专题03 乘法公式（六大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（浙教版）

专题03 乘法公式（六大题型） 【题型1: 平方差公式运算】.................................................................................................1 【题型2:平方差公式的几何背景】........................................................................................2 【题型3:完全平方公式】.......................................................................................................5 【题型4: 完全平方公式下的几何背景】.............................................................................5 【题型5: 完全平方公式变形求值】......................................................................................10 【题型6 求完全平方式中的字母系数】................................................................................11 【题型1: 平方差公式运算】. 1．若，则____________． 2．计算：（1）__________；（2）__________． 3．计算：___________． 4．计算：的值为______． 5． _____． 【题型2:平方差公式的几何背景】 6．从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（   ） A． B． C． D． 7．如图，将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（   ） A． B． C． D． 8．如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图②是由图①中阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为，请用含a，b的代数式表示和． (2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式． (3)运用（2）中得到的公式，计算：． 9．从边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)计算：； (3)运用写出的等式，解答下列各题： ①已知，，求的值； ②计算： 10．如图，已知大圆的直径为a，两圆直径之差为d． (1)求小圆的直径及阴影部分的面积S． (2)当取3.14时，求S的近似值． 11．如图，四边形与四边形都是正方形，设，． (1)写出的长度（用含字母、的代数式表示）； (2)观察图形，试用不同的方法表示图形中阴影部分的面积，你能获得相应的一个因式分解公式吗？请将这个公式写出来； (3)如果正方形的边长比正方形的边长多，它们的面积相差．试利用（2）中的公式，求、的值． 12．【探究】从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（如图1），再将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)根据两图中阴影部分的面积相等，能验证的等式是________； (2)【应用】请你应用（1）中得到的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：（结果写成幂的形式）． 【题型3:完全平方公式】 13．利用完全平方公式计算： (1)； (2)． 14．用简便方法计算： (1)； (2)． 15．用完全平方公式计算： (1) (2)； (3)； (4)． 16．计算： 17．运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； 【题型4: 完全平方公式下的几何背景】 18．如图可以解释的乘法公式是（    ） A． B． C． D． 19．现有A、B、C三种不同的矩形纸片若干张（边长如图），小智要用这三种纸片无重合无缝隙拼接成一个大正方形，先取A纸片9张，再取B纸片1张，还需取C纸片的张数是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 20．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为1，其邻边长为5，则______． 21．如图，某区有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间的边长为米的空白的正方形地块将修建一个凉亭． (1)用含有a，b的式子表示绿化总面积． (2)若，，求出此时的绿化总面积． 【答案】(1)平方米 (2)179平方米 【分析】（1）用长方形的面积减去中间正方形的面积即可用含有a，b的式子表示出绿化总面积； （2）把a，b的数值代入（1）中的式子即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，长方形地块面积（平方米）， 正方形地块面积（平方米）， ∵绿化总面积＝长方形地块面积－正方形地块面积， ∴绿化总面积（平方米）． （2）解：，， ∴绿化总面积（平方米）． 22．两个边长分别为和的正方形如图放置（图1），其阴影部分的面积为．若再在图1中大正方形的左上角摆放一个边长为的小正方形（如图2），其阴影部分的面积为． (1)________、_________．（用含有、的代数式表示） (2)若，求的值； (3)当时，求图3中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)48 (3)10 【分析】（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含的代数式分别表示； （2）根据，将代入进行计算即可； （3）根据，即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由图可得，， ； （2）解：， ， ． （3）解：由图可得，， ， ． 【题型5: 完全平方公式变形求值】 23．已知，，则的值为______． 【答案】13 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，求代数式的值，熟练完全平方公式是解题的关键． 由完全平方公式可求得的值，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：13． 24．已知，，则______ 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，由题意可得，，进而两式相减得到，即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 25．已知实数a，b满足，，则的值为______． 【答案】54 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，将变形就，再整体代入计算即可得去答案． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 故答案为：54． 26．已知，则 =___． 【答案】 【分析】将利用求出，即可求出，即有，根据即可求解， 【详解】∵， ∴，即， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查运用完全平方公式、平方差公式计算求解的知识．利用求出，进而求出，，是解答本题的关键． 【题型6 求完全平方式中的字母系数】 27．若关于的二次三项式是完全平方式．则（　　） A． B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键． 先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】解：， ， 解得． 故选：D． 28．整式为完全平方式展开后的结果，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是完全平方公式，解题关键是熟练掌握完全平方公式． 根据完全平方公式即可得解． 【详解】解：， 又整式为完全平方式展开后的结果， ， ． 故选：． 29．已知是一个完全平方式，则的值是（    ） A．5 B．9或 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 先根据两平方项确定出这两个数，再根据这两个数的乘积二倍求解值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴，即 ∴或 解得：或， 故选：． 30．当(   )时，是完全平方式． A．7 B．1或 C．或7 D． 【答案】C 【分析】由是完全平方式，可得，再解方程即可． 【详解】∵是完全平方式， ∴， 解得：或． 故选：C 【点睛】本题考查的是完全平方式的特点，熟记完全平方式的特点是解本题的关键． 31．如果4x2+2kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（　　） A．10 B．±10 C．20 D．±20 【答案】B 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了完全平方式的逆用，即，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 乘法公式（六大题型） 【题型1: 平方差公式运算】.................................................................................................1 【题型2:平方差公式的几何背景】........................................................................................2 【题型3:完全平方公式】.......................................................................................................5 【题型4: 完全平方公式下的几何背景】.............................................................................5 【题型5: 完全平方公式变形求值】......................................................................................10 【题型6 求完全平方式中的字母系数】................................................................................11 【题型1: 平方差公式运算】. 1．若，则____________． 【答案】48 【分析】本题主要考查平方差公式的应用，根据平方差公式将所求式展开，再将已知代数式代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：48． 2．计算：（1）__________；（2）__________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，解题的关键是： （1）利用多项式乘以多项式的法则和合并同类项法则进行计算，可得到答案； （2）利用平方差公式进行计算，可得到答案． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：. 3．计算：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查平方差公式，原式两次运用平方差公式进行计算即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为： 4．计算：的值为______． 【答案】5050 【分析】先分别计算相邻的两个数的平方差，化简，再计算有理数的加法． 【详解】解： 故答案为：5050． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，平方差公式的应用，正确理解式子的构成特点掌握平方差公式是解题的关键． 5． _____． 【答案】 【分析】根据平方差公式得， ，然后计算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【题型2:平方差公式的几何背景】 6．从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 【详解】解：图甲中阴影部分的面积为，图乙中阴影部分是由四个相同的等腰梯形拼成的平行四边形，根据平行四边形面积公式：平行四边形面积=底高，观察图形可知，该平行四边形的底为大正方形边长与小正方形边长之和，即，高为大正方形边长与小正方形边长之差，即，得阴影部分的面积为， ∵甲乙两图中阴影部分的面积相等， ∴， ∴可以验证成立的公式为． 故选：C． 7．如图，将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握利用图形面积推导代数公式的方法是解题的关键． 通过计算图1和图2的面积，利用面积相等推导数学公式． 【详解】解：∵图1的面积为：， ∵图2的面积为：， ∵图1与图2面积相等， ∴， 故选：A． 8．如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图②是由图①中阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为，请用含a，b的代数式表示和． (2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式． (3)运用（2）中得到的公式，计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1） 图①阴影面积用大正方形面积减去小正方形面积；图②阴影是长方形，用长×宽表示面积； （2） 由两个阴影面积相等，推导出对应的乘法公式； （3） 将变形为，用平方差公式简化计算． 【详解】（1）解：由题意得，，． （2）解：由（1），可得乘法公式． （3）解： ． 【点睛】本题考查了平方差公式的几何验证与代数应用，掌握用面积相等推导公式，以及将数变形为平方差形式简化计算是解题的关键． 9．从边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)计算：； (3)运用写出的等式，解答下列各题： ①已知，，求的值； ②计算： 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查平方差公式的变形计算，掌握平方差公式是关键． （1）根据图形面积计算即可； （2）运用（1）中的结论计算即可； （3）①运用（1）中的结论计算即可； ②运用（1）中的结论分别计算出每一项，最后再计算乘法即可． 【详解】（1）解：图1的面积为，图2的面积为， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：①，，， ， ； ② ． 10．如图，已知大圆的直径为a，两圆直径之差为d． (1)求小圆的直径及阴影部分的面积S． (2)当取3.14时，求S的近似值． 【答案】(1)小圆的直径为， (2) 【分析】本题主要考查平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）由图易得小圆的直径为，然后根据圆的面积公式及平方差公式可进行求解； （2）把代入（1）中代数式进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：小圆的直径为， ∴阴影部分的面积为； （2）解：把代入（1）中代数式得： ． 11．如图，四边形与四边形都是正方形，设，． (1)写出的长度（用含字母、的代数式表示）； (2)观察图形，试用不同的方法表示图形中阴影部分的面积，你能获得相应的一个因式分解公式吗？请将这个公式写出来； (3)如果正方形的边长比正方形的边长多，它们的面积相差．试利用（2）中的公式，求、的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了列代数式，平方差公式的证明以及应用，掌握平方差公式的性质以及应用是解题的关键． （1）根据即可求出的长度； （2）用两种不同的方法表示图形中阴影部分的面积：①延长交于点，通过；②通过，可得； （3）根据题意可得，代入原式并联立方程即可求出a、b的值． 【详解】（1）解：∵四边形与四边形都是正方形， 设，， ∴， ∴； （2）解：①延长交于点， 则 ； ②， ∴； （3）解：根据题意可得， 由（2）知， 则，即， 联立得， 解得． 12．【探究】从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（如图1），再将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)根据两图中阴影部分的面积相等，能验证的等式是________； (2)【应用】请你应用（1）中得到的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：（结果写成幂的形式）． 【答案】(1) (2)①3② 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，运用平方差公式进行因式分解和整式的乘法运算，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据图形面积计算方法可得答案， （2）①由题意得，即，因为，即可求得的值； ②将原式变形为，利用平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即， 图2中长方形的长为，宽为，因此面积为， ∴． 故答案为：； （2）解：①∵ 即， ， 又∵， ∴； ② ． 【题型3:完全平方公式】 13．利用完全平方公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，熟练运用完全平方公式进行计算是解题的关键． （1）先把化成，再利用完全平方公式进行计算即可； （2）先把化成，再利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 14．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用完全平方公式进行简便运算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 15．用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）原式运用完全平方公式进行计算即可； （2）原式运用完全平方公式进行计算即可； （3）原式运用完全平方公式进行计算即可； （4）原式运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 16．计算： 【答案】 【分析】此题考查完全平方公式，合并同类项，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先运用完全平方公式化简，然后合并即可． 【详解】解： ． 17．运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式：熟练掌握应用完全平方公式是解决此类问题的关键（完全平方公式：． （1）直接利用完全平方公式计算； （2）直接利用完全平方公式计算； （3）利用完全平方公式计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【题型4: 完全平方公式下的几何背景】 18．如图可以解释的乘法公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：图形的面积可表示为，也可以表示为， 即可以解释的乘法公式是． 19．现有A、B、C三种不同的矩形纸片若干张（边长如图），小智要用这三种纸片无重合无缝隙拼接成一个大正方形，先取A纸片9张，再取B纸片1张，还需取C纸片的张数是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．根据题意列出关系式，利用完全平方公式判断即可． 【详解】解：根据题意得：， 则还需取C纸片的张数是6张． 故选：C． 20．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为1，其邻边长为5，则______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了完全平方公式与图形面积，根据题意先表示出剩余部分的面积，即，根据长方形的面积公式建立等式，解等式求得m的值即可求解． 【详解】解：剩余部分的面积：， 根据题意，剩余部分的面积等于长方形的面积， ∴， ∴， 简化后得到， 移项得到， 解得：， 故答案为：2． 21．如图，某区有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间的边长为米的空白的正方形地块将修建一个凉亭． (1)用含有a，b的式子表示绿化总面积． (2)若，，求出此时的绿化总面积． 【答案】(1)平方米 (2)179平方米 【分析】（1）用长方形的面积减去中间正方形的面积即可用含有a，b的式子表示出绿化总面积； （2）把a，b的数值代入（1）中的式子即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，长方形地块面积（平方米）， 正方形地块面积（平方米）， ∵绿化总面积＝长方形地块面积－正方形地块面积， ∴绿化总面积（平方米）． （2）解：，， ∴绿化总面积（平方米）． 22．两个边长分别为和的正方形如图放置（图1），其阴影部分的面积为．若再在图1中大正方形的左上角摆放一个边长为的小正方形（如图2），其阴影部分的面积为． (1)________、_________．（用含有、的代数式表示） (2)若，求的值； (3)当时，求图3中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)48 (3)10 【分析】（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含的代数式分别表示； （2）根据，将代入进行计算即可； （3）根据，即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由图可得，， ； （2）解：， ， ． （3）解：由图可得，， ， ． 【题型5: 完全平方公式变形求值】 23．已知，，则的值为______． 【答案】13 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，求代数式的值，熟练完全平方公式是解题的关键． 由完全平方公式可求得的值，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：13． 24．已知，，则______ 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，由题意可得，，进而两式相减得到，即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 25．已知实数a，b满足，，则的值为______． 【答案】54 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，将变形就，再整体代入计算即可得去答案． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 故答案为：54． 26．已知，则 =___． 【答案】 【分析】将利用求出，即可求出，即有，根据即可求解， 【详解】∵， ∴，即， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查运用完全平方公式、平方差公式计算求解的知识．利用求出，进而求出，，是解答本题的关键． 【题型6 求完全平方式中的字母系数】 27．若关于的二次三项式是完全平方式．则（　　） A． B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键． 先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】解：， ， 解得． 故选：D． 28．整式为完全平方式展开后的结果，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是完全平方公式，解题关键是熟练掌握完全平方公式． 根据完全平方公式即可得解． 【详解】解：， 又整式为完全平方式展开后的结果， ， ． 故选：． 29．已知是一个完全平方式，则的值是（    ） A．5 B．9或 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 先根据两平方项确定出这两个数，再根据这两个数的乘积二倍求解值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴，即 ∴或 解得：或， 故选：． 30．当(   )时，是完全平方式． A．7 B．1或 C．或7 D． 【答案】C 【分析】由是完全平方式，可得，再解方程即可． 【详解】∵是完全平方式， ∴， 解得：或． 故选：C 【点睛】本题考查的是完全平方式的特点，熟记完全平方式的特点是解本题的关键． 31．如果4x2+2kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（　　） A．10 B．±10 C．20 D．±20 【答案】B 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了完全平方式的逆用，即，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $