专题09锐角三角函数同步讲义（2）(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年苏科版九年级数学下册

该初中数学锐角三角函数同步讲义以“知识梳理+题型突破”构建体系，通过知识点分块（特殊角值、应用类型、求锐角）呈现脉络，结合推导原理、记忆口诀（如“正弦一二三，余弦三二一”）和增减性规律表格，清晰展现重难点及内在联系。 讲义亮点在于12类题型的分层设计，从“特殊角混合运算”到“三角函数综合应用”，融入计算器操作、三角形形状判断等实例，培养运算能力与推理意识。记忆技巧和易错点提示助力基础学生掌握，综合题提升优秀生思维，为教师精准教学和学生自主复习提供有力支持。

专题09锐角三角函数同步讲义（2） 【7.3特殊角的三角函数】 【题型01 特殊三角形中的三角函数】.......................................3 【题型02 特殊角三角函数值的混合运算】...................................4 【题型03 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】...........................4 【题型04 用计算器求锐角三角函数值】.....................................5 【题型05 由特殊角三角函数值求角的度数】.................................5 【题型06 已知三角函数值.用计算器求锐角度数】............................6 【题型07 已知角度比较三角函数值的大小】.................................7 【题型08 根据三角函数值判断锐角的取值范围】.............................7 【题型09 利用同角三角函数关系求值】.....................................7 【题型10 同角三角函数关系式的推导与证明】...............................8 【题型11 互余两角三角函数的关系】.......................................8 【题型12 三角函数综合】.................................................9 【解答题6题 】.........................................................10 ★知识梳理 知识点01:特殊角的三角函数值（30°、45°、60°） 1.数值推导与记忆 推导原理：基于含 30°、45° 的直角三角形边长比（30° 对边 = 斜边 1/2，45° 为等腰直角三角形），用三角函数定义计算。 2.记忆技巧：口诀辅助 ——“正弦一二三，余弦三二一，切值根号三；正弦增，余弦减，正切随增”。 3.增减性规律 在 090° 范围内，三角函数值随角度变化的规律： (1)正弦 (sinα)：随角度增大而增大 (2)余弦 (cosα)：随角度增大而减小 (3)正切 (tanα)：随角度增大而增大 知识点02:核心应用类型 1. 已知边长求三角函数值 步骤： 1.确定直角三角形，找到目标锐角。 2.明确对边、邻边、斜边。 3.代入定义式计算比值。 2.已知三角函数值求边长 步骤： 1.写出对应三角函数定义式。. 2.代入已知值和已知边长，列方程求解。 3. 特殊角的混合运算 规则： 先代入特殊角的三角函数值，再按四则运算顺序计算。 注意分母有理化和根式化简。 4. 由三角函数值判断三角形形状 若 sinA=cosB 且 ∠A、∠B 为锐角，则 ∠A + ∠B = 90°，三角形为直角三角形。 若 tanA=1，则 ∠A = 45°，若同时为直角三角形，则为等腰直角三角形。 5. 计算器的使用 求三角函数值：输入角度 → 按 sin/cos/tan 键。 已知三角函数值求角度：输入函数值 → 按 2ndF + sin⁻¹/cos⁻¹/tan⁻¹ 键。 知识点03:由三角函数值求锐角 1.核心逻辑 本节核心是由三角函数值反求对应锐角，分两种情况： 特殊值：直接对应 30°、45°、60°（如 sinα= ⇒ α=45°）； 非特殊值：需用科学计算器求解（需调至 DEG 角度模式）。 2.计算器操作步骤（通用） (1)开机并切换至 DEG 模式（确保单位为度）； (2)按函数键（sin/cos/tan）； (3)输入三角函数值； (4)按等号键，显示结果（精确到 0.01° 或按题目要求）。 3.两类常见题型 题型 示例 解题要点 特殊值求角 已知 cosα=，求锐角 α 直接对应 60°，无需计算器 非特殊值求角 已知 sinα=0.35，求锐角 α 用计算器计算，注意模式与精度 4.实际应用场景 结合直角三角形边长比（如已知对边 / 邻边求倾斜角），解决坡度、高度等实际问题。 5.易错点： (1)书写规范：2sin30° 表示 2×sin30°，勿误写为 sin60°； (2)计算器模式：务必确认处于 DEG 模式，避免弧度制错误； (3)取值范围：锐角 α 满足 0°<α<90°，结果需在此范围内。 【题型1.特殊三角形中的三角函数】 【典例】计算：_____． 【跟踪专练1】.计算的值为（   ） A． B． C．3 D． 【跟踪专练2】计算：______． 【跟踪专练3】如图，，为射线上一点，以点为圆心、长为半径作，当射线绕点按顺时针方向旋转（ ）度时与相切． A． B．或 C．或 D． 【题型2.特殊角三角函数值的混合运算】 【典例】______． 【跟踪专练1】已知公式，则的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】式子的值为______________________． 【跟踪专练3】如图，已知的直径经过弦的中点E，连接，且，估计的值应在（     ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【题型3.由特殊角的三角函数值判断三角形形状】 【典例】在中，若，，，都是锐角，则是______三角形． 【跟踪专练1】在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，，以点B为圆心，为半径画弧，交于点E，交于点F，则图中阴影部分的面积为 __． 【跟踪专练3】在中，、都是锐角，且，，则是（     ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【题型4.用计算器求锐角三角函数值】 【典例】用计算器计算的结果约是 （精确到0.0001）． 【跟踪专练1】在中，，，，若用科学计算器求边的长，则下列按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】运用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下： 则计算器显示的结果是________． 【跟踪专练3】如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器按此顺序输入：   ，显示屏显示的结果为将这个数据精确到0.1后，下列说法正确的是（   ）， A．的正切函数值约为 B．正切函数值为的角约是 C．的正切函数值约为 D．正切函数值为的角约是 【题型5.由特殊角三角函数值求角的度数.】 【典例】若，则锐角________． 【跟踪专练1】在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，以点为旋转中心，将点按顺时针方向旋转到点的位置，则的长为_____． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，有一点．P是第一象限内任意一点，其坐标为，连接，，．若，，我们把称为点P的“角坐标”．例如，点P的坐标为，则点P的“角坐标”为． 结论Ⅰ：若点P的“角坐标”为，无论m为何值，一定有； 结论Ⅱ：若点P到y轴的距离为9，则的最小值为150． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【题型6.已知三角函数值.用计算器求锐角度数】 【典例】如图，在等腰三角形中，两腰和底的长分别是和，则三角形的三个内角的度数分别为___________．（精确到） 【跟踪专练1】如图，在中，，在用教材上的科学计算器求的度数时，下列操作正确的是（    ） 【跟踪专练2】在中，，则，则__． 【跟踪专练3】为了方便行人推车过某天桥，市政府在高的天桥一侧修建了长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（   ） A． B． C． D． 【题型7.已知角度比较三角函数值的大小】 【典例】比较大小：___________；___________，（填“>”、“<”或“=”） 【跟踪专练1】三角函数、、之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，，，则由小到大的顺序为______． 【跟踪专练3】、都是锐角，且，则下列各式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【题型8.根据三角函数值判断锐角的取值范围】 【典例】已知，则锐角的取值范围是_______． 【跟踪专练1】若，则的度数在哪个范围（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若是锐角，，则应满足_____． 【跟踪专练3】用计算器求、、、、、、、的值，研究的值随锐角变化的规律，根据这个规律判断：若，则（　　） A． B． C． D． 【题型9.利用同角三角函数关系求值】 【典例】如图，在中，，，垂足为．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有____． 【跟踪专练1】在中，，如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知是锐角，且，那么的值为________． 【跟踪专练3】如图，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．连接BD，CE，将△绕点A旋转一周，在旋转的过程中当最大时，△ACE的面积为（    ）． A．6 B． C．9 D． 【题型10.同角三角函数关系式的推导与证明】 【典例】常听到的“…正弦平方加余弦平方…”，上述话语中所含有的数学语言应正确表达为（    ）（假设有任意角α） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知：，，，请你根据上式写出你发现的规律________． 【跟踪专练2】已知：实常数同时满足下列两个等式：⑴；⑵（其中为任意锐角），则之间的关系式是：___________ 【跟踪专练3】如图，在直角梯形中，，，如果对角线，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【题型11.互余两角三角函数的关系】 【典例】若，则_______． 【跟踪专练1】如图，在中，，过点C作于点D，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算：_______． 【跟踪专练3】设，则用a可表示为（    ） A． B． C． D． 【题型12.三角函数综合】 【典例】如图，工人师傅在检修校园的摄像头时，将梯子斜靠在垂直墙面上，当梯子与水平地面的夹角为时，梯子底端离墙根的垂直距离米，则梯子顶端距地面的垂直高度________米． 【跟踪专练1】如图，六边形是的内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，G是其中一顶点，连结，，交于点P，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点是外一点，分别切于点，连接，过点作交的延长线于点，交于点，连接，过点作于点，交于点H，点为上一点，连接．已知，，若，则______； ______． 【跟踪专练3】如图，有一格点，现要找一点P，使得平分，甲、乙两位同学给出了他们的作法见图1、图2，请判断两人的作法是否正确（   ）    A．甲、乙都对 B．甲、乙都错 C．甲错、乙对 D．甲对、乙错 【解答题】 1．计算：． 2．已知中的与满足． (1)试判断的形状． (2)求的值． 3．（1）在锐角三角形中，，求的度数； （2）如图，在中，．将绕点A顺时针旋转至的位置，使点B落在边上的点E处．求的度数． 4．某小组同学对三角比展开主题研究活动，现在邀请你参加． 【问题提出】 （1）如果锐角的余弦值为，下列关于锐角的取值范围，正确的是______． A．    B．    C．    D． 【问题分析】 （2）余弦值、、的三角比分别是______、_______、____．你发现它们的分布特点是随着角度的______（选填“增大”或“减小”）而减小． 【综合运用】 （3）写出下列角度的正弦值的取值范围． ，． 5．（1）计算的结果为______； （2）在RtABC中，∠C是直角，求证：． （3）根据（2）中的结果，计算：． 6．如图，以为直径的经过点C，连接，．过点O作，交于点E，交于点D，过点D作，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09锐角三角函数同步讲义（2） 【7.3特殊角的三角函数】 【题型01 特殊三角形中的三角函数】.......................................3 【题型02 特殊角三角函数值的混合运算】...................................5 【题型03 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】...........................7 【题型04 用计算器求锐角三角函数值】.....................................9 【题型05 由特殊角三角函数值求角的度数】................................11 【题型06 已知三角函数值.用计算器求锐角度数】...........................13 【题型07 已知角度比较三角函数值的大小】................................16 【题型08 根据三角函数值判断锐角的取值范围】............................17 【题型09 利用同角三角函数关系求值】....................................18 【题型10 同角三角函数关系式的推导与证明】..............................21 【题型11 互余两角三角函数的关系】......................................23 【题型12 三角函数综合】................................................25 【解答题6题 】.........................................................30 ★知识梳理 知识点01:特殊角的三角函数值（30°、45°、60°） 1.数值推导与记忆 推导原理：基于含 30°、45° 的直角三角形边长比（30° 对边 = 斜边 1/2，45° 为等腰直角三角形），用三角函数定义计算。 2.记忆技巧：口诀辅助 ——“正弦一二三，余弦三二一，切值根号三；正弦增，余弦减，正切随增”。 3.增减性规律 在 090° 范围内，三角函数值随角度变化的规律： (1)正弦 (sinα)：随角度增大而增大 (2)余弦 (cosα)：随角度增大而减小 (3)正切 (tanα)：随角度增大而增大 知识点02:核心应用类型 1. 已知边长求三角函数值 步骤： 1.确定直角三角形，找到目标锐角。 2.明确对边、邻边、斜边。 3.代入定义式计算比值。 2.已知三角函数值求边长 步骤： 1.写出对应三角函数定义式。. 2.代入已知值和已知边长，列方程求解。 3. 特殊角的混合运算 规则： 先代入特殊角的三角函数值，再按四则运算顺序计算。 注意分母有理化和根式化简。 4. 由三角函数值判断三角形形状 若 sinA=cosB 且 ∠A、∠B 为锐角，则 ∠A + ∠B = 90°，三角形为直角三角形。 若 tanA=1，则 ∠A = 45°，若同时为直角三角形，则为等腰直角三角形。 5. 计算器的使用 求三角函数值：输入角度 → 按 sin/cos/tan 键。 已知三角函数值求角度：输入函数值 → 按 2ndF + sin⁻¹/cos⁻¹/tan⁻¹ 键。 知识点03:由三角函数值求锐角 1.核心逻辑 本节核心是由三角函数值反求对应锐角，分两种情况： 特殊值：直接对应 30°、45°、60°（如 sinα= ⇒ α=45°）； 非特殊值：需用科学计算器求解（需调至 DEG 角度模式）。 2.计算器操作步骤（通用） (1)开机并切换至 DEG 模式（确保单位为度）； (2)按函数键（sin/cos/tan）； (3)输入三角函数值； (4)按等号键，显示结果（精确到 0.01° 或按题目要求）。 3.两类常见题型 题型 示例 解题要点 特殊值求角 已知 cosα=，求锐角 α 直接对应 60°，无需计算器 非特殊值求角 已知 sinα=0.35，求锐角 α 用计算器计算，注意模式与精度 4.实际应用场景 结合直角三角形边长比（如已知对边 / 邻边求倾斜角），解决坡度、高度等实际问题。 5.易错点： (1)书写规范：2sin30° 表示 2×sin30°，勿误写为 sin60°； (2)计算器模式：务必确认处于 DEG 模式，避免弧度制错误； (3)取值范围：锐角 α 满足 0°<α<90°，结果需在此范围内。 【题型1.特殊三角形中的三角函数】 【典例】计算：_____． 【答案】0 【分析】根据零指数幂运算法则（底数不为0时，任何数的0次幂都等于1）和特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解： 【跟踪专练1】.计算的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查特殊角的正切函数值的计算，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 由特殊角的三角函数值，代入进行乘法运算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】计算：______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了负整指数幂与零指数幂，特殊角的三角函数值等知识，先计算负整指数幂与零指数幂，代入特殊角的三角函数值，最后再进行二次根式的混合运算． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，，为射线上一点，以点为圆心、长为半径作，当射线绕点按顺时针方向旋转（ ）度时与相切． A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是切线的定义、由特殊角的三角函数值求角度，解题关键是熟练掌握切线定义． 分别作、与相切于点、点，结合特殊角的三角函数值求出、的度数即可． 【详解】解：分别作、与相切于点、点， ，， 依题意得：半径为， ， 即， ， ， ，， 即当射线绕点按顺时针方向旋转或时与相切． 故选：C． 【题型2.特殊角三角函数值的混合运算】 【典例】______． 【答案】/ 【分析】先确定特殊角的三角函数值，再根据实数运算法则计算结果即可． 【详解】解；∵， ∴原式 ． 【跟踪专练1】已知公式，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，将分解为和之和，再代入公式计算即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：A． 【跟踪专练2】式子的值为______________________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的混合运算、二次根式的混合运算等知识点，掌握常见角的特殊角的三角函数值成为解题的关键．先利用特殊角的三角函数值化简，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：2． 【跟踪专练3】如图，已知的直径经过弦的中点E，连接，且，估计的值应在（     ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，圆周角定理，无理数的估算．首先证明是等边三角形，由三线合一的性质求得，再根据圆周角定理求得，，代入特殊角的三角函数值，运用无理数的估算，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点E是弦的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【题型3.由特殊角的三角函数值判断三角形形状】 【典例】在中，若，，，都是锐角，则是______三角形． 【答案】等边 【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出，，进而得出答案． 【详解】解：在中， ，， 且，都是锐角， ，， 是等边三角形． 故答案为：等边． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记住特殊角的三角函数是解题关键． 【跟踪专练1】在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案． 本题考查了特殊角三角函数值，直角三角形的判定，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． ∴一定是等腰直角三角形， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，，以点B为圆心，为半径画弧，交于点E，交于点F，则图中阴影部分的面积为 __． 【答案】/ 【分析】连接，过E作于H，解直角三角形得到，求得是等边三角形，得到，推出，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接，过E作于交于点H， 在矩形中，，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形面积的计算，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握割补法解决问题． 【跟踪专练3】在中，、都是锐角，且，，则是（     ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】根据特殊角的三角函数值求出，然后利用三角形内角和定理求出的度数，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【题型4.用计算器求锐角三角函数值】 【典例】用计算器计算的结果约是 （精确到0.0001）． 【答案】0.8857 【分析】根据计算器的使用方法进行输入即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 故． 故答案为：. 【点睛】本题考查了用计算器求三角函数的方法，熟练掌握计算器的使用方法是解题的关键． 【跟踪专练1】在中，，，，若用科学计算器求边的长，则下列按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查计算器求锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键； 【详解】解：在中，， ∴，即 故选：B. 【跟踪专练2】运用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下： 则计算器显示的结果是________． 【答案】7； 【分析】根据计算器的按键顺序，写出计算的式子，然后求值． 【详解】根据题意可知计算式子为： 【点睛】掌握计算器的各个按键所表示的意义是解决本题的关键． 【跟踪专练3】如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器按此顺序输入：   ，显示屏显示的结果为将这个数据精确到0.1后，下列说法正确的是（   ）， A．的正切函数值约为 B．正切函数值为的角约是 C．的正切函数值约为 D．正切函数值为的角约是 【答案】D 【分析】本题主要考查计算器中的三角函数，熟练掌握计算器的使用方法是解题的关键．根据计算器的使用方法即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，该计算结果为正切函数值为的角约是， 故选D． 【题型5.由特殊角三角函数值求角的度数.】 【典例】若，则锐角________． 【答案】 60 【分析】本题考查特殊角的三角函数，直接利用特殊角的三角函数值求出答案即可． 【详解】解：∵，且A是锐角， ∴． 故答案为：60． 【跟踪专练1】在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知三角函数值求出和的度数，再利用三角形内角和定理计算的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，以点为旋转中心，将点按顺时针方向旋转到点的位置，则的长为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了弧长公式，图形与坐标，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 过点作交x轴于点，根据点可求出的度数，代入弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，过点作交x轴于点． ， ，， ， ∴， ， 的长度为：． 故填：． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，有一点．P是第一象限内任意一点，其坐标为，连接，，．若，，我们把称为点P的“角坐标”．例如，点P的坐标为，则点P的“角坐标”为． 结论Ⅰ：若点P的“角坐标”为，无论m为何值，一定有； 结论Ⅱ：若点P到y轴的距离为9，则的最小值为150． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系，一次函数、圆周角定理、解直角三角形，解题的关键是掌握当以为圆心，为半径画圆，当圆与的直线交于点时，取到最小值． 【详解】解：结论Ⅰ：若点P的“角坐标”为， 则点P在上，满足， 即；无论m为何值，一定有；故Ⅰ对； 结论Ⅱ：若点P到y轴的距离为9，则点在这条直线上并且在第一象限内，以为圆心，为半径画圆， 要使得取到最小值，则需要使得取到最大值， 由图可知，当圆与的直线交于点时，随着点再继续向上移动，逐渐减小， 当点再继续向下逐渐靠近轴，增大的速度，大于减小的速度，逐渐接近， 故当圆与的直线交于点时，取到最小值， ，即， ，故， ， 取到最小值为，故Ⅱ对， 故选：A． 【题型6.已知三角函数值.用计算器求锐角度数】 【典例】如图，在等腰三角形中，两腰和底的长分别是和，则三角形的三个内角的度数分别为___________．（精确到） 【答案】，， 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，用科学计算器计算三角函数值的角度，角度换算，熟练掌握用科学计算器计算三角函数值的角度是解题关键． 过点作于点，根据等腰三角形的性质“三线合一”可得、，在中，利用结合计算器，求得，通过、即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 根据题意，得：，，， ，， 在中，， ， ，． 故答案为：，，． 【跟踪专练1】如图，在中，，在用教材上的科学计算器求的度数时，下列操作正确的是（    ） 【答案】B 【分析】本题主要考查了正弦的定义，用计算器求一个角的度数，解题的关键是熟练掌握正弦定义；根据，，，得出，然后用计算器上反正弦按键计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴用科学计算器上反正弦按键求的度数时，按键顺序为． 故选：B． 【跟踪专练2】在中，，则，则__． 【答案】． 【分析】根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系及勾股定理，可求出各边的长，代入三角函数进行求解． 【详解】在中，因为，， 设，， ， ， 故答案为 【点睛】本题考查锐角三角函数和勾股定理解直角三角形，解直角三角形，解题关键在于由直角三角形已知元素求未知元素的过程． 【跟踪专练3】为了方便行人推车过某天桥，市政府在高的天桥一侧修建了长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用计算器求出角度的度数，根据题意可得，据此即可求解，掌握正弦的定义是解题的关键． 【详解】解：由图可得，， ∴按键顺序是， 故选：． 【题型7.已知角度比较三角函数值的大小】 【典例】比较大小：___________；___________，（填“>”、“<”或“=”） 【答案】 < = 【分析】本题考查了锐角三角函数；余弦函数与正弦函数有互余关系：，正切函数在到之间，角的正切值随着角度的增大而增大，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，正切函数在到之间，角的正切值随着角度的增大而增大， ∵， 因此； 依题意，， 故答案为：<，= 【跟踪专练1】三角函数、、之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的特点．根据三角函数之间的关系，得出，再根据余弦值随着角度的增大而减小进行判断即可． 【详解】解：∵， 又，余弦值随着角度的增大而减小， ∴，故C正确． 故选：C． 【跟踪专练2】若，，，则由小到大的顺序为______． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的应用，熟练掌握锐角三角函数的性质及特殊的锐角三角函数值是解题关键．根据锐角三角函数的性质及正弦值与余弦值的关系解答即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】、都是锐角，且，则下列各式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据锐角三角函数的增减性先判断解答．、大小，再进而判定其他类型三角函数值大小即可． 【详解】解：∵   、都是锐角，且， ∴   ， ∴   ，，． 故选： 【点睛】本题考查了三角函数的增减性，熟知各类三角函数的增减性是解题关键． 【题型8.根据三角函数值判断锐角的取值范围】 【典例】已知，则锐角的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据锐角三角函数的增减性即可求解．熟练掌握特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：由， ∴， ∵当时，随着的增大而减小， ∴， 故答案为： 【跟踪专练1】若，则的度数在哪个范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正弦函数的性质，由，随着的增大而增大，即可求解． 【详解】解：在，随着的增大而增大，，， ， ， 故选：B． 【跟踪专练2】若是锐角，，则应满足_____． 【答案】 【分析】首先明确，再根据余弦函数随角增大而减小即可得出答案． 【详解】解：∵，余弦函数随角增大而减小， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键． 【跟踪专练3】用计算器求、、、、、、、的值，研究的值随锐角变化的规律，根据这个规律判断：若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数值的变化规律，解题的关键是掌握正弦函数值在锐角内随角度增大而增大的性质． 先找出特殊角的正弦值，再根据正弦函数值的变化规律确定的取值范围． 【详解】解：在锐角范围内，正弦函数值随着角度的增大而增大，． ∵， ∴， 则的取值范围是． 故选∶A． 【题型9.利用同角三角函数关系求值】 【典例】如图，在中，，，垂足为．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有____． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系． 根据，，可得，，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断． 【详解】解：，， ，，， ，， ，故①正确； ，故②正确； 在中，， ，故③正确； ，， ，故④正确； 故答案为①②③④． 【跟踪专练1】在中，，如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数，利用正弦的定义，设，，则，再根据余弦的定义解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 设，， 则， ∴， 故选：． 【跟踪专练2】已知是锐角，且，那么的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了同角三角函数的基本关系．利用同角三角函数的基本关系，由设 ，，再根据求出的值，最后计算 【详解】解：依题意，， 则， ∵，且为锐角， ∴设，，其中 ∵， ∴， 即， ∴， ∴ ， 解得 因此，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．连接BD，CE，将△绕点A旋转一周，在旋转的过程中当最大时，△ACE的面积为（    ）． A．6 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】先分析出D的轨迹为以A为圆心AD的长为半径的圆，当BD与该圆相切时，∠DBA最大，过C作CF⊥AE于F，由勾股定理及三角函数计算出BD、CF的长，代入面积公式求解即可． 【详解】解：由题意知，D点轨迹为以A为圆心AD的长为半径的圆， 当BD与D点的轨迹圆相切时，∠DBA取最大值，此时∠BDA=90°，如图所示， 过C作CF⊥AE于F， ∵∠DAE=90°，∠BAC=90°， ∴∠CAF=∠BAD， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=， ∴由sin∠CAF=sin∠BAD得： ， 即， 解得：CF=， ∴此时三角形ACE的面积==6， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识点．此题综合性较强，解题关键是利用D的轨迹圆确定出∠DBA取最大值时的位置． 【题型10.同角三角函数关系式的推导与证明】 【典例】常听到的“…正弦平方加余弦平方…”，上述话语中所含有的数学语言应正确表达为（    ）（假设有任意角α） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意即可写出式子． 【详解】解：“正弦平方加余弦平方”的数学语言为：， 故选：D． 【点睛】本题考查同角三角函数关系，明确题意，用数学语言正确表达是解题的关键． 【跟踪专练1】已知：，，，请你根据上式写出你发现的规律________． 【答案】 【分析】从角度的倍数关系方面考虑并总结写出结论． 【详解】根据题意发现：同一个角正弦与余弦的积等于这个角的2倍的正弦的一半， 规律为：. 故答案为. 【点睛】本题考点：同角三角函数的关系. 【跟踪专练2】已知：实常数同时满足下列两个等式：⑴；⑵（其中为任意锐角），则之间的关系式是：___________ 【答案】a2+b2=c2+d2 【分析】把两个式子移项后，两边平方，再相加，利用sin2θ+cos2θ=1，即可找到这四个数的关系． 【详解】由①得asinθ+bcosθ=c， 两边平方，a2sin2θ+b2cos2θ+2absinθcosθ=c2③， 由②得acosθ-bsinθ=-d， 两边平方，a2cos2θ+b2sin2θ-2absinθcosθ=d2④， ③+④得a2（sin2θ+cos2θ）+b2（sin2θ+cos2θ）=c2+d2， ∴a2+b2=c2+d2． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式的应用，sin2θ+bcos2θ=1的应用是解题的关键，属于基础题． 【跟踪专练3】如图，在直角梯形中，，，如果对角线，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角函数的比值关系，平行线的性质，熟悉掌握角三角函数的比值关系是解题的关键． 利用角的等量代换和三角函数的比值关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【题型11.互余两角三角函数的关系】 【典例】若，则_______． 【答案】 【分析】本题考查三角函数之间的关系，利用三角函数的互余关系，将 转化为 即可求解. 【详解】解：∵ ， ∴. 故答案为：. 【跟踪专练1】如图，在中，，过点C作于点D，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角函数的定义，注意直角三角形中斜边上画出高，图中会有相等的角，若，则． 利用三角函数的定义结合图形，注意题目中相等的角在不同三角形中三角函数的表示不同． 【详解】解：∵在中，，， ∴， A．，故A选项错误，符合题意； B．因为，所以，故B选项正确，不符合题意； C．，故C选项正确，不符合题意； D．因为，所以，故D选项正确，不符合题意；     故选：A． 【跟踪专练2】计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查“互余的两个角的正切值互为倒数”这一知识点，解题关键是熟练掌握此性质. 根据互余的两个角的正切值互为倒数可知：、，应用此性质，并将代入，进行计算. 【详解】原式． 【跟踪专练3】设，则用a可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正切函数的性质，熟练掌握两个互余角的正切值乘积为1是解题的关键．对于锐角，有，由题意即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故选B． 【题型12.三角函数综合】 【典例】如图，工人师傅在检修校园的摄像头时，将梯子斜靠在垂直墙面上，当梯子与水平地面的夹角为时，梯子底端离墙根的垂直距离米，则梯子顶端距地面的垂直高度________米． 【答案】 【分析】本题考查了特殊的锐角三角函数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 本题通过题干可得，，，然后根据，然后即可求解． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，六边形是的内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，G是其中一顶点，连结，，交于点P，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正六边形外接圆的圆心为O，连接，于是得到，由题意得，，，过A作于H，推出是等腰直角三角形，得到，求得，根据弧长的计算公公式即可得到结论． 本题考查了正多边形和圆，正六边形和正十二边形的性质，解直角三角形，弧长的计算，正确的理解题意是解题的关键． 【详解】解：设正六边形外接圆的圆心为O， 连接，,则，， 故，是等边三角形， 由题意得，，，， 过A作于H， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的长， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，点是外一点，分别切于点，连接，过点作交的延长线于点，交于点，连接，过点作于点，交于点H，点为上一点，连接．已知，，若，则______； ______． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了圆的切线性质、垂径定理、三角函数、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等，熟悉各种性质与定理是解题的关键． 首先利用切线性质得到一些角的关系，再根据已知的角度关系和三角函数值求出相关线段的长度，进而求出所求线段的长度． 【详解】解：连接，连接交于点，连接， ∵分别是的切线， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴ （垂径定理）‌， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴在中，， ∴，， ∴在中，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，，， 又∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴． 故答案是：2，． 【跟踪专练3】如图，有一格点，现要找一点P，使得平分，甲、乙两位同学给出了他们的作法见图1、图2，请判断两人的作法是否正确（   ）    A．甲、乙都对 B．甲、乙都错 C．甲错、乙对 D．甲对、乙错 【答案】A 【分析】对于甲同学的作法，先证明进而得到，然后利用平行线内错角相等即可得出结论；对于乙同学的作法，先证明，然后通过构造，即可得出结论． 【详解】解：设每个单元格的边长为， 根据甲同学的作法，． 在中， ． ． ． ， ． ，故甲同学的作法是对的； 对于乙同学的作法，如图， ， ， ， ， ． ． 连接，对于和， ， ． ． 乙同学的作法也是对的． 【点睛】本题以格点为背景，甲借助等腰三角形和平行线转化角，乙通过三角函数与全等构造角平分线，两种方法均体现了数形结合与构造思想，验证了格点中角平分线作图的可行性． 【解答题】 1．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 2．已知中的与满足． (1)试判断的形状． (2)求的值． 【答案】(1)是锐角三角形． (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出及的度数，进而可得出结论； （2）根据（1）中及的值求出的度数，再把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， 是锐角三角形． （2）， 原式． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 3．（1）在锐角三角形中，，求的度数； （2）如图，在中，．将绕点A顺时针旋转至的位置，使点B落在边上的点E处．求的度数． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了三角形的三角函数，旋转的性质及等腰三角形的特点， （1）利用已知条件求得，，即可得； （2）是由旋转得到的，所以，再根据，可得． 【详解】解：（1）， ， ． （2）是由旋转得到的， ． ， ， ． 4．某小组同学对三角比展开主题研究活动，现在邀请你参加． 【问题提出】 （1）如果锐角的余弦值为，下列关于锐角的取值范围，正确的是______． A．    B．    C．    D． 【问题分析】 （2）余弦值、、的三角比分别是______、_______、____．你发现它们的分布特点是随着角度的______（选填“增大”或“减小”）而减小． 【综合运用】 （3）写出下列角度的正弦值的取值范围． ，． 【答案】（1）C；（2），，，增大；（3）， 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数中的正、余弦函数的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）根据特殊角的余弦值，即可判断锐角的取值范围； （2）熟记特殊角（、、）的余弦值即可得出它们的三角比，通过观察即可得出它们的分布特点； （3）根据特殊角的正弦值和锐角正弦函数的增减性即可求解． 【详解】解：（1），，，, 又且为锐角， ； 故选C． （2）由，，可得，它们的三角比分别为 ，，；通过观察可知，它们的三角比会随角度的增大而减小； 故答案为：，，，增大； （3）由锐角正弦函数的增减性可知，锐角的正弦值会随角度的增大而增大 ，， 又，，， ，． 5．（1）计算的结果为______； （2）在RtABC中，∠C是直角，求证：． （3）根据（2）中的结果，计算：． 【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． （1）代入特殊角的三角函数值计算，即可得答案； （2）根据正切的定义即可得结论； （3）根据相关角的三角函数之间的关系，代入特殊角的三角函数值，再化简绝对值，计算即可得答案． 【详解】解：（1）． 故答案为： （2）∵在中，是直角， ∴，， ∴． （3） ． 6．如图，以为直径的经过点C，连接，．过点O作，交于点E，交于点D，过点D作，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明即可得证； （2）过点D作于点G，根据勾股定理，三角函数的应用，结合的面积为：求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线． （2）解：过点D作于点G， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴的面积为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $