第03讲 乘法公式（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（浙教版）

本讲义聚焦乘法公式核心知识点，从多项式乘法推导平方差公式和完全平方公式入手，系统梳理公式结构特征，通过位置、符号、指数等变式及几何背景构建学习支架，衔接正向应用、逆向变形与整式混合运算。 资料以几何直观为亮点，通过正方形剪拼验证平方差公式、“回字形”拼图探究完全平方公式，培养学生数学眼光，结合公式推导与变形训练发展推理能力，题型覆盖基础运算到综合应用，课中助于直观教学，课后练习题帮助学生查漏补缺，强化模型意识。

第03讲 乘法公式 考点1：平方差公式的识别与正向应用 考点2：完全平方公式的识别与正向应用 考点3：公式的混合运算与化简求值 考点4：公式的拓展应用 重点： 1.平方差公式、完全平方公式的结构特征与正向应用。 2.公式的逆向应用（尤其是求值问题中，利用公式变形简化计算）。 3.公式与整式加减、幂运算的混合运算。 难点： （1）公式的准确识别 ①混淆平方差公式与完全平方公式 ②处理含负号、系数不为1的多项式时，无法快速识别“相同项”“相反项”或“首项、尾项” （2）完全平方公式的中间项处理 ①漏乘 ②“2”符号错误 （3）公式的逆向与综合应用 ①无法根据已知条件灵活变形公式 ②混合运算中，顺序错误（应先算乘方、乘法，再算加减） 1.能通过多项式乘法推导平方差公式和完全平方公式，说出公式的结构特征。 2.能准确识别平方差公式、完全平方公式的适用场景，正向完成基础运算，做到符号正确、不遗漏项。 3.能结合同类项合并，完成两步以内的公式简单应用，结果格式规范 知识点1：平方差 1.平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 2.平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ① 位置变化，xyyxx2y2 ② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④ 系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2 ⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2 【题型1: 平方差公式运算】. 【典例1】已知，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】若，，则_______． 【变式2】计算：_______． 【变式3】计算（请运用乘法公式进行简便方法）： (1)； (2)． 【题型2:平方差公式的几何背景】 【典例2】如图1，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形，如图2所示． (1)根据以上操作，比较两图中空白部分的面积，可以得到乘法公式： ； (2)应用以上公式，解答下列问题： ①已知，，求的值； ②计算：； 【变式1】【探究】（1）如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______（用含a，b的等式表示）； 【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为______； ②计算：． 【拓展】（3）数学公式可以逆用，有时能达到简便运算的效果，根据上面用到的数学公式，进行计算： ． 【变式2】如图①，在边长为的正方形中作一个边长为的正方形，则余下的阴影部分面积等于一个以为长、为宽的长方形面积，如图②． ［探究］ （1）请列式表示：图①中阴影部分的面积为______，图②中阴影部分的面积为______；根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式______． ［应用］ （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①若，则______； ②计算：． 【变式3】如图1，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为． (1)请用含a，b的代数式表示________，________； (2)写出利用图形的面积关系所揭示的整式乘法公式：________； (3)利用这个公式说明既能被3整除，又能被5整除，还能被17整除． 知识点2：完全平方公式 1.完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 2.拓展、补充公式 ；； ；. 【题型3:完全平方公式】 【典例3】的结果是(   ) A． B． C． D． 【变式1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】若，则代数式为（   ） A． B． C． D． 【变式3】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【题型4: 完全平方公式下的几何背景】 【典例4】综合与实践 【知识回顾】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． 【拓展探究】 主题：制作“回字形”正方形． 素材：一张长方形纸板（长为，宽为）． 步骤1：如图1，将长方形沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形； 步骤2：如图2，把剪好的四块小长方形纸板拼成一个“回字形”大正方形纸板． 猜想与计算，请回答下列问题： （1）你认为图2中阴影部分的正方形的边长为______； （2）如图2，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积： 方法1：． 方法2：______，由此可以得出，，之间的等量关系是______； 【迁移运用】 （3）若，，求的值． 【变式1】为了让学生们能更直观地理解乘法公式，李老师上了一节拼图实验课，她用四张长为，宽为的小长方形（如图①所示），拼成了一个边长为的正方形（如图②所示），观察图形，回答下列问题： (1)图②中，阴影部分的面积是　　． (2)观察图①②，请你写出三个式子：，，之间的关系：　　． (3)应用：已知，，求，． 【变式2】数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图②大正方形的面积． 方法1：___________；方法2：___________． (2)观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系：___________； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 【变式3】某学校有两块空地，如图1，图2： (1)图1是一块边长为a的正方形空地，该校计划在正方形空地上留出宽为b的长方形空地作为步道，剩余部分作为草坪： 请用两种方式表示草坪的面积：____________，____________， 由此可以验证的公式为____________； (2)图2是一块多边形空地，该校规划出了正方形区域与正方形区域，计划在这两块区域种花，剩余部分种草．已知正方形与正方形的边长分别为p，q，面积分别是，，并且A，B，C三点在一条直线上，若，，求种草区域的面积和； (3)解决问题：若，求的值． 【题型5: 完全平方公式变形求值】 【典例5】已知，则的值为（   ） A．4 B．6 C．2 D．8 【变式1】已知．求______． 【变式2】已知，，则 __________． 【变式3】已知实数a，b满足，，则的值为______． 【题型6 求完全平方式中的字母系数】 【典例6】若是一个完全平方式，则k的值为___________ ． 【变式1】如果是一个完全平方式，那么k的值是______． 【变式2】若多项式能用完全平方公式分解因式，则整数______． 【变式3】若是一个完全平方式，则k的值为______． 1．在下列式子中，能用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 2．计算：（    ） A． B． C． D． 3．下列运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 4．利用完全平方公式计算，得（    ） A． B． C． D． 5．若二次三项式是完全平方式，则k的值为（    ） A． B． C． D． 6．如果是完全平方式，那么k的值是（   ） A． B． C． D．1 7．在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（   ） A． B． C． D． 8．一个圆的半径为 ，减少后，这个圆的面积减少(     ) A． B． C． D． 9．若，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知，，则的值为_________________． 11．如图，有甲、乙、丙三种正方形和长方形纸片，用4张甲种纸片，1张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼成无重叠、无缝隙一个大正方形，则拼成的大正方形的边长为______． 12．利用完全平方公式计算：__________． 13．计算： 14．【观察】；；；… 【发现】两个连续偶数的平方差是4的倍数； 【验证】 (1)的结果是4的_________倍； (2)设连续的两个偶数为2n，（n为整数）．试说明：与2n的平方差是4的倍数． 39．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图，图，图阴影部分的面积分别能解释的乘法公式． 图：___________，图：___________，图：__________ (2)根据上述图中你探索发现的结论，完成下列计算： 已知，，求代数式①；②的值． (3)若，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 乘法公式 考点1：平方差公式的识别与正向应用 考点2：完全平方公式的识别与正向应用 考点3：公式的混合运算与化简求值 考点4：公式的拓展应用 重点： 1.平方差公式、完全平方公式的结构特征与正向应用。 2.公式的逆向应用（尤其是求值问题中，利用公式变形简化计算）。 3.公式与整式加减、幂运算的混合运算。 难点： （1）公式的准确识别 ①混淆平方差公式与完全平方公式 ②处理含负号、系数不为1的多项式时，无法快速识别“相同项”“相反项”或“首项、尾项” （2）完全平方公式的中间项处理 ①漏乘 ②“2”符号错误 （3）公式的逆向与综合应用 ①无法根据已知条件灵活变形公式 ②混合运算中，顺序错误（应先算乘方、乘法，再算加减） 1.能通过多项式乘法推导平方差公式和完全平方公式，说出公式的结构特征。 2.能准确识别平方差公式、完全平方公式的适用场景，正向完成基础运算，做到符号正确、不遗漏项。 3.能结合同类项合并，完成两步以内的公式简单应用，结果格式规范 知识点1：平方差 1.平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 2.平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ① 位置变化，xyyxx2y2 ② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④ 系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2 ⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2 【题型1: 平方差公式运算】. 【典例1】已知，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 【变式1】若，，则_______． 【答案】4 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键；利用平方差公式，将已知条件代入求解即可． 【详解】解：由平方差公式，得． 代入已知条件，，解得． 故答案为4． 【变式2】计算：_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．判断表达式符合平方差公式的形式，直接套用公式计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式3】计算（请运用乘法公式进行简便方法）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把102分成，98分成，运用平方差公式计算： （2）把2023分成，2025分成，运用平方差公式计算． 【详解】（1）解：（1）； （2）解：（2）． 【题型2:平方差公式的几何背景】 【典例2】如图1，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形，如图2所示． (1)根据以上操作，比较两图中空白部分的面积，可以得到乘法公式： ； (2)应用以上公式，解答下列问题： ①已知，，求的值； ②计算：； 【答案】(1) (2)①15；② 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，灵活运用平方差公式是解题的关键． （1）分别表示出两图中空白部分的面积，即可得到乘法公式； （2）①根据（1）所得公式求解即可；②根据（1）所得公式求解即可． 【详解】（1）解：图1中空白部分的面积为， 图2中空白部分的面积为， 可以得到乘法公式：， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴； ② ． 【变式1】【探究】（1）如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______（用含a，b的等式表示）； 【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为______； ②计算：． 【拓展】（3）数学公式可以逆用，有时能达到简便运算的效果，根据上面用到的数学公式，进行计算： ． 【答案】（1）；（2）①4，②1；（3） 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是运用平方差公式计算． （1）通过观察图①和图②阴影部分面积，利用正方形和长方形面积公式得出乘法公式． （2）①，将已知等式变形为平方差公式形式，再代入已知值求解．②把式子变形为平方差公式形式进行简便计算． （3）利用平方差公式将每个括号内式子展开，然后约分得出结果． 【详解】解：（1）图①中阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即； 图②中长方形的长为，宽为，面积为． ∴得到乘法公式：． （2）①∵， ∴， 即， ∵， ∴， 则． ② ； （3） ． 【变式2】如图①，在边长为的正方形中作一个边长为的正方形，则余下的阴影部分面积等于一个以为长、为宽的长方形面积，如图②． ［探究］ （1）请列式表示：图①中阴影部分的面积为______，图②中阴影部分的面积为______；根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式______． ［应用］ （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①若，则______； ②计算：． 【答案】（1），，；（2）①；② 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景及应用，熟练掌握平方差公式的推导过程和构造使用条件是解题的关键． （1）图①阴影面积用大正方形面积减去小正方形面积表示；图②阴影面积用长方形面积公式表示；根据面积相等推导出平方差公式． （2）①直接代入（1）中得到的平方差公式计算．②先在算式前乘以构造平方差公式的使用条件，再连续应用平方差公式逐步化简计算． 【详解】解：（1）图①阴影面积为，图②阴影面积为， 乘法公式为； （2）① ； （2）② ． 【变式3】如图1，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为． (1)请用含a，b的代数式表示________，________； (2)写出利用图形的面积关系所揭示的整式乘法公式：________； (3)利用这个公式说明既能被3整除，又能被5整除，还能被17整除． 【答案】(1)，， (2) (3)见解析 【分析】本题考查平方差公式和图形面积． （1）将图1看成大正方形减去小正方形，将图2看成一个长方形，即可解答； （2）根据即可解答； （3）根据（2）中得出的公式，将化为含有因数3、5、17的式子即可证明． 【详解】（1）解：，， （2）解：∵， ∴； （3）解： ， ， ∴既能被3整除，又能被5整除，还能被17整除． 知识点2：完全平方公式 1.完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 2.拓展、补充公式 ；； ；. 。 【题型3:完全平方公式】 【典例3】的结果是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】解： 【变式1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了完全平方公式．直接利用完全平方公式化简即可得出答案． 【详解】解：． 故选：D． 【变式2】若，则代数式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行运算，熟记完全平方公式是解题关键．将题中等式变形为，利用完全平方公式进行运算即可得． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：A． 【变式3】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是完全平方公式；根据完全平方公式计算即可解答． 【详解】解：． 故选：C． 【题型4: 完全平方公式下的几何背景】 【典例4】综合与实践 【知识回顾】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． 【拓展探究】 主题：制作“回字形”正方形． 素材：一张长方形纸板（长为，宽为）． 步骤1：如图1，将长方形沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形； 步骤2：如图2，把剪好的四块小长方形纸板拼成一个“回字形”大正方形纸板． 猜想与计算，请回答下列问题： （1）你认为图2中阴影部分的正方形的边长为______； （2）如图2，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积： 方法1：． 方法2：______，由此可以得出，，之间的等量关系是______； 【迁移运用】 （3）若，，求的值． 【答案】（1）；（2），；（3） 【分析】本题考查完全平方公式的几何应用． （1）直接根据图2作答即可； （2）用大正方形面积减去四个长方形面积得出阴影部分的面积，进而可得，，之间的等量关系； （3）根据（2）得到，即，将，代入求出，可知． 【详解】解：（1）图2中阴影部分的正方形的边长为， 故答案为：； （2）用大正方形面积减去四个长方形面积得 由此可以得出，，之间的等量关系是； 故答案为：；； （3）， ． ，， ． ． 【变式1】为了让学生们能更直观地理解乘法公式，李老师上了一节拼图实验课，她用四张长为，宽为的小长方形（如图①所示），拼成了一个边长为的正方形（如图②所示），观察图形，回答下列问题： (1)图②中，阴影部分的面积是　　． (2)观察图①②，请你写出三个式子：，，之间的关系：　　． (3)应用：已知，，求，． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握面积公式与完全平方公式是解题的关键． （1）利用面积公式列式即可； （2）根据面积的和差关系列式即可； （3）根据完全平方公式的变形求解即可； 【详解】（1）解：阴影部分是边长为的正方形， 阴影部分的面积是； 故答案为：； （2）由图可得， 故答案为：； （3）∵，， ∴， ∴． 【变式2】数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图②大正方形的面积． 方法1：___________；方法2：___________． (2)观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系：___________； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)①；② 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握公式是解此题的关键． （1）方法1：由大正方形的面积计算；方法2：由两个小正方形和两个小矩形的面积计算；由此计算即可得解； （2）由图2即可得解； （3）①由（2）中的公式计算即可得解；②将式子变形为，结合（2）中的公式计算即可得解． 【详解】（1）解：方法1：由大正方形的面积计算：， 方法2：由两个小正方形和两个小矩形的面积计算：； （2）解：由图2可得：，，之间的等量关系为； （3）解：①∵，， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3】某学校有两块空地，如图1，图2： (1)图1是一块边长为a的正方形空地，该校计划在正方形空地上留出宽为b的长方形空地作为步道，剩余部分作为草坪： 请用两种方式表示草坪的面积：____________，____________， 由此可以验证的公式为____________； (2)图2是一块多边形空地，该校规划出了正方形区域与正方形区域，计划在这两块区域种花，剩余部分种草．已知正方形与正方形的边长分别为p，q，面积分别是，，并且A，B，C三点在一条直线上，若，，求种草区域的面积和； (3)解决问题：若，求的值． 【答案】(1)，， (2)种草区域面积和为108 (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． （1）根据题意列式即可； （2）由题可得：，，得到，根据完全平方公式计算即可； （3）令，，则有，，根据完全平方公式计算得到即可求出的值． 【详解】（1）解：两种方式表示草坪的面积：，， 由此可以验证的公式为； 故答案为：，，； （2）解：由题可得：，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 答：种草区域面积和为108； （3）解：令，， 则有，， ∴， ∴． 【题型5: 完全平方公式变形求值】 【典例5】已知，则的值为（   ） A．4 B．6 C．2 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了换元代入法求代数式的值．通过变量替换简化方程，利用完全平方公式求出，再利用平方差公式求解． 【详解】解：设，则 代入原方程得：， 整理得：， 所求表达式为：， 故选：C． 【变式1】已知．求______． 【答案】 34 【分析】本题考查完全平方公式的应用，能够熟练运用完全平方公式是解题关键； 由已知方程变形得到 ，然后利用完全平方公式求值． 【详解】解：∵， ∴ ， 即 ． 则 ． 故答案为： 34． 【变式2】已知，，则 __________． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式可得，代入已知可得到与相关的等式，再解出的值． 【详解】解：∵，，， ∴，即 ， ∴， 故答案为：． 【变式3】已知实数a，b满足，，则的值为______． 【答案】54 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，将变形就，再整体代入计算即可得去答案． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 故答案为：54． 【题型6 求完全平方式中的字母系数】 【典例6】若是一个完全平方式，则k的值为___________ ． 【答案】13或 【分析】利用完全平方公式的结构特征确定出的值即可． 【详解】解：是一个完全平方式， 又，， 根据完全平方公式的结构特征可得： ， 即， 当时，解得， 当时，解得， 【变式1】如果是一个完全平方式，那么k的值是______． 【答案】 【详解】解：根据完全平方公式， 在中，， 则， 解得． 【变式2】若多项式能用完全平方公式分解因式，则整数______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟悉完全平方公式的结构特征，即，并据此建立关于的等式求解． 根据完全平方公式的结构，将多项式与对应，确定，，从而得到，进而求出整数的值． 【详解】解： 多项式能用完全平方公式分解因式， ． ， ． ． 故答案为：． 【变式3】若是一个完全平方式，则k的值为______． 【答案】 【分析】本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式． 根据完全平方式的定义，将表达式与标准形式比较系数，得出关于k的方程并求解即可 【详解】解：∵是完全平方式， ∴可表示为， 可知， 即． 故答案为：． 1．在下列式子中，能用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的应用．平方差公式的形式为，需满足两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：A． 中，是相同项，与互为相反数，符合平方差公式形式，能用平方差公式计算，故本选项符合题意； B． ，为完全平方形式，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； C． ，为完全平方形式，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； D． ，为完全平方形式，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； 故选：A 2．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式，利用平方差公式直接计算． 【详解】解： ． 故选：A． 3．下列运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．解决本题的关键是把完全平方公式上对应位置的数找出来，对号入座，即可得出正确的式子． 根据完全平方公式：，找出两数写出即可． 【详解】解：． 故选：A． 4．利用完全平方公式计算，得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式解答即可． 【详解】解：， ， ． 故选：D． 5．若二次三项式是完全平方式，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式的特点，掌握两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式成为解题的关键． 将化为可得求解即可． 【详解】解：∵二次三项式是完全平方式， ∴，即，解得：． 故选A． 6．如果是完全平方式，那么k的值是（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据题意可得两平方项为，则一次项为，据此可得答案． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴一次项为， ∴， ∴， 故选：B． 7．在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，熟练掌握平方差公式是解题关键． 先分别求出图甲和图乙中阴影部分的面积，再根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可求解． 【详解】解：图甲中的阴影部分面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即， 图乙中阴影部分面积为一个长为，宽为的矩形的面积，即， 两个图形中阴影部分的面积相等， ． 故选：C． 8．一个圆的半径为 ，减少后，这个圆的面积减少(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出原圆面积和半径减小后的圆面积，作差化简即可求解． 【详解】解：∵原圆半径为 ∴原圆面积 半径减少 后，新半径为 ∴新圆面积 9．若，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式，代数式的恒等变形与大小比较，掌握完全平方公式，平方差公式特征是解题关键． 通过完全平方公式和平方差公式，将和的表达式变形，然后比较两者关系． 【详解】解：∵， 又∵， ∴． 故选：． 10．已知，，则的值为_________________． 【答案】3 【分析】此处考查了因式分解的应用．利用平方差公式，将已知条件代入求解． 【详解】解：由平方差公式，得 ， 代入已知和， 得， 解得， 故答案为：3． 11．如图，有甲、乙、丙三种正方形和长方形纸片，用4张甲种纸片，1张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼成无重叠、无缝隙一个大正方形，则拼成的大正方形的边长为______． 【答案】/ 【分析】根据完全平方公式的特征进行计算，即可解答． 【详解】解：用4张甲种纸片、1张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼成无重叠、无缝隙一个大正方形， 这个大正方形的面积， 拼成的大正方形的边长为：． 12．利用完全平方公式计算：__________． 【答案】1 【分析】本题考查完全平方公式的应用，将原式识别为完全平方公式的形式，从而简化计算． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为 1． 13．计算： 【答案】 【详解】解： ． 14．【观察】；；；… 【发现】两个连续偶数的平方差是4的倍数； 【验证】 (1)的结果是4的_________倍； (2)设连续的两个偶数为2n，（n为整数）．试说明：与2n的平方差是4的倍数． 【答案】(1)13 (2)见解析 【分析】（1）根据题意，得积中的两个因数，一个是常数4，另一因数是两个平方幂底数的和的一半，计算即可； （2）利用平方差公式，证明即可． 【详解】（1）解：根据题意，得积中的两个因数，一个是常数4，另一因数是两个平方幂底数的和的一半， 故， 故的结果是4的13倍． （2）证明： n为整数， 也为整数，且是4的倍数 是4的倍数 39．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图，图，图阴影部分的面积分别能解释的乘法公式． 图：___________，图：___________，图：__________ (2)根据上述图中你探索发现的结论，完成下列计算： 已知，，求代数式①；②的值． (3)若，求的值． 【答案】(1)；； (2)①；② (3) 【分析】本题考查乘法公式的几何背景，准确识图，熟练掌握图形的面积计算，乘法公式的结构特征是解决问题的关键． （1）根据图中的阴影部分是一个边长为的正方形得面积为，再根据图中的阴影部分是由两个边长分别为，的正方形和两个长为，宽为的长方形构成得面积为，由此可得出答案；根据图中的阴影部分是一个边长为的正方形得面积为，再根据图中边长为的大正方形是由边长分别为的正方形和两个长为，宽为的长方形构成及阴影部分构成得面积为，由此可得出答案；根据图中两种不同拼图计算面积即可得出答案； （2）①根据图所得出的乘法公式可求出的值； ②根据图及①的结论可求出，再根据图所得出的乘法公式即可求出的值； （3）设，，则，，根据即可得出的值． 【详解】（1）解：∵图中的阴影部分是一个边长为的正方形， ∴图中的阴影部分的面积为， 又∵图中的阴影部分是由两个边长分别为，的正方形和两个长为，宽为的长方形构成， ∴图中的阴影部分的面积为， ∴， ∴图能解释的乘法公式是：； ∵图中的阴影部分是一个边长为的正方形， ∴图中的阴影部分的面积为， 又∵图中边长为的大正方形是由边长分别为的正方形和两个长为，宽为的长方形构成及阴影部分构成， ∴图中的阴影部分的面积为：， ∴， ∴图能解释的乘法公式是：； ∵图中的左边阴影部分是一个长为，宽为的长方形， ∴图中的阴影部分的面积为， ∵图中的右边阴影部分的面积是边长的正方形与边长为的正方形的差， ∴图中的右边阴影部分的面积为， ∴， ∴图能解释的乘法公式是：； 故答案为：；；； （2）解：①∵， 又∵，， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 当，时，； 当，时，； 综上所述，的值为； （3）解：设，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的值为． 学科网（北京）股份有限公司 $