专题06 幂运算重难点题型汇编（八大题型）-2025-2026学年七年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版）

专题06 幂运算重难点题型汇编（八大题型） 【题型1：直接应用幂的运算性质】................................................1 【题型2：混合运算】..........................................................2 【题型3：幂的大小比较】......................................................5 【题型4：幂的等式求解】......................................................7 【题型5：科学计数法中的应用】................................................10 【题型6：零指数与负指数】.....................................................11 【题型7：逆用幂的运算性质】..................................................13 【题型8：新定义运算】........................................................15 【题型1：直接应用幂的运算性质】 1．计算：______． 【答案】 【分析】根据积的乘方与幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解∶ ． 2．若，则___． 【答案】 32 【分析】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法法则，将转化为，然后利用同底数幂相乘的法则计算，再根据已知条件代入求值． 【详解】解：由，得， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：32． 3．已知，则_____ ． 【答案】6 【分析】本题考查幂的运算，利用积的乘方法则将 展开为 ，再代入已知条件计算． 【详解】解： = = ． ∵，， ∴ ． 故答案为： 6 4．______． 【答案】 【分析】根据积的乘方运算法则进行计算即可； 【详解】解：． 5．计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方法则和同底数幂的除法法则． 根据幂的乘方法则和同底数幂的除法法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【题型2：混合运算】 6．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据幂的乘方与积的乘方法则计算，再根据同底数幂的乘法法则计算即可； （2）先变形，再根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： 7．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查幂的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算同底数幂的除法，再进行积的乘方运算即可得到答案； （2）原式先计算幂的乘方，再进行同底数幂的除法运算即可得到答案； （3）原式先计算幂的乘方，再进行同底数幂的除法运算即可得到答案； （4）原式先计算幂的乘方，再进行同底数幂的乘除法运算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 8．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，先计算同底数幂乘法和积的乘方，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 9．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方运算法则，是解题的关键． （1）根据同底数幂乘法法则计算即可； （2）根据幂的乘方运算法则计算即可； （3）根据积的乘方运算法则计算即可； （4）先根据幂的运算法则计算，再合并即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 10．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的混合运算、积的乘方、幂的乘方、合并同类项等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先运用幂的乘方、积的乘方、同底数幂乘法计算，然后再合并同类项即可； （2）先运用同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方计算，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型3：幂的大小比较】 11．若，，，比较a、b、c的大小（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了零指数，负整数指数幂运算．关键是熟悉运算法则，利用计算结果比较大小．利用零指数，负整数指数幂的运算法，计算、、的值，再比较大小． 【详解】解： ， ， ， ， 故选：C． 12．已知，，，比较、、的大小（         ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的运算．逆运用幂的乘方法则，把a、b、c都写成一个数的111次方的形式，比较底数得结论． 【详解】解：，，， ∵， ∴； 故选：A． 13．比较，，的大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂的乘方的逆用可进行排除选项． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查幂的乘方的逆用，熟练掌握幂的乘方的逆用是解题的关键． 14．已知，那么大小顺序为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数乘方的应用，解题的关键是熟记幂的乘方的公式，注意公式的逆用． 本题应先将、d化为指数都为2的乘方形式，再比较底数的大小，即可确定出结果． 【详解】解：，，，， ∵， ∴ ， 故选：D． 15．比较大小：_________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方法则，将两数进行正确的变形是解题的关键．利用积的乘方将两数变形后变形大小． 【详解】解：， ， ， ， 故 ． 故答案为：． 【题型4：幂的等式求解】 16．规定∶ ． (1)求的值； (2)若 ，求x的值． 【答案】(1)243 (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，准确理解题目中给出的式子，正确计算是解答本题的关键． （1）根据题意把写成的形式，算出最后结果即可； （2）根据给出的式子，表示出，而，根据等式算出最后结果即可． 【详解】（1）解∶ ； （2）解∶∵， ∴ ∴， 解得． 17．若（且，m，n是正整数），则．你能利用上面的结论解决下面的问题吗？ (1)如果，求x的值； (2)已知x满足，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则、幂的乘方法则和解一元一次方程， （1）先把已知等式中的等式写成底数是2的幂，然后根据幂的乘方和同底数幂相乘法则进行计算，然后列出关于x的方程，解方程求出x即可； （2）先把已知等式中的等式写成底数是2的幂，然后逆用乘法分配律进行计算，从而列出关于x的方程，解方程求出x即可． 【详解】（1）解：，， 即， ∴， 解得； （2）解：：，， ∴，, ∴， ∴， 解得． 18．若（且，m，n是正整数），则．你能利用上面的结论解决下面的2个问题吗？试试看，相信你一定行！ (1)如果，求x的值； (2)已知x满足，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则、幂的乘方法则和解一元一次方程， （1）先把已知等式中的等式写成底数是2的幂，然后根据幂的乘方和同底数幂相乘法则进行计算，然后列出关于x的方程，解方程求出x即可； （2）先把已知等式中的等式写成底数是2的幂，然后逆用乘法分配律进行计算，从而列出关于x的方程，解方程求出x即可． 【详解】（1），， ，， ∴，，． （2），， ，, ，，，． 19．在幂的运算中规定：若（且，、均是正整数），则，利用上面结论解答下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方的逆用． （1）首先根据幂的乘方可得：，可得：，根据题意可得：，解方程即可求出的值为； （2）逆用积的乘方的法则，可得：，从而可得：，根据题意可得：，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：，， ， ， 解得：， 的值是； （2）解：，， ， ， 解得：， 的值是． 【题型5：科学计数法中的应用】 20．某种纳米材料的粒径可小至0.00000235米，将数据0.00000235用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法形式为，要求，根据原数小数点移动位数确定n的值即可． 【详解】∵将0.00000235表示为科学记数法，先确定a，需满足，可得， 原数变为2.35时，小数点向右移动了6位， ∴， ∴． 21．科学记数法表示的数是（   ） A． B． C． D．52000 【答案】B 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了还原用科学记数法表示的小数，以及用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为负整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴科学记数法表示的数是， 故选：B 22．2021年5月22日，我国始发的火星车“祝融号”安全到达火星表面．到目前已经获取约10GB原始科学数据，当地球与火星处于最远位置时，从火星表面发出的光到达地球的时间为21分20秒，已知光速约为米/秒，则地球与火星处于最远位置时的距离是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】用光速乘时间，计算后再根据科学记数法的形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数解答． 【详解】解：21分20秒=1280秒， ×1280 =（米）， 故选：A． 【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键． 【题型6：零指数与负指数】 23．计算：__________． 【答案】74 【分析】根据零指数幂，负整数指数幂和乘方法则进行计算即可. 【详解】解：原式. 24．若，则_________ ． 【答案】或2 【分析】根据幂运算结果为1的三种不同情况，利用零指数幂的性质和有理数乘方运算法则分类讨论求解，即可得到的值. 【详解】解：分三种情况讨论： （1）当指数为0，底数不为0时，根据零指数幂的性质，任何非零数的0次幂等于1，可得 解得，且，即，符合题意； （2）当底数为1时，1的任意次幂都等于1，可得， 解得，此时，符合题意； （3）当底数为时，， 解得，此时，不符合题意，舍去. 综上，的值为或． 25．有意义的条件是_________． 【答案】 【分析】零指数幂有意义的条件是底数不为零． 本题考查了零指数幂的底数不等于0，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：根据零指数幂的定义，当底数不为零时，零指数幂有意义， 表达式 中，底数为 ， 因此需满足 ， 解得 ． 故答案为： ． 26．我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，例如将换算成十进制数应为：；按此方式，将二进制换算成十进制数的结果为_________． 【答案】10 【分析】本题主要考查了二进制数与十进制数之间的转换，根据二进制数转换为十进制数的方法，将每位数字乘以2的相应幂后求和即可得到答案． 【详解】解：． 故答案为：10． 27．计算：． 【答案】 【详解】解： 28．计算：． 【答案】 【分析】根据立方根的定义、指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则、绝对值的定义，把算式中各部分分别计算出来，再根据运算法则进行计算． 【详解】解： ． 【题型7：逆用幂的运算性质】 29．已知，，求： (1)的值． (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可； （2）根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法法则进行解题即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ，， ． 30．已知，，求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）利用同底数幂乘法的逆运算计算即可； （）利用幂的乘方的逆运算计算即可； （）利用同底数幂乘法的逆运算和幂的乘方的逆运算计算即可； 本题考查了幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵，， ∴． 31．已知，求值： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2)72 【分析】本题主要考查积的乘方，同底数幂的乘方的逆运算，掌握其运算法则是关键． （1）根据幂的乘方的逆运算，代入计算即可； （2）根据，积的乘方，同底数幂的乘方，积的乘方的逆运算法则，代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 已知， ∴原式； （2）解：， 已知， ∴原式． 32．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）7；（2）900 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则． （1）先根据已知条件逆用同底数幂的乘法法则，求出的值，再把和的值代入计算即可； （2）先根据已知条件逆用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，把所求算式写成含有，的形式，代入进行计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴ ． 【题型8：新定义运算】 33．我们定义一个新运算：，如，那么为（    ） A． B． C． D．32 【答案】A 【分析】根据新定义运算，列出算式，再根据同底数幂的乘法法则，即可求解． 【详解】解：由题意得：=， 故选A． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘方法则，熟练掌握上述法则，是解题的关键． 34．用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数a和b，规定．如，则的值为（    ） A．－3 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：根据题中的新定义得： = = =． 故选：D． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 35．我们定义：三角形，四边形；若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了新运算、幂的乘方、积的乘方、整体代入法求代数式的值．首先根据规定的新运算可得，从而求得四边形的值为，根据幂的乘方和积的乘方的运算法则整理可得：，然后再整体代入计算即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴． 故答案为：． 36．新定义：如果，那么我们规定．例如：因为，所以．则_______． 【答案】2 【分析】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及负整数指数幂．根据定义解答即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：2． 37．定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)若运算的结果为，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂乘法的逆运算，正确理解利用新运算规则是解题的关键． （1）根据新运算规则计算，即可求解； （2）根据新运算规则原式可变形得出 ，根据题意可得，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解： ∵ ∴ ∴ ∴ 38．阅读以下材料： 苏格兰数学家纳皮尔（，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： （，，，），理由如下： 设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： (1)填空：①________，②________； (2)求证：（，，，）； (3)拓展运用：计算． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了乘方运算的逆运算及同底数幂的乘除法运算，对数与指数之间的关系以及相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系以及相互转化关系． （1）直接根据定义计算即可； （2）设，，根据对数的定义可表示为，，计算，参照所给资料的证明过程进行证明即可； （3）根据公式及（2）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：①， 故答案为：5； ②， 故答案为：0； （2）证明：设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴（，，，）． （3）解： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 幂运算重难点题型汇编（八大题型） 【题型1：直接应用幂的运算性质】................................................1 【题型2：混合运算】..........................................................1 【题型3：幂的大小比较】......................................................2 【题型4：幂的等式求解】......................................................3 【题型5：科学计数法中的应用】................................................4 【题型6：零指数与负指数】.....................................................4 【题型7：逆用幂的运算性质】..................................................5 【题型8：新定义运算】........................................................6 【题型1：直接应用幂的运算性质】 1．计算：______． 2．若，则___． 3．已知，则_____ ． 4．______． 5．计算：________． 【题型2：混合运算】 6．计算： (1) (2) 7．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．计算：． 9．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 10．计算： (1)； (2)． 【题型3：幂的大小比较】 11．若，，，比较a、b、c的大小（　　） A． B． C． D． 12．已知，，，比较、、的大小（         ） A． B． C． D． 13．比较，，的大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 14．已知，那么大小顺序为（　　） A． B． C． D． 15．比较大小：_________．（填“”、“”或“”） 【题型4：幂的等式求解】 16．规定∶ ． (1)求的值； (2)若 ，求x的值． 17．若（且，m，n是正整数），则．你能利用上面的结论解决下面的问题吗？ (1)如果，求x的值； (2)已知x满足，求x的值． 18．若（且，m，n是正整数），则．你能利用上面的结论解决下面的2个问题吗？试试看，相信你一定行！ (1)如果，求x的值； (2)已知x满足，求x的值． 19．在幂的运算中规定：若（且，、均是正整数），则，利用上面结论解答下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【题型5：科学计数法中的应用】 20．某种纳米材料的粒径可小至0.00000235米，将数据0.00000235用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 21．科学记数法表示的数是（   ） A． B． C． D．52000 22．2021年5月22日，我国始发的火星车“祝融号”安全到达火星表面．到目前已经获取约10GB原始科学数据，当地球与火星处于最远位置时，从火星表面发出的光到达地球的时间为21分20秒，已知光速约为米/秒，则地球与火星处于最远位置时的距离是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【题型6：零指数与负指数】 23．计算：__________． 24．若，则_________ ． 25．有意义的条件是_________． 26．我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，例如将换算成十进制数应为：；按此方式，将二进制换算成十进制数的结果为_________． 27．计算：． 28．计算：． 【题型7：逆用幂的运算性质】 29．已知，，求： (1)的值． (2)的值． 30．已知，，求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 31．已知，求值： (1)； (2)． 32．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【题型8：新定义运算】 33．我们定义一个新运算：，如，那么为（    ） A． B． C． D．32 34．用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数a和b，规定．如，则的值为（    ） A．－3 B．1 C． D． 35．我们定义：三角形，四边形；若，则______． 36．新定义：如果，那么我们规定．例如：因为，所以．则_______． 37．定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)若运算的结果为，求的值； 38．阅读以下材料： 苏格兰数学家纳皮尔（，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： （，，，），理由如下： 设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： (1)填空：①________，②________； (2)求证：（，，，）； (3)拓展运用：计算． 1 学科网（北京）股份有限公司 $