第二单元 圆柱和圆锥（二）（知识清单）数学青岛版六年级下册

第二单元 圆柱和圆锥 知识清单 知识点一：圆柱的认识 圆柱的特征：有两个底面，底面是完全相同的圆，有一个侧面，侧面是曲面，两个底面之间的距离叫做圆柱的高。 圆柱的各部分名称： •底面：圆柱的上下两个面 •侧面：围成圆柱的曲面部分 •高：两个底面之间的距离 •底面半径：底面圆的半径，用r表示 •底面直径：底面圆的直径，用d表示 圆柱的展开图： •侧面展开后是长方形（或正方形）•长方形的长等于圆柱底面的周长•长方形的宽等于圆柱的高 知识点二：圆锥的认识 圆锥的特征：有一个底面，底面是圆，有一个顶点，有一个侧面，侧面是曲面。 圆锥的各部分名称： •底面：圆锥的圆形底面 •顶点：圆锥的尖端 •侧面：从顶点到底面圆周的曲面 •高：从顶点到底面的垂直距离 •母线：从顶点到底面圆周上任意一点的线段 知识点三：圆柱的表面积 圆柱的侧面积： •侧面积 = 底面周长 × 高 •S侧 = 2πr × h = 2πrh 圆柱的表面积： •表面积 = 侧面积 + 2个底面积 •S表 = S侧 + 2S底 = 2πrh + 2πr² = 2πr(h + r) 特殊情况： •无盖圆柱：表面积 = 侧面积 + 1个底面积 •无底圆柱：表面积 = 侧面积 + 1个底面积 知识点四：圆柱的体积 体积公式推导： •将圆柱切拼成近似长方体 •长方体的底面积 = 圆柱的底面积 •长方体的高 = 圆柱的高 •圆柱体积 = 底面积 × 高 体积计算公式： •V = πr²h（已知半径和高） •V = π(d/2)²h（已知直径和高） •V = Sh（已知底面积和高） 知识点五：圆锥的体积 体积公式推导： •通过实验发现：等底等高的圆锥体积是圆柱体积的 •圆锥体积 = × 圆柱体积 体积计算公式： •V = πr²h（已知半径和高） •V = π(d/2)²h（已知直径和高） •V = Sh（已知底面积和高） 题型一：圆柱的认识 【例1】 一个圆柱的底面半径是3厘米，高是8厘米。如果把它的侧面展开，得到的长方形的长和宽分别是多少？ 【答案】 长18.84厘米，宽8厘米 【分析】 圆柱侧面展开后是长方形，长方形的长等于圆柱底面周长，宽等于圆柱的高。 底面周长 = 2πr = 2 × 3.14 × 3 = 18.84厘米 所以长方形的长是18.84厘米，宽是8厘米。 【练1】 一个圆柱的底面直径是6分米，高是10分米。它的侧面展开图是什么形状？长和宽各是多少？ 【答案】长方形，长18.84分米，宽10分米 【分析】底面周长 = πd = 3.14 × 6 = 18.84分米，高是10分米。 题型二：圆柱的表面积 【例2】1．灯笼厂接到一批订单，需要制作如图这种圆柱形灯笼，上、下底面的中间分别留出了78.5平方厘米的圆孔，做一个灯笼至少需要准备多少平方厘米的彩纸？ 【答案】2355平方厘米 【分析】已知圆柱形灯笼的底面直径是20厘米，高是30厘米，先计算出底面半径是20÷2＝10厘米，然后根据圆柱的表面积公式S＝πdh＋2πr2计算出圆柱的表面积； 已知上、下底面的中间分别留出了78.5平方厘米的圆孔，用一个圆孔的面积乘2计算出两个圆孔的面积； 最后用圆柱的表面积减去两个圆孔的面积即可。 【详解】20÷2＝10（厘米） 3.14×20×30＋2×3.14×102 ＝3.14×20×30＋2×3.14×100 ＝62.8×30＋6.28×100 ＝1884＋628 ＝2512（平方厘米） 78.5×2＝157（平方厘米） 2512－157＝2355（平方厘米） 答：做一个灯笼至少需要准备2355平方厘米的彩纸。 【练2】 3．乐乐过生日，妈妈做了一个三层蛋糕（如下图）。每层的高是6cm，底面半径分别是10cm，8cm，6cm，蛋糕表面抹上奶油（不包括底面）。抹奶油部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】1218.32cm2 【分析】圆柱的侧面积＝π×半径×2×高、底面积＝π×半径2，抹奶油部分是三个圆柱侧面积加一个底面积，根据公式代入计算即可。 【详解】下层侧面积：3.14×10×2×6＝376.8（cm2） 中层侧面积：3.14×8×2×6＝301.44（cm2） 上层侧面积：3.14×6×2×6＝226.08（cm2） 大圆的面积：3.14×102＝314（cm2） 抹奶油部分面积：376.8＋301.44＋226.08＋314＝1218.32（cm2） 答：抹奶油部分的面积是1218.32平方厘米。 题型三：圆柱的体积 【例3】4．赣江新区新建一个圆柱形蓄水池，底面直径20米，深4米。 蓄水池最多可储水多少吨？（1立方米水重1吨） 【答案】1256吨 【分析】求蓄水池最多可以储水多少吨时，先利用“”求出圆柱的容积，再乘每立方米水的重量，据此解答。 【详解】 3.14×（20÷2）2×4 ＝3.14×102×4 ＝3.14×100×4 ＝314×4 ＝1256（立方米） 1256×1＝1256（吨） 答：蓄水池最多可储水1256吨。 【练3】在闽南皮影戏中，有一种“话灯”，又称“走马灯”，是用竹和纸制成中空的圆柱，内装一纸轮，粘上纸剪的人马，灯内点上蜡烛，就可以通过烛光将剪纸的影像投射在屏上。请你试着计算出下面这个“走马灯”的体积。（π取3.14） 【答案】4710立方厘米 【分析】“走马灯”是一个圆柱体，根据圆柱的体积为V＝πr2h，代入数据解答即可。 【详解】3.14×102×15 ＝314×15 ＝4710（立方厘米） 答：这个“走马灯”的体积是4710立方厘米。 题型四：圆锥的体积 【例4】一堆圆锥形高粱，底面周长是9.42m，高是1.2m，每立方米高粱约重650kg。 这堆高粱约重多少千克？ 【答案】千克 【分析】（1）依据题意可知，先计算出底面半径，利用圆锥的体积公式，结合题中数据计算出圆锥的体积，再根据每立方米高粱约重650kg求出这堆高粱的重量。 【详解】 （米） （立方米） （千克） 答：这堆高粱约重1836.9千克。 【练4】元一个圆锥形的谷堆，底面周长是18.84m，高是1.6m。如果将这些谷子全部倒入底面积是6.28m2的圆柱形谷仓正好装满，这个谷仓有多高？ 【答案】2.4米 【分析】圆锥形谷堆的底面周长是18.84米，根据可以求出底面的半径，再根据圆锥的体积公式，即可求出圆锥形稻谷的体积，由于稻谷的体积不变，所以再根据圆柱的体积公式可得，即可求出谷仓的高度。 【详解】 （米） （立方米） （米） 答：这个谷仓高2.4米。 题型五：圆柱与圆锥的关系 【例5】将一个高12厘米的圆柱形木块平均切成两块（图1），表面积增加平方厘米。这个圆柱的底面半径是多少厘米？如果在该圆柱内削出一个最大的圆锥（图2），这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 【答案】这个圆柱的底面半径是1厘米，这个圆锥的体积是12.56立方厘米。 【分析】（1）观察可知，表面积增加的是两个长方形的面积，长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径，据此用增加的表面积除以2，求出长方形的面积，再除以高，求出底面直径，再除以2即可求出底面半径。 （2）如果在该圆柱内削出一个最大的圆锥，则圆锥与圆柱等底等高，根据圆锥的体积公式，代入数据计算即可。 【详解】（厘米） （立方厘米） 答：这个圆柱的底面半径是1厘米，这个圆锥的体积是12.56立方厘米 【练5】 积木是一种常见的儿童玩具，一套积木中通常有不同的颜色和形状。其中圆锥形积木是在圆柱形积木的基础上加工制作而成的。将一个底面半径是4厘米，高是9厘米的圆柱形积木加工制作成一个等底等高的圆锥形积木，加工制作过程中削去木料的体积是多少？取 【答案】301.44立方厘米 【分析】把这个圆柱削成一个等底等高的圆锥形，因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以削求部分的体积相当于圆柱体积的。根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答。 【详解】 （立方厘米） 答：加工制作过程中削去木料的体积是301.44立方厘米。 一、填空题 1．圆柱的底面是两个相同的( )，侧面沿高展开是一个( )。两个底面间的距离叫圆柱的( )。 【答案】 圆 长方形或正方形 高 【详解】如图，圆柱的底面是两个相同的圆，、侧面沿高展开是一个长方形或正方形。两个底面间的距离叫圆柱的高。 2．观察下图，你发现了什么？ 分析与解答：我们可以把旋转门其中的一个门看成一个( )，这个( )是一个( )图形，它旋转后形成一个( )，这是一个( )图形。 【答案】 长方形 长方形 平面 圆柱 立体 【详解】点动成线，线动成面，面动成体，所以我们可以把旋转门其中的一个门看成一个长方形，这个长方形是一个平面图形，它旋转后形成一个圆柱，这是一个立体图形。 3．如图，以直角三角形的a边所在的直线为轴旋转一周，可以得到一个( )，a是它的( )，b是它的( )。 【答案】 圆锥 高 底面半径 【分析】根据圆锥的定义，以一条直角边所在直线旋转一周得到的图形是圆锥。为轴的那条直角边是旋转后的圆锥的高，另一条直角边是旋转后的圆锥的底面半径；进而得出结论。 【详解】根据分析可知，以直角三角形的a边所在的直线为轴旋转一周，可以得到一个圆锥，a是它的高，b是它的底面半径。 4．一个长方形的长和宽分别为3厘米和2厘米，以3厘米的边为轴旋转，旋转后形成一个圆柱体。这个圆柱的底面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 12.56 37.68 【分析】以3厘米的边为轴旋转，旋转后形成一个圆柱体，圆柱的底面半径是2厘米，圆柱的高是3厘米，根据圆的面积＝πr²，求出底面积；根据圆柱的体积＝底面积×高，求出体积。 【详解】3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 12.56×3＝37.68（立方厘米） 【点睛】关键是熟悉圆柱特征，掌握圆柱体积公式。 5．一顶帽子，上面是直径2dm，高1dm的圆柱形（有帽顶），做这顶帽子，至少要用( )的布料（接头处忽略不计）。 【答案】9.42dm2/9.42平方分米 【分析】做这顶圆柱形帽子需要多少面料，就是求圆柱的侧面积加上圆柱的底面积，圆柱的侧面积＝底面周长×高，底面积：S＝πr2，再把两部分的面积相加。 【详解】3.14×2×1＋3.14×（2÷2）2 ＝6.28＋3.14×1 ＝6.28＋3.14 ＝9.42（dm2） 所以至少要用9.42dm2的布料。 6．如下图，一个底面半径为3厘米、高为6厘米的圆柱，体积是( )立方厘米。将它的侧面沿虚线剪开，得到一个平行四边形，这个平行四边形的面积是( )平方厘米。 【答案】 169.56 113.04 【分析】根据圆柱体积公式求出圆柱的体积；求平行四边形面积即圆柱的侧面积，根据求解。 【详解】体积： 3.14×32×6 ＝3.14×9×6 ＝28.26×6 ＝169.56（立方厘米） 平行四边形的面积： 2×3.14×3×6 ＝6.28×3×6 ＝18.84×6 ＝113.04（平方厘米） 如下图，一个底面半径为3厘米、高为6厘米的圆柱，体积是（169.56）立方厘米。将它的侧面沿虚线剪开，得到一个平行四边形，这个平行四边形的面积是（113.04）平方厘米。 7．一个圆锥与一个圆柱等底等高，它们的体积差是36立方分米，圆锥的体积是( )立方分米，圆柱的体积是( )立方分米。 【答案】 18 54 【分析】根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍；可以把圆锥的体积看作1份，圆柱的体积看作3份，相差（3－1）份；用它们的体积差除以份数差，求出一份数，也是圆锥的体积；再用圆锥的体积乘3，求出圆柱的体积。 【详解】圆锥的体积： 36÷（3－1） ＝36÷2 ＝18（立方分米） 圆柱的体积： 18×3＝54（立方分米） 圆锥的体积是18立方分米，圆柱的体积是54立方分米。 8．如图所示，把一个高为10厘米的圆柱切成若干等分，拼成一个近似的长方体。表面积增加了60平方厘米，这个圆柱的体积是( )立方厘米。 【答案】282.6 【分析】根据题意，把一个圆柱切开后拼成一个近似的长方体，则圆柱的体积等于长方体的体积，拼成的长方体表面积比圆柱的表面积多了两个长方形的面积（即长方体的左右面）；这两个长方形的长等于圆柱的高，宽等于圆柱的底面半径； 已知表面积增加了60平方厘米，先除以2，求出一个长方形的面积，再除以高，即可求出圆柱的底面半径；然后根据公式V＝πr2h，求出这个圆柱的体积。 【详解】圆柱的底面半径： 60÷2÷10 ＝30÷10 ＝3（厘米） 圆柱的体积： 3.14×32×10 ＝3.14×9×10 ＝282.6（立方厘米） 这个圆柱的体积是282.6立方厘米。 9．一个圆锥的体积是18立方分米，与它等底等高的圆柱的体积是( )立方分米，如果该圆柱的底面积是6平方分米，它的高是( )分米。 【答案】 54 9 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，用圆锥的体积×3，求出圆柱的体积；再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，高＝圆柱的体积÷底面积，代入数据，即可解答。 【详解】18×3＝54（立方分米） 54÷6＝9（分米） 一个圆锥的体积是18立方分米，与它等底等高的圆柱的体积是54立方分米，如果该圆柱的底面积是6平方分米，它的高是9分米。 10．如图，李师傅把一个棱长为3分米的正方体木块，削成一个最大的圆柱，要削去( )立方分米的木头，再把这个圆柱削成一个最大的圆锥，还要削去( )立方分米的木头。（结果用π表示） 【答案】 27－6.75π 4.5π 【分析】正方体木块削成最大的圆柱形，即正方体的边长即为圆柱形的底面直径和高；圆柱形木头削成圆锥形，即圆柱形的高即为圆锥形的高，圆柱形的底面即为圆锥形的底面，由此即可计算圆柱和圆锥体积，再用原体积分别与计算得出的体积相减即可解得。 【详解】由题，把一个棱长为3分米的正方体木块， 该木块体积为（立方分米），将其削成一个最大的圆柱， 则圆柱的高为3分米，圆柱的底面直径为3分米，半径为3÷2＝1.5分米， 故所削成圆柱的体积为， 即要削去部分的体积为（27－6.75π）立方分米； 将该圆柱削成一个最大的圆锥， 要削成的最大圆锥与圆柱同底同高， 圆锥体积为（立方分米）， 即要削去部分的体积为6.75π－2.25π＝4.5π（立方分米）。 二、判断题 11．两个圆柱底面半径的比是2∶1，高相等，那么侧面积的比是4∶1，体积的比是6∶1。( ) 【答案】× 【分析】圆柱的侧面积公式为底面周长乘高，周长比等于半径比，体积公式为底面积乘高，底面积比等于半径比的平方。题目中半径比为2∶1，高相等，因此侧面积比应为2∶1，体积比应为4∶1，与题干不符。 【详解】设两个圆柱的半径分别为2r和r，高均为h。 侧面积比： 体积比： 题干中侧面积比为4∶1错误，体积比为6∶1错误。 故答案为：× 12．一个圆锥的体积是一个圆柱体积的，它们一定等底等高。( ) 【答案】× 【分析】根据圆柱的体积公式V＝Sh，圆锥的体积公式V＝Sh，可知：等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，但圆锥的体积是圆柱体积的，只能说明它们的底面积和高的乘积相等，可以据此举例判断。 【详解】假设圆柱的底面积是2，高是1.5；圆锥的底面积是1，高是3； 圆柱的体积：2×1.5＝3 圆锥的体积：×1×3＝1 1÷3＝ 据此可知圆锥的体积是圆柱体积的，但它们的底面积和高都不相等； 所以一个圆锥的体积是一个圆柱体积的，它们不一定等底等高。 原题说法错误。 故答案为：× 13．一个圆柱的侧面沿高展开是一个正方形，则圆柱的高和底面直径相等。( ) 【答案】× 【分析】一个圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，长方形的长和宽分别对应圆柱的底面周长和高，如果圆柱的底面周长和高相等，则圆柱的侧面沿高展开是一个正方形，据此分析。 【详解】一个圆柱的侧面沿高展开是一个正方形，则圆柱的高和底面周长相等，原题说法错误。 故答案为：× 14．一个圆柱的表面积是131.88cm2，侧面积是75.36cm2，那么它的底面半径是3cm。( ) 【答案】√ 【分析】根据圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积，底面积＝（表面积－侧面积）÷2，代入数据，求出圆柱的底面积，再根据圆柱的底面积公式：面积＝π×半径2，半径2＝面积÷π，进而求出底面半径，再进行比较，即可解答。 【详解】（131.88－75.36）÷2 ＝56.52÷2 ＝28.26（cm2） 28.26÷3.14＝9（cm2） 因为3×3＝9，所以圆柱底面半径是3cm。 一个圆柱的表面积是131.88cm2，侧面积是75.36cm2，那么它的底面半径是3cm。 原题干说法正确。 故答案为：√ 15．把一个圆柱的侧面展开，得到一个正方形，若这个圆柱的底面半径是5cm，则高是31.4cm。( ) 【答案】√ 【分析】根据题意可知，圆柱侧面积展开，得到一个正方形，则圆柱的底面周长等于圆柱的高；根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，代入数据，求出圆柱的底面周长，也就是圆柱的高，再进行比较，即可解答。 【详解】3.14×5×2 ＝15.7×2 ＝31.4（cm） 把一个圆柱的侧面展开，得到一个正方形，若这个圆柱的底面半径是5cm，则高是31.4cm。 原题干说法正确。 故答案为：√ 三、选择题 16．用一块长25.12cm宽15.7cm的长方形铁皮，配上直径是（    ）cm的圆形铁皮，可以做成容积最大的圆柱形容器。 A．2.5 B．4 C．5 D．8 【答案】D 【分析】根据圆柱的容积公式：，分别求出以25.12厘米为底面周长，高是15.7厘米和以15.7厘米作底面周长，高是25.12厘米时的圆柱形容器的容积，进行比较，然后再进行解答。 【详解】（厘米） （立方厘米） （厘米） （立方厘米） 所以选择25.12厘米做底面周长时，圆柱形容器的容积最大，这时圆形铁皮的直径是8厘米。 故答案为：D 17．你听说过木桶效应吗？组成木桶的木板如果长短不齐，那么这个木桶的盛水量不取决于最长的木板，而是取决于最短的木板。如图是一个圆柱形木桶，从里面量得底面半径为2dm，这个木桶如图放置时，最多能盛水（    ）L。 A．50.24 B．37.68 C．62.8 D．75.36 【答案】B 【分析】根据题意，木桶的盛水量取决于最短的木板。从图中可知，这个木桶的最短板长3dm，即如图放置时，这个木桶最多能装水的高度是3dm；根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，代入数据计算，求出这个木桶最多能盛水的体积。注意单位的换算：1dm3＝1L。 【详解】3dm＜4dm＜5dm＜6dm，最短板长3dm； 3.14×22×3 ＝3.14×4×3 ＝37.68（dm3） 37.68dm3＝37.68L 这个木桶如图放置时，最多能盛水37.68L。 故答案为：B 18．用一个高18cm的圆锥形容器装满水，倒入和它等底等高的圆柱形容器中，水的高度是（    ）cm。 A．12 B．9 C．6 D．4 【答案】C 【分析】圆锥体积公式：（S为底面积，h为高），圆柱体积公式：V＝Sh（S为底面积，h为高）；圆锥形容器装满水，将水倒入等底等高的圆柱形容器中，水的体积不变，即V柱水＝V锥水。设圆锥和圆柱的底面积都为S，圆锥的高为18cm，圆柱中水的高度为h柱水。所以圆锥体积V锥水＝Sh锥，圆柱体积V柱水＝Sh柱水。因为V柱水＝V锥水，所以Sh柱水＝Sh锥，因为圆柱和圆锥底面积相等，所以h柱水＝h锥，即用乘18即可得出圆柱的水的高度。 【详解】圆锥体积： 圆柱体积：V＝Sh V柱水＝V锥水 设圆锥和圆柱的底面积都为S，圆柱中水的高度为h柱水。 V锥水＝Sh锥 V柱水＝Sh柱 Sh柱水＝Sh锥 h柱水＝h锥 ×18＝6（cm） 所以水的高度是6cm。 故答案为：C 19．一个圆柱形茶叶罐的侧面贴着商标纸，这张商标纸展开后是一个正方形（如图）。要给这个茶叶罐的上底面也做个标签，画圆的时候圆规两脚张开的距离应该是下面的0至（    ）点。 A．E B．F C．G D．H 【答案】B 【分析】因为圆柱形茶叶罐的侧面商标纸展开后是正方形，正方形的边长相等，所以圆柱的底面周长等于圆柱的高，且底面周长为25.12厘米。圆的周长公式为C＝2πr（π取3.14，r为半径），则r＝C÷2÷π。已知周长为25.12厘米，把数据代入公式可得茶叶罐的底面圆的半径。圆规两脚张开的距离就是圆的半径，即4厘米。从图中可知，每一小格代表1厘米，那么半径就是4÷1＝4（格），0到F点的距离是4格。 【详解】25.12÷2÷3.14 ＝12.56÷3.14 ＝4（厘米） 4÷1＝4（格） 0到F点的距离是4格，所以画圆的时候圆规两脚张开的距离应该是0至F点。 故答案为：B 20．认真观察，不需计算，（    ）的侧面积最大，（    ）的侧面积最小。 （单位：厘米） A．A；C B．B；C C．C；D D．D；A 【答案】B 【分析】圆柱的侧面积公式：（其中是底面半径，是高），是一个定值，那么侧面积的大小就由底面直径和高决定，通过比较底面直径和高的大小，即可判断侧面积的大小。 【详解】圆柱A和圆柱B的高相同，圆柱A的直径小于圆柱B的直径，所以圆柱B的侧面积大于圆柱A的侧面积；圆柱C和圆柱D的高相等，圆柱C的直径小于圆柱D的直径，所以圆柱D的侧面积大于圆柱C的侧面积；圆柱A和圆柱C的底面直径相等，圆柱A的高大于圆柱C的高，所以圆柱A的侧面积大于圆柱C的侧面积；圆柱B和圆柱D的底面直径相等，圆柱B的高大于圆柱D的高，所以圆柱B的侧面积大于圆柱D的侧面积，所以圆柱B的侧面积最大，圆柱C的侧面积最小。 故答案为：B 四、计算题 21．计算（1）的体积和（2）的表面积。 【答案】（1）502.4cm3； （2）94.8dm2 【分析】（1）由图可知，该圆柱的底面半径是4cm，高是10cm，根据圆柱的体积公式计算出该圆柱的体积。 （2）该立体图形是一个半圆柱，其表面积等于圆柱侧面积的一半加一个圆的面积（上面半圆与下面半圆合成一个完整的圆），再加上长方形的面积。 已知该半圆柱的底面直径是4dm，高是8dm，根据圆柱的侧面积公式S侧＝πdh计算出圆柱的侧面积，再除以2计算出侧面积的一半； 计算出底面半径是4÷2＝2dm，根据圆的面积公式计算出圆的面积； 长方形的长相当于半圆柱的高8dm，宽相当于半圆柱的底面直径4dm，根据“长方形面积＝长×宽”计算出长方形的面积； 最后将三部分相加即可。 【详解】（1）3.14×42×10 ＝3.14×16×10 ＝50.24×10 ＝502.4（cm3） 该圆柱的体积是502.4cm3； （2）4÷2＝2（dm） 3.14×4×8÷2＋3.14×22＋8×4 ＝12.56×8÷2＋3.14×4＋8×4 ＝100.48÷2＋12.56＋32 ＝50.24＋12.56＋32 ＝62.8＋32 ＝94.8（dm2） 该半圆柱的表面积是94.8dm2。 五、作图题 22．请在下边格子图中画出下面圆柱的侧面展开图。并标出对应的数量。 【答案】见详解 【分析】圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长等于圆柱底面的周长，长方形的宽等于圆柱的高。已知圆柱底面直径d＝2cm，根据圆的周长公式C＝πd（π取3.14），可得底面周长为3.14×2＝6.28cm，圆柱的高h＝3cm。所以侧面展开图长方形的长为6.28cm（对应底面周长），宽为3cm（对应圆柱的高）。在格子图中，以1cm为单位长度，画出一个长6.28cm、宽3cm的长方形，标注长为6.28cm（底面周长）、宽为3cm（圆柱的高）。 【详解】 如图： 六、解答题 23．工人师傅准备在道路一侧安装栅栏，定制了500个大小相同的圆柱形木块（取π≈3）。 （1）如果给一个圆柱形木块的侧面和顶部刷漆，需要刷漆的面积约是多少平方分米？（得数保留整数） （2）做这些圆柱形木块一共需要多少立方米的木料？ 【答案】（1）21平方分米 （2）3.84立方米 【分析】（1）根据题意，给一个圆柱形木块的侧面和顶部刷漆，根据圆柱的侧面积公式S侧＝πdh，圆柱的底面积公式S底＝πr2，代入数据计算，再相加，即是需要刷漆的面积。 （2）根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出做一个圆柱形木块需要木料的体积，再乘500，即是做500个圆柱形木块一共需要木料的体积；最后根据进率“1立方米＝1000立方分米”换算单位。 【详解】（1）3×1.6×4＋3×（1.6÷2）2 ＝3×1.6×4＋3×0.82 ＝3×1.6×4＋3×0.64 ＝19.2＋1.92 ≈21（平方分米） 答：需要刷漆的面积约是21平方分米。 （2）3×（1.6÷2）2×4 ＝3×0.82×4 ＝3×0.64×4 ＝7.68（立方分米） 7.68×500＝3840（立方分米） 3840立方分米＝3.84立方米 答：做这些圆柱形木块一共需要3.84立方米的木料。 24．一个装满小麦的粮囤，上面是一个圆锥形，下面是圆柱形。量得圆柱的底面周长是6.28米，高是2米，圆锥的高是0.6米，如果每立方米小麦重750千克，这囤小麦大约有多少千克？ 【答案】5181千克 【分析】已知圆柱的底面周长是6.28米，根据圆的周长公式：（其中为周长，为半径），可得底面半径，再根据圆柱体积公式：（其中为底面半径，是高），可得圆柱体积，根据圆锥体积公式（其中为底面半径，是高），可得圆锥体积，粮囤总体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，已知每立方米小麦重750千克，根据总重量＝总体积×每立方米重量，即可得小麦总重量。 【详解】半径： （米） 圆柱体积： （立方米） 圆锥体积： （立方米） 粮囤总体积：（立方米） 小麦总重量：（千克） 答：这囤小麦大约有5181千克。 25．公园的凉亭有6根圆柱形柱子，每根柱子的底面半径是4分米，高20分米，工人打算油漆这些柱子，每平方米用油漆0.3千克，一共需要油漆大约多少千克？（得数保留两位小数） 【答案】9.04千克 【分析】油漆仅需涂侧面，无需涂上下底面，所以需要计算圆柱的侧面积。圆柱侧面积公式为：S＝2πrh（r是底面半径，h是圆柱的高，π取3.14），共有6根柱子，所以需要涂的总面积为：2πrh×6，底面半径是4分米，高20分米，每平方米用油漆0.3千克；把数据代入计算后，把单位换算成平方米，再与0.3相乘即可解答。 【详解】2×3.14×4×20×6＝3014.4（平方分米） 1平方米＝100平方分米 3014.4÷100＝30.144（平方米） 0.3×30.144≈9.04（千克） 答：一共需要油漆大约9.04千克。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 圆柱和圆锥 知识清单 知识点一：圆柱的认识 圆柱的特征：有两个底面，底面是完全相同的圆，有一个侧面，侧面是曲面，两个底面之间的距离叫做圆柱的高。 圆柱的各部分名称： •底面：圆柱的上下两个面 •侧面：围成圆柱的曲面部分 •高：两个底面之间的距离 •底面半径：底面圆的半径，用r表示 •底面直径：底面圆的直径，用d表示 圆柱的展开图： •侧面展开后是长方形（或正方形）•长方形的长等于圆柱底面的周长•长方形的宽等于圆柱的高 知识点二：圆锥的认识 圆锥的特征：有一个底面，底面是圆，有一个顶点，有一个侧面，侧面是曲面。 圆锥的各部分名称： •底面：圆锥的圆形底面 •顶点：圆锥的尖端 •侧面：从顶点到底面圆周的曲面 •高：从顶点到底面的垂直距离 •母线：从顶点到底面圆周上任意一点的线段 知识点三：圆柱的表面积 圆柱的侧面积： •侧面积 = 底面周长 × 高 •S侧 = 2πr × h = 2πrh 圆柱的表面积： •表面积 = 侧面积 + 2个底面积 •S表 = S侧 + 2S底 = 2πrh + 2πr² = 2πr(h + r) 特殊情况： •无盖圆柱：表面积 = 侧面积 + 1个底面积 •无底圆柱：表面积 = 侧面积 + 1个底面积 知识点四：圆柱的体积 体积公式推导： •将圆柱切拼成近似长方体 •长方体的底面积 = 圆柱的底面积 •长方体的高 = 圆柱的高 •圆柱体积 = 底面积 × 高 体积计算公式： •V = πr²h（已知半径和高） •V = π(d/2)²h（已知直径和高） •V = Sh（已知底面积和高） 知识点五：圆锥的体积 体积公式推导： •通过实验发现：等底等高的圆锥体积是圆柱体积的 •圆锥体积 = × 圆柱体积 体积计算公式： •V = πr²h（已知半径和高） •V = π(d/2)²h（已知直径和高） •V = Sh（已知底面积和高） 题型一：圆柱的认识 【例1】 一个圆柱的底面半径是3厘米，高是8厘米。如果把它的侧面展开，得到的长方形的长和宽分别是多少？ 【练1】 一个圆柱的底面直径是6分米，高是10分米。它的侧面展开图是什么形状？长和宽各是多少？ 题型二：圆柱的表面积 【例2】1．灯笼厂接到一批订单，需要制作如图这种圆柱形灯笼，上、下底面的中间分别留出了78.5平方厘米的圆孔，做一个灯笼至少需要准备多少平方厘米的彩纸？ 【练2】 3．乐乐过生日，妈妈做了一个三层蛋糕（如下图）。每层的高是6cm，底面半径分别是10cm，8cm，6cm，蛋糕表面抹上奶油（不包括底面）。抹奶油部分的面积是多少平方厘米？ 题型三：圆柱的体积 【例3】4．赣江新区新建一个圆柱形蓄水池，底面直径20米，深4米。蓄水池最多可储水多少吨？（1立方米水重1吨） 【练3】在闽南皮影戏中，有一种“话灯”，又称“走马灯”，是用竹和纸制成中空的圆柱，内装一纸轮，粘上纸剪的人马，灯内点上蜡烛，就可以通过烛光将剪纸的影像投射在屏上。请你试着计算出下面这个“走马灯”的体积。（π取3.14） 题型四：圆锥的体积 【例4】一堆圆锥形高粱，底面周长是9.42m，高是1.2m，每立方米高粱约重650kg。 这堆高粱约重多少千克？ 【练4】元一个圆锥形的谷堆，底面周长是18.84m，高是1.6m。如果将这些谷子全部倒入底面积是6.28m2的圆柱形谷仓正好装满，这个谷仓有多高？ 题型五：圆柱与圆锥的关系 【例5】将一个高12厘米的圆柱形木块平均切成两块（图1），表面积增加平方厘米。这个圆柱的底面半径是多少厘米？如果在该圆柱内削出一个最大的圆锥（图2），这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 【练5】 积木是一种常见的儿童玩具，一套积木中通常有不同的颜色和形状。其中圆锥形积木是在圆柱形积木的基础上加工制作而成的。将一个底面半径是4厘米，高是9厘米的圆柱形积木加工制作成一个等底等高的圆锥形积木，加工制作过程中削去木料的体积是多少？取 一、填空题 1．圆柱的底面是两个相同的( )，侧面沿高展开是一个( )。两个底面间的距离叫圆柱的( )。 2．观察下图，你发现了什么？ 分析与解答：我们可以把旋转门其中的一个门看成一个( )，这个( )是一个( )图形，它旋转后形成一个( )，这是一个( )图形。 3．如图，以直角三角形的a边所在的直线为轴旋转一周，可以得到一个( )，a是它的( )，b是它的( )。 4．一个长方形的长和宽分别为3厘米和2厘米，以3厘米的边为轴旋转，旋转后形成一个圆柱体。这个圆柱的底面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 5．一顶帽子，上面是直径2dm，高1dm的圆柱形（有帽顶），做这顶帽子，至少要用( )的布料（接头处忽略不计）。 6．如下图，一个底面半径为3厘米、高为6厘米的圆柱，体积是( )立方厘米。将它的侧面沿虚线剪开，得到一个平行四边形，这个平行四边形的面积是( )平方厘米。 7．一个圆锥与一个圆柱等底等高，它们的体积差是36立方分米，圆锥的体积是( )立方分米，圆柱的体积是( )立方分米。 8．如图所示，把一个高为10厘米的圆柱切成若干等分，拼成一个近似的长方体。表面积增加了60平方厘米，这个圆柱的体积是( )立方厘米。 9．一个圆锥的体积是18立方分米，与它等底等高的圆柱的体积是( )立方分米，如果该圆柱的底面积是6平方分米，它的高是( )分米。 10．如图，李师傅把一个棱长为3分米的正方体木块，削成一个最大的圆柱，要削去( )立方分米的木头，再把这个圆柱削成一个最大的圆锥，还要削去( )立方分米的木头。（结果用π表示） 二、判断题 11．两个圆柱底面半径的比是2∶1，高相等，那么侧面积的比是4∶1，体积的比是6∶1。( ) 12．一个圆锥的体积是一个圆柱体积的，它们一定等底等高。( ) 13．一个圆柱的侧面沿高展开是一个正方形，则圆柱的高和底面直径相等。( ) 14．一个圆柱的表面积是131.88cm2，侧面积是75.36cm2，那么它的底面半径是3cm。( ) 15．把一个圆柱的侧面展开，得到一个正方形，若这个圆柱的底面半径是5cm，则高是31.4cm。( ) 三、选择题 16．用一块长25.12cm宽15.7cm的长方形铁皮，配上直径是（    ）cm的圆形铁皮，可以做成容积最大的圆柱形容器。 A．2.5 B．4 C．5 D．8 17．你听说过木桶效应吗？组成木桶的木板如果长短不齐，那么这个木桶的盛水量不取决于最长的木板，而是取决于最短的木板。如图是一个圆柱形木桶，从里面量得底面半径为2dm，这个木桶如图放置时，最多能盛水（    ）L。 A．50.24 B．37.68 C．62.8 D．75.36 18．用一个高18cm的圆锥形容器装满水，倒入和它等底等高的圆柱形容器中，水的高度是（    ）cm。 A．12 B．9 C．6 D．4 19．一个圆柱形茶叶罐的侧面贴着商标纸，这张商标纸展开后是一个正方形（如图）。要给这个茶叶罐的上底面也做个标签，画圆的时候圆规两脚张开的距离应该是下面的0至（    ）点。 A．E B．F C．G D．H 20．认真观察，不需计算，（    ）的侧面积最大，（    ）的侧面积最小。 （单位：厘米） A．A；C B．B；C C．C；D D．D；A 四、计算题 21．计算（1）的体积和（2）的表面积。 五、作图题 22．请在下边格子图中画出下面圆柱的侧面展开图。并标出对应的数量。 六、解答题 23．工人师傅准备在道路一侧安装栅栏，定制了500个大小相同的圆柱形木块（取π≈3）。 （1）如果给一个圆柱形木块的侧面和顶部刷漆，需要刷漆的面积约是多少平方分米？（得数保留整数） （2）做这些圆柱形木块一共需要多少立方米的木料？ 24．一个装满小麦的粮囤，上面是一个圆锥形，下面是圆柱形。量得圆柱的底面周长是6.28米，高是2米，圆锥的高是0.6米，如果每立方米小麦重750千克，这囤小麦大约有多少千克？ 25．公园的凉亭有6根圆柱形柱子，每根柱子的底面半径是4分米，高20分米，工人打算油漆这些柱子，每平方米用油漆0.3千克，一共需要油漆大约多少千克？（得数保留两位小数） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $