精品解析：新疆乌鲁木齐市第六十八中学2025-2026学年第一学期期末检测高二数学试卷

乌市68中2025-2026学年度第一学期期末检测高二年级数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列，，，，…的第项为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列 的前项和为，且，则等于（ ） A. 14 B. 17 C. 23 D. 26 3. 在等比数列中，若是方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 4. 若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆与圆交于、两点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的图象如图所示，不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间单调递增，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 8. 学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有甲、乙两种菜可供选择.调查资料表明，凡是在这星期一选甲种菜的，下星期一会有改选乙种菜；而选乙种菜的，下星期一会有改选甲种菜.用，分别表示在第个星期一选甲的人数和选乙的人数，如果，则（ ） A. 200 B. 300 C. 380 D. 400 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列的前项和，则（ ） A. B. 是递增数列 C. 不等式的解集为有限集 D. 当且仅当时，有最大值 11. 已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，A是双曲线C左支上一点，B为的中点，若，O为坐标原点，则（ ） A. 双曲线C的离心率为 B. C. D. 点A到x轴的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 直线与直线之间的距离为__________. 13. 已知等比数列{an}的前n项和，则a＝________． 14. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知抛物线：（）经过点. （1）求抛物线的焦点的坐标； （2）设直线经过点，且斜率为，若与有2个交点，求实数的取值范围. 16. 在数列中，，． （1）证明是等差数列，并求的通项公式； （2）求． 17. 已知函数 ，其中为常数，且. （1）当时， 求曲线在点处的切线的斜率； （2）求函数的单调区间； （3）若函数在上单调递减，请直接写出a的取值范围. 18. 已知数列的前n项和满足，且． （1）证明：数列为等差数列，并求其通项公式； （2）设，为数列|的前n项和，求使成立的最小正整数n的值． 19. 已知椭圆（）的离心率为，过椭圆C上一点作两条互相垂直的直线，与椭圆分别交于异于点的两点. （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线必过定点，并求出该定点坐标； （3）过点作，点为垂足，判断点是否在某个定圆上，并说明理由；若存在，求出该圆方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌市68中2025-2026学年度第一学期期末检测高二年级数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列，，，，…的第项为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过观察数列的分母和分子的规律，即可求得数列第项的值. 【详解】首先分析数列的分母规律：给出的前项分母依次为，，，，可见第项的分母为.因此，第项的分母为. 再分析数列的分子规律：给出的前项分母依次为，，，，相邻两项的差均为，构成首项为，公差为的等差数列，其通项公式为.因此，第项的分子为. 综上所述，数列的第项为. 故选：C 2. 已知等差数列 的前项和为，且，则等于（ ） A. 14 B. 17 C. 23 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件求出等差数列的通项公式，分别求出求得，或根据等差数列的前项公式求得. 【详解】设等差数列 的公差为，则由题可知，解得. 所以. 所以. 方法二：. 故选：B. 3. 在等比数列中，若是方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据韦达定理以及等比数列的性质即可求解. 【详解】由于是方程的两个根，故，， 因此，从而， 又是等比数列，故，， 故选：B 4. 若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件求出值，进而求出其渐近线方程. 【详解】由双曲线的虚轴长为，得， 因为该双曲线的渐近线方程为， 所以该双曲线的渐近线方程为. 故选：A 5. 已知圆与圆交于、两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再利用垂径定理及勾股定理计算可得. 【详解】圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，，则两圆相交，其公共弦所在方程为， 点到的距离， 所以. 故选：A 6. 已知函数的图象如图所示，不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据 的正负分情况讨论，再结合函数图象判断 的正负，进而求解不等式. 【详解】1. 当 时，此时不等式 等价于 . 从函数图象可知，当，函数单调递增时.观察图象， 在 上单调递增，即此时当 时，满足题意. 2. 当 时，此时不等式 等价于 . 由函数单调性与导数的关系，当，函数单调递减时.观察图象， 在 上单调递减，即此时当 时，，满足题意. 综上，不等式 的解集是 ， 故选：B. 7. 若函数在区间单调递增，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转化为在区间恒成立，分离参数后结合对勾函数的单调性可得. 【详解】， 因为函数在区间单调递增， 所以在区间恒成立，即在区间恒成立， 即在区间恒成立， 由对勾函数的单调性可得故. 故选：D. 8. 学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有甲、乙两种菜可供选择.调查资料表明，凡是在这星期一选甲种菜的，下星期一会有改选乙种菜；而选乙种菜的，下星期一会有改选甲种菜.用，分别表示在第个星期一选甲的人数和选乙的人数，如果，则（ ） A. 200 B. 300 C. 380 D. 400 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得数列递推公式为，，两式联立消去，得到的递推公式，由可求得，从而可知的值 【详解】解：由题意可得， 消去，得， 由，得，从而可得， 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导数的运算法则计算并判断即可. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确， 故选：BD. 10. 已知数列的前项和，则（ ） A. B. 是递增数列 C. 不等式的解集为有限集 D. 当且仅当时，有最大值 【答案】AC 【解析】 【分析】由前项和求，判断选项A，分析数列的单调性，判断选项B，解不等式确定正项项数判断选项C，根据数列项的符号确定前项和的最值判断选项D. 【详解】已知数列的前项和， ，，选项A正确； ，， ，，，选项B错误； ，则，解得， 不等式的解集为，为有限集，选项C正确； 由，，， 所以当或时，有最大值，选项D错误. 11. 已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，A是双曲线C左支上一点，B为的中点，若，O为坐标原点，则（ ） A. 双曲线C的离心率为 B. C. D. 点A到x轴的距离为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件确定的形状，再结合双曲线的定义逐项求解判断. 【详解】双曲线C：的焦点，， 由，即，得是直角三角形，， 对于A，双曲线C的离心率为，A错误； 对于B，由B为的中点，是中点，得，B正确； 对于C，由，得，C正确； 对于D，设点A到x轴的距离为，由，得，D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 直线与直线之间的距离为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先将方程变形，再根据平行直线间的距离公式求解出结果. 【详解】因为， 所以平行线间的距离为， 故答案为：. 13. 已知等比数列{an}的前n项和，则a＝________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用与的关系结合等比数列的通项公式求解即可. 【详解】当时，， 当时，， 因为数列{an}为等比数列，所以，解得： 14. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据分段数列的表达式，先写出前几项得出规律，得出数列是周期数列从而得解. 【详解】由题意可得，， 所以数列是以3为周期的数列，又，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知抛物线：（）经过点. （1）求抛物线的焦点的坐标； （2）设直线经过点，且斜率为，若与有2个交点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线方程计算求出即可求解； （2）设直线的方程为点斜式，联立直线和抛物线，消去，整理得到关于的一元二次方程，利用计算得解. 【小问1详解】 抛物线：（）经过点， ，，， 抛物线的焦点的坐标为； 【小问2详解】 设直线经过点，且斜率为，设直线的方程为， 联立，消去整理得到， 与有2个交点，，或. 实数的取值范围为或. 16. 在数列中，，． （1）证明是等差数列，并求的通项公式； （2）求． 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推式，结合等差数列的定义，证明是等差数列，进而求出； （2）设，利用错位相减法求出. 【小问1详解】 由，得． 所以是首项为1，公差为1的等差数列，则， 所以． 【小问2详解】 记， 则. 两式作差可得，， 所以． 17. 已知函数 ，其中为常数，且. （1）当时， 求曲线在点处的切线的斜率； （2）求函数的单调区间； （3）若函数在上单调递减，请直接写出a的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，然后根据导数的几何意义求解切线方程，即可求解斜率； （2）求出导函数，按照和分类讨论，解导数不等式即可求解单调区间； （3）根据（2）的单调减区间，利用区间关系列不等式求解即可得解. 【小问1详解】 当 时，函数，令得，即切点坐标为 ， 又 则 即切线斜率 ， 故切线方程为 ，即， 则曲线在点处的切线的斜率为2. 【小问2详解】 函数的定义域为 ，， ①当 时， 恒成立，故函数的单调增区间为 ； ②当 时， 令 解得 ， ，随x的变化情况如下表: x 0 单调递增 y极大值 单调递减 所以函数的单调增区间为，单调减区间为 综上所述，当 时，函数的单调增区间为 ； 当 时，函数的单调增区间为 ，单调减区间为 【小问3详解】 因为函数在上单调递减，所以由（2）可知且， 解得 ，所以. 18. 已知数列的前n项和满足，且． （1）证明：数列为等差数列，并求其通项公式； （2）设，为数列|的前n项和，求使成立的最小正整数n的值． 【答案】（1）证明见解析，；（2）8. 【解析】 【分析】 （1）分析得到，即证数列为等差数列，再求其通项公式； （2）化简得，再利用裂项相消法求和得到，解不等式即得解. 【详解】（1）由①可得， 当时，②， ①﹣②得，， 所以当时，， 所以， 整理得，所以为等差数列． 又，所以， 又，所以， 所以． （2）由（1）可得， ， 所以 ． 要使，只需， 解得，又，所以n的最小值为8． 【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法.要根据数列的通项特征灵活熟练选择求和方法. 19. 已知椭圆（）的离心率为，过椭圆C上一点作两条互相垂直的直线，与椭圆分别交于异于点的两点. （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线必过定点，并求出该定点坐标； （3）过点作，点为垂足，判断点是否在某个定圆上，并说明理由；若存在，求出该圆方程. 【答案】（1） （2） 如图，设点，， ，，即，① 当直线的斜率存在时，设方程为， 代入椭圆方程消去并整理得： 由韦达定理得，，② 根据，，代入①整理可得： 将②代入， 整理化简得， 不在直线上，，， 于是的方程为，所以直线过定点. 当直线的斜率不存在时，可得， 代入 得，结合，解得或（舍去）， 此时直线过点. （3） 点在定圆上，.理由如下： 因为于点，且定点在直线上，所以. 又点为两个定点，线段长度为定值. 故点在以线段为直径的圆上. 由中点坐标公式得圆心坐标为，由两点间距离公式得半径为， 故圆的方程为. 【解析】 【分析】（1）结合题意建立方程组求出基本量，进而得到椭圆方程即可. （2）对的斜率是否存在进行分类讨论，再结合直线与椭圆相交的相关性质得到方程，进而求解定点即可. （3）结合题意先确定在定圆上，再求出圆心和半径，进而得到圆的方程即可. 【小问1详解】 由题意可得， 又，解得，. 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $