精品解析：福建厦门第六中学2025-2026学年高三下学期数学周考03

厦门六中2025-2026学年高三下数学周考03 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：宋丹依 一、单选题 1. 复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ） A. B. 1 C. i D. 【答案】B 【解析】 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，即可得到其虚部． 【详解】解：由可得：， 得， ， 则的共轭复数的虚部为， 故选：B． 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式得到集合A，利用补集概念求出答案. 【详解】解不等式，得或，所以， 所以. 故选：B 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. ， 因为，所以， 因为，所以，所以. 4. 在平行六面体中，，，，是的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 ， ，，， , ． 5. 袋中有9个除了颜色外完全相同的小球，其中有3个白球，2个红球，4个黄球.从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都取到时停止，记停止时取出的球的个数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先对前4次取球的颜色分类，再根据排列数和组合数公式列式，最后根据古典概型概率公式，即可求解. 【详解】前4次只取到红球和黄球（两种颜色都有），第5次取到白球，； 前4次只取到白球和黄球（两种颜色都有），第5次取到红球，； 前4次只取到白球和红球（两种颜色都有），第5次取到黄球，. 所以. 故选：C. 6. 已知中，，点O为的内心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意是直角三角形，建立平面直角坐标系利用向量的坐标运算即可得出结论. 【详解】根据题意可知，所以是以为直角的直角三角形； 以为坐标原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，如下图所示： 可得，因此 不妨设的内切圆半径为，易知，解得； 即可得； 所以； 设，可得，解得； 所以. 故选：B 7. 若方程的三个根（）成等比数列，则公比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分离参数后构造函数，将问题转化为图象的交点问题，解方程组消参可求得公比. 【详解】由得，所以. 令，则. 方程的根等价于直线与图象的交点的横坐标. 因为函数的导数为， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，且为正. 又当时，；当时，. 作出的图象，如下图. （*）， 因成等比数列，可设， 所以，， 代入（*）式得， 由得，即， 所以，解得， 代入，可得， 整理得，解得或（舍）． 故选：B． 8. 如图，画在纸面上的抛物线过焦点的弦长为9，则沿轴将纸面折成平面角为的二面角后，空间中线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】联立直线与抛物线方程得到韦达定理，结合焦半径公式可得，进而根据线面垂直，以及二面角的定义得，根据锐角三角函数计算长度，可得，利用两点距离公式即可求解. 【详解】因为，设直线为，， 联立与可得， 则，则， 故，解得， 故，解得， 故， 如图，以O为坐标原点，所在直线为x轴，在平面内作的垂线为y轴，过点O作平面的垂线为z轴，建立空间直角坐标系， 过作平面于，过作于，连接， 由于轴，且轴，，平面，故轴平面， 平面，故轴，则 由于在直角坐标系中， 故， 因此在直角三角形中，， 因此在空间直角坐标系中，， 故， 故选：B 二、多选题 9. 设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用条件概率，和事件的概率公式求解. 【详解】选项A，，， ， ， ，，故选项A正确； 选项B，，故选项B错误； 选项C，，故选项C正确； 选项D，，，，， ，故选项D错误. 故选：AC. 10. （多选）在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用“不动点”的定义，逐项判断. 【详解】选项A，若，则，该方程无解，故该函数不是“不动点”函数； 选项B，若，则，解得或，故该函数是“不动点”函数； 选项C，若，则，得，且，解得，该函数是“不动点”函数； 选项D，若，则，即， 在同一坐标系中，作出与的函数图象，如图， 由图可知，方程有实数根，即存在，使，故该函数是“不动点”函数． 故选：BCD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为底面内一动点（含边界），则下列说法正确的命题有（ ） A. 若平面，则动点F的轨迹长度为 B. 不存在动点F，使平面 C. 若平面，则三棱锥体积的最大值为2 D. 若正方体的外接球为球O，则球O被平面所截截面圆的面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：根据面面平行可得动点F的轨迹，即可得轨迹长度；对于B：建系并标点，求平面的法向量，利用向量求点F的坐标，即可判断；对于C：分析可知当F与D重合时三棱锥的体积最大，利用空间向量求相关距离，即可得体积；对于D：可知球心为，半径，求O到平面的距离，进而可得截面圆半径. 