第8章整式乘法 同步单元自主达标测试题 2025-2026学年苏科版七年级数学下册

2025-2026学年苏科版七年级数学下册《第8章整式乘法》 同步单元自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．在用平方差公式计算时，第一步正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若关于x的多项式与的乘积中不含x的二次项，则n的值是（　　） A．2 B．3 C． D． 4．已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知 则 的值为（    ） A．1515 B．1516 C．1517 D．1518 6．设，则与的关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 7．用如图所示的几何图形的面积可以验证的数学恒等式为（    ） A． B． C． D． 8．如图，现有4张型正方形卡片，张型长方形卡片，8张型正方形卡片，嘉嘉想拼成正方形，则下列设计的边长不可能是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．计算：______． 10．关于x的整式是一个完全平方式，则______． 11．已知，则的值为________． 12．若，，则代数式的值等于_____． 13．计算：________________． 14．如果，，那么等于________． 15．已知，则________． 16．把一个边长为的正方形菜园改造成一个长方形菜园，改造后长方形菜园的长比正方形菜园的边长增加了，长方形菜园的宽比正方形菜园的边长减少了．长方形菜园的面积比正方形菜园的面积少___． 三、解答题（满分72分） 17．计算： (1)； (2)． 18．计算： (1)； (2)； (3)． 19．有一系列等式： ； ； ； ；…… (1)根据你的观察，归纳，发现规律，得到： ； (2)试猜想： ； (3)试说明（2）中猜想的正确性． 20．如图（单位：米），和谐广场有一块长为米、宽为米的长方形地，角上有两块边长为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化． (1)用含有a，b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； (2)若，，求出绿化的总面积． 21．探究规律： 观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… (1)写出第4个等式：； (2)根据上述规律，猜想： （n为正整数）； (3)利用（2）中的猜想，计算：． 22．边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个选项） A．    B． C．        D． (2)若，，求的值； (3)计算：． 23．实践探究：我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题： 【知识生成】（1）一个长为，宽为的长方形如图1所示，沿图中虚线用剪刀将该长方形平均分成4个小长方形，然后用这4个小长方形拼成如图2所示的图形．观察图形，写出一个，三者之间的等量关系式：__________________． 【知识应用】（2）运用（1）中的结论，若，求的值： 【类比迁移】（3）如图3，若，求阴影部分的面积． 参考答案 1．解：， 故选：A． 2．C 【分析】本题主要考查了平方差公式，平方差公式为，据此先把原式变形为，再利用平方差公式求解即可． 【详解】解： ， 故选：C． 3．B 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．要求乘积中不含x的二次项，即展开后项的系数为零，据此求出结论． 【详解】解：∵ ， ∵乘积中不含x的二次项， ∴， ∴ ， 故选：B． 4．B 【分析】本题考查的知识点是代数式求值和单项式乘以多项式，解题关键是根据所求代数式的特征，恒等变形为已知等式的形式，整体代入求解． 根据所求代数式，将已知中的变形得到，整体代入即可得解． 【详解】解：， ， ， 又， ， 原式 ． 故选：． 5．A 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 利用完全平方公式展开已知等式，通过相加直接求解． 【详解】∵， ， 将两式相加，得： ， 即， ∴． 故选A． 6．B 【分析】本题考查了多项式的乘法运算与代数式的大小比较，解题关键是通过展开多项式并作差来比较 P 与 Q 的大小． 通过展开 P 和 Q 的表达式，计算 P − Q 的值，根据差值判断大小关系即可． 【详解】， ， ， ． 故选B． 7．B 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示各个部分的面积和以及整体的面积是正确解答的前提． 用代数式表示整体长方形的面积，再用代数式表示4个组成部分的面积和即可． 【详解】解：整体是长为，宽为的长方形，因此面积为， 这个长方形是由个部分组成的，这个部分的面积和为， 所以有． 故选：B． 8．D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意求出正方形的面积得出所需卡片是本题的关键．运用完全平方公式求出各选项可能拼成的正方形所需的卡片数即可得解． 【详解】解：A、，需要4张型正方形卡片，4张型长方形卡片，1张型正方形卡片，故A不符合题意； B、，需要4张型正方形卡片，8张型长方形卡片，4张型正方形卡片，故B不符合题意； C、，需要1张型正方形卡片，4张型长方形卡片，4张型正方形卡片，故C不符合题意； D、，需要4张型正方形卡片，张型长方形卡片，9张型正方形卡片，故D符合题意； 故选：D． 9．/ 【分析】本题考查单项式乘多项式，根据计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为 ． 10．或 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的二倍乘积项即可确定的值． 【详解】解：∵整式是一个完全平方式， ∴， ∴ 解得． 故答案为：或． 11． 【分析】本题考查多项式乘以多项式，利用多项式乘以多项式的法则，将等式左边展开，利用恒等式的特点，求出的值即可． 【详解】解：， ∴； 故答案为：． 12．8 【分析】本题考查因式分解――平方差公式．利用平方差公式变形后求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：8． 13．/ 【分析】本题考查了平方差公式，将变形为，然后利用平方差公计算即可． 【详解】解： ． 故答案为 ． 14． 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用已知条件和，先求出，再计算平方和，最后代入求解即可，熟练掌握完全平方公式，正确进行变形是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值． 设，，则已知条件为，需求，利用完全平方公式 变形得，将和的值代入计算即可． 【详解】解：设，， 则，且， 所以， 即． 故答案为：． 16．100 【分析】本题主要考查了整式运算的应用， 通过计算正方形面积与长方形面积的差值，并应用平方差公式求解． 【详解】解：由正方形菜园的边长为米，得面积为平方米； 改造后长方形菜园的长为米，宽为米，面积为平方米． 根据平方差公式，， 因此，长方形菜园的面积比正方形菜园的面积少平方米． 故答案为：100． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，完全平方公式，掌握相关知识点并正确计算，即可求解． （1）根据完全平方公式展开，即可求解． （2）根据多项式乘多项式的运算法则展开，即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：． 18．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了单项式乘多项式，多项式乘多项式，积的乘方，熟练掌握其运算法则是解题的关键. （1）根据单项式乘单项式的运算法则计算即可； （2）先根据多项式乘多项式的运算法则计算，然后去括号，最后合并同类项即可； （3）先算乘方，然后根据单项式乘多项式的运算法则计算即可. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 19．(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式和完全平方公式，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可知四个连线的正整数的乘积与1的和等于最小的正整数的平方加上最小正整数的3倍，再加上1之后的平方，据此可得答案； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）利用多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的计算法则可得，再由完全平方公式可得答案． 【详解】（1）解：； ； ； ； ……， 以此类推可知， ∴； （2）解：由（1）可得； （3）证明： ． 20．(1)绿化的总面积为平方米 (2)绿化的总面积为9900平方米 【分析】本题考查了多项式乘法，包括多项式乘多项式、完全平方公式，整式的化简及代数式求值． （1）先计算长方形地的面积，再计算两块小正方形空地的面积，最后用长方形地的面积减去两块小正方形空地的面积，通过多项式乘法和完全平方公式展开式子，合并同类项得到最简形式； （2）直接将值代入，按照先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序计算，即可得到具体的绿化总面积． 【详解】（1）解：绿化的总面积 ， 即绿化的总面积为平方米． （2）解：当，时， 原式（平方米） 即绿化的总面积为9900平方米． 21．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化类，有理数的乘方运算，解决本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值． （1）根据题目已给出的式子的规律写出答案即可； （2）根据题目已给出的式子判断出规律得到第n个等式即可； （3）根据（2）中规律可得根据规律求解即可． 【详解】（1）解：根据规律； （2）解：根据规律：； （3）解：原式． 22．(1)B (2) (3) 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合图①和图②阴影部分面积相等建立等式即可． （2）利用平方差公式计算即可． （3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值． 【详解】（1）解：边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是， ∴图①阴影部分面积为；图②长方形面积为； 则验证的等式是， 故答案为：B； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解： ． 23．（1）；（2）；（3）30 【分析】本题主要考查完全平方公式和几何图形面积的关系，完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）图2中大正方形面积为；四个小长方形面积为，中间空白的小正方形面积为，根据图形面积之间的关系可得答案； （2）结合第一问的，即可得代入即可； （3）根据，，求出，根据，即可得出答案． 【详解】解：（1）图2中大正方形的边长为，则其面积可以表示为； 图2中四个小长方形的面积可以表示为，中间空白的小正方形边长为，则其面积可以表示为， ∴； （2）∵，，， ∴； （3）∵，， ∴ ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $