解三角形：边长最值与范围问题、面积最值与范围问题专项训练-2026届高三数学二轮复习

解三角形：边长最值与范围问题、面积最值与范围问题专项训练 解三角形：边长最值与范围问题、面积最值与范围问题专项训练 考点目录 边长最值与范围问题 面积最值与范围问题 考点一 边长最值与范围问题 例1.(2026-河北邯郸一模)ABC的内角4，B,C的对边分别为ab,c,已知a,么，c成等差数列，且sin4-2 1sinB3· (1)求cosB; (2)记ABC外接圆的面积为S,若S264π，求b的取值范围. 例2.(2026河北张家口一模)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足b+2 bcosA=c. (1)证明：A=2B; (2)若=2，c=1,点D为边BC上一点，AD为∠BAC的平分线，求AD+上的值； (3)若ABC为锐角三角形，求的取值范围. b 解三角形：边长最值与范围问题、面积最值与范围问题专项训练 例3.(24-25高三上·天津武清·月考)在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,ABC的面积为S,且 a2-b2-c2= 4W5s.已知向量m=4sinx,4W),元=(cosx,sinx,函数f(x)=mi-25, (I)求角A的大小： 2)在ABc中，a=f八3 求2b+c的取值范围。 例4.(25-26高三下·福建厦门月考)己知a,b,c分别为ABC的内角A,B,C所对的边，a=2且 √3 a sin C+acosC=b+c. (1)求A; (②)已知D是边BC的中点，求AD的最大值. 2 解三角形：边长最值与范围问题、面积最值与范围问题专项训练 变式1.(2026·浙江·模拟预测)已知aABC的外接圆半径为2，△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 a<ccosB (I)试判断△ABC的形状： (2)若a cos B+bcosA=2V3,求△ABC周长的最大值 变式2.(25-26高三上山东东营·期末)在锐角ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,D为边BC上 一点，6+e=5,ABC的面积为5(25-a2-2bc) (1)求A; ⊙者90=1.B0s会求1a。训的龄小馆 b 解三角形：边长最值与范围问题、面积最值与范围问题专项训练 变式3.(2026广东肇庆模拟预测)已知，b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，且 √5 asinC+ccosA-c=0. (I)求角A的值. (2)若ABC的面积为43，BD=2DC,求线段AD长度的最小值. 变式4.(25-26高三上·海南海口月考)己知a,b,c分别为锐角ABC三个内角A,B,C的对边，ABC的面积 S=a'-(b-c)2 2 (I)求sinA,cosA的值； ②求+2C的取值范围 a 解三角形：边长最值与范围问题、面积最值与范围问题专项训练 考点二 面积最值与范围问题 例1.(2026四川德阳·模拟预测)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知该三角形的面积 )sinB. (1)求角B的大小： (2)若b=4时，求△ABC面积的最大值. 例2.(2026北京模拟预测)在ABC中，角A,B,C所对的边分别a,b,c, f八=2snx-4利eosr+sm8+C川xeR.函数八的图象关于点（后0对称。 当x时，求的值域： (2)若a=6,求ABC的面积最大值， 解三角形：边长最值与范围问题、面积最值与范围问题专项训练 例3.(25-26高三上山东烟台，开学考试)ABC满足：asin A-bsin B=c(sinC-sinB) (1)求角A的大小： (2)D为AC的中点，且BD=3,求bC的最大值 (③)若B-牙P为ABC外一点，PA=LPB=3,求四边形4PBC面积的最大值 例4.(24-25高一下·福建泉州期末)已知锐角ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc, (1)求A; (2)若c=4,求ABC的面积的取值范围； )如图，若D为4BC外一点，且∠ABD=∠ACB=子BD1CD,AD=,求a 6 解三角形：边长最值与范围问题、面积最值与范围问题专项训练 变式1.(24-25高一下·甘肃临夏·期末)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量 m=(b-a,-c,n=(b+a,a+c,且m⊥n. (I)求B; (2)若b=2√5，求ABC面积的最大值. 变式2.(25-26高三上·重庆·月考)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,m=a,b+c), =(3sinC+cosc,1),mi=2(b+c). (1)求A; (2)若aABC为锐角三角形，其外接圆圆心为O,b=2√3.记△OAC和△OBC的面积分别为S,S2,求S,-S2的取值 范围。 解三角形：边长最值与范围问题、面积最值与范围问题专项训练 变式3.(25-26高三上·四川达州月考)如图，在四边形ABCD中，AB=3,AD=4,BD=2BC, 1 cos∠BCD= (I)当A、B、C、D四点共圆时，求BD; (2)求四边形ABCD面积的最大值； (3)求AC的最大值， 变式4.(24-25高二下·上海闵行·月考)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中给出了由三角形的 三边a,b,c计算三角形面积的公式S 4 这就是“三斜求积”公式.若ABC的内角A,B,C的 对应边分别为a,b,c, (1)若a=√2，b=√万，c=√5，求ABC面积； (②)若b=2,且√3 c cos B+2V3cosC=c,求ABC面积的最大值. 6解三角形：边长最值与范围问题、面积最值与范围问题专项训练 解三角形：边长最值与范围问题、面积最值与范围问题专项训练 考点目录 边长最值与范围问题 面积最值与范围问题 考点一 边长最值与范围问题 例1.(2026河北邮郸一模)4BC的内角4，B,C的对边分别为a,bc,已知ab,c成等差数列，且Sin4- sinB3 (1)求cosB; (2)记ABC外接圆的面积为S,若S264π，求b的取值范围. 【1o治 (2[35,+∞ sin83,所以2=2 【详解】(1)因为ab,c成等差数列，所以2b=a+c,又sin4-2, 63· 设a=2x,则b=3x,c=4x,则c0sB=g+c2-b_42+162-9r2-11 2ac 16x2 16 (2)由(1)得sinB=-cos'B=3 16 b 3x 8v15 则48C外接圆的半径R=2snB355x. 8 则s=R_64r≥64，则r2≥15，x2V5, 15 则b=3x的取值范围为35，+∞）. 例2.(2026河北张家口一模)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足b+2 bcosA=c· (1)证明：A=2B; (2若b=2,c=1,点D为边BC上一点，AD为∠BAC的平分线，求AD+1的值： (3)若ABC为锐角三角形，求的取值范围。 h 【答案】(I)证明见解析 Q% 2 (2) 【详解】(1)由b+2 b cos A=c,利用正弦定理得：sinB+2 sin Bcos A=sinC, sin C=sin[-(+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 解三角形：边长最值与范围问题、面积最值与范围问题专项训练 所以sinB+2 sin B cos A=sin AcosB+cos Asin B, 所以sinB=sin Acos B-cos Asin B=sin(A-B), 所以B=A-B或A-B=π-B, 所以A=2B或A=元（舍去） 所以A=2B: (2)由b=2,c=l,b+2bc0sA=c,所以c0s4=cb=-1, 2b4 又cos4=2cos1,所以os3-1s4-, 2 28 又0<号受所以m A6 24 又由AD为∠BAC的平分线， 所以S。ABc=S。ABD+S.ADc, 所以besin A=cADsin4+b-ADsin4, 1 2 22 所以AD= bcsin A 2bccos4 2x2x1x6 2 4=V6 csin 4+bsin 4 c+b 1+2 3 2 2 又由余弦定理得：a2=b2+c2-2 bccos A=4+1-2×2×1× 46, 所以a=6,所以D+1-6+66. a362 (3)由(1)有A=2B,又A+B+C=3B+C=π，所以C=π-3B, 又由正弦定理得： csinc sin(-3B)=sin3B3sin B-4sin'B=3-4sin'B. b sinB sin B sin B sin B 0<4 0<2B<T 2 又BC为锐角三角形，所以0<B<→0<B<不 →<B< 6 41 0<c<号 0<-3B<号 所以！<sinB< 2 2,所以1<3-4snB<2,所以分eL2 例3.(24-25高三上·天津武清·月考)在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,ABC的面积为S,且 a2-b2-c2 45s.已知向量页=(4sinx,4万)，i=((cosx,sin刘，函数f)=mi-25, (1)求角A的大小： 解三角形：边长最值与范围问题、面积最值与范围问题专项训练 回在8c中，a=/得 求2b+c的取值范围 【紧案】号 (2)25,45 【详解】1)由已知a2-b-c2-45s,可以得到公2+c2-a=4W55 3 3 再利用面积公式可以得到，b+c2-G:-45 besin A 32 由余弦定理知cosA=+c-Q,所以有 2bc cos A=-. 2sinA即tanA=-√5 因为Ae(0,x),所以A=2江 3 (2)由数量积公式可知f(x)=m,元-2W3=4 sinxcosx+4√3sin2x-25 由二倍角公式和辅助角公式可得八)-2sin2x-25c02x=4sm2x-号 所以a=力 =4sin=213 3 b a25 由正弦定理可得，sin BsinCsin5 =4 所以5=45n8,6=4snC,因为8+C=于所以C-号-B, 所以26+6=8n8+4n（g-8j小-8m8+45om -cos B-Isin B 2 2 =6sin B+23 cos B=4V3sin B+ 6: 因为0<B<骨→名<+名受： 6 62,所以 所以2V5<45simB+ <4V3, 6 所以2b+c的取值范围为2V5,45 例4.(25-26高三下·福建厦门月考)已知a,b,c分别为ABC的内角A,B,C所对的边，a=2且 3asin C+acosC=b+c. (1)求A: (②)已知D是边BC的中点，求AD的最大值 解三角形：边长最值与范围问题、面积最值与范围问题专项训练 【答案】)4=胃 (2)3. 【详解】(1)因为V3 a sin C+acosC=b+c, 由正弦定理得：√3 sin Asin C+sin AcosC=sinB+sinC, 因为sinB=sinA+C)=sin AcosC+cos Asin C, 所以V5 sin AsinC=cos AsinC+sinC, 因为Ce(0,π，所以sinC>0,所以√3sinA-cosA=1, 所以24君动1，即4君引 因为4Q,所以名<4名g所以4吾-行所以4：号 66 (2)因为s4:t-,a=2,所以6+e=4+c 2bc 因为D是BC的中点，所以AD=)B+AC, 所以0=+AC+2瓜.4C c2++2cosA=6+c2+bc)=42c+4, 因为b2+c2≥2bc,所以4+bc≥2bc,即bc≤4， 所以AD=42c+4)≤42x4+4=3, 当且仅当b=c时，等号成立.所以AD的最大值为√. 变式1.(2026·浙江·模拟预测)已知△ABC的外接圆半径为2，△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 a<ccosB (1)试判断△ABC的形状： (②)若a cos B+bcosA=2√3，求△ABC周长的最大值. 【答案】(1)钝角三角形 (2)4+2V3 【详解】1)因为a<ccosB,由余弦定理得a<cxa+c-b,即a+-c2<0 2ac 故0+2-C<0,所以c0sC<0,故C为钝角， 2ab 所以△ABC为钝角三角形 解三角形：边长最值与范围问题、面积最值与范围问题专项训练 另解：因为a<ccosB,由正弦定理得sinA<sin C cos B, 因为A+B+c=元，所以sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)<sinCcosB, sin B cosC+cos B sin C<sin C cos B,sin B cosC<0, 因为0<B<π，所以sinB>0, 所以cosC<0,故C为钝角， 所以△ABC为钝角三角形 (2)△ABC的外接圆半径为R 由题ac0sB+bcos=25,由正弦定理a=6=c =2R=4, sin A sin B sinC 得4sin4cosB+4sn8cosA-25,即si如(A+8)=snC=5 2 由(1)知C为钝角，所以C=2π 3 因为0<4<行所以号<4+骨<平。 3 33 所以当4+骨-即4：爱时、m(4写引取符龄大值1,4如4：引取得量大值4甲：+6的敬大省为4 6 3 又c=2 Rsin C=4xV5 2V5, 所以aABC的周长a+b+c的最大值为4+2√5。 变式2.(25-26高三上山东东营期末)在锐角ABC中，内角A,B,C的对边分别为Q,b,C,D为边BC上 点，b+c=5,A8C的面积为25-a2-2bc (1)求A; ②若BD=l,∠BAD≤，求a-S的最小值 6 6 【答案】04-骨 (2)1 【详解】(1)由b+c=5,两边平方得b2+c2+2bc=25,故b2+c2-a2=25-2bc-a2, 所以8c的面职35-。-2a如)6+。- 1 由余弦定理b2+c2-a2=2 becos A及S△ABc=bcsin A, 得 x2bccos A=besin A, 4 2 解三角形：边长最值与范围问题、面积最值与范围问题专项训练 因为bc≠0，所以amA=5,因为A为镜角，所以A=背 (2)设∠B4D=0,0∈0，，则∠C4D=元-0， 6 3 BD 在△BAD中，由正弦定理得 sin∠BAD sin∠ADB' 因为LADB=π-∠ADC, 所以sin∠ADB=sinπ-∠ADC）=sin∠ADC, 则1 c-①， sin0sin∠ADC 在aCAD中，由正弦定理得，4C DC sin∠ADC sin∠DAC' 6 a-1 则sin∠ADC 丁②， sinπ- 3 02得，(a-c.sn-9） √5 3 cos日5sin831, b sin0 sin 2tan0 2 因为6∈0， 6 所以an0e0, 3 所。 所以a-小1+o，故C的最小值为1 b 变式3.(2026广东肇庆模拟预测)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，且 3asinC +ccosA-c=0. (1)求角A的值. (2)若ABC的面积为45，BD=2DC,求线段AD长度的最小值. 【答案】（①A=2π 3 (24v2 3 【详解】(1)因为V3 asinC+ccos4-c=0,a=b= sinA sinB sinC' 所以√3 sinAsinC+sinCcosA-sinC=0. 因为Ce0,π， 所以sinC≠0， 所以cosA+V3sinA-1=0, 6 解三角形：边长最值与范围问题、面积最值与范围问题专项训练 因为0<A<π，所以-T<A-元<2π 3 3, 所以A-父-，A=2红 331 3 (2)由(1)得A=2 因为ABC的面积为45，即bcsin 2元=45， 所以bc=16 因为BD=2DC, 所以AD=}AB+2AC, 3 3 商以西-西+号ad ga+d+号aod +4B-2c 9 9 9 9 当且仅当-，即c=2b时，等号成立， 所以线段AD长度的最小值为4V 3 变式4.(25-26高三上海南海口月考)己知a,b,c分别为锐角ABC三个内角A,B,C的对边，ABC的面积 5=g2-b-c 2 (1)求sinA,cosA的值； ②)求+2C的取值范围 【答案】(1)cos4=3 sin4=4 解三角形：边长最值与范围问题、面积最值与范围问题专项训练 【详解】1)在4BC中，由S=a-6-c及三角形面积公式S=bcsin4, 2 2 得a-你-2c+c_besin4,即2bc-6+c2-a2)=bcsin4, 2 2 由余弦定理得2bc(1-cosA)=besinA,即2(1-cosA)=sinA, 两边平方得41-2cosA+cos2A=sin2A, 4(1-2cos4+cos24)=1-cos24,5cos2 4-8cos4+3=0, 解得c0sd1或cos4币0<4<，有-<cosA<山sin40 则cosA=2,sin4=4 3 5 (2)由正弦定理及A+B+C=π得， C)incoC 4 sinC+2sinC a sinA sinA 4 5 13sinC +4cosC 185 4 in(C+o), 其中锐角p由sinp= v185.coso= 4 13 185确定， 而ABC为锐角三角形， 0<C<π 则 ·即经4kC号4+p<C4p经p, <A+C<π 2 2 显然如1C+p1s1.有m径p小-omp v1851 因此11 <sin(C V185 a 4 所以b+2C的取值范围是 11V185 a 4’4 解三角形：边长最值与范围问题、面积最值与范围问题专项训练 考点二 面积最值与范围问题 例1.(2026四川德阳·模拟预测)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知该三角形的面积 5=a2+e-bjsm8. (1)求角B的大小： (2)若b=4时，求△ABC面积的最大值. 【答案】（①B= 3 (2)4V5 0在4BC中，S=，acsin B=a+c-b)sinB,而0<B<r,即 2 a+c2-b2=ac,由余弦定理得cosB=a+c2-_1, 2ac =2 所以B-号 （2)由1)知，B-骨d+心-公=c,而6=4，于是16=a2+c-ac, 即16≥2ac-ac=ac,当且仅当a=c=4时取等号， 因此A8c的面积Scs号 2ac≤4V3, 34 所以当a=c=4时，ABC面积取得最大值4v3 例2.(2026北京模拟预测)在ABC中，角A,B,C所对的边分别Q,b,C, f=2sx-4利osr+sm(8+C川xeR).函数八的图象关于点名0对称。 ()当x0时，求f的值域： (2)若a=6,求ABC的面积最大值. 【答案】( (2)95 【详解】(1)由题可得f (君}-2sm[任4j小mg+n8-c-2os4-ogn4 eossin 6 6 3 2 cos 4- sin A+sin A= 2 cos4-1 2sin 4=cos+=0, 6 所以A+刀=km+元，k∈Z→A=m+交，k∈Z,因为A∈(0，)，所以A=T 6 2 3 解三角形：边长最值与范围问题、面积最值与范围问题专项训练 3 cosx+ 2 医为0》 则2号所做引 所以f(x)的值域为 (2)由(1)得A= 3 ,又a=6,所以a2=b2+c2-2 bc cos A, 即36=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc, 当且仅当b=c=6时等号成立， 所以bc的最大值为36， 所以SesinA-3bes6=93,即0C的面积最太值为9B 4 4 例3.(25-26高三上山东烟台·开学考试)ABC满足：asin A-bsin B=c(sinC-sinB) (1)求角A的大小： (2)D为AC的中点，且BD=3,求bC的最大值 (③若B-号P为ABC外一点，PA=1PB=3,求四边形4PBC面积的最大值 【答案】04=号 (2)18 3)3+5 2 【详解】(1)根据题意由正弦定理有：a2-b2=c(c-b),即b+c2-a2=bc, 由余波定莲有c4:心。-号又0<4：， bc 所以4-行 (2在△48D中，0-会48=cD=3. 由余弦定理有：BD=AB2+AD-2AB·ADcos A, 10