【详解】对于选项A：如图，取的中点M，的中点， 连接，，，可得，， 且平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 且，平面，可得平面平面， 所以动点的轨迹为线段，其长度为，故A正确； 对于选项B：以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 若平面，则， 可得，解得，不合题意， 所以不存在动点F，使平面，故B正确； 对于选项C：因为点到直线的距离为， 则的面积为， 显然当F与D重合时三棱锥的体积最大，则， 点F到平面的距离为， 所以三棱锥体积的最大值为，故C正确， 对于选项D：因为正方体外接球的球心为，半径， 则，则O到平面的距离为， 故球O被平面所截截面圆半径， 所以截面圆面积为，故D错误； 故选：ABC． 三、填空题 12. 的展开式中，的系数为30，则a的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据二项式通项公式结合条件即得. 【详解】由题可得展开式通项公式为， 令，解得，则有，其系数， 所以． 故答案为：6. 13. 已知圆柱的底面半径为，用与圆柱底面成角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为__________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】作出图像，利用椭圆的定义与直角三角形的三角函数分别求出和，再利用求出，即可求出椭圆的离心率. 【详解】如图所示，以所在直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系， 设椭圆方程为：，则 ∵圆柱的底面半径为4，∴椭圆的短轴，得， 又∵椭圆所在平面与圆柱底面所成角为， ,得， ，即 c=， ∴椭圆的离心率为：. 故答案为：. 14. 已知数列满足，则其前8项和为________. 【答案】36 【解析】 【分析】前8项和为，分别将代入条件求解即可. 【详解】由，可得，，，， ，，， 所以，，，， 所以的前8项和为. 四、解答题 15. 已知锐角三角形ABC所对的边分别为a、b、c，． （1）求A； （2）若，H为的垂心，求的面积S的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简等式，然后三角形三个内角和的关系及正弦的和差角公式化简等式，即可求得； （2）由垂心的性质得，设，，在中由余弦定理得到等式，由基本不等式求得的最大值，然后由三角形面积公式求得面积的最大值. 【小问1详解】 由得， 又 故，又，故 又，故， 【小问2详解】 由垂心的性质得：， 设，，在中，， 即， ∴（当且仅当时等号成立） ∴ 16. 在四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面底面，，是边长为的等边三角形，是的中点，为上一点. （1）若与交于点，满足平面，求的长； （2）设，若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据线面平行性质可知，根据平行线分线段成比例可知；由面面垂直性质可知平面，根据长度关系和勾股定理可求得结果； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据二面角向量求法可构造方程求得的值. 【小问1详解】 若平面， 平面平面，平面，， ，，，，； 作，垂足为，连接， 平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，； 是边长为的等边三角形，为中点，，， ，， . 【小问2详解】 分别为中点，，又，， 两两互相垂直， 以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，又， ，， 设平面的法向量， 则，令，则，，； 轴平面，平面的一个法向量， ， 解得：或. 17. 某校为丰富学生的课外活动特举办了一次篮球投篮比赛活动，现已知刘翔同学每次投篮投中的概率为，投不中的概率为.为激励学生运动的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分.刘翔同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分. （1）若投篮2次，最终得分为X，求随机变量X的分布列和期望； （2）设最终得分为n的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式. 【答案】（1） 2 3 4 （2）由题意可知：，，且， 因为，且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 所以， 当时，则， 累加可得， 则，且时，符合上式， 所以. 【解析】 【分析】（1）由题意可知：最终得分的可能取值为2，3，4，结合二项分布求分布列和期望； （2）根据独立事件概率乘法公式可得，，且，根据等比数列的定义结合累加法求通项公式. 【小问1详解】 由题意可知：最终得分X的可能取值为2，3，4， 则，，， 可得随机变量X的分布列为 2 3 4 期望为. 【小问2详解】 略 18. 已知函数． （1）若恒成立，求a的取值集合； （2）当时，证明：当时，恒成立． 【答案】（1） （2） ，且时，则故. 要证明即证， 而， 令，下证即可． ，再令，则， 由于函数在上递增，故在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，得证． 【解析】 【分析】（1）对的正负进行讨论，利用导数求解函数的单调性，求解的最小值，进而构造函数，由导数即可求解， （2）原不等式即为，利用放缩法将问题转化为，构造函数，由导数求解函数的单调性后可证即可. 【小问1详解】 的定义域为． ①若，因为，所以不满足题意； ②若，由知，当时，； 当时，，所以在单调递减，在单调递增， 故在时取得最小值，所以， 令，则 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 又，故，当且仅当时取到等号， 所以的解为，故． 【小问2详解】 略 19. 已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为，且点在双曲线上． （1）求双曲线的方程； （2）斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（异于点）． ①求直线、的斜率之和； ②若的外接圆圆心为，试问在轴上是否存在定点使为定值，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②存在，且点. 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式求出的值，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的方程； （2）①设点、，设直线的方程为，将该直线方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，结合斜率公式可求得直线、的斜率之和； ②设的外接圆方程为，分析可知方程与方程为同解方程，可得出关于、、的方程组，解出、，可得出点的坐标，求出直线的方程，当时，求出直线的方程，取点为直线与轴的交点，结合勾股定理可得出结论. 【小问1详解】 双曲线的右焦点为，双曲线的渐近线方程为，即， 所以焦点到一条渐近线的距离为， 因为点在双曲线上，所以，解得， 故双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 ①设点、，设直线的方程为， 因为点不在直线上，则，可得， 联立，可得， 则，解得或， 由题意可得，所以且， 所以 ， 即直线、的斜率之和为. ②设的外接圆方程为， 则， 由代入， 可得， 可得， 同理可得， 所以、为关于的方程的两根， 又因为、为关于的方程的两根， 所以方程与方程为同解方程， 所以，解得， 易知点，即点，， 所以直线的方程为，即， 当时，直线的方程为，即， 直线与轴的交点为，不妨取点，此时， 则， 故在轴上存在定点，使得为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门六中2025-2026学年高三下数学周考03 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：宋丹依 一、单选题 1. 复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ） A. B. 1 C. i D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在平行六面体中，，，，是的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 袋中有9个除了颜色外完全相同的小球，其中有3个白球，2个红球，4个黄球.从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都取到时停止，记停止时取出的球的个数为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知中，，点O为的内心，则（ ） A. B. C. D. 7. 若方程的三个根（）成等比数列，则公比为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，画在纸面上的抛物线过焦点的弦长为9，则沿轴将纸面折成平面角为的二面角后，空间中线段的长度为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 10. （多选）在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是（　　） A. B. C. D. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为底面内一动点（含边界），则下列说法正确的命题有（ ） A. 若平面，则动点F的轨迹长度为 B. 不存在动点F，使平面 C. 若平面，则三棱锥体积的最大值为2 D. 若正方体的外接球为球O，则球O被平面所截截面圆的面积为 三、填空题 12. 的展开式中，的系数为30，则a的值为______． 13. 已知圆柱的底面半径为，用与圆柱底面成角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为__________． 14. 已知数列满足，则其前8项和为________. 四、解答题 15. 已知锐角三角形ABC所对的边分别为a、b、c，． （1）求A； （2）若，H为的垂心，求的面积S的最大值． 16. 在四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面底面，，是边长为的等边三角形，是的中点，为上一点. （1）若与交于点，满足平面，求的长； （2）设，若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的值. 17. 某校为丰富学生的课外活动特举办了一次篮球投篮比赛活动，现已知刘翔同学每次投篮投中的概率为，投不中的概率为.为激励学生运动的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分.刘翔同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分. （1）若投篮2次，最终得分为X，求随机变量X的分布列和期望； （2）设最终得分为n的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式. 18. 已知函数． （1）若恒成立，求a的取值集合； （2）当时，证明：当时，恒成立． 19. 已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为，且点在双曲线上． （1）求双曲线的方程； （2）斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（异于点）． ①求直线、的斜率之和； ②若的外接圆圆心为，试问在轴上是否存在定点使为定值，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $