精品解析：山东滨州经济技术开发区中海中学（滨州实验学校西校区）2025-2026学年下学期九年级第一次质量检测数学试题

2025-2026学年下学期九年级第一次质量检测数学试题 一．选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 中国国家图书馆藏书约万册，居世界第五位，把万用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中，正确的有（　　） ①π的相反数是；②的相反数是；③的相反数是3；④互为相反数的两个数到原点的距离相等；⑤正数和负数互为相反数；⑥相反数等于它本身的数是0． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 某校初中数学实践活动小组在假期开展了剪纸的实践活动，下列剪纸作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A B. C. D. 4. 如图是由7个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）． A B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两位同学在一次试验中统计了某一结果出现的频率，给出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（　　） A. 掷一枚正六面体的骰子，出现6点的概率 B. 掷一枚硬币，出现正面朝上的概率 C. 任意写出一个整数，能被2整除的概率 D. 一个袋子中装着只有颜色不同其他都相同的2个红球和1个黄球，从中任意取出一个球是黄球的概率 7. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何”题目大意：“几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱．问合伙人数、物品的价格分别是多少？则以下做法正确的是（ ） ①设合伙人有x人，依题意得： ②设物品的价格为y钱，依题意得： ③设合伙人有x人，物品的价格为y钱，依题意得： A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 8. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现，如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 9. 如图，内接于，连接，．若，，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 10. 一次函数与的图象如图所示，下列选项正确的是（ ） ①对于函数来说，随的增大而减小；②函数的图象不经过第一象限；③ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二．填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知点M（3，﹣2），将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点N，则点N的坐标是___． 12. 观察下列方程： 可以发现它们的解分别是①或2；②或3；③或4，利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x的方程 （n为正整数）解___________．（用含n的代数式表示） 13. 若存在正实数y，使得，则实数x的最大值为__________________ ． 14. 如图，将等腰直角三角板平放在平面直角坐标系中，顶点在轴上，两直角边分别与轴交于点．若，则点之间的距离为_____________． 15. 如图是8个台阶在平面直角坐标系内的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸拐角处的顶点记作 （m为的整数）．记函数 的图象为曲线L． （1）若曲线L 过点，则它必定还过另一点 ，则 _______； （2）若曲线L 使得 这些点分布在它的两侧，每侧各有4个点，当k 为整数时，曲线 L 离原点最近的k 的值为_______． 三．解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在中，平分，过线段上一点作，交于点，交延长线于点． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，，求的度数． 18. 《国务院关于印发全民健身计划（2021-2025年）的通知》文件提出，加大全民健身场地设施供给，建立健全场馆运营管理机制，提升场馆使用效益．某健身中心为答谢新老顾客，举行大型回馈活动，特推出两种“冬季唤醒计划”活动方案． 方案1：顾客不购买会员卡，每次健身收费30元． 方案2：顾客花200元购买会员卡，每张会员卡仅限本人使用一年，每次健身收费10元． 设王彬一年内来此健身中心健身次数为（次），选择方案1的费用为（元），选择方案2的费用为（元）． （1）分别写出，与之间的函数关系式； （2）在如图的平面直角坐标系中分别画出它们的函数图象； （3）预计王彬一年内能来此健身中心12次，选择哪种方案比较合算？并说明理由． 19. 在“双减”背景下，某区教育部门想了解该区A、B两所学校九年级各500名学生的课后书面作业时长情况，从这两所学校分别随机抽取50名九年级学生的课后书面作业时长数据（保留整数），整理分析过程如下： 【收集数据】A学校50名九年级学生中，课后书面作业时长在组的具体数据如下： 74，72，72，73，74，75，75，75，75，75，75，76，76，76，77，77，78，80． 【整理数据】不完整的两所学校的频数分布表如下， 组别 A学校 5 15 x 8 4 B学校 7 10 12 17 4 【描述数据】不完整的A学校频数分布直方图如图所示： 【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表： 特征数 平均数 众数 中位数 方差 A学校 74 75 y B学校 74 85 73 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查是______调查（选填“抽样”或“全面”）； （2）统计表中，______，______；并直接补全频数分布直方图； （3）在这次调查中，课后书面作业时长波动较小的是______学校（选填“A”或“B”）； （4）按规定，九年级学生每天课后书面作业时长不得超过90分钟，估计B所学校500名学生中，能在90分钟内（包括90分钟）完成当日课后书面作业的学生共有多少人． 20. 机动车轮降温淋水独立自动控制装置，由储水箱、导水管、淋水喷头、可变流量电磁水闸、车载电源等组成．如图，是淋水器安装模型，已知是（车轮）的直径，是上一点，安装设计要求喷水线与车轮上的点相切（喷水嘴安装在车体上）． （1）尺规作图：在上找一点，连接，使，求证：直线与相切． （2）在（1）条件下，设射线与直线交于点，若，求机动车轮胎直径的长． 21. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，交的延长线于点，恰好平分． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求的长． 22. 如图，抛物线与与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为．直线与x，y轴分别相交于点D，E，与直线相交于点F． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）请探究在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 23. 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在线段上选一点，并沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接， 如图1，当点在上时，则______． （2）迁移探究 小华将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． 如图2，当点在上时，求三角形的面积． （3）拓展应用 若正方形纸片的边长为，通过改变点在上的位置（点不与点，重合），当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期九年级第一次质量检测数学试题 一．选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 中国国家图书馆藏书约万册，居世界第五位，把万用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：万， 故选：． 2. 下列说法中，正确的有（　　） ①π的相反数是；②的相反数是；③的相反数是3；④互为相反数的两个数到原点的距离相等；⑤正数和负数互为相反数；⑥相反数等于它本身的数是0． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的概念逐个判断每个说法的正误，统计正确说法的个数即可得到答案． 【详解】解：①∵π的相反数是，，∴①错误； ②∵，的相反数是，∴②正确； ③∵，3的相反数是，∴③错误； ④∵互为相反数的两个数绝对值相等，绝对值表示数轴上的点到原点的距离， ∴互为相反数的两个数到原点的距离相等，④正确； ⑤∵只有符号不同的两个数才互为相反数，例如正数2和负数不互为相反数，∴⑤错误； ⑥∵相反数等于它本身数只有0，∴⑥正确； 综上，正确的说法共3个，故选C． 3. 某校初中数学实践活动小组在假期开展了剪纸的实践活动，下列剪纸作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，熟练掌握概念是解题的关键．根据中心对称图形和轴对称图形的概念逐项分析即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 4. 如图是由7个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：此几何体的主视图从左往右分3列，小正方形的个数分别是2，1，2， 故主视图为： 故选：B． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据运算法则对选项逐一判断即可． 【详解】解：选项，，运算错误，不符合题意，选项错误； 选项，，运算正确，符合题意，选项正确； 选项，，运算错误，不符合题意，选项错误； 选项，和不是同类项，不能合并，运算错误，不符合题意，选项错误． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是同底数幂相乘、积的乘方、同底数幂相除、合并同类项，解题关键是熟练掌握相关运算法则． 6. 甲、乙两位同学在一次试验中统计了某一结果出现的频率，给出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（　　） A. 掷一枚正六面体的骰子，出现6点的概率 B. 掷一枚硬币，出现正面朝上的概率 C. 任意写出一个整数，能被2整除的概率 D. 一个袋子中装着只有颜色不同其他都相同的2个红球和1个黄球，从中任意取出一个球是黄球的概率 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式． 【详解】解：由图可得该试验的概率在之间 对于A，骰子上共有6个数，出现6点的概率为 ，故A选项错误； 对于B，掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为 ，故B选项错误； 对于C，任意写出一个整数，能被2整除的概率为，故C选项错误； 对于D，摸到黄球的概率为 ，故D选项正确. 7. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何”题目大意：“几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱．问合伙人数、物品的价格分别是多少？则以下做法正确的是（ ） ①设合伙人有x人，依题意得： ②设物品的价格为y钱，依题意得： ③设合伙人有x人，物品价格为y钱，依题意得： A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，对于①根据两段话分别表示出物价，进而可得方程；对于②根据两段对话分别表示出人数，进而可得方程；对于③根据两段话分别建立物价与人数之间的二元一次方程，进而建立方程组即可． 【详解】解：设合伙人有x人，根据每人出8钱，则会多出3钱可知物价为钱，根据每人出7钱，则还少4钱可知物价为钱， ∴，故①正确； 设物品的价格为y钱，根据每人出8钱，则会多出3钱可知有人，根据每人出7钱，则还少4钱可知有人 ∴，故②正确； 设合伙人x有人，物品的价格为y钱，根据每人出8钱，则会多出3钱可得方程，根据每人出7钱，则还少4钱可得方程， ∴，故③正确； 故选：D． 8. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现，如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意求出函数表达式，根据函数表达式结合图象即可完成求解． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 把点P坐标代入得：，解得：， 即函数解析式为：， 当时，即，解得：；故A不正确； 当时，即，解得：；故B不正确； ∵， ∴在第一象限，随着的增大而减小， ∴当时，，故C错误， 当时，，故D正确， 故选：D 9. 如图，内接于，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理及扇形面积公式，熟练掌握圆周角定理及扇形面积公式是解题的关键；由题意易得，然后根据扇形面积公式及割补法可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选C． 10. 一次函数与的图象如图所示，下列选项正确的是（ ） ①对于函数来说，随的增大而减小；②函数的图象不经过第一象限；③ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数图象与系数的关系，①观察函数图象，可得出对于一次函数来说，y随x的增大而减小；②由①的结论，利用一次函数的性质，可得出，由一次函数的图象经过第一、三、四象限，可得出，再利用一次函数图象与系数的关系，可得出一次函数的图象经过第二、三、四象限，即一次函数的图象不经过第一象限；③观察函数图象，可得出一次函数与的图象交点的横坐标为2，将代入中，整理后可得出. 【详解】解：①观察函数图象，可知：对于一次函数来说，y随x的增大而减小，结论①正确； ②∵对于一次函数来说，y随x的增大而减小， ∴； ∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， 即一次函数的图象不经过第一象限，结论②正确； ③观察函数图象，可知：一次函数与的图象交点的横坐标为2， ∴， ∴，结论③正确． 综上所述，正确的结论有①②③． 故选：D． 二．填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知点M（3，﹣2），将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点N，则点N的坐标是___． 【答案】（﹣1，1）． 【解析】 【详解】根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加，上下平移只改变点的纵坐标，下减上加．因此， 原来点M的横坐标是3，纵坐标是﹣2，向左平移4个单位，得到新点的横坐标是3﹣4=﹣1；再向上平移3个单位得到新点的纵坐标为﹣2+3=1．即点N的坐标是（﹣1，1）． 12. 观察下列方程： 可以发现它们的解分别是①或2；②或3；③或4，利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x的方程 （n为正整数）解___________．（用含n的代数式表示） 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了分式方程，根据题目材料，找出分式方程解的规律是解决本题的关键．通过观察给定方程的解的规律，发现对于方程 ，其解为或，将待解方程中的视为整体，应用上述规律求解即可 【详解】解：，其中， 令，则方程化为， 根据规律，该方程的解为或， 代入，得或，即或， 故答案为：或 13. 若存在正实数y，使得，则实数x的最大值为__________________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】将已知等式整理为关于y的一元二次方程，根据存在正实根y，结合根与系数的关系和根的判别式确定x的取值范围，即可求得x的最大值． 【详解】解：由得，， ∴， 由题意得，，即， ∴，即， 当时，，，，， ∴的解集为或或， 设方程的两根为，， ∴， ∴，两根同号， ∵为正实数， ∴，即， ∴或，即或， ∴或或或 ∴或无解或无解或， ∴或， ∴或， ∴实数的最大值为． 14. 如图，将等腰直角三角板平放在平面直角坐标系中，顶点在轴上，两直角边分别与轴交于点．若，则点之间的距离为_____________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，勾股定理，根据点的坐标得到，勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 详解】解：∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，； ∴点之间的距离为15． 故答案为： 15. 如图是8个台阶在平面直角坐标系内的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸拐角处的顶点记作 （m为的整数）．记函数 的图象为曲线L． （1）若曲线L 过点，则它必定还过另一点 ，则 _______； （2）若曲线L 使得 这些点分布在它的两侧，每侧各有4个点，当k 为整数时，曲线 L 离原点最近的k 的值为_______． 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入解析式可求k的值，将点代入，可求解； （2）找到曲线L经过这些点时的值，然后由点分布在曲线L的两侧，每侧各4个点，可得的范围，进而找到的整数点，再由越小反比例函数图象离原点越近，即可求解． 【详解】（1）解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2， ∴，，，，，，，， ∵L过点， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， ∴在反比例函数图象上， ∴； （2）解：∵若曲线L过点时，， 若曲线L过点时，， 若曲线L过点时，， 若曲线L过点时，， ∵曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点， ∴， ∴整数共7个， ∵越小反比例函数图象离原点越近， ∴曲线 L 离原点最近的k 的值为． 三．解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，分式的化简求值，熟练掌握立方根，负指数，绝对值，分式的混合运算，是解决问题的关键． （1）先化简立方根，负指数，绝对值，再相加减； （2）先括号内通分，分子分解因式，除法换作乘法，约分化简，再代入a值，合并即得． 【详解】（1） ； （2） ； 当时， 原式． 17. 如图，在中，平分，过线段上一点作，交于点，交延长线于点． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行线性质得到角相等，结合角平分线定义推导出，再根据等角对等边证明为等腰三角形； （2）先由角平分线定义求出，再通过平行线性质得到，接着利用等腰三角形性质求出，最后根据三角形内角和定理计算出． 【小问1详解】 证明：， ，， 平分， ， ， ∴， 为等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵平分，， ∵， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，． 18. 《国务院关于印发全民健身计划（2021-2025年）的通知》文件提出，加大全民健身场地设施供给，建立健全场馆运营管理机制，提升场馆使用效益．某健身中心为答谢新老顾客，举行大型回馈活动，特推出两种“冬季唤醒计划”活动方案． 方案1：顾客不购买会员卡，每次健身收费30元． 方案2：顾客花200元购买会员卡，每张会员卡仅限本人使用一年，每次健身收费10元． 设王彬一年内来此健身中心健身的次数为（次），选择方案1的费用为（元），选择方案2的费用为（元）． （1）分别写出，与之间函数关系式； （2）在如图的平面直角坐标系中分别画出它们的函数图象； （3）预计王彬一年内能来此健身中心12次，选择哪种方案比较合算？并说明理由． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）他选择方案二比较合算，理由见解析 【解析】 【分析】（1）本题主要考查了列函数关系式，根据两种方案分别列出函数关系式即可，理解题意是解题的关键； （2）本题主要考查了画函数图像，分别确定两个函数图像上的两个点，然后连接即可；理解函数图像上的点满足函数解析式是解题的关键； （2）本题主要考查了不等式的应用，解不等式，即可确定来此健身中心12次费用较小的方案．正确求解不等式是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意得：，； 所以与x之间的函数表达式分别为，． 【小问2详解】 解：当时，，；当时，，． 据此描点、连线画出函数图像如下： 【小问3详解】 解：王斌择方案二比较合算，理由如下： 解不等式，解得：， 所以当时，方案二优惠， 因为，王斌择方案二比较合算． 19. 在“双减”背景下，某区教育部门想了解该区A、B两所学校九年级各500名学生的课后书面作业时长情况，从这两所学校分别随机抽取50名九年级学生的课后书面作业时长数据（保留整数），整理分析过程如下： 【收集数据】A学校50名九年级学生中，课后书面作业时长在组的具体数据如下： 74，72，72，73，74，75，75，75，75，75，75，76，76，76，77，77，78，80． 【整理数据】不完整的两所学校的频数分布表如下， 组别 A学校 5 15 x 8 4 B学校 7 10 12 17 4 【描述数据】不完整的A学校频数分布直方图如图所示： 【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表： 特征数 平均数 众数 中位数 方差 A学校 74 75 y B学校 74 85 73 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查是______调查（选填“抽样”或“全面”）； （2）统计表中，______，______；并直接补全频数分布直方图； （3）在这次调查中，课后书面作业时长波动较小的是______学校（选填“A”或“B”）； （4）按规定，九年级学生每天课后书面作业时长不得超过90分钟，估计B所学校500名学生中，能在90分钟内（包括90分钟）完成当日课后书面作业的学生共有多少人． 【答案】（1）抽样 （2）18，，补图见解析 （3）A （4）460 【解析】 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据频数分布表及分布直方图可进行求解，根据题意可直接画图； （3）根据方差越小，波动越小判断即可； （4）根据A、B学校能在90分钟内完成课后作业所占比例可进行求解． 【小问1详解】 解：根据题意知本次调查是抽样调查； 故答案为：抽样． 【小问2详解】 解：， 中位数为第25个和第26个平均数 补全频数分布直方图： ， 故答案为18，． 【小问3详解】 解：∵， ∴波动较小的是A学校, 故答案为：A． 【小问4详解】 解：（人）． 故答案为：460． 【点睛】本题主要考查频数分布直方图、中位数、众数及方差，解题的关键是分析好题中所给相关数据． 20. 机动车轮降温淋水独立自动控制装置，由储水箱、导水管、淋水喷头、可变流量电磁水闸、车载电源等组成．如图，是淋水器安装模型，已知是（车轮）的直径，是上一点，安装设计要求喷水线与车轮上的点相切（喷水嘴安装在车体上）． （1）尺规作图：在上找一点，连接，使，求证：直线与相切． （2）在（1）的条件下，设射线与直线交于点，若，求机动车轮胎直径的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了复杂作图，切线的判定，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，掌握切线的判定与性质是解题的关键． （1）根据“经过半径的外端，垂直于半径的直线是圆的切线”进行作图，再利用切线的判定进行证明即可； （2）先证明，得出，证明，得出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图：点即为所求； 证明：是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 直线与相切； 【小问2详解】 解：是圆的切线， ， ， 是直径， ， ， ，， ， ， ，，， ， ∴， ∴． 21. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，交的延长线于点，恰好平分． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据是直径，得出，进而证明，得出，即可得证； （2）延长交于点，根据勾股定理求得，根据矩形的性质得出，根据，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 是直径， ， ， ， ， ， 又平分， ， ， ， ， 又为半径， 为切线； 【小问2详解】 解：延长交于点， 的半径为，， 在直角三角形中， ， ， 四边形为矩形， ，，即， 过圆心， ， ． 22. 如图，抛物线与与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为．直线与x，y轴分别相交于点D，E，与直线相交于点F． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）请探究在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在，，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得抛物线的顶点为，从而可得，求出、的值即可得解； （2）求出直线的表达式为解方程组得，从而可得点F的坐标为．连接，过点P作轴，垂足为M，由题知轴，求出 ，设点P的坐标为，则当时，，计算即可得解． 【小问1详解】 解：由题知，抛物线的顶点为， ∴ ∴，， 解得：，， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：存在． 理由：∵直线与x，y轴分别相交于点D，E， ∴当时，，解得， ∴点D的坐标为． ∵解，得，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 在中，当时，， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的表达式为 解方程组得， ∴点F的坐标为． 连接，过点P作轴，垂足为M， 由题知轴，，，， 设点P的坐标为， 当时，， 解得，（舍）， 点P的坐标为． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，二次函数综合—角度问题、解直角三角形应用、求一次函数的解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 23. 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在线段上选一点，并沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接， 如图1，当点在上时，则______． （2）迁移探究 小华将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． 如图2，当点在上时，求三角形的面积． （3）拓展应用 若正方形纸片的边长为，通过改变点在上的位置（点不与点，重合），当时，求的长． 【答案】（1）； （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意得，再根据直角三角形的性质得，进而得出答案； （2）根据特殊角的三角函数值求出，即可得，再根据正方形和折叠的性质得，，然后根据直角三角形的性质得出，最后根据三角形的面积公式得出答案； （3）当点Q在点F的下方时，求出相应的线段长，再根据全等三角形的性质得，然后设，再根据勾股定理得，进而求出答案；当点Q在点F上方时，求出线段的长， 再设，然后根据勾股定理求出答案即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴. 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴． 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，当点Q在点F的下方时， ∵， ∴． ∵四边形是正方形， ∴． 根据折叠的性质得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 设， ∴， 即， 解得， ∴； 当点Q在点F上方时，如图所示， ∵ ∴． ∵同上得， 设， ∴， 即， 解得， ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠，正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，准确的作出图形，不能漏解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $