第04讲 同底数幂的除法（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（浙教版）

本讲义聚焦“同底数幂的除法”核心知识点，以幂运算体系为脉络，先通过法则推导与正逆向应用夯实基础，再延伸至零指数幂、负整数指数幂的意义拓展，最终衔接科学记数法，构建从基础到综合应用的学习支架。 该资料亮点在于分层题型设计，典例与变式结合助力理解，口诀强化法则记忆培养数学语言表达。通过科学记数法解决实际问题（如水分子直径表示），发展抽象能力与应用意识，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固练习，查漏补缺。

第04讲 同底数幂的除法 考点1：同底数幂的除法 考点2：零指数幂和负整数幂 考点3：幂运算综合 考点4：科学记数法 重点：（1）幂除法运算法则的推导与正向、逆向应用。 （2）零指数幂、负整数指数幂的意义（幂运算的拓展延伸）。 （3）科学记数法的核心形式（1≤∣a∣<10）与指数 n的确定（依赖幂运算基础）。 难点：（1）符号问题贯穿始终 （2）法则的逆向与混合应用 （3）科学记数法与幂运算的衔接 1.同底数幂的除法的定义，明确幂运算的前提条件。 2.理解零指数幂、负整数指数幂的意义，会进行相关计算，形成完整的幂运算知识体系。 3.掌握科学记数法的定义，明确科学记数法的表示形式。能熟练将大数、小数用科学记数法表示，反之能将科学记数法表示的数还原为原数 知识点1：幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 【题型1 同底数幂的除法】 【典例1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同底数幂的除法进行运算； （2）先将底数均化为，再利用同底数幂的除法运算． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握相关运算规则是解题的关键． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的除法法则． （1）直接根据同底数幂的除法运算法则计算即可； （2）直接根据同底数幂的除法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式2】计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法运算法则是解题的关键； （1）（2）可直接运用同底数幂的除法法则进行运算； （3）先将底数化为相同，然后运用同底数幂的除法法则进行运算. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了积的乘方运算，同底数幂的除法运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）直接用同底数的除法法则计算； （2）先用同底数的除法法则计算，再确定符号； （3）先用同底数的除法法则计算，再用积的乘方法则计算； （4）直接用同底数的除法法则计算． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 【题型2 同底数幂除法的逆用】 【典例2】已知：，，则__________． 【答案】 【分析】根据幂的乘方将转化为，再根据同底数幂的除法的逆运算将转化为，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 【变式1】若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂除法的逆运算，熟记法则并根据法则计算是解题关键； 利用指数的运算性质，将表示为，然后代入已知值计算． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】已知，，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂除法的逆运算，利用指数运算的性质，将 表示为 ，再代入已知条件计算． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 【变式3】若，，则_______． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，逆用同底数幂的除法，幂的乘方，进行计算即可． 【详解】解：由，得；由，且，得； 故， 故答案为： 知识点2：零指数幂和负整数指数幂 1.零指数幂： 2.负指数整数幂： 【题型3 零指数幂和负整数幂】 【典例3】计算：． 【答案】 5 【分析】分别计算各项后合并即可得到结果． 【详解】解： ． 【变式1】计算：． 【答案】0 【分析】本题主要考查有理数的运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 【变式2】已知，，，则m，n，p的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据负整数指数幂、零指数幂、乘方计算m，n，p，再比较大小即可． 【详解】解：，，， 又， ∴． 【变式3】计算：______． 【答案】5 【分析】本题需依据负整数指数幂、零指数幂及有理数乘方的运算法则，先分别计算各项，再进行有理数加法运算． 【详解】 ． 【题型4 幂的混合运算】 【典例4】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同底数幂相乘法则、积的乘方法则、同底数幂相除法则、合并同类项法则计算即可； （2）根据同底数幂相乘法则、积的乘方法则、同底数幂相除法则计算即可 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】已知，，求： (1)； (2)的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据同底数幂的除法法则求解即可； （2）根据同底数幂的除法法则及幂的乘方法则求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的运算，涉及同底数幂的乘除法、幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）根据同底数幂的除法运算法则求解即可； （2）先根据同底数幂的乘法运算法则进行括号内运算，再根据同底数幂的除法运算法则求解即可； （3）先根据同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则进行括号内运算，再根据同底数幂的除法运算法则求解即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 【变式3】计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法及合并同类项，先分别计算各项，再进行合并同类项． 【详解】解：原式 ． 知识点3：科学记数法 1.用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 表示为 ，其中 1≤∣a∣<10，n 是正整数，n 的值等于原数中左起第一个非零数字前所有零（包括小数点前的零）的个数。 【题型5 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数】 【典例4】水分子的直径为0.0000000004米，这个数用科学记数法表示为（    ）米 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法表示形式为，要求满足，是整数，其值由小数点移动的位数决定，小数点向左移，为正，小数点向右移，为负． 【详解】解：． 【变式1】国产手机芯片麒麟980是全球首个7纳米制程芯片，已知1纳米米，则7纳米用科学记数法可以表示为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】科学记数法的一般形式为，其中，由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数决定，先换算单位再按规则表示即可得到结果． 【详解】解：∵纳米米米， ∴纳米 米 米． 【变式2】生活中常见的打火机所用燃料的主要成分是丁烷，其密度很小，丁烷的质量约为，数据0.00057用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法表示形式为，要求，当原数的绝对值小于1时，为负整数，其绝对值等于原数中第一个非零数字前面所有0的个数（含小数点前的0）． 【详解】解：0.00057用科学记数法表示为． 【变式3】人体细胞是人体的结构和生理功能的基本单位，约有40 万亿----60 万亿个，其中最大的是成熟的卵细胞，直径在200微米左右，1微米米．若用科学记数法表示200 微米，则正确的结果是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：200 微米米米． 故选：A． 【题型6 还原用科学记数法表示的小数】 【典例6】将化为小数是（   ） A．0.00128 B．0.000128 C．0.0000128 D．0.0128 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法与小数的互化，熟练掌握负指数科学记数法化为小数时小数点的移动规则是解题的关键．根据负指数科学记数法化为小数的规则，将小数点向左移动指数绝对值的位数，即可得到对应的小数． 【详解】解： ， 故选：B． 【变式1】如表所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（   ） 已知： ，求的值． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：∵本题答案为1， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴破损处“0”的个数为． 【变式2】病毒由蛋白质外壳和内部的遗传物质组成，没有细胞结构，比细胞小得多．某病毒的直径约为，若用科学记数法记作，则n的值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值小于1时n是负数；由此把变回原数即可得到答案． 【详解】解：， ∴， 故选：C． 【变式3】0.000985用科学记数法表示为，则还原为原数为（    ） A．9850000 B．985000 C．98500 D．9850 【答案】C 【分析】用科学记数法表示的数还原成原数时，n> 0时，n是几，小数点就向右移几位． 【详解】∵0.000985= 9.85×10-4 ∴n=4， ∴9.85×104= 98500． 故选: C． 【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数，将科学记数法a× 10n”表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数科学记数法a×10n表示的数，还原成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数；把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 1．可以表示为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】运用负整数指数幂的运算法则直接计算即可得到结果． 【详解】解：． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：与是同类项，合并同类项时字母和指数不变，系数相加， ∴，A计算错误； 选项B： 与指数不同，不是同类项，不能合并， ∴B计算错误； 选项C：根据同底数幂除法法则：底数不变，指数相减， ∵， ∴C计算错误； 选项D：根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘， ∵， ∴D计算正确． 3．空气的密度是，这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值小于1的数的科学记数法表示，科学记数法表示形式为，要求，为整数，绝对值小于1的数，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前零的个数． 【详解】 故选D． 4．已知，则的值等于（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】本题利用幂的乘方和同底数幂除法的运算法则，将所求式子变形后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：． 5．，则有（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的除法运算，解题的关键是掌握同底数幂的除法法则． 利用同底数幂相除，底数不变、指数相减的法则，结合等式两边相同字母指数相等求解m、n的值． 【详解】解：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，， 解得，， 故选：B． 6．如果不成立，那么a的值为（　　） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了零指数幂有意义的条件．根据零指数幂成立的条件是底数，当该等式不成立时，底数为0，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵不成立， ∴， ∴． 故选：D 7．若，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法运算，熟练掌握同底数幂除法运算法则是解题的关键． 利用同底数幂的除法法则：进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 8．，则的值为 ______． 【答案】1 【分析】根据零指数幂的意义，得到指数为0，列式求解即可. 【详解】解：由零指数幂的性质可知，任何非零数的0次幂等于1. ∵，且， ∴ 解得. 9．已知，则______． 【答案】 【详解】解：， ， ． 10．计算的结果是___________________ ． 【答案】 【分析】本题考查零指数幂，先根据零指数幂的运算法则计算出零指数幂的值，再按照有理数乘除混合运算的顺序从左到右依次计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 11．若，则_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的逆运算，熟记法则并根据法则计算是解题关键． 根据幂的乘方的逆运算，同底数幂的逆运算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 12．（）计算：； （）化简：． 【答案】（）；（） 【分析】（）先进行乘方运算，再进行加减运算即可； （）先进行同底数幂的乘法和幂的乘方运算，再进行同底数幂的除法运算，最后合并同类项即可； 本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，正确计算是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ； （）原式 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 同底数幂的除法 考点1：同底数幂的除法 考点2：零指数幂和负整数幂 考点3：幂运算综合 考点4：科学记数法 重点：（1）幂除法运算法则的推导与正向、逆向应用。 （2）零指数幂、负整数指数幂的意义（幂运算的拓展延伸）。 （3）科学记数法的核心形式（1≤∣a∣<10）与指数 n的确定（依赖幂运算基础）。 难点：（1）符号问题贯穿始终 （2）法则的逆向与混合应用 （3）科学记数法与幂运算的衔接 1.同底数幂的除法的定义，明确幂运算的前提条件。 2.理解零指数幂、负整数指数幂的意义，会进行相关计算，形成完整的幂运算知识体系。 3.掌握科学记数法的定义，明确科学记数法的表示形式。能熟练将大数、小数用科学记数法表示，反之能将科学记数法表示的数还原为原数 知识点1：幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 【题型1 同底数幂的除法】 【典例1】计算： (1)； (2)． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】计算： (1)． (2)． (3)． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型2 同底数幂除法的逆用】 【典例2】已知：，，则__________． 【变式1】若，则_____． 【变式2】已知，，则________． 【变式3】若，，则_______． 知识点2：零指数幂和负整数指数幂 1.零指数幂： 2.负指数整数幂： 【题型3 零指数幂和负整数幂】 【典例3】计算：． 【变式1】计算：． 【变式2】已知，，，则m，n，p的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【变式3】计算：______． 【题型4 幂的混合运算】 【典例4】计算： (1)； (2)． 【变式1】已知，，求： (1)； (2)的值． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式3】计算：． 知识点3：科学记数法 1.用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 表示为 ，其中 1≤∣a∣<10，n 是正整数，n 的值等于原数中左起第一个非零数字前所有零（包括小数点前的零）的个数。 【题型5 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数】 【典例4】水分子的直径为0.0000000004米，这个数用科学记数法表示为（    ）米 A． B． C． D． 【变式1】国产手机芯片麒麟980是全球首个7纳米制程芯片，已知1纳米米，则7纳米用科学记数法可以表示为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2】生活中常见的打火机所用燃料的主要成分是丁烷，其密度很小，丁烷的质量约为，数据0.00057用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式3】人体细胞是人体的结构和生理功能的基本单位，约有40 万亿----60 万亿个，其中最大的是成熟的卵细胞，直径在200微米左右，1微米米．若用科学记数法表示200 微米，则正确的结果是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【题型6 还原用科学记数法表示的小数】 【典例6】将化为小数是（   ） A．0.00128 B．0.000128 C．0.0000128 D．0.0128 【变式1】如表所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（   ） 已知： ，求的值． A．5 B．4 C．3 D．2 【变式2】病毒由蛋白质外壳和内部的遗传物质组成，没有细胞结构，比细胞小得多．某病毒的直径约为，若用科学记数法记作，则n的值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式3】0.000985用科学记数法表示为，则还原为原数为（    ） A．9850000 B．985000 C．98500 D．9850 1．可以表示为（    ） A．2 B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．空气的密度是，这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．已知，则的值等于（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 5．，则有（     ） A．， B．， C．， D．， 6．如果不成立，那么a的值为（　　） A．0 B．1 C． D． 7．若，则_____． 8．，则的值为 ______． 9．已知，则______． 10．计算的结果是___________________ ． 11．若，则_______． 12．（）计算：； （）化简：． 学科网（北京）股份有限公司 $