第02讲 整式的乘法运算（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（浙教版）

第02讲 整式的乘法运算 考点1：单项式×单项式 考点2：单项式×多项式 考点3：多项式乘多项式 重点：（1）单项式 × 单项式：系数、同底数幂、单独字母的运算逻辑； （2）单项式 × 多项式：乘法分配律的完整应用（不遗漏任何一项）； （3）多项式 × 多项式：“逐项相乘→合并同类项”的核心流程。 难点：（1）符号运算：多项式中负项参与乘法时的符号判断 （2）漏乘项：多项式×多项式中，易忽略“第一个多项式的常数项×第二个多项式的常数项” （3）幂运算法则混淆 1.能复述单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式的核心法则，明确运算逻辑。 2.能准确完成不含复杂符号、单一字母的整式乘法运算 3.能结合幂的运算法则和同类项合并，完成两步以内的简单运算，结果格式规范 知识点1：单项式×单项式 1.法则 （1）把两个单项式的系数相乘作为积的系数； （2）把 相同字母的幂分别相乘（遵循同底数幂乘法法则）； （3）对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式。 2. 运算步骤（3 步走） （1）系数相乘：符号先确定（同号得正，异号得负），再算绝对值乘积； （2）同字母幂相乘：按同底数幂法则计算指数相加； （3）单独字母保留：直接写入结果 【题型1 单项式乘单项式】 【典例1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘法运算，掌握单项式乘法法则：系数相乘，同底数幂相乘底数不变、指数相加进行计算是解题的关键． 根据单项式的乘法法则直接求解． 【详解】． 故选：C． 【变式1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 【变式2】计算 的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式的乘法运算，根据系数相乘、同底数幂相乘的法则计算即可． 【详解】解： 故选A． 【变式2】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键． 计算两个单项式的乘积，需将系数相乘，同底数幂相乘指数相加． 【详解】解：， 故选：C． 【题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【典例2】如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 【答案】C 【分析】本题考查整式乘除，解题的关键是掌握单项式与单项式乘法．根据单项式乘以单项式法则即可求出、的值． 【详解】解：由题意可知： ， ，， ，， 故选：C 【变式1】已知，则________，________． 【答案】 9 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键． 根据单项式乘单项式的运算法则得到，再结合题中条件列方程求解． 【详解】，， ， ， 解得， 故答案为：；9． 【变式2】已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查单项式乘法法则（系数相乘、同底数幂“底数不变，指数相加” ），熟练掌握单项式乘法的运算规则是解题关键．先依据单项式乘法法则计算与的积，再通过对比积与的形式，确定、的值． 【详解】解： 单项式相乘，系数相乘，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加） ，， 又 ， 故选：． 【变式3】已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式，据此即可求出答案． 【详解】解， ， ，， ， 故选: C． 知识点2：单项式×多项式 1. 法则（依据：乘法分配律） 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即： m(a+b+c)=ma+mb+mc（m为单项式，a、b、c为多项式的项）。 2. 运算步骤（4 步走） 分配：单项式分别乘多项式的每一项（包括常数项和负项）； 计算：每一步遵循 “单项式 × 单项式” 法则； 符号：注意多项式中负项的符号，相乘时符号要正确（负负得正，异号得负）； 合并：将所得的积中同类项合并（无同类项则直接保留）。 【题型3 单项式乘多项式及求值】 【典例3】计算 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，熟知单项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． （）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】化简： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可 （3）先计算积的乘方，再根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式2】计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式混合运算，涉及积的乘方运算、单项式乘以多项式运算，熟记整式乘法运算法则是解决问题的关键． 先计算积的乘方运算，再由单项式乘以多项式运算展开即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据单项式乘以多项式运算法则进行计算即可； （2）根据单项式乘以多项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【题型4 单项式乘多项式的应用】 【典例4】如图是一套房子的平面图，尺寸如图： (1)这套房子的总面积可以用代数式表示为多少？ (2)若米，米，则房子的面积为多少平方米？ 【答案】(1) (2)96平方米 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减法与求值，依据题意，正确列出代数式是解题关键． （1）将房子各区域的面积相加即可； （2）将x、y的值代入（1）的结论即可得房子的面积． 【详解】（1）解：这套房子的总面积为： ， （平方米）， 答：这套房子的总面积为平方米； （2）解：当米，米时， 房子的面积（平方米）， 答：房子的面积为96平方米． 【变式1】一个长方体的长、宽、高分别为、、，它的体积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式乘多项式的应用，根据长方体的体积长宽高，进行计算即可． 【详解】解：， 即长方体的体积为， 故选：A． 【变式2】图中阴影部分是一块绿地，根据图中所给的数据，则阴影部分的面积为（　　）（长度单位：m） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式乘法的应用，将阴影部分分割成几个长方形，根据长方形面积公式求解即可． 【详解】解：阴影部分的面积 ， 故选：C． 【变式3】如图为李伯伯家的户型尺寸示意图（单位：米），为了防止日后渗漏，李伯伯要为厨房和卫生间的地面刷防水材料，若每平方米的防水材料a元，则至少需要购买____元的防水材料． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，整式的乘法，熟练掌握其运算规则是解题的关键．先求出厨房的宽，然后表示出厨房和卫生间的面积之和，然后计算出费用即可． 【详解】解：厨房的长为米，宽为米，即米，卫生间的长为米，宽为米， 厨房与卫生间的面积之和为：（平方米）， 每平方米的防水材料a元， 至少需要购买材料费用为：元． 故答案为：． 知识点3：多项式×多项式 1.法则（转化思想：多项式×多项式→单项式×多项式） 先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即： (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn（a、b为第一个多项式的项，m、n为第二个多项式的项）。 2. 运算步骤（5 步走） 逐项相乘：第一个多项式的每一项依次乘第二个多项式的每一项（避免漏乘）； 计算：每一步遵循 “单项式×单项式”法则； 符号：注意各项的符号，尤其是负项相乘时的符号处理； 合并：找出所有同类项并合并（关键步骤，避免结果冗长）； 整理：按某一字母的降幂（或升幂）排列结果。 【题型5 计算多项式乘多项式】 【典例5】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的乘法，多项式乘以多项式，平方差公式；熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据多项式乘以多项式运算法则计算即可得答案； （2）根据多项式乘以多项式运算法则计算即可得答案； （3）根据多项式乘以多项式运算法则计算即可得答案； （4）根据多项式乘以多项式运算法则计算即可得答案； 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 【变式1】若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘多项式，解决本题的关键是掌握单项式乘多项式法则；根据单项式乘多项式，可得相等的多项式，根据相等多项式的项相等，可得a，b的值，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：， ， ， 故选：． 【变式2】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果． 【详解】解： ． 【变式3】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据多项式乘多项式，单项式乘多项式的运算法则进行展开，再合并同类项，即可作答． 【详解】解： ． 【题型6 多项式乘多项式--化简求值】 【典例6】先化简，再求值． ，其中，． 【答案】 ， 【分析】本题主要考查整式的混合运算，代入求值，根据整式的混合运算法则计算，再代入即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式1】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，多项式乘多项式——化简求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先利用多项式乘以多项式和分配律展开，再合并同类项，然后代入求值． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 【变式2】先化简，再求值：，其中． 【答案】，－7 【分析】此题考查整式的混合运算和化简求值，注意利用整式的乘法计算方法计算．直接利用整式的乘法计算，进一步合并同类项，再代入求得数值即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 【变式3】先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的化简求值，解决此题的关键是正确的计算；先根据多项式乘多项式的法和单项式乘多项式的法则把整式化简，再代入求值即可； 【详解】解： ， ， ， 把，代入原式． 【题型7 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【典例7】已知代数式，． (1)A与B的积中不含x的二次项，且常数项为，求m、n的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，再根据积中不含x的二次项，且常数项为，进而得出m、n的值； （2）先将原式进行化简，然后将m、n的值代入原式即可求出答案． 【详解】（1）解：，， ， ∵A与B的积中不含x的二次项，且常数项为， ， 解得：； （2）解： ， 把代入，则． 【变式1】若的结果中不含x的一次项，求a的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查整式的无关型问题，先利用多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，最后结果中不含x的一次项可知，一次项系数为零，即，求解即可． 【详解】解：∵，且结果中不含x的一次项， ∴， ∴． 【变式2】关于的代数式化简后不含项和常数项． (1)求、的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查整式的混合运算、解一元一次方程、代数式求值． （1）先将原式括号展开，再合并同类项，最后根据不含和常数项得出，，即可解答； （2）根据幂的运算法则得出，根据（1）中得出的a和b的值，即可解答． 【详解】（1）解： ， ∵化简后不含 项和常数项， ∴，， ∴，； （2）解：， 由（1）知，， ∴， 原式． 【变式3】已知的展开式中不含x的一次项，常数项是，求： (1)m，n的值． (2)的值． 【答案】(1) (2)35 【分析】（1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，进而得出的值； （2）先将原式进行化简，然后将与的值代入原式即可求出答案． 【详解】（1）解：原式 ． 由题意可知，， ． （2）解： ． ， ． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【题型8 多项式乘多项式与图形面积】 【典例8】如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，中间是边长为米的正方形，规划部门计划将在中间的正方形修建一座雕像，四周的阴影部分进行绿化． (1)绿化的面积是多少平方米？（用含字母a、b的式子表示） (2)求出当，时的绿化面积． 【答案】(1)平方米 (2)绿化面积是平方米． 【分析】本题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算-化简求值，弄清题意是解题的关键． （1）绿化面积=矩形面积-正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果； （2）将a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：依题意得： 平方米． 答：绿化面积是平方米； （2）解：当时，原式（平方米)． 答：绿化面积是平方米． 【变式1】如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，四个角上各有一个边长为b米的小正方形空地，开发商计划在空地之外的部分（阴影部分）进行绿化． (1)求该小区绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）； (2)若，，绿化成本为40元/平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 【答案】(1)平方米 (2)完成绿化共需要15040元 【分析】本题考查多项式乘法与几何图形的面积，代数式求值，正确的列出代数式是解题的关键： （1）用长方形的面积减去四个小正方形的面积，求解即可； （2）把，，代入（1）中代数式，求出总面积，再乘以单价，即可得出结果． 【详解】（1）解： （平方米）； （2）解：当，时，， （元）； 答：完成绿化共需要15040元． 【变式2】如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，管理部门规划了一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分）． (1)用含，的代数式表示花园的面积（化为最简）； (2)小区管理部门打算在花园北面和东、西两面的小路都铺地砖，用含，的代数式表示铺设地砖的面积（化为最简）； (3)若，，预计每平方米地砖的价格是50元，那么购买所需地砖需要多少元？ 【答案】(1) (2) (3)元 【分析】本题考查了整式混合运算的应用； （1）由图得，化简即可求解； （2）由图得，化简即可求解； （3）将，代入（2）中所求的面积，再求出费用，即可求解． 【详解】（1）解：花园的面积为 （）； （2）解：由题意得 （）； 故铺设地砖的面积为； （3）解：当，时， （）， （元）， 故购买所需地砖需要元． 【变式3】【知识回顾】有这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值；通常的解题方法：把，看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，即． 【理解应用】（1）的值与的取值无关，求的值； 【能力提升】（2）如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，设．请解决以下问题： ①填空： ②已知的值与的取值无关，求与的数量关系． 【答案】（1）；（2）①，；② 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键． （1）先根据整式的加减化简整式，再根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （2）①，根据图形求出；②由①得到，再根据的值与的取值无关，则． 【详解】（1）解： ， ∵的值与x无关， ， 解得； （2）解：①， 由图可知，，， 故答案为：，； ②则 ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与的值无关， ， ． 【题型9 多项式乘法中的规律性问题】 【典例9】我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律（如图），称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）．请依据上述规律，写出展开式中第三项的系数是________．                                     1                                1  1                       1  2  1               1  3  3  1      1  4  6  4  1               …                               … 【答案】10 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，找出正确的规律是解决本题的关键． 观察可知把看成常数，从左往右数，的第三项的系数为，据此规律求解即可． 【详解】解：由题意得，把b看成常数， ∴从左往右数，的第三项的系数为， 从左往右数，的第三项的系数为， 从左往右数，的第三项的系数为， ……， 以此类推，从左往右数，的第三项的系数为， 而中， 第三项的系数是10， 故答案为：10． 【变式1】观察下列各式 计算：__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，观察所给等式，发现，将和代入求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：． 【变式2】课本第42页“阅读材料”中介绍了宋代数学家发现的贾宪三角，贾宪三角可以看作是对两数和平方公式的推广，也告诉我们二项式乘方展开式的系数规律： 根据上述规律，展开式的系数的和是__________． 【答案】 【分析】本题考查贾宪三角，理解材料中的规律是解决问题的关键． 依据“阅读材料”中的规律直接求解即可得到答案． 【详解】解：由二项式乘方展开式的系数规律： 展开式的系数的和是， 故答案为：． 【变式3】我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图是他在详解九章算术中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． （1）请仔细观察，填出的展开式中所缺的系数．______ ． （2）此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过天还是星期三，那么再过天是星期______． 【答案】 6 四 【分析】（1）由题意即可得到答案； （2）由题意得到其中、、是一列常数，刚好能被整除，即可得到 除以的余数刚好为，得到答案． 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）其中、、是一列常数， 刚好能被整除， 除以的余数刚好为， 再过天是星期四． 故答案为：四． 【点睛】此题考查了多项式乘法中的规律探索，解此题的关键是能读懂图形，能发现展开的规律． 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式的乘法运算，需先计算系数相乘，再计算同底数幂相乘． 【详解】解： ， 故选：C． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的运算和单项式乘多项式，掌握运算法则是关键；利用这些法则对各选项计算即可． 【详解】解：A，，正确， B，，错误， C，，错误， D，，错误． 故选：A． 3．计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算法则，解题的关键是熟练运用法则展开并合并同类项． 根据多项式乘多项式法则将展开，再合并同类项，对比选项确定答案． 【详解】解： 故选：A． 4．若，则的值为（    ） A．－4 B．－2 C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，根据多项式乘以多项式的计算法则求出给定等式左边的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ． 5．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，利用多项式乘以多项式的法则进行计算即可. 【详解】解：原式； 故选B 6．如图是一所学校活动室的平面图，下列式子中不能表示它的面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，用不同的方法表示学校活动室的面积是解题的关键．分别用不同的方法表示学校活动室的面积，逐个排除即可得到正确的答案． 【详解】解：A．是三个图形面积的和，正确，不符合题意； B．是补成一个大长方形，用大长方形的面积减去补的长方形的面积，正确，不符合题意； C．是右面大长方形的面积加上左面长方形的面积，正确，不符合题意； D．不是学校活动室的面积，故本选项符合题意． 故选：D． 7．若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．由的取值而定 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式和整式比较大小； 利用作差法比较大小，先化简和，再计算与的差，比较大小即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：A． 8．计算：___________． 【答案】 【分析】根据单项式乘单项式法则，先确定运算结果的符号，再分别计算系数的乘积与同底数幂的乘积，即可得到结果． 【详解】解：． 9．定义一种新运算：，则的运算结果是______． 【答案】 【分析】根据新定义运算的规则，确定对应a、b的值，代入后利用整式乘法运算法则展开，合并同类项得到最终结果． 【详解】解：原式 ． 10．如图，四边形和四边形都是长方形，则它们的面积之和为______．（用含x，y的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 根据题目中的图形和长方形的面积计算公式，可以用含、的代数式表示出它们的面积之和． 【详解】解：由图可得， 它们的面积之和为：， 故答案为：． 11．如图，点F在内，，于点E，于点D，且，，四边形的面积分别为3，9，6，则的面积为________． 【答案】6 【分析】由题意可得的面积，的面积，四边形的面积，设，，则，，，求出的面积为，即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：的面积，的面积，四边形的面积， 设，，则，，， ∴，， ∴， ∴的面积为． 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，多项式乘以多项式： （1）根据单项式乘以单项式法则计算即可； （2）根据多项式乘以多项式法则计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 13．先化简，再求值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的混合运算中的化简求值，掌握“多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的运算法则”是解本题的关键． 先计算多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，再合并同类项得到化简的结果，再把代入化简后的代数式进行计算即可． 【详解】 ， ∵ ∴原式． 14．为了更好地开展劳动教育，某校暑期对校内闲置的长为米，宽为米的长方形地块进行规划改造．如图，学校准备在该地块内修一条宽为a米的小路，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a、b的式子表示出种植区的总面积S；（请将结果化为最简） (2)若，，求出此时种植区的总面积S的值． 【答案】(1)阴影部分的面积为平方米 (2)此时种植区的总面积S为130平方米 【分析】（1）把两个阴影长方形拼成一个长为米，宽为米的长方形，根据长方形面积公式列式，再进行多项式乘以多项式进行计算即可求解； （2）把，代入即可求解． 【详解】（1）解： ∴阴影部分的面积为平方米； （2）解：当，时， （平方米）． 答：此时种植区的总面积S为130平方米． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 整式的乘法运算 考点1：单项式×单项式 考点2：单项式×多项式 考点3：多项式乘多项式 重点：（1）单项式 × 单项式：系数、同底数幂、单独字母的运算逻辑； （2）单项式 × 多项式：乘法分配律的完整应用（不遗漏任何一项）； （3）多项式 × 多项式：“逐项相乘→合并同类项”的核心流程。 难点：（1）符号运算：多项式中负项参与乘法时的符号判断 （2）漏乘项：多项式×多项式中，易忽略“第一个多项式的常数项×第二个多项式的常数项” （3）幂运算法则混淆 1.能复述单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式的核心法则，明确运算逻辑。 2.能准确完成不含复杂符号、单一字母的整式乘法运算 3.能结合幂的运算法则和同类项合并，完成两步以内的简单运算，结果格式规范 知识点1：单项式×单项式 1.法则 （1）把两个单项式的系数相乘作为积的系数； （2）把 相同字母的幂分别相乘（遵循同底数幂乘法法则）； （3）对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式。 2. 运算步骤（3 步走） （1）系数相乘：符号先确定（同号得正，异号得负），再算绝对值乘积； （2）同字母幂相乘：按同底数幂法则计算指数相加； （3）单独字母保留：直接写入结果 【题型1 单项式乘单项式】 【典例1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】计算 的结果是（  ） A． B． C． D． 【变式2】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【典例2】如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 【变式1】已知，则________，________． 【变式2】已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 知识点2：单项式×多项式 1. 法则（依据：乘法分配律） 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即： m(a+b+c)=ma+mb+mc（m为单项式，a、b、c为多项式的项）。 2. 运算步骤（4 步走） 分配：单项式分别乘多项式的每一项（包括常数项和负项）； 计算：每一步遵循 “单项式 × 单项式” 法则； 符号：注意多项式中负项的符号，相乘时符号要正确（负负得正，异号得负）； 合并：将所得的积中同类项合并（无同类项则直接保留）。 【题型3 单项式乘多项式及求值】 【典例3】计算 (1)； (2)． 【变式1】化简： (1) (2) (3) 【变式2】计算：． 【变式3】计算： (1)； (2)． 【题型4 单项式乘多项式的应用】 【典例4】如图是一套房子的平面图，尺寸如图： (1)这套房子的总面积可以用代数式表示为多少？ (2)若米，米，则房子的面积为多少平方米？ 【变式1】一个长方体的长、宽、高分别为、、，它的体积等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】图中阴影部分是一块绿地，根据图中所给的数据，则阴影部分的面积为（　　）（长度单位：m） A． B． C． D． 【变式3】如图为李伯伯家的户型尺寸示意图（单位：米），为了防止日后渗漏，李伯伯要为厨房和卫生间的地面刷防水材料，若每平方米的防水材料a元，则至少需要购买____元的防水材料． 知识点3：多项式×多项式 1.法则（转化思想：多项式×多项式→单项式×多项式） 先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即： (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn（a、b为第一个多项式的项，m、n为第二个多项式的项）。 2. 运算步骤（5 步走） 逐项相乘：第一个多项式的每一项依次乘第二个多项式的每一项（避免漏乘）； 计算：每一步遵循 “单项式×单项式”法则； 符号：注意各项的符号，尤其是负项相乘时的符号处理； 合并：找出所有同类项并合并（关键步骤，避免结果冗长）； 整理：按某一字母的降幂（或升幂）排列结果。 【题型5 计算多项式乘多项式】 【典例5】计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【变式1】若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式2】计算：． 【变式3】计算：． 【题型6 多项式乘多项式--化简求值】 【典例6】先化简，再求值． ，其中，． 【变式1】先化简，再求值：，其中． 【变式2】先化简，再求值：，其中． 【变式3】先化简，再求值：，其中，． 【题型7 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【典例7】已知代数式，． (1)A与B的积中不含x的二次项，且常数项为，求m、n的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【变式1】若的结果中不含x的一次项，求a的值． 【变式2】关于的代数式化简后不含项和常数项． (1)求、的值； (2)求的值． 【变式3】已知的展开式中不含x的一次项，常数项是，求： (1)m，n的值． (2)的值． 【题型8 多项式乘多项式与图形面积】 【典例8】如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，中间是边长为米的正方形，规划部门计划将在中间的正方形修建一座雕像，四周的阴影部分进行绿化． (1)绿化的面积是多少平方米？（用含字母a、b的式子表示） (2)求出当，时的绿化面积． 【变式1】如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，四个角上各有一个边长为b米的小正方形空地，开发商计划在空地之外的部分（阴影部分）进行绿化． (1)求该小区绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）； (2)若，，绿化成本为40元/平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 【变式2】如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，管理部门规划了一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分）． (1)用含，的代数式表示花园的面积（化为最简）； (2)小区管理部门打算在花园北面和东、西两面的小路都铺地砖，用含，的代数式表示铺设地砖的面积（化为最简）； (3)若，，预计每平方米地砖的价格是50元，那么购买所需地砖需要多少元？ 【变式3】【知识回顾】有这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值；通常的解题方法：把，看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，即． 【理解应用】（1）的值与的取值无关，求的值； 【能力提升】（2）如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，设．请解决以下问题： ①填空： ②已知的值与的取值无关，求与的数量关系． 【题型9 多项式乘法中的规律性问题】 【典例9】我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律（如图），称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）．请依据上述规律，写出展开式中第三项的系数是________．                                     1                                1  1                       1  2  1               1  3  3  1      1  4  6  4  1               …                               … 【变式1】观察下列各式 计算：__________． 【变式2】课本第42页“阅读材料”中介绍了宋代数学家发现的贾宪三角，贾宪三角可以看作是对两数和平方公式的推广，也告诉我们二项式乘方展开式的系数规律： 根据上述规律，展开式的系数的和是__________． 【变式3】我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图是他在详解九章算术中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． （1）请仔细观察，填出的展开式中所缺的系数．______ ． （2）此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过天还是星期三，那么再过天是星期______． 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（  ） A． B． C． D． 4．若，则的值为（    ） A．－4 B．－2 C．2 D．4 5．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 6．如图是一所学校活动室的平面图，下列式子中不能表示它的面积的是（   ） A． B． C． D． 7．若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．由的取值而定 8．计算：___________． 9．定义一种新运算：，则的运算结果是______． 10．如图，四边形和四边形都是长方形，则它们的面积之和为______．（用含x，y的式子表示） 11．如图，点F在内，，于点E，于点D，且，，四边形的面积分别为3，9，6，则的面积为________． 12．计算： (1)； (2)． 13．先化简，再求值，其中． 14．为了更好地开展劳动教育，某校暑期对校内闲置的长为米，宽为米的长方形地块进行规划改造．如图，学校准备在该地块内修一条宽为a米的小路，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a、b的式子表示出种植区的总面积S；（请将结果化为最简） (2)若，，求出此时种植区的总面积S的值． 学科网（北京）股份有限公司 $