，且以为直径的圆经过点． (1)若点，点，求的值； (2)若点，，试探索是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)若点是圆与抛物线的交点与、、不重合，在的条件下，轴上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的值是定值，为； (3)的坐标为或或或． 【分析】（1）设圆心点为，利用、的坐标求出圆的半径，然后根据勾股定理求出的长，求得点，然后利用轴的交点式代入点的坐标得到函数的解析式即可求解； （2）根据坐标系中交点的坐标，利用三角形相似的判定得到，再根据相似三角形的性质，结合一元二次方程根与系数的关系求出是一个定值； （3）根据题意，分为点在轴上或点在轴上两种情况，结合相似三角形的判定与性质可求点的坐标. 【详解】（1）解：设圆心为点， ，， ，的半径为， ， ， 设抛物线解析式为， 点在抛物线上， ， ， ， ，， ； （2）的值是定值，为， 理由：点，， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， 令时，， ， ， ； （3）点是圆与抛物线的交点与、、不重合，， ，即：， 当点在轴上时，如图，设点的坐标为， ，，， ，，， ， ， 以、、为顶点的三角形与相似， ①， ， ， ， 或②， ， ， ， 当点在轴上时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ，，， ，， ，， 以、、为顶点的三角形与相似， ①， ， ， ∴ 或②， ， ， ∴ 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 方法透视 考向解读 压轴难题，解答题最后一问，圆与一次函数、二次函数结合，考查圆的性质、函数解析式求解、动点坐标计算，侧重数形结合与代数几何综合建模。 方法技能 1 根据圆的性质（圆心、半径、切线）结合函数图象，求关键点坐标（圆心、切点、交点）； 2 利用待定系数法求函数解析式； 3 将圆的线段/角度条件转化为代数等式，结合函数解析式列方程求解坐标或参数。 变式演练 【变式01】（2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y= x与双曲线交于A，B两点，其中A的坐标为（1，a），P是以点C（ - 2，2）为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，Q为AP的中点. (1)求双曲线的解析式： (2)将直线y = x向上平移m（m > 0）个单位长度，若平移后的直线与⊙C相切，求m的值 (3)求线段OQ长度的最大值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先求出点A的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）由题意得平移后的直线解析式为，如图所示，设直线与圆C的切点为D，与y轴的交点为H，连接OC，过点C作CE⊥x轴于E，先证明O、C、D三点共线，求出OD=DH，OH的长即为m的值，据此求解即可； （2）如图所示，连接PB，PC，BC，证明OQ是△PAB的中位线，把求OQ的最大值转化成求PB的最大值，即转化成求圆外一点到圆上一点距离的最大值，由此求解即可． 【详解】（1）解：∵点A（1，a）在直线y=x上， ∴a=1， ∴点A的坐标为（1，1）， ∴把点A坐标代入到反比例函数解析式得， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：由题意得平移后的直线解析式为， 如图所示，设直线与圆C的切点为D，与y轴的交点为H，连接OC，过点C作CE⊥x轴于E， ∴点H的坐标为（0，m） ∴OH=m， ∵点C（-2，2）， ∴CE=OE=2， ∴∠COE=45°， ∴∠DOH=45°， 同理可证∠BOE=45°， ∴∠BOC=90° ，即OC⊥AB， ∵直线与直线AB平行， ∴OC与直线垂直， 又∵直线与圆C相切于点C， ∴CD与直线垂直， ∴C、O、D三点共线， ∵圆C的半径为1， ∴， ∵∠ODH=90°，∠DOH=45°， ∴∠DHO=45°， ∴， ∴， ∴ 同理当切点D在圆O上方时可以求得， 综上所述，若平移后的直线与⊙C相切，或； （3）解：如图所示，连接PB，PC，BC， 由对称性可知A、B关于原点对称，即O是AB的中点， ∴点B的坐标为（-1，-1）， ∵Q是AP的中点， ∴OQ是△APB的中位线， ∴， ∴要想OQ最大，则PB最大， ∵， ∴当P、B、C三点共线，且P在C点上方时，PB有最大值，即PB=PC+BC=1+BC， ∵点C（-2，2），点B（-1，-1）， ∴， ∴， ∴ 【变式02】（2025·广东汕尾·二模）定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图像与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆． (1)已知点P（2，2），以P为圆心，为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由； (2)已知二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值； (3)已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图像交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连接PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值． 【答案】(1)⊙P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，理由见解析 (2)△POA周长的最小值为6 (3) 【分析】（1）先求出二次函数y=x2-4x+3图像与x轴、y轴的交点，再计算这三个交点是否在以P（2，2）为圆心，为半径的圆上，即可作出判断． （2）由题意可得，二次函数y=x2-4x+4图像的顶点A（2，0），与y轴的交点H（0，4），所以△POA周长=PO+PA+OA=PO+PH+2≥OH+2，即可得出最小值． （3）连接CD，PA，设二次函数y=ax2-4x+4图像的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，设PE=m，由∠CPD=120°，可得PA=PC=2m，CE=m，PF=4-m，表示出AB、AF=BF，在Rt△PAF中，利用勾股定理建立方程，求得m的值，进而得出a的值． 【详解】（1）对于二次函数y＝x2﹣4x+3， 当x＝0时，y＝3；当y＝0时，解得x＝1或x＝3， ∴二次函数图像与x轴交点为A（1，0），B（3，0），与y轴交点为C（0，3）， ∵点P（2，2）， ∴PA＝PB＝PC＝， ∴⊙P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆． （2）如图1，连接PH， ∵二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P， ∴A（2，0），与y轴的交点H（0，4）， ∴△POA周长＝PO+PA+OA＝PO+PH+2≥OH+2＝6， ∴△POA周长的最小值为6． （3）如图2，连接CD，PA， 设二次函数y＝ax2﹣4x+4图像的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F， 由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD， ∵AB＝， ∴AF＝BF＝， ∵∠CPD＝120°，PC＝PD，C（0，4）， ∴∠PCD＝∠PDC＝30°， 设PE＝m，则PA＝PC＝2m，CE＝m，PF＝4﹣m， ∵二次函数y＝ax2﹣4x+4图像的对称轴l为， ∴，即， 在Rt△PAF中，PA2＝PF2+AF2， ∴， 即， 化简，得，解得， ∴． 【变式03】（2025·广东河源·三模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且，． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C，求面积的最大值； （3）在（2）中面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）4；（3）存在，Q的坐标为或 【分析】根据题意将、的坐标代入抛物线表达式，即可求解； 由题意设点M的坐标为，则点，，即可求解； 由题意和如图所示可知，，在中，，，，进行分析计算即可求解． 【详解】解：将、的坐标代入抛物线表达式得：，解得：， 则抛物线的解析式为：； 过点M作y轴的平行线，交直线BC于点K， 将点B、C的坐标代入一次函数表达式：得：，解得：， 则直线BC的表达式为：， 设点M的坐标为，则点， ， ，有最大值， 当时， 最大值为4， 点M的坐标为； 如图所示，存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，切点为N， 过点M作直线平行于y轴，交直线AC于点H， 点M坐标为，设：点Q坐标为， 点A、C的坐标为、，， 轴， ， ，则， 将点A、C的坐标代入一次函数表达式：得：， 则直线AC的表达式为：， 则点， 在中，，， ， 解得：或， 即点Q的坐标为或． 题型10 圆中的动点问题 典例引领 【典例01】（2025·广东佛山·二模）在数学兴趣小组活动中，小明同学对几何动点问题进行了探究： 问题背景：在中，．点D为边上一动点，连接，点为边上一动点，连接，以为边，在右侧作等边，连接． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当点运动到的四等分点（靠近点）时，点停止运动，此时点从点运动到点，试判断点从点运动到点的过程中线段和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点从的四等分点（靠近点）出发，向终点A运动，同时，点从点出发，向终点运动，运动过程中，始终保持，求出的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）证明且，从而证明三角形全等； （2）过点作，垂足为点，取中点，连接，由四等分点证明，再根据三线合一得到，进而证明，最后可得是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得到； （3）以为边作等边三角形，连接，证明，则可得点在以为直径的圆弧上运动，起点为的中点，终点为点，连接，交圆弧于点，此时取得最小值，即可求出答案． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ，即， 又， ． （2），理由如下： 过点作，垂足为点，取中点，连接， ， ， ， 点是的中点， ， 是等边三角形， ， 点是中点，点是四等分点， ， ， ， 由（1）得， 又， ， ， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ． （3）以为边作等边三角形，连接， ，是等边三角形， ， ， ， ，即当点和点运动过程中，始终保持， 则点在以为直径的圆弧上运动，起点为的中点，终点为点， 由三角形三边关系可知，则， 连接，交圆弧于点，此时取得最小值， 是等边三角形，点是中点，， ， ， ， 则的最小值为． 【典例02】（2025·广东清远·二模）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为2，点是外的一个定点，．点在上，作点关于点的对称点，连接、．当点在上运动一周时，试探究点的运动路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长至点，使，连接，通过证明，可推出点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．下面是部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接． 1°当点在直线外时， 证明过程缺失 2°当点在直线上时， 易知． 综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆． 请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】如图③，在矩形中，点分别为边的中点，连接，点是中点，点是线段上的任意一点，．点是平面内一点，，连接．作点关于点的对称点，连接． （1）当点是线段中点时，点的运动路径长为________________． （2）当点在线段上运动时，连接．设线段长度的最大值为，最小值为，则________________． 【答案】问题解决：证明过程见解析；结论应用：（1）；（2） 【分析】问题解决：延长至点，使，连接．当点在直线外时，证明得出；当点在直线上时，则，即可得解； 结论应用：（1）由问题解决可得：当点是线段中点时，点的运动路径为2为半径的圆，由此计算即可得出答案： （2）由问题解决可得：点的运动路径为2为半径的圆，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接交圆于，此时的长度最小；当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接，连接交圆于，此时的长度最大；分别求出的值即可得解． 【详解】问题解决： 证明：延长至点，使，连接． 1°当点在直线外时， 在和中， ， ∴， ∴； 2°当点在直线上时，则． 综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆； 结论应用： （1）由问题解决可得：当点是线段中点时，点的运动路径为2为半径的圆， ∴点的运动路径长为； （2）由问题解决可得：点的运动路径为2为半径的圆， 如图，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接交圆于，此时的长度最小， ， 由题意得：，，，， ∴由勾股定理得：， ∴线段长度的最小值为； 如图，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接，连接交圆于，此时的长度最大， ， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴、、在同一直线上， ∴， ∴， ∴线段长度的最大值为， ∴． 方法透视 考向解读 压轴难题，解答题为主，考查圆上/圆内/圆外动点的线段最值、角度变化、图形存在性，侧重分类讨论、数形结合与动态分析，常结合最值定理、相似、三角函数命题。 方法技能 1 确定动点的运动范围（圆上/圆内/圆外），分析动点运动时的不变量（半径、定角、定线段）； 2 线段最值：利用“圆外一点到圆上点的最值=点到圆心距离±半径”求解； 3 角度/图形存在性：分类讨论动点的不同位置，结合圆的性质、相似、三角函数列方程，验证解的合理性。 变式演练 【变式01】（2025·广东韶关·模拟预测）在矩形中，已知，连接，，点O是边上的一动点，的半径为定值r． (1)如下图，当经过点C时，恰好与相切，求的半径r； (2)如下图，点M是上的一动点，求三角形面积的最大值： (3)若从B出发，沿BC方向以每秒一个单位长度向C点运动，同时，动点E，F分别从点A，点C出发，其中点E沿着AD方向向点D运动，速度为每秒1个单位长度，点F沿着射线方向运动，速度为每秒2个单位长度，连接，如下图所示，当平移至点C（圆心O与点C重合）时停止运动，点E，F也随之停止运动．设运动时间为t（秒）．在运动过程中，是否存在某一时间t，使与相切，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 或 【分析】（1）连接，，根据矩形的性质及得，进而可得，再利用解直角三角形即可求解． （2）过点作并延长，交于，交于，当点运动到点位置时，此时三角形面积有最大值，利用矩形的性质及三角形的面积公式即可求解． （3）分类讨论：①在的左侧时，②在的右侧侧时，利用相似三角形的判定及性质和勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：连接，，如图： 四边形是矩形， ， 在中，，， ，， 与对角线相切于点， ， 在和中， ， ， ， ， 的半径． （2）过点作并延长，交于，交于，如图： 由（1）得：，， ， 四边形是矩形，且， ， 当点运动到点位置时，此时三角形面积有最大值， ． （3）在整个运动过程中，存在某一时刻，与相切，此时的值为或，理由： 由（1）得， ①在的左侧时，设与相切于点， 连接，，如图： 由题意得：，， ， 四边形为矩形， ，， ， 四边形为矩形， ，， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（不合题意舍去）， ②在的右侧侧时， 设与相切于点，连接，，如图： 由题意得： ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， 四边形为矩形， ，， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（不合题意舍去）， 综上所述，t的值为 或． 【变式02】（2025·广东云浮·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点，与轴、轴分别交于两点，点坐标为，为弧的中点．点，关于点成中心对称． (1)求点的坐标； (2)点从点开始在折线段上运动：点从点开始在射线上运动，两点的运动速度均为个长度单位每秒，设运动时间为．的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)在（）的条件下，若，求直线与相交所得的弦长． 【答案】(1)； (2)； (3)弦长是或或． 【分析】（）过作于，于，连接，根据圆周角定理求出，，根据证，求出即可； （）分为三种情况：当在上时，在上，当在的延长线上时，当在的延长线上时，根据三角形面积公式求出即可； （）求出平行四边形的面积，根据已知得出三个方程，求出方程的解，注意看是否在范围内，再分三种情况分析作于，求出即可． 【详解】（1）解：过作于，于，连接， 由勾股定理得：， ∴，，，， ∵是直径， ∴， ∵为弧的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∴的坐标是； （2）解：如图，连接交中点与G， 则是中位线， ∴，， ∵点坐标为， ∴， ∴，， ∴， 当在上时，在上，作交于H，则 （）； 当在上时，在上， 同法可求（）； 当在的延长线上时， （）； （3）解：， ， 解得：或 ， 解得：或（此时不在之间，舍去）， 过作于，连接， 当时，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴勾股定理得： ∴； ， 方程的解不在内； 过作于，连接，则， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴； 过作于，连接，则， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴； 综上可得：弦长是或或． 【变式03】（2025·广东肇庆·模拟预测）如图1，在中，，，，是的中点．经过，，三点的交于点，连接． (1)求和的长； (2)如图2，两动点P、Q分别同时从点A和点C出发匀速运动，当点P运动到点E时，点Q恰好运动到点B，P、Q停止运动，连接． ①记，当的面积最大时，求x的值； ②如图3，连接并延长交于点，连接、．当平分时，求的值． 【答案】(1)；； (2)①当的面积最大时，x的值为5；②． 【分析】（1）利用直角三角形的边角关系定理求得，，连接，利用圆周角定理和直角三角形的边角关系定理求得，，则；过点作于点，利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理解答即可； （2）①当点从点匀速运动到点时，点恰好从点匀速运动到点，则，代入数值求得，过点作于点，利用含角的直角三角形的性质求得，再利用三角形的面积公式，配方法和二次函数的性质解答即可； ②过点作，过点作，利用角平分线的性质定理得到，利用圆的有关性质得到，利用直角三角形的边角关系定理求得，，再利用相似三角形的判定与性质求得，，最后利用直角三角形的边角关系定理解答即可； 【详解】（1）解：在中， ，，， ，， 连接，如图， ， 是的直径， ， 又是的中点， ， 在中， ，， ，， ； 过点作于点， 在和中， ，， ，， 在中， ， ； （2）解：①当点从点匀速运动到点时，点恰好从点匀速运动到点， ， ，，， ， ， 过点作于点，如图， ， ， 的面积． ，， 当时，的面积最大． 当的面积最大时，的值为4； ②由（1）知：， 过点作，过点作，如图， 平分，，， ， 平分， ∴， ， 又， ， ，， ， ． ，， ， ， ， 解得：，， 在中， ，， ． ． 题●型●训●练 1．（2025·广东江门·三模）如图，正六边形内接于，若的面积为，则正六边形的边长为（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键．连接，，设的半径为，由正六边形内接于，可知是等边三角形，由的面积是，可得即可得出结果． 【详解】解：如图所示：连接，，设的半径为， ∵正六边形内接于， 是等边三角形， ∴ ∵的面积是， ∴ 故选：D． 2．（2025·广东广州·二模）如图，若的半径为，圆心到的距离为，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，过作于，由垂径定理得到，由勾股定理求出，即可得到的长． 【详解】解：过作于， ， 的半径为，圆心到的距离为， ，， ， ． 故选C． 3．（2025·广东深圳·三模）如图，是的外接圆，，若的半径为1，则弦的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，解直角三角形得到答案． 【详解】解：由圆周角定理得：， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4．（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，过点A作于点D，证明出是等腰直角三角形，求出，然后得到，然后分别求出和，然后根据概率公式求解即可． 【详解】如图所示，过点A作于点D ∵是直径 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴， ∴ ∴， ∴该粒米落在扇形内的概率为． 故选：D． 5．（2025·广东广州·中考真题）如图，的直径，C为中点，点D在弧上，，点P是上的一个动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，轴对称性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先作点关于的对称点，连接，交于点，因为的直径，C为中点，得，再结合，得，再证明是等边三角形，运用勾股定理列式计算得，则周长，即可作答． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，记交于点，如图所示： ∴ ∵的直径，C为中点， ∴点在上，，， ∴， ∵， ∴， ∵， 则是等边三角形， ∴， ∵是直径， ∴ ∴， 则周长， ∴周长的最小值是． 故选：B． 6．（2025·广东河源·一模）如图，是的直径，C为上一点，过点C作的切线，交的延长线于点D，连接，若，则 ________ ． 【答案】 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 连接，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：， 故答案为：． 7．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，则图中阴影部分的面积是 ____________________ ． 【答案】 【分析】先利用含30度的直角三角形三边的关系计算出，再根据旋转的性质得到，，则，接着在中计算出，从而得到，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∵将绕点A逆时针旋转后得到， ∴，， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积2． 故答案为：． 8．（2025·广东广州·模拟预测）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的表面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，圆锥的有关计算，由该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和母线长是解本题的关键． 首先判断该几何体的形状，然后根据其尺寸求得其侧面积和底面积，则表面积可求． 【详解】解：观察三视图发现该几何体为圆锥， 其底面直径为，母线长为， 所以其侧面积为：，底面积为：， 所以全面积为：． 故答案为：． 9．（2025·广东深圳·中考真题）如图，以矩形的点为圆心，的长为半径作，交于点，点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，点落在上，且点为中点．若，，则的长为__________． 【答案】6 【分析】由矩形的性质得，根据圆周角定理，可求得，根据，可推出为直角，从点为中点，可推出，接着再证明，利用相似三角形的性质求解即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 为所对的圆周角，所对的圆心角为， ， 将线段绕点顺时针旋转至， ， ， ， ， ， 又， ∴， ∴， 点为中点， ， ， ， ． 故答案为：6． 10．（2025·广东广州·中考真题）已知的半径为，所在平面内有一动点，过点可以引的两条切线，，切点分别为，．点与圆心的距离为，则的取值范围是______；若过点作交直线于点（点不与点重合），线段与交于点．设，，则关于的函数解析式为______． 【答案】 【分析】由题意可得点在外，从而得出，再由切线长定理可得，，，又，则，所以，可得，故有，，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵过点可以引的两条切线，， ∴点在外， ∴， ∵，是的两条切线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，的半径为， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：，． 11．（2025·广东深圳·中考真题）如图1，在中，是的中点，，． (1)求证：四边形为菱形； (2)如图2，若点为上一点，，且，，三点均在上，连接，与相切于点， ①求__________； ②求的半径； (3)利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线，交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 【答案】(1)见解析 (2)①30°；② (3)见解析 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，斜边上的中线得到，即可得证； （2）①根据菱形的性质，得到，等角对等边得到，三角形的外角得到，切线得到，再根据角的和差关系进行求解即可；②解直角三角形，进行求解即可； （3）利用尺规作图作，即可． 【详解】（1）解：， 四边形为平行四边形， 又，且为中点 ， 平行四边形为菱形． （2）①四边形为菱形． ， ， 又， ， ， 切于， ， ； ； ②设半径为， ， ， ，， ； 解得：； （3）由题意，作图如下： 12．（2025·广东·中考真题）如图，点是斜边边上的一点，以为半径的与边相切于点．求证：平分． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接，根据圆的切线的性质得到，则根据平行线的判定与性质得到，再由等边对等角得到，即可等量代换求证． 【详解】证明：连接， ∵与边相切于点， ∴，即， ∵为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴平分． 13．（2025·广东广州·中考真题）如图1，，为中点，点在上方，连接，． (1)尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形； (2)如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且． ①求证：； ②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接并延长，在的延长线上截取，连接，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证； （2）①根据得出，，根据已知可得； ②根据，，得出在的外接圆上运动，设的外接圆为，设与交于点，连接，证明得出，当为的直径时，取得最大值为，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵为中点， ∴， 根据作图可得， ∴四边形为平行四边形， （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴且， ∴， ∴， ②∵，， ∴在的外接圆上运动，设的外接圆为 如图，设与交于点，连接， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ 又，则， ∴ ∴ ∴当为的直径时，取得最大值为 ∴的最大值为 14．（2025·广东广州·模拟预测）如图1所示，已知矩形中，，，点E是边上一动点，连接，以为直径作，交于点F，过点F作于点H，直线交于点G． (1)如图2所示，当点E为的中点时，求证：为的切线； (2)当，求的长； (3)在点E的运动过程中，当时，能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时的长；如果不能，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或． (3)能， 【分析】（1）连接，证明为的中位线，得出．证出，即可得出为的切线； （2）作于点M，连接，先证明∽，得出，求出或； ①当时，证明，得出比例式，求出，根据勾股定理求出，即可得出； ②当时，同①得出，得出，求出，得出，由勾股定理求出，即可得出； （3）连接，由圆周角定理得出，设，则，，，由已知条件得出点G在点F上方，连接，设交于点K，得出和都是等腰直角三角形，得出，，，，，证明∽，得出，得出方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：如图2，连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵E为的中点， ∴F为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴为的切线． （2）解：如图3，作于点M，连接， ∵， ∴，， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或． ①当时，，， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当时，，， ∴同理可得，，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述：的长为：或． （3）解：连接，如图所示，则， 设，则，，， 若是等腰直角三角形，则， 又∵， ∴点G在点F上方， 连接，设交于点K， ∴， ∵是直径， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，，， 在等腰直角中，根据勾股定理得：，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，或（不合题意，舍去）， ∴． 15．（2025·广东东莞·一模）在矩形中，，，点从点出发，在线段上向点以每秒的速度移动，以点为圆心，为半径作．设运动时间为秒．解答下列问题： 【知识技能】 （1）如图1，当过点时，求时间的值； 【数学理解】 （2）如图2，若在运动过程中，是否存在的值，使得与直线相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； 【拓展探索】 （3）如图3，当与直线相切时，切点为，为弧上的任意一点，过点作的切线分别交，于点，，设长度为． ①求的周长； ②记的面积为，的面积为，当时，求的值． 【答案】（1）（2）（3）①6②的值为或 【分析】（1）由题可知，再利用中建立勾股方程求解即可； （2）由相切可知，再由，代入求解即可； （3）①由与直线相切可得四边形是正方形，所以，再利用切线长定理，，从而的周长； ②证出，进而得到，代入，解得，则可得出答案． 【详解】解：（1）连接， 四边形是矩形， ，，， 过点， ， ， ， 在中，， 即， 解得； （2）过作于点， 当与直线相切时，为半径，此时， ， ， ，， ， ， 即， 解得； （3）①如图，过作于点， 当与直线相切时，为半径，此时， ， 四边形是正方形， ， 与圆相切，与圆相切，与圆相切， 由切线长定理可得，，， 的周长 ； ②在和中， ， 同理可证， ， ， ， ， 整理得， 解得或（舍）， 当时，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 整理得， 解得，； 综上，的值为或． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $