精品解析：广东广州市第二中学2025-2026学年九年级（下）3月阶段性检测数学试卷

2025-2026学年九年级（下）3月阶段性检测数学试卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意．） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称和轴对称的性质逐一判断即可． 【详解】A：是中心对称图形，但不是轴对称图形，故A错误； B：既不是中心对称图形也不是轴对称图形，故B错误； C：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C错误； D：既是轴对称图形又是中心对称图形，故D正确． 2. 方程经过配方后，其结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键，先移项变为，然后方程两边同加上9即可． 【详解】解： 移项得：， 方程两边同加上9得：， ∴经过配方可得：． 故选：B． 3. 山西特产沙金红杏是一种根系发达，移栽成活率高的经济果木，某研究院跟踪调查了某类沙金红杏的移栽成活情况，得到如下统计图： 由此可估计这种沙金红杏树苗移栽成活的概率约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．用到的知识点为：总体数目=部分数目÷相应频率．部分的具体数目=总体数目×相应频率． 由图可知，成活概率在上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值为． 【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值约是． 故选：C． 4. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（ ） A. 9cm B. 12cm C. 15cm D. 18cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行得到，根据相似的性质得出，再结合，DE＝6cm，利用相似比即可得出结论． 【详解】解：在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DEBC， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查利用相似求线段长，涉及到平行线的性质、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 5. 如图，在中，，，O为中点，将绕点O顺时针旋转得到，点D，E分别在边和的延长线上，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识，先由等腰三角形的性质得到，再由旋转得到，即可证明是等边三角形，得到． 【详解】解：∵，，O为中点， ∴， ∵将绕点O顺时针旋转得到，点D，E分别在边和的延长线上， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 故选：B． 6. 如图，是的内接四边形的一个外角，若的度数为，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，由圆的内接四边形的性质得到，由同弧所对的圆心角是圆周角的两倍得到． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 由题意得 ∵， ∴， 故选：C． 7. 若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握．根据二次函数的对称性，利用对称性，找出点，，到对称轴的距离，即可解答． 【详解】解：二次函数， 开口向上，对称轴为直线， 是顶点，最小， 到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ， ． 故选：D． 8. 如图1，浩明利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为，，，脸盆的最低点C到的距离为，则该脸盆的半径为（ ）cm． A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 【答案】B 【解析】 【分析】设圆的圆心为，连接，，与交于点，设半径为，在中利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：设圆的圆心为，连接，，与交于点，设半径为， ∵， ∴，， 在中， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用勾股定理列方程解决问题，属于中考常考题型． 9. 如图，二次函数的图象经过点，，．下列四个结论中，所有正确结论的序号是（　　） ①抛物线开口向上； ②当时，取最大值； ③当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根； ④直线经过点，，当时，的取值范围是． A. ③④ B. ②③ C. ②④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】由图象可得抛物线开口向下，结合图象，利用抛物线的性质逐个判断即可求解． 【详解】解：由图象可得抛物线开口向下， ∴①错误，不符合题意； ∵点，不关于直线对称， ∴当时，不取最大值， ∴②错误，不符合题意； ∵抛物线开口向下，且经过， 时，必有两个不相等的实数根， ∴③正确，符合题意； ∵直线经过点，，抛物线开口向下， 时， ∴④正确，符合题意． 10. 如图，点为坐标原点，在反比例函数的图象上有一点轴，轴，垂足分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 矩形的面积为4 B. 该反比例函数图象的另一个分支在第二象限 C. 当时， D. 随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解决本题的关键是熟练掌握反比例的性质． 将点B代入函数解析式可求解a的值，由此可求解矩形面积即可判断A、C选项；再根据反比例函数中反比例系数即可判断B、C选项． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，故C选项正确； ∴， 则矩形的面积为，故A选项错误； ∵反比例函数的反比例系数， ∴该反比例函数图象的另一个分支在第三象限，故B选项错误； 且由图象可知，随的增大而减小，故D选项错误． 故选：C ． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 如图，连接正五边形所有对角线，它们两两相交构成一个五角星形状．若正五边形的边长，则对角线的长度为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查正五边形的性质、相似三角形的判定与性质，先根据正五边形的内角特点推导相关角的度数，证明与相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，结合已知边长和线段长度建立方程，求解得出对角线的长度． 【详解】解：设对角线的长度为． ∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， 又∵正五边形中， ∴，且， ∴， ∴，即． ∴， 解得． 故答案为：． 12. 中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2021年人均年收入为20000元，到2023年预计人均年收入达到39200元．若设2022年和2023年该地区居民人均收入的年均增长率为x，则可列方程为 ____________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据年均增长率的含义，先表示出2022年人均年收入，再进一步表示出2023年人均年收入，结合预计值列出方程即可． 【详解】解：2021年人均年收入为20000元，年均增长率为x， 则2022年人均年收入为元， 2023年人均年收入为元， 即． 13. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则和的面积比是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求两个位似图形的相似比，利用相似三角形的性质求解． 根据已知可得和的相似比，由相似三角形的性质，即可得和的面积比． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴和的面积比是． 故答案为：． 14. 已知圆锥的底面圆半径为2，母线长为6，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，根据（r为底面圆半径，l为母线长）进行求解即可． 【详解】解：， ∴该圆锥的侧面积为， 故答案为：． 15. 如图，为正方形的对角线，平分，交于点，把绕点逆时针方向旋转90°得到，延长交于点，连接，交于点．给出下列结论：①；②；③；④．以上结论正确的是________．（填写序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查正方形性质，旋转性质，全等三角形性质与判定，角平分线定义，圆周角定理，勾股定理解三角形，等腰三角形性质与判定，三角形的三边关系等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 由旋转性质得，可得，，，进而由即可判断①；由即可判断②；由、、、、在以为直径的圆上，可以证明，即可判定③，设，由勾股定理解三角形可得，，即可判断④． 【详解】解：由旋转可知：， ∴，，， ∵在正方形中， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即，故①结论正确， ∵，， ∴，故②结论错误； 如图： ∵在正方形中， ∴， ∴， ∴、、、、在以为直径的圆上， ∵， ∴，故结论③正确； 如图：过点作，交于， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 设， 在中，， ∴， ∴，（负根已舍去） ∵， ∴， ∴．故结论④正确； 综上所述：①③④结论正确， 故答案为：①③④． 16. 已知：是半圆的直径，点是的中点，点是半圆内一点，且，射线交半圆于点，连接．给出下面五个结论： ①当点不与点重合时，； ②； ③； ④当点落在线段上时，若，则； ⑤当最大时，． 上述结论中，正确结论的序号有___________． 【答案】①④⑤ 【解析】 【分析】根据同弧所对的圆周角相等即可判断①；根据题意无法证明，可判断②； 分点D在上方与下方两种情况，分别求得，由此可判断判断③； 如图所示，当点落在线段上时，勾股定理求出，求出，证明出，得到，代数求出，进而判断④； 根据题意得到当时，最大，设，则，勾股定理表示出，然后利用正切的定义求解即可判断⑤． 【详解】解：∵ ∴，故①正确； 根据题意无法证明，故②错误； 当点D在的上方时，如图， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点D在的下方时，如图， ∵是半圆的直径 ∴ ∵点是的中点 ∴ ∴ ∵ ∴， 综上，或，故③不正确； 如图所示，当点落在线段上时， ∵， ∴， ∵是半圆的直径 ∴ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴，故④正确； ∵ ∴当时，最大 设，则 ∴ ∴，故⑤正确． 综上所述，正确结论的序号有①④⑤． 三．解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】利用因式分解法求出的值即可． 【详解】解： ， ， 或， ，． 18. 如图，位于平面直角坐标系中，且三点的坐标分别为． （1）将以点为中心，顺时针旋转，得到，点的对应点分别为，请画出这个三角形，并分别写出点和点的坐标． （2）请用无刻度的直尺，作的平分线．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）如图所示；点，点 （2） 的平分线如图． 【解析】 【分析】本题考查了图形旋转的性质，直角坐标系下点的特征，角平分线的作图，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握旋转的性质． （1）根据图形顺时针旋转，画出三角形即可，再由直角坐标下点的位置即可得到点的坐标． （2）由旋转的性质可得，且由旋转角度可得为等腰直角三角形，过点B作的垂线，即可得角平分线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由旋转可知，为等腰直角三角形， 点B作射线交于点N， 则可得为等腰直角三角形， ∴， 即可得的平分线． 19. “一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除编号和人物肖像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事．游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小东先从中随机抽取一张，再把剩下的3张卡片洗匀后，背面向上放好，小华再从3张卡片中随机抽取一张，若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小东讲，否则由小华讲． （1）小东抽中的是唐僧的概率为______； （2）用画树状图或列表的方法，表示所有可能出现的结果，你认为这个游戏是否公平？请说明理由． 【答案】（1） （2）解：公平，理由如下： 画出树状图如下： 一共有12种等可能出现的结果，师徒关系的有6种，即，， 则，， 所以这个游戏公平． 【解析】 【分析】（1）根据概率公式解答； （2）画出树状图，可知所有等可能出现的结果，再得出师徒关系的结果，然后求出各自的概率比较可得答案． 【小问1详解】 解：一共有4张卡片，抽到A的概率为； 【小问2详解】 略 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根； （2）若的一条边的长为5，另两边，的长是这个方程的两个实数根，当为何值时，是以为斜边的直角三角形? 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴无论为何值，方程总有两个实数根； （2）当时，是以为斜边的直角三角形 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系、勾股定理，三角形的三边关系等知识，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）设，由题意易得，然后根据一元二次方程根与系数的关系可知，进而问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：令分别为方程的两个根，则根据根与系数的关系可得：， 设， ∵是以为斜边的直角三角形，且， ∴， ∴，即， 解得：， 当时，（不符合题意，舍去）， 当时，方程为，解得：，， 此时三边均为正数，且满足三角形的三边关系，符合题意； ∴当时，是以为斜边的直角三角形． 21. 如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点． （1）分别求一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接，，求的面积； （3）直接写出当时，关于的不等式的解集． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例的解析式为 （2）4 （3）或 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强． （1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解； （2）两函数解析式联立成方程组，求出点B的坐标，然后根据的面积即可以解决问题； （3）根据图象即可解决问题． 【小问1详解】 解：将，代入，得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 将代入，得， ∴反比例的解析式为； 【小问2详解】 解：对于， 当时， ∴点D的坐标为， 由，解得或， ∴点B的坐标为， ∴的面积； 【小问3详解】 解：观察图象，当时，关于x的不等式的解集是或． 22. 如图，在中，，以为直径的与交于点D，连接． （1）尺规作图：作劣弧的中点E．（不写作法，保留作图痕迹） （2）若与相切，求（1）中作图得到的的度数． 【答案】（1）如图，点E即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的相关性质，等腰直角三角形的判定与性质以及尺规作图，熟练掌握圆的性质是解题的关键． （1）分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与劣弧的交点即为； （2）先根据题意得到，再结合等腰三角形的性质得到，最后利用圆周角定理求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是的切线， ， ， ， ， ， ． 23. 2024年我国运动员在巴黎奥运会上夺得网球项目女子单打金牌，实现了中国在该项目上的突破．已知网球比赛场地长为24米（其中A，B为边界点），球场中心的球网高度为1米，建立如图①所示的平面直角坐标系．运动员从点处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点处达到最高． （1）求抛物线的解析式； （2）判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由； 【答案】（1） （2） 解：此次击球越过球网并落在对方区域内（含边界）；理由如下： ∵， 当时，， 网球越过球网， 当时，， 网球落在对方区域； 此次击球越过球网并落在对方区域内． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确地求出函数解析式，是解题的关键： （1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时，y的值，时，y的值，即可求解． 【小问1详解】 解：网球飞行过程中在点处达到最高， 设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C，连接，D为抛物线的顶点． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P为直线下方抛物线上的一动点，过P作于点E，过P作轴于点F，交直线于点G，求的最大值，以及此时点P的坐标； （3）将抛物线沿射线方向平移，平移后的图象经过点，点M为D的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点N，点Q为平移后的抛物线对称轴上的一点，且点Q在第一象限．在平面直角坐标系中确定点R，使得以点M，N，Q，R为顶点的四边形为菱形，请写出所有符合条件的点R的坐标，并写出求解点R的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）的最大值为，此时点的坐标为 （3）或或， ∵将抛物线沿射线方向平移，，， 设抛物线向上平移个单位，向右平移个单位， ∴新抛物线的解析式为， ∵平移后的图象经过点， ， 解得，或（不符合题意，舍去） ∴新抛物线的解析式为, ∴点，点的坐标为， 设， ，，， ①当时，， 解得，或（舍去） 此时，、为对角线， ， ； ②当时，， 解得，， 此时，、为对角线， ， ， ③当时，， 解得，或（舍去） 此时，、为对角线， ， ， 综上所述，点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线与x轴交于点两点，即知抛物线的表达式为，即 ； （2）证明，根据相似三角形的性质得出，设出P点的坐标，利用二次函数的性质求最值即可； （3）先根据平移规律求出平移后的抛物线的解析式，以及点M，N的坐标，然后设出点Q的坐标，根据菱形的性质求出Q的坐标，即可得点R的坐标． 【小问1详解】 ∵抛物线与x轴交于，， ∴抛物线的解析式为，即； 【小问2详解】 ， 令，则， 设直线的解析式为：， 把，代入，得： ， 解得，， ∴直线的解析式为：； 轴， 轴 ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ∴当时，的最大值为2， 的最大值为，此时点的坐标为； 【小问3详解】 略 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定与性质三角形面积，平移的性质，菱形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质，分类讨论是解题的关键 25. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： （1）如图1，在正方形中，E，F分别是上两点，连接，若，求证：． （2）如图2，在矩形中，过点C作交于点E，若，求的值． （3）如图3，在四边形中，，E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于F，且，，,求的长． 【答案】（1） 证明：设与的交点为， ∵四边形是正方形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在与中， ∴ ∴ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设与的交点为，根据四边形是正方形，得出，证明，利用可证明，根据全等三角形的性质即可得结论； （2）设与交于点，根据四边形是矩形，得出，可证明即可证明得出利用等角三角函数值即可得答案； （3）如图3，过点作于，先证四边形为矩形，得出，，即可证明，得出即可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图 2，设与交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ 【小问3详解】 解：如图3，过点作于， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ 四边形为矩形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴ ∴ ∵，，， ∴ ∴. 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等知识．采用类比的数学思想方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级（下）3月阶段性检测数学试卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意．） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 方程经过配方后，其结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 山西特产沙金红杏是一种根系发达，移栽成活率高的经济果木，某研究院跟踪调查了某类沙金红杏的移栽成活情况，得到如下统计图： 由此可估计这种沙金红杏树苗移栽成活的概率约为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（ ） A. 9cm B. 12cm C. 15cm D. 18cm 5. 如图，在中，，，O为中点，将绕点O顺时针旋转得到，点D，E分别在边和的延长线上，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的内接四边形的一个外角，若的度数为，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，浩明利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为，，，脸盆的最低点C到的距离为，则该脸盆的半径为（ ）cm． A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 9. 如图，二次函数的图象经过点，，．下列四个结论中，所有正确结论的序号是（　　） ①抛物线开口向上； ②当时，取最大值； ③当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根； ④直线经过点，，当时，的取值范围是． A. ③④ B. ②③ C. ②④ D. ①②③④ 10. 如图，点为坐标原点，在反比例函数的图象上有一点轴，轴，垂足分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 矩形的面积为4 B. 该反比例函数图象的另一个分支在第二象限 C. 当时， D. 随的增大而增大 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 如图，连接正五边形所有对角线，它们两两相交构成一个五角星形状．若正五边形的边长，则对角线的长度为___________． 12. 中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2021年人均年收入为20000元，到2023年预计人均年收入达到39200元．若设2022年和2023年该地区居民人均收入的年均增长率为x，则可列方程为 ____________________ ． 13. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则和的面积比是______． 14. 已知圆锥的底面圆半径为2，母线长为6，则该圆锥的侧面积为________． 15. 如图，为正方形的对角线，平分，交于点，把绕点逆时针方向旋转90°得到，延长交于点，连接，交于点．给出下列结论：①；②；③；④．以上结论正确的是________．（填写序号） 16. 已知：是半圆的直径，点是的中点，点是半圆内一点，且，射线交半圆于点，连接．给出下面五个结论： ①当点不与点重合时，； ②； ③； ④当点落在线段上时，若，则； ⑤当最大时，． 上述结论中，正确结论的序号有___________． 三．解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程：． 18. 如图，位于平面直角坐标系中，且三点的坐标分别为． （1）将以点为中心，顺时针旋转，得到，点的对应点分别为，请画出这个三角形，并分别写出点和点的坐标． （2）请用无刻度的直尺，作的平分线．（保留作图痕迹，不写作法） 19. “一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除编号和人物肖像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事．游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小东先从中随机抽取一张，再把剩下的3张卡片洗匀后，背面向上放好，小华再从3张卡片中随机抽取一张，若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小东讲，否则由小华讲． （1）小东抽中的是唐僧的概率为______； （2）用画树状图或列表的方法，表示所有可能出现的结果，你认为这个游戏是否公平？请说明理由． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根； （2）若的一条边的长为5，另两边，的长是这个方程的两个实数根，当为何值时，是以为斜边的直角三角形? 21. 如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点． （1）分别求一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接，，求的面积； （3）直接写出当时，关于的不等式的解集． 22. 如图，在中，，以为直径的与交于点D，连接． （1）尺规作图：作劣弧的中点E．（不写作法，保留作图痕迹） （2）若与相切，求（1）中作图得到的的度数． 23. 2024年我国运动员在巴黎奥运会上夺得网球项目女子单打金牌，实现了中国在该项目上的突破．已知网球比赛场地长为24米（其中A，B为边界点），球场中心的球网高度为1米，建立如图①所示的平面直角坐标系．运动员从点处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点处达到最高． （1）求抛物线的解析式； （2）判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由； 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C，连接，D为抛物线的顶点． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P为直线下方抛物线上的一动点，过P作于点E，过P作轴于点F，交直线于点G，求的最大值，以及此时点P的坐标； （3）将抛物线沿射线方向平移，平移后的图象经过点，点M为D的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点N，点Q为平移后的抛物线对称轴上的一点，且点Q在第一象限．在平面直角坐标系中确定点R，使得以点M，N，Q，R为顶点的四边形为菱形，请写出所有符合条件的点R的坐标，并写出求解点R的坐标的其中一种情况的过程． 25. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： （1）如图1，在正方形中，E，F分别是上两点，连接，若，求证：． （2）如图2，在矩形中，过点C作交于点E，若，求的值． （3）如图3，在四边形中，，E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于F，且，，,求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $