三角函数、解三角形与平面向量专项训练-2026届高三数学二轮专题复习

专题一 三角函数、解三角形与平面向量 考点一　同角三角函数基本关系与诱导公式 1 、(2025·石家庄模拟)已知x∈，cos-cos(3π+x)=，则tan等于(　　) A.1 B.2 C. D.3 2、(2025·安庆模拟)已知=，则sin4θ+cos4θ等于(　　) A. B. C. D. 考点二　三角恒等变换 3、(2025·郴州模拟)已知cos α+sin=，则cos等于(　　) A. B. C.- D.- 4、(2025·新余模拟)已知α，β∈，cos2α-cos2β=，cos(α+β)=，则tan 等于(　　) A.- B. C.3 D.-3 5、(多选)(2025·全国Ⅰ卷，T11)已知△ABC的面积为，cos 2A+cos 2B+2sin C=2，cos Acos Bsin C=，则(　　) A.sin C=sin2A+sin2B B.AB= C.sin A+sin B= D.AC2+BC2=3 考点三　三角函数的图象变换 6、(2025·湖州模拟)已知函数f(x)=acos ωx(a≠0，ω>0)，将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数y=g(x)的图象，若关于x的方程g(x)=0在上有且仅有两个不相等的实数根，则实数ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 7、已知函数的图象过点，且对任意，都有，则的取值范围是 . 考点四　三角函数的性质 8、)(2025·烟台模拟)已知函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递增，且其图象关于点对称，则f 等于(　　) A.- B.- C. D. 9、若函数在上的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10、.(2023·新课标Ⅱ卷，T16)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，如图，A，B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点，若|AB|=，则f(π)=　　　　.  考点五　解三角形在平面几何中的作用 11、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=3，b=2，∠BAC的平分线AD的长为，则BC边上的中线AH的长等于(　　) A. B. C. D. 12、(2025·福州质检)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acos C-ccos A=c+b. ①求A； ②D为边BC上一点，若∠BAD=90°，且BD=4CD=4，求△ABC的面积. 考点六　解三角形中的最值、范围问题 13、(2025·宜昌模拟)如图所示，在△ABC中，sin C=3sin B，AD平分∠BAC，且AD=kAC. (1)若DC=2，求BC的长度； (2)求实数k的取值范围； (3)若S△ABC=，求k为何值时，BC最短. 14、　(2025·安徽江淮十校联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在边AB上，且CD⊥BC，S△ACD=S△BCD=accos B. (1)求B； (2)若CD=2，点E在线段AB上，当△CBE为锐角三角形时，求2CE+BE的取值范围. 考点七　平面向量基本定理 15、(2025·重庆模拟)如图，在平行四边形ABCD中，已知=，=，直线BE，CF交于点O，若=a，=b，则等于(　　) A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 16、如图，在菱形ABCD中，E，F分别为AB，BC上的点，=3，=3.若线段EF上存在一点M，使得=+x(x∈R)，则x等于(　　) A. B. C. D. 考点八　平面向量的最值与范围问题 17、如图，边长为1的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC(包括端点)上一点，则·的取值范围是(　　) A. B. C. D. 18、(2025·安庆模拟)已知向量a，b满足|a|=|b|=2，a·b=2，向量a-c与向量 b-c的夹角为，则|a-c|的最大值为(　　) A. B.2 C. D.4 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一 三角函数、解三角形与平面向量 考点一　同角三角函数基本关系与诱导公式 1 、(2025·石家庄模拟)已知x∈，cos-cos(3π+x)=，则tan等于(　　) A.1 B.2 C. D.3 答案　D 解析　因为cos-cos=， 所以sin x+cos x=， 方法一　所以sin=， 所以sin=， 因为x∈， 则x+∈， 所以cos==， 所以tan=3， 所以tan=tan=tan=3. 方法二　与sin2x+cos2x=1联立得 或(舍去)， 所以tan x=， 所以tan=tan==3. 2、(2025·安庆模拟)已知=，则sin4θ+cos4θ等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为=， 所以=， 所以=， 所以=， 所以sin 2θ=-， 所以2sin θcos θ=-， 所以sin θcos θ=-， 所以sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2×=. 考点二　三角恒等变换 3、(2025·郴州模拟)已知cos α+sin=，则cos等于(　　) A. B. C.- D.- 答案　B 解析　由cos α+sin=， 得cos α+sin α-cos α=sin α+cos α=sin=， 所以cos=1-2sin2=1-2×=. 4、(2025·新余模拟)已知α，β∈，cos2α-cos2β=，cos(α+β)=，则tan 等于(　　) A.- B. C.3 D.-3 答案　A 解析　因为cos2α-cos2β=(cos 2α-cos 2β) =-sin(α+β)sin(α-β)=， 又因为cos(α+β)=，且α，β∈，α+β∈(0，π)， 所以sin(α+β)=，故sin(α-β)=-， 又由于α，β∈， α-β∈， 所以cos(α-β)=， tan ==-. 5、(多选)(2025·全国Ⅰ卷，T11)已知△ABC的面积为，cos 2A+cos 2B+2sin C=2，cos Acos Bsin C=，则(　　) A.sin C=sin2A+sin2B B.AB= C.sin A+sin B= D.AC2+BC2=3 5.答案　ABC 解析　cos 2A+cos 2B+2sin C=2，由二倍角公式，得1-2sin2A+1-2sin2B+2sin C=2， 整理可得sin C=sin2A+sin2B，A选项正确； 方法一　由诱导公式得，sin(A+B)=sin(π-C)=sin C， 展开可得sin Acos B+sin Bcos A=sin2A+sin2B， 即sin A(sin A-cos B)+sin B(sin B-cos A)=0， 若A+B=，则sin A=cos B，sin B=cos A，可知等式成立； 若A+B<，即0<A<-B，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，sin A<sin=cos B，同理sin B<cos A， 又sin A>0，sin B>0，于是sin A(sin A-cos B)+sin B(sin B-cos A)<0， 与条件不符，故A+B<不成立； 若A+B>，同理可得sin A(sin A-cos B)+sin B(sin B-cos A)>0，与条件不符，故A+B>不成立. 综上可知，A+B=，即C=. 则cos Acos Bsin C==cos Acos B，由A+B=，得cos B=sin A，即sin Acos A=， 则sin 2A=，同理sin 2B=，因为A，B∈，则2A，2B∈(0，π)， 不妨设A<B，则2A=，2B=， 即A=，B=， 由两角和与差的正弦公式可知sin A+sin B=sin +sin =+=，C选项正确； 由两角和的正切公式可得，tan =2+， 设BC=t(t>0)，AC=(2+)t， 则AB=(+)t， 由S△ABC=(2+)t2=，则t2==，则t=， 于是AB=(+)t=，B选项正确；由勾股定理可知，AC2+BC2=AB2=2，D选项错误. 方法二　sin C=sin2A+sin2B，由C∈(0，π)，则sin C∈(0，1]， 于是1×sin C=sin2A+sin2B≥sin2C， 设在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由正弦定理得a2+b2≥c2， 由余弦定理可知cos C≥0，则C∈， 若C∈，则A+B>，注意到cos Acos Bsin C=，则cos Acos B>0， 于是cos A>0，cos B>0(两者同负会有两个钝角，不成立)，于是A，B∈， 结合A+B>⇔A>-B，而A，-B都是锐角，则sin A>sin=cos B>0， 于是sin C=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1，这和0<sin C≤1矛盾， 故C∈不成立，则C=.下同方法一. 方法三　cos 2A+cos 2B+2sin C=2⇒2sin C=1-cos 2A+1-cos 2B⇒2sin C=2sin2A+2sin2B， 所以sin C=sin2A+sin2B，故A正确；设在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 由正弦定理===2R， 可得a2+b2=c·2R≥c2，若a2+b2>c2， 则cos C>0，0<C<， 则A+B>⇒A>-B，则sin A>sin ，即sin A>cos B，代入sin C=sin2A+sin2B， 有sin C=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1，与C∈矛盾，故a2+b2=c2，则C=， 即cos C=cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B=0⇒cos Acos B=sin Asin B，又cos Acos Bsin C=，则sin Asin B=， 因为S△ABC=absin C=⇒ab=， 所以=(2R)2=2⇒2R=，所以=2R=⇒c=，故B正确； (sin A+sin B)2=sin2A+sin2B+2sin Asin B=sin C+=⇒sin A+sin B=，故C正确； 因为C=，则AC2+BC2=AB2=c2=2，故D错误. 考点三　三角函数的图象变换 6、(2025·湖州模拟)已知函数f(x)=acos ωx(a≠0，ω>0)，将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数y=g(x)的图象，若关于x的方程g(x)=0在上有且仅有两个不相等的实数根，则实数ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意得g(x)=acos ω=acos， 若x∈，则ωx+∈， ∵g(x)=0在上有且仅有两个不相等的实数根， ∴≤ω+<， 解得≤ω<4， 即实数ω的取值范围是. 7、已知函数的图象过点，且对任意，都有，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题设，，则，则， 由都有，又， 所以在上单调递增，此时， 所以，可得， 当有，故当有， 当有，当有， 又，所以. 故答案为： 考点四　三角函数的性质 8、)(2025·烟台模拟)已知函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递增，且其图象关于点对称，则f 等于(　　) A.- B.- C. D. 答案　C 解析　由函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递增，得≥2=π， 解得0<ω≤2，由f(x)的图象关于点对称，得ω-=kπ，k∈Z， 解得ω=3k+，k∈Z，于是k=0，ω=，f(x)=sin， 所以f =sin=sin=. 9、若函数在上的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，且值域为， 所以，则. 故选：B. 10、.(2023·新课标Ⅱ卷，T16)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，如图，A，B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点，若|AB|=，则f(π)=　　　　.  10.答案　- 解析　设A，B， 由|AB|=可得x2-x1=， 由sin x=可知， x=+2kπ，k∈Z或x=+2kπ，k∈Z， 由图可知， ωx2+φ-(ωx1+φ)=-=， 即ω(x2-x1)=，所以ω=4. 因为f =sin=0， 所以+φ=kπ，k∈Z， 即φ=-+kπ，k∈Z. 所以f(x)=sin，k∈Z， 所以f(x)=sin或f(x) =-sin， 又因为f(0)<0， 所以f(x)=sin， 所以f(π)=sin=-. 　　　　　　　　　　　　　　　　 考点五　解三角形在平面几何中的作用 11、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=3，b=2，∠BAC的平分线AD的长为，则BC边上的中线AH的长等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设∠BAD=∠CAD=α，则∠BAC=2α，如图所示. 由S△ABC=S△ABD+S△ACD， 可得×3×2sin 2α=×3×sin α+×2×sin α，整理得3sin 2α=2sin α， 即3×2sin αcos α=2sin α， 即sin α(3cos α-)=0， 又因为sin α≠0，所以cos α=， 所以cos 2α=2cos2α-1=， 由AH是BC边上的中线， 得=+)， 则= = =(c2+b2+2cbcos 2α) =×=. 所以AH=. 11、(2025·福州质检)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acos C-ccos A=c+b. ①求A； ②D为边BC上一点，若∠BAD=90°，且BD=4CD=4，求△ABC的面积. 解　①方法一　因为acos C-ccos A=c+b， 所以由正弦定理可得， sin Acos C-sin Ccos A=sin C+sin B， 又因为sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C， 所以sin Acos C-sin Ccos A=sin C+sin Acos C+cos Asin C，即2sin Ccos A+sin C=0， 由于0°<C<180°，所以sin C>0， 所以cos A=-， 因为0°<A<180°，所以A=120°. 方法二　因为acos C-ccos A=c+b， 所以由余弦定理可得-=c+b， 整理得b2+c2-a2=-bc， 所以cos A===-， 又因为0°<A<180°，所以A=120°. ②方法一　由①及题设知，∠BAD=90°，∠BAC=120°，∠CAD=30°，a=5. 在Rt△ABD中，c=BD·sin∠ADB=4sin∠ADB， 在△ACD中，由正弦定理得，=， 则b==2sin∠ADC， 又sin∠ADB=sin∠ADC，所以c=2b， 在△ABC中，由余弦定理可得a2=b2+c2+bc=25，即7b2=25，b2=， 所以△ABC的面积S=bcsin A=b2=. 方法二　如图所示，过点C作CE⊥AB，垂足为E， 在Rt△ACE中，∠CAE=180°-∠BAC=60°，所以AE=， 由于∠BAD=∠BEC=90°，所以△BAD∽△BEC， 所以==， 即BE==BA+AE=c+， 得c=2b，后同方法一. 方法三　由①及题设知，∠BAD=90°，∠CAD=30°，作AH⊥BC，垂足为H(图略)，则AH为△ABD和△ACD的高，所以==4， 又因为==， 所以=4，即c=2b，后同方法一. [规律方法]　解决与平面几何有关的问题时，要把平面几何中的一些知识(相似三角形的边角关系、平行四边形的性质等)与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题. 考点六　解三角形中的最值、范围问题 12、(2025·宜昌模拟)如图所示，在△ABC中，sin C=3sin B，AD平分∠BAC，且AD=kAC. (1)若DC=2，求BC的长度； (2)求实数k的取值范围； (3)若S△ABC=，求k为何值时，BC最短. 解　(1)因为sin C=3sin B， 由正弦定理得c=3b， 在△ABD中，由正弦定理得=， 在△ACD中，由正弦定理得=， 因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD， 因为∠ADB+∠ADC=π，所以sin∠ADB=sin∠ADC， 所以=， 因为c=3b，即AB=3AC，DC=2，所以=3， 得BD=6，所以BC=8. (2)因为S△ABC=S△ABD+S△ADC， 设∠BAD=∠CAD=θ，0<θ<， 所以AB·ACsin 2θ=AB·ADsin θ+AC·ADsin θ， 因为AB=3AC，AD=kAC， 所以3AC·AC·2sin θcos θ=3AC·kACsin θ+AC·kACsin θ， 因为sin θ>0，所以6cos θ=4k， 所以k=cos θ， 因为θ∈， 所以cos θ∈(0，1)，所以实数k的取值范围为. 13、由余弦定理得BC2=c2+b2-2c·bcos∠BAC=2b2(5-3cos 2θ)， 因为S△ABC=， 所以bcsin 2θ=， 因为c=3b，所以b2=， 所以BC2=(5-3cos 2θ)=2·， 方法一　令y=，y>0， 则ysin 2θ+3cos 2θ=5， 所以sin(2θ+φ)=5， 所以当sin(2θ+φ)=1，即2θ+φ=时，y取得最小值4，此时tan φ=， 所以cos 2θ=cos=sin φ=， 因为0<θ<， 所以cos θ==， 由(2)知k=cos θ=×=， 所以当k=时，BC最短. 方法二　BC2=2·=== ===8tan θ+ ≥2=8， 当且仅当8tan θ=，即tan θ=时取等号，此时cos θ=，k=， 所以当k=时，BC最短. [规律方法]　解三角形中常见的求最值与范围问题的解题策略 (1)利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a+b与ab相互转化求最值或范围. (2)利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简；利用三角函数的性质求最值或范围. 14、　(2025·安徽江淮十校联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在边AB上，且CD⊥BC，S△ACD=S△BCD=accos B. (1)求B； (2)若CD=2，点E在线段AB上，当△CBE为锐角三角形时，求2CE+BE的取值范围. 解　(1)∵S△ACD=S△BCD=accos B， 记点C到直线AB的距离为h， 则AD·h=×BD·h， ∴BD=2AD，BD=c，AD=c， ∴S△BCD=accos B=×a·sin B， ∴tan B=，又B∈， ∴B=. (2)由(1)知B=，CB⊥CD，又CD=2， ∴BC==2， 设∠CEB=θ， 在△CBE中，由正弦定理可得==， ∴==， 则CE=，BE=， ∴2CE+BE=+ =+ =++1. ∵△CBE为锐角三角形，则 解得<θ<， 又y=sin θ，y=tan θ在上单调递增，且函数值均为正数， 而y=在(0，+∞)上单调递减， ∴y=++1在上单调递减， 当θ=时，++1=4+4， 当θ→时，→0， ∴++1→2+1， 故2CE+BE的取值范围为(2+1，4+4). 考点七　平面向量基本定理 15、)(2025·重庆模拟)如图，在平行四边形ABCD中，已知=，=，直线BE，CF交于点O，若=a，=b，则等于(　　) A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 答案　D 解析　设=λ，λ∈(0，1)，则 =+=+λ=+λ(+)=a+λ=a+λb， 又b=3，a=-=-3， 所以=-3)+3λ=+， 因为F，O，C三点共线，所以1-+-3=1， 解得λ=， 所以=a+λb=a+b. 16、如图，在菱形ABCD中，E，F分别为AB，BC上的点，=3，=3.若线段EF上存在一点M，使得=+x(x∈R)，则x等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　方法一　(基底法) ∵=3，=3， ∴EF∥AC且EF=AC， ∴==-+， ∵E，M，F三点共线， 设=t(0≤t≤1)， ∴=++=++t =+-t+t =+， 又∵=+x， ∴+t=，∴t=， ∴x=1-t=1-=. 方法二　(等和线) 由图可知，直线AC是以{，}为基底，值为1的等和线， 设DM与AC交于点N，+x=k， 又∵AC∥EF，则=， 根据等和线定理可得k=， ∴+x=，解得x=. 考点八　平面向量的最值与范围问题 17、如图，边长为1的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC(包括端点)上一点，则·的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　方法一　(坐标法) 如图建立平面直角坐标系，则A， B， 又圆O的半径为r=， 设P， ∵点P在(包括端点)上，∴θ∈， ∴=，=(1，0)， ∴·=cos θ+，∵θ∈， ∴cos θ∈，cos θ+∈， ∴·的取值范围是. 方法二　(投影法) 当P在劣弧BC的中点时，向量在向量上投影向量的模最大，为， 由数量积的几何意义知 (·)max=×1=， 当P在B或C处时，向量在向量上投影向量的模最小，为1，∴(·)min=1×1=1， ∴·的取值范围是. 18、(2025·安庆模拟)已知向量a，b满足|a|=|b|=2，a·b=2，向量a-c与向量 b-c的夹角为，则|a-c|的最大值为(　　) A. B.2 C. D.4 答案　D 解析　由a·b=|a||b|cos〈a，b〉=4cos〈a，b〉=2，故cos〈a，b〉=，即〈a，b〉=， 如图，设=a，=b，=c，则 △OAB是等边三角形， ∵向量c满足a-c与 b-c的夹角为，∴∠ACB=， ∵点C在AB外且∠ACB为定值， ∴C的轨迹是两段圆弧，∠ACB是弦AB所对的圆周角，∴当AC是AB所在圆的直径时，|a-c|取得最大值2R(R为△ABC外接圆的半径)， 在△ABC中，由正弦定理可得2R===4， 故|a-c|的最大值为4. 学科网（北京）股份有限公司 $