精品解析：广东深圳市宝安区富源学校2025-2026学年九年级下学期三月学情调研数学试题

2025-2026学年九年级（下）三月学情调研数学试题 一．选择题（每小题3分，满分24分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞完全撑开时，两条伞骨所成的角，伞圈在伞柄上，；如图2，伞完全收拢时，伞圈滑动到的位置，在伞完全撑开到完全收拢的过程中，伞圈移动的长度可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 2024年前三季度，郑州市的地区生产总值达到了亿元．数据“亿”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，直角三角板的顶点落在上，边，分别与相交于点，，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线、被直线所截，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 某商场购进了一批白酒，这批白酒包括杏花汾酒和竹叶青酒，且两种白酒的瓶数相同，其中汾酒花费了元，竹叶青酒花费了元，已知一瓶汾酒比一瓶竹叶青酒的价格贵元．设每瓶汾酒的价格为元，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形中，，点E，F分别在边，上，．将四边形沿折叠得到四边形，且点恰好在边上，连结，则的长是（ ） A. 4 B. C. D. 二．填空题（每小题3分，满分15分） 9. 已知关于x的方程的解是，则的值为____________． 10. 一个箱子装有除颜色外都相同的3个白球，3个黄球，1个红球，现添加同种型号的2个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都相同，那么添加的球是_____________球． 11. 如图，正比例函数与反比例函数的图像交于两点．若轴，轴，则___________． 12. 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为7，则赵州桥主桥拱半径约为___________（结果保留整数） 13. 如图，在正方形中，点是对角线的中点，点在线段上，连接并延长交于点，过点作，交于点，连接交于．给出下面四个结论：①；②；③；④，上述结论中，正确的是 ________．（只填序号）． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14. 计算：． 15. 先化简，再求值：，其中 16. 泡泡玛特公司为了更好把握消费者心理，对旗下大热IP：“星星人”和“拉布布”开展了受欢迎程度的调查．该公司随机采访20名顾客，让他们分别给“拉布布”和“星星人”打分（百分制），分数越高代表越喜欢，并对得到的分数进行整理、描述和分析（得分用表示，共分成四组：，，，），下面给出了部分信息： “星星人”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98． “拉布布”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． “星星人”和“拉布布”得分统计表 平均数 中位数 众数 星星人 92 93 a 拉布布 92 b 97 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为消费者更喜欢“星星人”还是“拉布布”？请说明理由（一条理由即可）； （3）据调查，对“拉布布”打分不低于95分的顾客中有的人会购买“拉布布”，若本周末泡泡玛特某门店人流量会达到1000人，货源充足的情况下会有多少人购买“拉布布”？ 17. 某体育用品商店计划购进乒乓球拍和羽毛球拍共200套进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过120套；已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费105元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费255元．乒乓球拍售价为50元/套，羽毛球拍售价为80元/套． （1）分别求出每套乒乓球拍和羽毛球拍的进价是多少元？ （2）商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半，如何进货才能使这批体育用品全部售完时获利最大？ 18. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 19. 我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如在二次函数的图象上，存在一点，则P为二次函数图象上的“互反点”． （1）已知点和是二次函数图象上的“互反点”，请求出这个二次函数的解析式； （2）判断函数的图象上是否存在“互反点”？如果存在，求出“互反点”的坐标；如果不存在，说明理由； （3）如图1，设函数的图象上的“互反点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为5时，求n的值； （4）如图2，为x轴上的动点，过Q作直线轴，若函数的图象记为，将沿直线l翻折后的图象记为．当和两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出m的取值范围． 20. 兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： （1）【初探猜想】如图1，在正方形中，点E，F分别是、上的两点，连接，，若，试判断线段与的大小关系，并说明理由； （2）【类比探究】如图2，在矩形中，，，点E、F分别是边、上一点，点G、H分别是边、上一点，连接，，若，则 ； （3）【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段、上，且，连接，若为等边三角形，求的值； （4）【拓展应用】如图4，在矩形中，，，点E，F分别在边，上，将四边形沿翻折，点B的对应点点G恰好落在上，点A的对应点是点H，则的最小值为 ．（用a、b的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级（下）三月学情调研数学试题 一．选择题（每小题3分，满分24分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数，根据只有符号相反的两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解：的相反数是 故选A． 2. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的原则是解题的关键． 根据合并同类项的原则逐一进行运算判断，即可求解． 【详解】A、，故A选项错误， B、，故B选项错误， C、，故C选项错误， D、，故D选项正确， 故选：D． 3. 我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞完全撑开时，两条伞骨所成的角，伞圈在伞柄上，；如图2，伞完全收拢时，伞圈滑动到的位置，在伞完全撑开到完全收拢的过程中，伞圈移动的长度可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、解直角三角形．连接交于点，根据，得到四边形是菱形，根据菱形的性质可知是直角三角形且，根据余弦的定义可得，根据菱形的定义可知，再根据，即可得出结果． 【详解】解：如下图所示，连接交于点， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 在中，， ， ， ， 由题意：， ∴；   故选： D． 4. 2024年前三季度，郑州市的地区生产总值达到了亿元．数据“亿”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 根据科学记数法的表示方法，进行解答即可． 【详解】解：亿用科学记数法表示为． 故选：B． 5. 如图，直角三角板的顶点落在上，边，分别与相交于点，，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧所对圆心角是圆周角的两倍即可解答问题． 【详解】解：依题意，，，在上，，则 故选A． 6. 如图，直线、被直线所截，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据对顶角相等得出的度数，然后根据平行线的性质得出的度数即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 7. 某商场购进了一批白酒，这批白酒包括杏花汾酒和竹叶青酒，且两种白酒的瓶数相同，其中汾酒花费了元，竹叶青酒花费了元，已知一瓶汾酒比一瓶竹叶青酒的价格贵元．设每瓶汾酒的价格为元，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设每瓶汾酒的价格为元，则每瓶竹叶青酒的价格为元，依据两种酒的瓶数相同列方程即可． 【详解】解：设每瓶汾酒的价格为元，则每瓶竹叶青酒的价格为元， 依题意列方程： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程的应用；解题的关键是根据假设表示出竹叶青酒的价格． 8. 如图，正方形中，，点E，F分别在边，上，．将四边形沿折叠得到四边形，且点恰好在边上，连结，则的长是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 根据，，可得，根据折叠前后对应角相等、对应边相等，可得，，，，进而可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，设，则，，列方程，然后根据勾股定理即可． 【详解】四边形是正方形， ，， 将四边形沿折叠得到四边形，且点恰好在边上， ，，，， ， ， 设，则，， ， 解得： 在中 ， 故选：B. 二．填空题（每小题3分，满分15分） 9. 已知关于x的方程的解是，则的值为____________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据方程的解为，将代入方程即可求出a的值． 【详解】解：将代入方程得： ， 解得：， 故答案为：1 【点睛】此题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键在于熟知方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 10. 一个箱子装有除颜色外都相同的3个白球，3个黄球，1个红球，现添加同种型号的2个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都相同，那么添加的球是_____________球． 【答案】红 【解析】 【分析】用原来袋中白球的数量比上袋中小球的总数量即可算出原来从袋中随便摸出一个小球是白球的概率，将该概率与放球后抽到白色小球的概率进行比较即可得出答案． 【详解】解∵， ， ∴原来白球，黄球被抽到的可能性是 ，红球被抽到的可能性是； ∴添加的球是2个红球． ∴三种球被抽到的概率为． 故答案为：红． 【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，理解题意是解题的关键． 11. 如图，正比例函数与反比例函数的图像交于两点．若轴，轴，则___________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，得到两点关于原点对称，设点，则：，进而求出点的坐标，利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图像交于两点， ∴两点关于原点对称， 设：，则：， ∵轴，轴， ∴，， ∴，， ∴； 故答案为：10． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．熟练掌握正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，是解题的关键． 12. 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为7，则赵州桥主桥拱半径约为___________（结果保留整数） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R， ， 是半径，且， ， 在中，， ， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，在正方形中，点是对角线的中点，点在线段上，连接并延长交于点，过点作，交于点，连接交于．给出下面四个结论：①；②；③；④，上述结论中，正确的是 ________．（只填序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①取的中点，连接，根据正方形的性质和直角三角形斜边中线定理，得到，继而得到，根据等腰直角三角形的性质，得到．②将绕点顺时针旋转得到，通过证明，得到，继而得到．③连接，过点作于，过点作于，通过证明，得到，继而得到，，根据等腰直角三角形的性质，得到，得证．④延长至，使，连接，取的中点，连接，，通过证明四点共圆，得到，根据，得到，继而得证，证明，根据对应边成比例，以及等腰直角三角形的性质，得到，根据，得证． 【详解】解: ①如图，取的中点，连接， ∵，四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∵， ∴，故①正确； ②如图，将绕点顺时针旋转得到， ∵，， ∴， ∴共线， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故②不正确； ③如图，连接，过点作于，过点作于，则四边形是矩形， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④如图，延长至，使，连接，取的中点，连接，， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴四点共圆， ∴， 由②得， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，， ，故④正确． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查立方根、二次根式、绝对值的运算与实数的加减运算，根据立方根、二次根式、绝对值的运算法则与实数的加减运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ． 15. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的运算法则进行化简，再把代入即可． 【详解】原式 当时， 原式． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 16. 泡泡玛特公司为了更好把握消费者心理，对旗下大热IP：“星星人”和“拉布布”开展了受欢迎程度的调查．该公司随机采访20名顾客，让他们分别给“拉布布”和“星星人”打分（百分制），分数越高代表越喜欢，并对得到的分数进行整理、描述和分析（得分用表示，共分成四组：，，，），下面给出了部分信息： “星星人”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98． “拉布布”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． “星星人”和“拉布布”得分统计表 平均数 中位数 众数 星星人 92 93 a 拉布布 92 b 97 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为消费者更喜欢“星星人”还是“拉布布”？请说明理由（一条理由即可）； （3）据调查，对“拉布布”打分不低于95分的顾客中有的人会购买“拉布布”，若本周末泡泡玛特某门店人流量会达到1000人，货源充足的情况下会有多少人购买“拉布布”？ 【答案】（1），，； （2）消费者更喜欢“拉布布”， “拉布布”的得分中，中位数和众数均大于“星星人”的得分的中位数和众数， ∴消费者更喜欢 “拉布布”； （3）300 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计，掌握中位数，众数，样本估算总体数量的计算是关键． （1）根据众数，中位数，样本百分比的计算方法求解即可； （2）根据中位数、众数作决策即可； （3）根据样本百分比估算总体数量即可． 【小问1详解】 解：“星星人”的得分中，94分出现次数最多， ∴， “拉布布”A组的人数：（人）， B组的人数：（人）， C组的人数：6人， D组的人数：（人）， ∴中位数是第10，11人的得分的平均数，即， ∴，即， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在人流量会达到1000人中，对“拉布布”打分不低于95分的顾客有（人）， 有的人会购买“拉布布”， ∴购买“拉布布”的人数为（人）． 17. 某体育用品商店计划购进乒乓球拍和羽毛球拍共200套进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过120套；已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费105元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费255元．乒乓球拍售价为50元/套，羽毛球拍售价为80元/套． （1）分别求出每套乒乓球拍和羽毛球拍的进价是多少元？ （2）商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半，如何进货才能使这批体育用品全部售完时获利最大？ 【答案】（1）每套乒乓球拍的进价是30元，每套羽毛球拍的进价是45元 （2）购进乒乓球拍67套、羽毛球拍133套才能使这批体育用品全部售完时获利最大 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组与一元一次不等式组的应用，一次函数的应用； （1）设每套乒乓球拍的进价是x元，每套羽毛球拍的进价是y元，根据购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费105元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费255元．再建立方程组解题即可； （2）设购进乒乓球拍m套，则购进羽毛球拍套，根据购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半，求解的范围，再建立一次函数求解即可。 【小问1详解】 解：设每套乒乓球拍的进价是x元，每套羽毛球拍的进价是y元． 根据题意，得， 解得． 答：每套乒乓球拍的进价是30元，每套羽毛球拍的进价是45元． 【小问2详解】 解：设购进乒乓球拍m套，则购进羽毛球拍套． 根据题意，得， 解得：， 设获利W元，则， ∵， ∴W随m的减小而增大， ∵且m为非负整数， ∴当时W值最大， （套）． 答：购进乒乓球拍67套、羽毛球拍133套才能使这批体育用品全部售完时获利最大． 18. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：在四边形中，， ， 平分， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）（1）根据题意结合角平分线定义，平行线性质推出，进而得到，再结合，推出，证明四边形为平行四边形，最后根据菱形的判定定理证明，即可解题； （2）利用直角三角形性质和菱形性质推出，进而得到，根据菱形性质得到，结合勾股定理求出，再根据菱形的面积为，建立等式求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形，对角线，交于点O， ，， ，， ，即有， ， ， ， 菱形的面积为， ， 解得． 【点睛】本题考查了角平分线定义，平行线性质，菱形的性质与判定，直角三角形性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 19. 我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如在二次函数的图象上，存在一点，则P为二次函数图象上的“互反点”． （1）已知点和是二次函数图象上的“互反点”，请求出这个二次函数的解析式； （2）判断函数的图象上是否存在“互反点”？如果存在，求出“互反点”的坐标；如果不存在，说明理由； （3）如图1，设函数的图象上的“互反点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为5时，求n的值； （4）如图2，为x轴上的动点，过Q作直线轴，若函数的图象记为，将沿直线l翻折后的图象记为．当和两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）存在，“互反点”的坐标为 （3） （4）或． 【解析】 【分析】本题考查了函数新定义“互反点”的应用、二次函数解析式求解、函数交点问题、图形翻折变换及方程根的范围分析，解题的关键是理解“互反点”即横坐标与纵坐标互为相反数（），将问题转化为函数与直线的交点问题，结合函数定义域、翻折性质分析交点个数． 【小问1详解】 解：∵点、在上， ∴， 解得，， ∴解析式为． 答：二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：联立，得，解得，， ∴存在“互反点”，坐标为． 答：存在，“互反点”的坐标为． 【小问3详解】 解：对，联立，得， 解得（舍去）， ∴． 对，联立，得， 解得，， ∴， ， ∵，化简得， 解得（另一解舍去）． 答：的值为． 【小问4详解】 解：，翻折后 ①联立与，得，解得或； ②联立与，得，判别式 当时，无交点，有2个交点，总数为2； 当时，有1个交点，有1个交点，总数为2． 故答案为：或． 20. 兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： （1）【初探猜想】如图1，在正方形中，点E，F分别是、上的两点，连接，，若，试判断线段与的大小关系，并说明理由； （2）【类比探究】如图2，在矩形中，，，点E、F分别是边、上一点，点G、H分别是边、上一点，连接，，若，则 ； （3）【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段、上，且，连接，若为等边三角形，求的值； （4）【拓展应用】如图4，在矩形中，，，点E，F分别在边，上，将四边形沿翻折，点B的对应点点G恰好落在上，点A的对应点是点H，则的最小值为 ．（用a、b的代数式表示） 【答案】（1） ，理由如下： 如图1，设，交于点O， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）证明，进而结论得证； （2）如图2，作，交于Z，作，交于X，先证得四边形和四边形是平行四边形，得，，再证明，得，进而可求结果； （3）如图3，过点作，交的延长线于点V，过点作于点W，则四边形是矩形，同理（2），可得，由为等边三角形，可得，，，进而得，然后计算求解即可； （4）如图4，连接，，作点B关于的对称点R，连接，，由（2）同理可得，，即，当A、G、R三点共线时，有最小值，最小值为的长，进而可得的最小值为的长，再求得，最后，代入计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2， 作，交于Z，作，交于X， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴四边形和四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 同理（1）可得：， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图3， 过点作，交的延长线于点V，过点作于点W， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 又， ∴由（2）知：， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：如图4， 连接，，作点B关于的对称点R，连接，， 由对称性可得，，，，， 由（2）同理可得，， ∴． 当A、G、R共线时，有最小值，最小值为的长， ∴的最小值为的长， ∴的最小值为的长， ∵，，， ∴， ∴最小值为， ∴的最小值为． 【点睛】熟练掌握矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，注意求最小值时，当A、G、R共线时，有最小值，最小值为的长是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $