3.4 乘法公式第1课时（教学课件）数学新教材浙教版七年级下册

浙教版 七年级 数学 下册 3.4 乘法公式 第3章 整式的乘除 第1课时 教学目标 01 能理解平方差公式( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2， 了解平方差公式的几何背景 02 能利用平方差公式进行简单的计算和推理 平方差公式 01 课堂引入 靠垫是舒适实用的家庭小点缀，一些心灵手巧的人喜欢自己动手制作靠垫。 图中右下角的靠垫面子用5块布料拼合而成，应用了哪些数学知识？ 请计算：( a + b ) ( a - b ) = ________。 比较等号两边的代数式，它们在系数和字母方面各有什么特点？ 02 知识精讲 a2 - b2 解：( a + b ) ( a - b ) = a2 - ab + ab - b2 = a2 - b2。 ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2 相同数 相反数 平方相减 结构特征： ( 1 ) 左边是两个二项式相乘， 并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ( 2 ) 右边是相同项的平方-相反项的平方。 02 知识精讲 平方差公式： 一般地，我们有以下平方差公式： ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2。 两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。 口诀：一同一反，平方相减。 将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系直观地说明平方差公式吗？ 02 知识精讲 做 一做 S = ( a + b ) ( a - b ) S = ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2 S = a2 - b2 02 知识精讲 平方差公式的几何背景： 法一：S绿 = a2 - b2 a a b b b a - b 法二：S绿 = ( a + b ) ( a - b ) S = ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2 计算：( 1 ) ( xy + 4 ) ( xy - 4 )； ( 2 ) ( -2a + 7b ) ( -2a - 7b )。 02 知识精讲 将xy看作整体 做 一做 【分析】( 1 ) 相同项：xy， 相反项：4与-4， 解：( 1 ) ( xy + 4 ) ( xy - 4 ) = ( xy )2 - 42 = x2y2 - 16； 将-2a、7b看作整体 ( 2 ) 相同项：-2a， 相反项：7b与-7b， ( 2 ) ( -2a + 7b ) ( -2a - 7b ) = ( -2a )2 - ( 7b )2 = 4a2 - 49b2。 02 知识精讲 平方差公式的注意点： ( 1 ) 公式中的a、b可是具体数，也可以是单项式或多项式； ( 2 ) 对形如两数和与这两数差相乘的计算，都可以用这个公式。 02 知识精讲 例1 用平方差公式计算： ( 1 ) ( 3x + 5y ) ( 3x - 5y )； ( 2 ) ( b + a ) ( -b + a )。 解：( 1 ) ( 3x + 5y ) ( 3x - 5y ) = ( 3x )2 - ( 5y )2 = 9x2 - 25y2； ( 2 ) ( b + a ) ( -b + a ) = ( a + b ) ( a - b ) = a2 - ( b )2 = a2 - b2。 02 知识精讲 例2 用平方差公式计算： ( 1 ) 103 × 97； ( 2 ) 59.8 × 60.2。 解：( 1 ) 103 × 97 = ( 100 + 3 ) ( 100 - 3 ) = 1002 - 32 = 10000 - 9 = 9991； ( 2 ) 59.8 × 60.2 = ( 60 - 0.2 ) ( 60 + 0.2 ) = 602 - 0.22 = 3600 - 0.04 = 3599.96。 02 知识精讲 课内练习 用平方差公式计算： ( 1 ) ( 2 + a ) ( a - 2 )； ( 2 ) ( x + ) ( x - )； ( 3 ) 102 × 98； ( 4 ) 50.5 × 49.5。 解：( 1 ) ( 2 + a ) ( a - 2 ) = ( a + 2 ) ( a - 2 ) = a2 - 22 = a2 - 4； ( 2 ) ( x + ) ( x - ) = x2 - ( )2 = x2 - ； 02 知识精讲 课内练习 用平方差公式计算： ( 1 ) ( 2 + a ) ( a - 2 )； ( 2 ) ( x + ) ( x - )； ( 3 ) 102 × 98； ( 4 ) 50.5 × 49.5。 ( 3 ) 102 × 98 = ( 100 + 2 ) ( 100 - 2 ) = 1002 - 22 = 10000 - 4 = 9996； ( 4 ) 50.5 × 49.5 = ( 50 + 0.5 ) ( 50 - 0.5 ) = 502 - 0.52 = 2500 - 0.25 = 2499.75。 计算：( 1 ) ( 3a - b ) ( 3a + b ) ( 9a2 + b2 )； ( 2 ) 997 × 1003。 解：( 3a - b ) ( 3a + b ) ( 9a2 + b2 ) = [( 3a )2 - b2] ( 9a2 + b2 ) = ( 9a2 - b2 ) ( 9a2 + b2 ) = (9a2)2 - (b2)2 = 81a4 - b4； 例1 03 典例精析 二次使用平方差公式 解：997 × 1003 = ( 1000 - 3 ) ( 1000 + 3 ) = 10002 - 32 = 1000000 - 9 = 999991。 03 典例精析 计算：( 1 ) ( 3a - b ) ( 3a + b ) ( 9a2 + b2 )； ( 2 ) 997 × 1003。 例1 先化简，再求值：( 2x - y ) ( y + 2x ) - ( 2y + x ) ( 2y - x )，其中x = 1，y = 2。 解：( 2x - y ) ( y + 2x ) - ( 2y + x ) ( 2y - x ) = 4x2 - y2 - ( 4y2 - x2 ) = 4x2 - y2 - 4y2 + x2， = 5x2 - 5y2 ， 当x = 1，y = 2时，原式 = 5 × 12 - 5 × 22 = 5 - 20 = -15。 例2 03 典例精析 已知a - b = 2，则a2 - b2 - 4b的值为（　　） A．5 B．4 C．2 D．1 解：a2 - b2 - 4b = ( a + b ) ( a - b ) - 4b = 2 ( a + b ) - 4b = 2a + 2b - 4b = 2 ( a - b ) = 2 × 2 = 4。 B 例3 03 典例精析 古希腊一位庄园主把一边长为a米( a > 4 )的正方形土地租给老农，第二年他对老农说：“我把这块地的一边增加4米，相邻的一边减少4米，变成长方形土地继续租给你，租金不变”后来老农发现收益减少，感觉吃亏了。聪明的你帮老农算出土地面积其实减少了________平方米。 解：∵a2 - ( a + 4 ) ( a - 4 ) = a2 - ( a2 - 16 ) = 16 (平方米)， ∴土地面积其实减少了16平方米。 16 例4 03 典例精析 从边长为a的大正方形内剪掉一个边长为b的小正方形(如图①)，然后沿虚线剪开拼成如图②所示的长方形。 ( 1 ) 根据图①和②的阴影部分的面积关系， 可得等式：________________________ (用字母a,b表示)； ( 2 ) 若a - b = 3，图②中总面积为21，求区域A的面积。 解：( 2 ) 由题意可得：( a + b ) ( a - b ) = 21，∵a - b = 3，∴a + b = 7， ∴，解得：，∴区域A的面积为：a ( a - b ) = 5 × ( 5 - 2) = 15。 例5 03 典例精析 a2 - b2 = ( a + b ) ( a - b ) 课后总结 平方差公式： 一般地，我们有以下平方差公式：( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2。 两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。口诀：一同一反，平方相减。 平方差公式的注意点： ( 1 ) 公式中的a、b可是具体数，也可以是单项式或多项式； ( 2 ) 对形如两数和与这两数差相乘的计算，都可以用这个公式。 平方差公式的几何背景： 浙教版 七年级 数学 下册 谢谢观看！ $$