新疆生产建设兵团第二中学2025-2026学年高一下学期第一次周测数学试题

高一下数学周测答案 一、单选题（每题5分，共8小题，总计40分） 1. 已知中，，，那么角等于（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理求解. 【详解】在中，，， 由正弦定理得：， 则， 因为，所以，则， 故选：C 2. 已知复数（是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：利用复数除法运算化简得到，由共轭复数定义和模长运算法则可求得结果； 方法二：根据可直接求得结果. 【详解】方法一：，. 方法二：. 故选：B. 3. 在中，点D在边AB上，．记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【详解】因为点D在边AB上，，所以，即， 所以． 故选：B． 4. 已知，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用投影向量的定义求解. 【详解】因为， 所以， ， 所以. 故选：B 5．如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，则的值为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理计算即可. 【详解】设，则 ， 又因为G是的重心，故， 所以有. 故选：A 6. 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是 ，则河流的宽度BC等于（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，，， 所以 . 故选C. 7. 已知菱形的边长为，动点在边上（包括端点），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量积的坐标计算将目标式化简，求出取值范围即可. 【详解】 如图，作，以为原点，建立平面直角坐标系， 易知，，， 设，且，故，， 故，而，. 故选：C 8. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】中，由正弦定理可得，利用余弦定理可得：．再利用余弦定理及其基本不等式的性质可得的最小值，可得的最大值，即可得出三角形面积的最大值． 【详解】由正弦定理得： 由余弦定理得：，即 当且仅当时，即，，时取等号， , 则，所以面积的最大值. 故选：B 二、多选题（每题6分，共3小题，总计18分） 9. 下列叙述中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与的方向相同 C. 若，，则 D. 对于任意非零向量，是一个单位向量 【答案】ABC 【解析】 【分析】A.由平面向量不能比较大小判断；B.由共线向量的定义判断；C.由判断；D.由单位向量的定义判断. 【详解】A.平面向量不能比较大小，故错误； B.若，则与方向相同或相反，故错误； C.当时，不成立，故错误； D.对于任意非零向量，是一个单位向量，正确， 故选：ABC 10. 设复数在复平面内对应的点为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则或 B. 若，则的最小值为 C. 若，则 D. 若，则点的集合所构成图形的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用列举反例的方法，结合模长公式，可得答案； 对于B，根据复数的几何意义，写出点的轨迹方程，根据圆外一点到圆上点的最短距离，可得答案； 对于C，根据复数的模长公式，可得答案； 对于D，根据模长的几何意义作图，结合圆的面积公式，可得答案. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，设对应的点为，则其轨迹方程为， 由原点到的距离为，如下图： 易知当对应的点为时，取得最小值，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由题意可作图如下： 点的集合所构成图形为图中的阴影部分，面积，故D正确. 故选：BD. 11. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则是钝角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，，则满足条件的三角形有且只有一个 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正弦定理结合结论大角对大边可判断A；由余弦定理结合正弦定理的边角互换可判断B；由正弦定理的边角互换结合二倍角的正弦公式可判断C；由余弦定理求出可判断D. 【详解】对A选项，根据结论大角对大边，则有， 又因为正弦定理，所以，故A正确； 对B选项，由可得， ∴，为钝角三角形，故B正确； 对C选项，由可得，∴， ∴或，是直角三角形或等腰三角形，故C错误； 对D选项，由， 则，解得， 故，满足条件的三角形有且只有一个，故D正确. 故选：ABD． 三、填空题（每题5分，共3小题，总计15分） 12. 设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用共线向量定理结合平面向量基本定理列式计算得解. 【详解】由， 由三点共线，得， 则，又不共线，因此，解得， 所以实数的值为. 故答案为： 13. 欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉提出的.利用欧拉公式可知在复平面内对应的点位于第____象限. 【答案】四 【解析】 【分析】根据欧拉公式及复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】由题意得， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故答案为：四. 14. 已知平面向量，若，且，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到与夹角为，作向量，，，根据题中条件，判定，，三点共线，由的几何意义表示线段的长，即可得出结果. 【详解】由已知， 所以，以为三边的三角形为等边三角形， 所以，的夹角为. 如图作向量，，， 则，，所以， 则， 所以， 故，，三点共线，即点在线段上， 所以， 即的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤） 15. 已知，，． （1）求与的夹角； （2）若，且，求实数t的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可求出，再由向量夹角公式代入即可得出答案. （2）由题意可得，代入化简即可得出答案. 【小问1详解】 因为， 所以，即，所以， 所以， 又，所以． 【小问2详解】 因为，且， 所以． 即，解得． 16. 已知向量． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）在中，，若，求的周长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简得到，然后求最小正周期和单调递增区间即可； （2）利用正弦定理进行边角互换得到，由（1）得到，然后利用余弦定理列方程，最后解方程求周长即可. 【小问1详解】 ， ，所以的最小正周期为， 令，解得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 因为，所以①， ，整理得， 因为，则，故，所以， ②， 由①②得，， 所以的周长为. 17. 的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式以及同角三角函数关系化简已知等式，可得，即可求得答案； （2）利用正弦定理求出a的表达式，并结合恒等变换公式化简，利用为锐角三角形，求出角C的范围，即可求得a的取值范围，再利用三角形面积公式，即可求得答案. 【小问1详解】 因为中，，即， 而，故， 故，又， 则； 【小问2详解】 由（1）以及题设可得； 由正弦定理得 ， 因为为锐角三角形，，， 则， 则，则， 即，则， 即面积的取值范围为. 18. 在中，设角所对的边分别为，已知且. (1)求角； (2)若，求边上的角平分线的长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用正弦定理进行角化边，再利用余弦定理得解； （2）先利用余弦定理求出，再利用等面积法，即可求解； （3）用余弦定理、中线向量定理、正弦定理、辅助角公式等，将的范围转化为的范围，再结合锐角三角形以及角，求得角的范围，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，， 又由余弦定理得，， 故. （2） 由余弦定理可知，，代入， 可得，解得. 设， ，即， 解得，因此. （3）由余弦定理得，， 即. ，两边平方得. 由正弦定理可知，，故， 因此 ， 又因为是锐角三角形，故，解得， 故，，， 即，则. 19.设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：试求解下列问题： (1)已知向量满足，，，求的值； (2)①若，，用坐标，，，表示； ②在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； (3)已知向量，，，求的最小值. (1)2 (2)①，②7 (3)9 【分析】（1）根据数量积可求解余弦值，根据同角关系可求解正弦值，进而根据定义即可求解. （2）①根据数量积的坐标运算求解夹角，进而根据同角关系可求解正弦值，进而根据定义即可求解，②直接利用①的结论，即可代入求解得解. （3）直接利用（2）的结论，结合基本不等式即可求解最值. 【详解】（1）由，可得，则， 由于，因此，其中为的夹角， 故； （2）①由，，可得， 结合，故， 故， ②由，，可得， 故 （3）由,，结合（2）的结论可知： ， 当且仅当，等号成立，结合，故时取到等号， 因此的最小值为9. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兵团二中2026年高一下周测 数 学 试 题 一、单选题（每题5分，共8小题，总计40分） 1. 已知中，，，那么角等于（ ） A. 或 B. 或 C. D. 2. 已知复数（是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 中，点D在边AB上，．记，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，从气球A上测得正前方河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度BC等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知菱形的边长为，动点P在边上（包括端点），则的取值范围是（ ） A B. C. D. 7. 如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，则的值为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 8. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共3小题，总计18分） 9. 下列叙述中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与的方向相同 C. 若，，则 D. 对于任意非零向量，是一个单位向量 10. 设复数在复平面内对应的点为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则或 B. 若，则的最小值为 C. 若，则 D. 若，则点的集合所构成图形的面积为 11. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则是钝角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，，则满足条件的三角形有且只有一个 三、填空题（每题5分，共3小题，总计15分） 12. 设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________. 13. 欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉提出的. 利用欧拉公式可知在复平面内对应的点位于第____象限. 14. 已知平面向量，若，且，则的取值范围是__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤） 15. （13分）已知，，． （1）求与的夹角； （2）若，且，求实数t的值． 16. （15分）已知向量． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）在中，，若，求的周长． 17. （15分） 的内角的对边分别为，已知. （1）求B； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 18. （17分）在中，设角所对的边分别为，已知且. (1)求角； (2)若，求边上的角平分线的长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围. 19.（17分）设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：试求解下列问题： (1)已知向量满足，，，求的值； (2)①若，，用坐标，，，表示； ②在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； (3)已知向量，，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $