2026年中考数学三轮冲刺培优训练：一次函数压轴之动点与坐标问题

三轮冲刺培优训练：一次函数压轴之动点与坐标问题 1．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l2与x轴、y轴分别交于点C、点D，与直线l1交于点E（3，a），且． （1）求直线l2的函数表达式； （2）如图2，点F在射线CA上，动点G、动点H分别在直线l1、直线l2上，连接EF、FG、FH、GH，当△DEF面积为6时，求△FGH周长的最小值； （3）如图3，在（2）的条件下，将△CDF沿射线FC平移至△C′D′F′处，再将△C′D′F′绕点D′旋转一定角度时，点F′会与点C重合，记旋转过程中的△C′D′F′为△C''D′F''，在整个旋转过程中，直线C''F''分别与直线FD′、x轴交于点N、K，若△FNK是以NK为腰的等腰三角形，请直接写出此时NK的长． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，直线BC与x轴负半轴交于点C，且CO＝2AO． （1）求线段AC的长； （2）动点P从点C出发沿射线CA以每秒1个单位的速度运动，连接BP，设点P的运动时间为t（秒），△BPO的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； （3）在（2）的条件下，在线段BC上是否存在点D，连接DP，使得△BDP是以BP为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 3．如图1，直线AB过点C（2，﹣4），且与y轴交于点B（0，﹣8），与x轴交于点A． （1）求直线AB的函数表达式； （2）如图2，作直线OC，点P在直线OC上，当△PBC的面积为△BOC面积的3倍时，求点P的坐标； （3）如图3，点P为第二象限内的一点，连接BP，以BP为边在BP的左侧作等边△PBM，当∠MOB＝60°，OM＝8+2时，求线段PA的长． 4．如图1，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OA的中点． （1）求直线BC的函数表达式； （2）若P是x轴正半轴上一点，过点P作PD⊥BC于点D，且PD＝BC，依题意补全图1，并求点P的坐标； （3）如图2，若Q是AB上一点，且∠QCA＝∠BCO，连接OQ，CQ，用等式表示线段OQ，CQ，BC之间的数量关系，并证明． 5．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点B，交y轴于点A，已知B（3，0），． （1）求直线AB的函数表达式； （2）如图2，点P是x轴负半轴上一点，点C在线段AB上，连接AP，CP，OC，使AP＝CP，设点P的横坐标为t，△POC的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，将射线AP绕着点A逆时针旋转45°，交线段OB于点Q，点G是y轴负半轴上一点，连接QG，若AG＝PQ+QG，△OQG的周长为6，求点Q的坐标． 6．在平面直角坐标系中，如图1，已知直线y＝﹣x+2分别交x轴、y轴于点B，A，点C在x轴的负半轴上，且OA＝2OC． （1）求直线AC的表达式； （2）若点M是直线AC上的一点，连接BM，使得S△AMB＝2S△ABC，求出此时点M的坐标； （3）在（2）的条件下，x轴上存在点P，使∠CMP＝45°，请直接写出点P的坐标． 7．如图1，直线BC：与x轴、y轴分别交于B，C两点，直线AB与x轴、y轴分别交于B，A（0，6）两点． （1）请求出点B，C的坐标及直线AB的解析式； （2）若点D为直线BC上的一个动点，过点D作直线DE⊥x轴，垂足为E，交直线AB于点F，当DF＝3时，求点E坐标及△BDF的面积； （3）点P为线段OB上一点，若∠BCP＝45°，请求出点P的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝ax+12与y轴正半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与双曲线y（x＞0）的交点为C（4，m），D（C在D的左边），且C，D恰好是线段AB的三等分点． （1）求a，k的值； （2）P是x轴上一点，连接CP． ①当P在OB延长线上时，CP与双曲线交于另一点Q，若S△CDQ＝12，求点P的坐标； ②当P在OB上时，将直线CP沿直线AB进行翻折，与双曲线交于另一点E，连接PE，若CE＝2CP，求点P的坐标． 9．如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴的正半轴上，且OC＝3OB． （1）求直线BC的表达式； （2）若点P是直线BC上一动点，且S△APC＝3S△ABP，求点P的坐标； （3）如图2，若点P是线段BC上一动点，过P作PQ⊥AB于Q，当时，求点P的坐标． 10．如图①，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A（m，0），与y轴交于点B（0，n），满足|m﹣6|0，C是线段OA上一点，连接BC． （1）求直线AB的函数表达式； （2）如图②，将线段CB绕点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，求点C和点D的坐标； （3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使得以点C、D、P为顶点的三角形是等腰三角形且腰长，若存在，请直接写出点P的坐标． 11．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足为D、E，即AD⊥l，BE⊥l，此图形可用于验证勾股定理．某学习小组探究三角形全等时，发现这是一组全等模型． （1）求证：△ADC≌△CEB． （2）如图2，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°且AC＝BC．已知点A的坐标为（﹣8，3），点C的坐标为（﹣2，0），连接AB交y轴于点F，求点F的坐标． （3）如图3，直线y＝2x+4分别交x轴、y轴于点G、H．若点P在第二象限，且△GPH是等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标． 12．如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点P．点C为直线与x轴的交点． （1）求点P的坐标； （2）如图2，点Q是线段CO上的一个动点，过点Q作平行于y轴的直线l，分别交直线AB，PC于点M，点N，连接CM．设点Q的横坐标为m， ①线段MN＝　 　 （用含m的代数式表示）； ②求△CMN面积的最大值． 13．【模型建立】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA； 【模型运用】如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB与y轴交点D，点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），求点B、D两点的坐标； 【模型拓展】如图3，直线yx+3上有一点A，x轴上有一点B（6，0），且满足∠OAB＝45°，直接写出点A的坐标． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，OA＝1，OBOA，直线OC：yx交直线AB于点C． （1）求直线AB的解析式及C点的坐标； （2）如图1，P为直线OC上一动点且在第一象限内，M、Q为x轴上动点，Q在M右侧且MQ，当S△PCB时，求PQ+QM+MA最小值； （3）如图2，将△AOB沿着射线CO方向平移，平移后A、O、B三点分别对应D、E、F三点，当DF过O点时，在第一象限内是否存在H点，使得以H、D、F三个点为顶点的三角形为等腰直角三角形，若存在，请直接写出H点坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线l1与x轴交于点D，与y轴交于点E，与直线l2：y＝﹣x+5交于点C（m，6），直线l2与x轴交于点A，与y轴交于点B，且． （1．求直线l1的函数表达式； （2）点M是直线l1上一动点，当S△ACD＝3S△CAM时，求点M的坐标； （3）在（2）条件下，当点M在第二象限时，在y轴有一点N，且∠AMN＝∠DAB，请求出所有符合条件N点的坐标（选一种情况写出解答过程）． 16．如图1所示，直线AB：y＝nx﹣4n（n＞0）与x轴正半轴、y轴负半轴分别交于A、B两点． （1）当OA＝OB时，试确定直线AB解析式； （2）在（1）的条件下，如图2所示，设Q为线段BA延长线上一点，连结OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM＝1，求BN的长； （3）如图3所示，当n取不同的值时，点B在y轴负半轴上运动，以点B为直角顶点分别作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，且点F在第三象限，点E在第四象限，连接EF交y轴于点P，试探究PB的长是否为定值？若是，求出PB的值；若不是，请说明理由． 17．如图，已知直线l1：y＝kx﹣4与x轴交于点A，直线l2：y＝2x+8与x轴，y轴分别交于点D和点B，且两直线交于点C，C点坐标为（﹣8，m）． （1）求k的值． （2）在y轴上是否存在一点P，使得△BCP与△ABC面积相等？若存在，请求出p的坐标；若不存在，请说明理由． （3）直线AB上是否存在点Q，使得∠BDQ＝45°，若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由． 18．在平面直角坐标系xOy中，直线AB的解析式为y＝x+b，分别与x轴、y轴交于A、B两点，已知点A坐标为（﹣4，0）． （1）求直线AB的解析式及点B坐标． （2）将直线AB沿y轴向上平移t个单位（t＞0）得到直线CD，分别与x轴、y轴交于C、D两点，直线CD上是否存在一点E，使△ABE为等边三角形？若存在，请求出t的值与点E的坐标；若不存在，请说明理由． （3）向上平移直线AB得到直线l，如图2，点M（m，﹣m2﹣3m+4）、点N（n，﹣n2﹣3n+4）（m≠n）在直线l上，且m+n＝﹣4，直线AM、BN交于点Q，求点Q的横坐标． 19．【问题提出】 （1）如图1，一次函数与x轴、y轴分别交于点B、A，O为坐标原点，则△AOB的面积为　 　 ； 【解决问题】 （2）如图2，△ABC是某植物园的花卉培育基地示意图，AO和CD是两条小路，AO和CD的交点E处有一口水井，EF是一条水渠（点F在OC上），△CEF区域是水培植物试验区．已知AC＝BC，AO⊥BC于点O，点D是AB的中点，且∠EFO＝∠OAC．现以BC所在直线为x轴、AO所在直线为y轴建立平面直角坐标系（图中1个单位长度表示1m），得到边AB所在直线的函数表达式为y＝2x+80，点D的坐标为（t，40）．（小路和水渠的宽度以及水井的大小均忽略不计） ①求小路CD所在直线的函数表达式； ②求水培植物试验区的面积（即△CEF的面积）． 20．在平面直角坐标系中，有A（m，0），B（0，n）两点，若存在点C使得∠ABC＝90°，且AB＝BC，则称点C为m的“旋垂点”．例如：如图1，A（2，0），B（0，1），C（1，3）三点中，因为∠ABC＝90°，且AB＝BC，所以点C为2的“旋垂点”． （1）①点A（2，0），B（0，2），则C（﹣2，0）　 　 2的“旋垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图2，若点A（4，0），B（0，2），则点C是4的“旋垂点”，则点C的坐标为　 　 ． （2）如图3，若点A为（0，2），一次函数y＝3x﹣2上存在2的“旋垂点”，点B在y轴上，求2的“旋垂点”C的坐标． （3）若在直线y＝kx+b（k＞0）上存在无数个5的“旋垂点”，且直线y＝kx+b（k＞0）与x轴交于点E，与y轴交于点F，点P在△EOF内，EP＝4，OP＝3，连接FP，直接写出△OEP的面积． 参考答案 1．解：（1）直线与x轴、y轴分别交于点A、点B． 令x＝0，y，则点B坐标为（0，）； ∵ODOB， ∴点D坐标为（0，3）． 令x＝3，y＝3，则点E坐标为（3，3）． 设直线l2的解析式为y＝kx+b，代入D、E两点坐标得： ， 解得：． ∴直线l2的解析式为yx+3． （2）设点F横坐标为m． 对于直线l2，令y＝0，x，则点C坐标为（3，0）． ∴CF＝3m， ∴S△DEF•S△DCF•yD•CF＝（3）（3m）＝6， 解得m6． ∴CF＝6+2， 如图，点F关于直线l2、l1的对称点为P、Q，连接PQ、PH、GQ、FP、FQ、AQ、CP． 根据轴对称的性质，FH＝PH，FG＝GQ， ∴△FGH的周长＝PH+GH+GQ≥PQ． 在Rt△COD中，OC＝3，OD＝3，CD6，则ODCD． ∴∠OCD＝30°， 根据轴对称的性质，CF＝PC，∠FCP＝2∠OCD＝60°， ∴△CFP为等边三角形． ∴xP（xF+xC）＝23，yPCF＝33． 对于直线l1，令y＝0，x，则点A坐标为（，0）， ∴AF＝xA﹣xF＝6． 由于直线l1的解析式易知△FAQ为等腰直角三角形， ∴xQ＝xA，yQ＝﹣AQ＝﹣6． ∴PQ62． ∴△FGH的周长的最小值为62． （3）设FF′＝d，由平移的性质，DD′＝CC′＝FF′＝d． 根据题意点F′在旋转过程中会与点C重合，则D′F′＝CD′， ∴点D′在线段CF′的垂直平分线上． ∴xD′＝d，即2d＝（6+d）+3， 解得：d＝46． ∴点D′的坐标为（46，3）． 如图，O′D′⊥x轴，根据平移性质，O′D＝OD＝3，OO′＝DD′＝d． ∴FO′＝OO′+OF＝46+（6）＝3． 根据勾股定理，D′F6， 在Rt△FO′D′中，O′D′D′F＝3，则∠D′FC＝30°． ∵△FNK是以NK为腰的等腰三角形， ∴∠CNF＝∠NFC＝30°． 根据平移和旋转的性质，∠F″C″D′＝∠FCD＝30°， ∴点N与点C″重合． ∵D′C＝D′F″， ∴点C、F″、K三点重合， ∴NK＝CF＝6+2． 2．解：（1）把x＝0代入y＝﹣x+3，y＝3， ∴B（0，3）， 把y＝0代入y＝﹣x+3，x＝3， ∴A（3，0）， ∴AO＝3， ∵CO＝2AO， ∴CO＝6， ∴C（﹣6，0）； ∴AC＝6+3＝9； （2）∵C（﹣6，0），动点P从点C出发沿射线CA以每秒1个单位的速度运动， ∴CP＝t， ∴P（﹣6+t，0）， ∴OP＝|6﹣t|， ∴S3×|6﹣t||6﹣t|，t≥0且t≠6， 即S； （3）存在点D，使得△BDP是以BP为直角边的等腰直角三角形，理由如下： 如图1，当∠PBD＝90°时，过点B作GH∥x轴，过点D作DG⊥GH交于G点，过点P作PH⊥GH交于H点， ∵∠PBD＝90°， ∴∠DBG+∠PBH＝90°， ∵∠GBD+∠BDG＝90°， ∴∠PBH＝∠BDG， ∵BD＝BP， ∴△BDG≌△PGH（AAS）， ∴GB＝PH＝3，GD＝BH＝t﹣6， ∴D（﹣3，9﹣t）， 设直线BC的解析式为y＝kx+3， ∴﹣6k+3＝0， 解得k， ∴直线BC的解析式为yx+3， ∴9﹣t3， 解得t； 如图2，当∠PBD＝90°时，过点D作DM⊥x轴交于M点，同理可得△PDM≌△BPO（AAS）， ∴DM＝OP＝6﹣t，MP＝OB＝3， ∴D（t﹣9，6﹣t）， ∴6﹣t（t﹣9）+3， 解得t＝5； 综上所述：t的值为或5． 3．解：（1）设AB的表达式为：y＝kx﹣8， 将点C的坐标代入上式得：﹣4＝2k﹣8，则k＝2， 则直线AB的表达式为：y＝2x﹣8； （2）由点C的坐标得，直线OC的表达式为：y＝﹣2x， 取BM＝3OB＝24，过点M作直线PM∥AB， 则△PBC的面积为△BOC面积的3倍，则点M（0，﹣32）， 则直线PM的表达式为：y＝2x﹣32， 在BC的上方取BN＝3OB，过点N作NP′∥AB， 则此时△P（P′）BC的面积为△BOC面积的3倍，则点N（0，24）， 则直线NP′的表达式为：y＝2x+24， 分别将NP′和MP的表达式和OC联立得：﹣2x＝2x﹣32或﹣2x＝2x+24， 解得：x＝8或x＝﹣4， 则点P（8，﹣16）或（﹣4，8）； （3）令y＝0，则y＝2x﹣8＝0， ∴x＝4，即点A（4，0）， ∴OA＝4， 在OM上截取OG＝OB＝8，连接OP，BG，作PH⊥x轴于点H， 则GM＝OM﹣OG＝8+28＝2， 设BP交OM于点T， ∵∠MOB＝60°，则△OBG为等边三角形， ∵△PBM为等边三角形，则PB＝PM＝MB， ∵∠MBG+∠PBG＝60°，∠PBG+∠OBP＝60°， ∴∠GBM＝∠OBP， ∵GB＝OB，MB＝PB， ∴△BGM≌△POB（SAS）， 则∠BMG＝∠BPO，则GM＝OP＝2， ∵∠PTO＝∠MTB，∠BMG＝∠BPO， ∴∠POM＝∠PBM＝60°， 则∠HOM＝90°﹣∠MOB＝30°，则∠POH＝60°﹣30°＝30°， 则PHOP，则OH3， 则PA2． 4．解：（1）由y＝x+4，令y＝0，得x＝﹣4；令x＝0，得y＝4， ∴A（﹣4，0），B（0，4）， ∵C是OA的中点， ∴C（﹣2，0）， 设直线BC的函数表达式为 y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线BC的函数表达式为y＝2x+4； （2）如图，PD即为所画的线段， 过点D作DH⊥x轴于点H，则∠DHP＝∠COB＝90°， ∵PD⊥BC， ∴∠PDC＝90°， ∵∠PCD＝∠BCO， ∴∠DPC＝∠CBO， ∵PD＝BC， ∴△PDH≌△BCO（AAS）， ∴PH＝BO＝4，DH＝CO＝2， 由y＝2x+4，令y＝2，得x＝﹣1； ∴H（﹣1，0）， ∴P（3，0）； （3）OQ+CQ＝BC，理由如下： 证明：在CB上截取CR＝CQ，连接OR． ∵∠QCA＝∠BCO，AC＝OC， ∴△ACQ≌△OCR（SAS）， ∴AQ＝OR，∠CAQ＝∠COR， 由（1）得 A（﹣4，0），B（0，4）， ∴OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝45°， ∴∠COR＝∠OAB＝45°， ∴∠BOR＝90°﹣45°＝45°， 在△AOQ与△OBR中， ∵OA＝OB，∠OAQ＝∠BOR，AQ＝OR， ∴△AOQ≌△OBR（SAS）， ∴OQ＝BR， ∵BR+CR＝BC， ∴OQ+CQ＝BC． 5．解：（1）∵B（3，0）， ∴OB＝3， ∵∠AOB＝90°， ∴OA3， ∴A（0，3）， 设AB的解析式为y＝kx+b，将A，B坐标代入得：， 解得：， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3； （2）如图1， 作CQ⊥OB于Q， ∴∠PQC＝∠AOP＝90°， ∵PA＝PC， ∴∠PAC＝∠PCA， ∴∠PAO+∠BAO＝∠CPQ+∠ABO， ∵OA＝OB， ∴∠BAO＝∠ABO， ∴∠PAO＝∠CPQ， ∴△AOP≌△PQC（AAS）， ∴CQ＝OP＝﹣t， ∴SOP•COt2； （3）如图2， 作QR⊥AP于R，作AX⊥GQ，交GQ的延长线于X， ∴∠ARQ＝∠PRQ＝∠AOB＝90°， ∵∠ATR＝∠OTQ， ∴∠RAT＝∠PQR， ∵∠PAQ＝45°， ∴∠AQR＝90°﹣∠PAQ＝45°， ∴∠AQR＝∠PAQ， ∴AR＝PQ， ∴△ART≌△QRP（ASA）， ∴AT＝PQ， ∵AG＝PQ+QG， ∴AT+GT＝PQ+QG， ∴GT＝QG， ∴∠GTQ＝∠GQT， 设∠RAT＝∠PQT＝α， ∴∠AQO＝∠PQT+∠AQR＝α+45°， ∴∠GTO＝∠GQT＝90°﹣α， ∴∠AQX＝180°﹣∠GQT﹣∠AQR＝180°﹣（90°﹣α）﹣45°＝α+45°， ∴∠AQX＝∠AQO， ∵AQ＝AQ， ∴△AOQ≌△AXQ（AAS）， ∴QX＝OQ，AX＝OA＝3， 设OG＝x，则AG＝OG+OA＝x+3， ∵△OQG的周长为＝OQ+GQ+OG＝x+QX+GQ＝x+GX＝6， GX＝6﹣x， 在Rt△AGX中，由勾股定理得， （x+3）2﹣（6﹣x）2＝32， ∴x＝2， 在Rt△GOQ中，由勾股定理得， OQ2+OG2＝QG2， ∴OQ2+22＝（6﹣2﹣OQ）2， ∴OQ， ∴Q（，0）． 6．解：（1）直线y＝﹣x+2分别交x轴，y轴于点B，A， 则点A、B的坐标分别为：（0，2）、（2，0）， ∵2OC＝OA＝2，则OC＝1， 则点C（﹣1，0）， 设直线AC的表达式为y＝kx+2， 将点C的坐标代入上式得：0＝﹣k+2， 则k＝2， ∴直线AC的表达式为：y＝2x+2； （2）过点C作直线t∥AB交y轴于点T（0，﹣1），取TL＝AT＝3， 过点L作直线l∥AB交直线AC于点M'， 则点L（0，﹣4）， 取AK＝2AT＝6，过点K（0，8）作直线k∥AB交AC于点M，则此时S△AMB＝2S△ABC，点M（M'）为所求点， ∵直线l∥AB且点L（0，﹣4）， 则直线l的表达式为：y＝﹣x﹣4， 同理可得：直线k的表达式为：y＝﹣x+8， 分别联立l、k和直线AC的表达式得：2x+2＝﹣x﹣4，2x+2＝﹣x+8， 解得：x＝2或﹣2， 即点M的坐标为：（2，6）或（﹣2，﹣2）； （3）当点M（2，6）时，当点P在点C的右侧时，过点M作EM⊥x轴于点E，过点C作CM的垂线交MP于点F， ∵∠CMP＝45°，则△MCF为等腰直角三角形， ∴CF＝CM， 过点F作FH⊥x轴于点H， ∵∠MCE+∠FCH＝90°，∠FCH+∠CFH＝90°， ∴∠MCE＝∠CFH， ∵∠MEC＝∠CHF＝90°，CF＝CM， ∴△MEC≌△CHF（AAS）， ∴FH＝EC＝2﹣（﹣1）＝3，CH＝ME＝6， 则OH＝6﹣1＝5， ∴点F（5，﹣3）， 由点M、F的坐标得，直线MF的表达式为：y＝﹣3x+12， 令y＝0，则x＝4，即点P（4，0）； 当点P（P′）在点C的左侧时，则MP⊥MP'， 则直线MP'的表达式为：， 令y＝0，则x＝﹣16，则点P（﹣16，0）， 即点P（﹣16，0）或（4，0）； 当点M′（﹣2，﹣2）时， 同理可得，点F（﹣3，1），则直线M'F的表达式为：y＝﹣3（x+2）﹣2或， 令y＝0，则或4， 则点或（4，0）； 综上，点P的坐标为：（4，0）或或（﹣16，0）． 7．解：（1）直线BC：，当x＝0时，y＝0﹣3＝﹣3， ∴点C的坐标为（0，﹣3）， 当y＝0时，， 解得x＝6， ∴点B的坐标为（6，0）， 设直线AB的解析式为：y＝kx+b， 将点A（0，6）与B（6，0）代入y＝kx+b， ，解得：， ∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+6； （2）令E点坐标为（m，0）， ∵直线DE⊥x轴， 则，F（m，﹣m+6）， ∵DF＝3， ①当时， 解得m＝4， ∴点E的坐标为（4，0）， ∴BE＝2， ∴3； ②当时， 解得m＝8， ∴点E的坐标为（8.0）， ∴BE＝2， ∴3； 综上，点E坐标为（4，0）或（8，0），△BDF的面积为3； （3）如图2，过点B作BD⊥BC，与CP的延长线交于D，过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥l于E，过点C作CF⊥l于F． ∴∠CBD＝∠CFB＝∠DEB＝90°， ∴∠CBF+∠BCF＝90°，∠CBF+∠DBE＝180°﹣∠CBD＝90°， ∴∠BCF＝∠DBE， ∵∠BCP＝45°，∠CBD＝90°， ∴△CBD为等腰直角三角形， ∴BC＝BD， ∴△CFB≌△BED（AAS）， ∴BE＝CF＝6，DE＝BF＝3， ∴D（3，6）， 设直线CD解析式为y＝mx+n，将C（0，﹣3），D（3，6）代入得， ，解得， ∴直线CD解析式为y＝3x﹣3， 令y＝0，得x＝1， ∴P（1，0）． 8．解：（1）如图1， 作CE⊥OB于E， ∴CE∥OA， ∴△BCE∽△BAO， ∴， ∵C，D恰好是线段AB的三等分点， ∴， 当x＝0时，y＝ax+12＝12， ∴OA＝12， ∴， ∴CE＝8， ∴C（4，8）， ∴k＝xy＝4×8＝32， 8＝4a+12， ∴a＝﹣1； （2）①如图， 设直线CP解析式为y＝m（x﹣4）+8， 令y＝0，得x＝4， ∴P（4，0）， 由（1）知直线AB解析式为y＝﹣x+12， 令y＝0，得x＝12， ∴B（12，0）， ∴BP＝412， ∵BC＝2CD， ∴S△CBQ＝2S△CDQ＝24， 令m（x﹣4）+8， 整理得mx2﹣（4m﹣8）x﹣32＝0， 解得xC＝4，xQ， ∴Q（，﹣4m）， ∴S△CBQ＝S△CBP﹣S△BPQBP•（yC﹣yQ）（）×（8+4m）＝24， 整理得2m2+9m+4＝0， 解得m或m＝﹣4， ∵点P在OB延长线上， ∴m， ∴P（20，0）； ②直线CP沿直线AB进行翻折后点P的对应点为Q，连接BQ，过点E作EF⊥x轴于点F，如图所示： ∵BO＝AO＝12， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴∠OBA＝45°， 由翻折的性质得：CP＝CQ，PQ⊥AB， ∴BC是线段PQ的垂直平分线， ∴BP＝BQ， ∴△BPQ是等腰三角形， ∵PQ⊥AB， ∴∠QBC＝∠OBA＝45°， ∴∠PBQ＝∠QBC+∠OBA＝90°， ∴BQ⊥x轴， ∵CE＝CQ+EQ＝CP+EQ，CE＝2CP， ∴CP+EQ＝2CP， ∴EQ＝CP＝CQ， ∵CH⊥x轴，BQ⊥x轴，EF⊥x轴， ∴CH∥BQ∥EF， 根据平行线分线段成比例定理得：BH＝BF， 由（1）可知：反比例函数的表达式为：y（x＞0），点C（4，8）， ∴OH＝4， ∵OB＝12， ∴BH＝OB﹣OH＝8， ∴BH＝BF＝8， 即HF＝16， ∴OF＝OH+HF＝20， ∴点E的横坐标为20， ∵点E在反比例y＝（x＞0）的图象上， ∴点E的坐标为（20，1.6）， ∴CE2＝（4﹣20）2+（8﹣1.6）2＝296.96， 设点P的坐标为（n，0）， ∴CP2＝（n﹣4）2+82， ∵CE＝2CP， ∴CE2＝4CP2， ∴296.96＝4[（n﹣4）2+82]， 整理得：（n﹣4）2＝10.24， ∴n﹣4＝±3.2， 由n﹣4＝3.2，解得：n＝7.2， ∴点P的坐标为（7.2，0）； 由n﹣4＝﹣3.2，解得：n＝0.8， ∴点P的坐标为（0.8，0），此时CP沿AB翻折后与双曲线y（x＞0）没有交点，故不合题意，舍去， ∴点P的坐标为（7.2，0）． 9．解：（1）由直线l的表达式为：y＝x+2得， ∴当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣2， ∴A（﹣2，0），B（0，2）， ∴OB＝2， ∵OC＝3OB， ∴C（6，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+2（k≠0）， 把C（6，0），代入得k， ∴直线BC的表达式为：yx+2； （2）对于y＝x+2，令y＝0，得x＝﹣2， ∴A（﹣2，0），即OA＝2， ∴AC＝OA+OC＝8， ∴S△ABCAC•OB＝8， 当点P在点B右侧时，如图， 则此时S△ABC＝S△ABP+S△APCS△APC＝8， ∴S△APC＝6AC•yP， 解得yP， 代入yx+2可得xP， 此时P（，）； 当点P在点B左侧时，如图， 此时S△ABC＝S△APC﹣S△ABPS△APC＝8， ∴S△APC＝12AC•yP， 解得yP＝3， 代入yx+2可得xP＝﹣3， 此时P（﹣3，3）； 综上，点P的坐标为（，）或（﹣3，3）； （3）如图，过点P作直线垂直于x轴，垂足为N，交直线AB于点G， ∵A（﹣2，0），B（0，2）， ∴OA＝OB＝2， ∵∠AOB＝90°， ∴∠BAO＝∠ABO＝45°， ∵GN∥OB， ∴∠ABO＝∠AGN＝45°， ∴△AGN为等腰直角三角形， ∴AN＝GN， ∵PG⊥AG， ∴∠PQG＝90°， ∵∠AGN＝45°， ∴PGPQ＝2， 又∵AO＝2，NA＝NG， ∴NO＝NP， 设P（m，m+2），则ON＝m，PNm+2， 则有mm+2， ∴m， ∴m+2， ∴P（，）． 10．解：（1）∵|m﹣6|0， ∴m＝6，n＝3， ∴A（6，0），B（0，3）， 将点A、B坐标代入y＝kx+b得， ， 解得， ∴直线AB解析式为yx+3； （2）∵B（0，3）， ∴OB＝3， 如图，过D作DG⊥x轴于点G， ∵线段CB绕点C顺时针旋转90°得到CD， ∴CB＝CD，∠BCD＝90°＝∠BOC＝∠DGC， ∴∠BCO＝∠CDG＝90°﹣∠DCG， 在△BOC和△CGD中， ， ∴△BOC≌△CGD（AAS）， ∴OB＝CG＝3，设OC＝DG＝a， 则OG＝OC+CG＝a+3， ∴D（a+3，a）， 由（1）知直线AB解析式为yx+3， ∵点D恰好落在直线AB上， ∴a（a+3）+3， 解得a＝1， ∴OC＝DG＝1，OG＝4， ∴C（1，0），D（4，0）； （3）由（2）知C（1，0），D（4，0）， ∴CD＝BC， 当CD＝CP时， 则P（1，0）或（1，0）； 当DC＝DP时， 此时点C、P关于直线x＝4对称， ∴P（7，0）； 当PC＝PD时，很明显，此时腰长小于，不合题意； 综上，P（1，0）或（1，0）或（7，0）． 11．（1）证明：∵AD⊥l，BE⊥l， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠DAC＝∠ECB＝90°﹣∠ACD， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； （2）解：如图2，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E， 同（1）得△ADC≌△CEB， ∴CE＝AD，BE＝CD， ∵点A的坐标为（﹣8，3），点C的坐标为（﹣2，0）， ∴CE＝AD＝3，BE＝CD＝﹣2+8＝6， ∴E（﹣2+3，0），即E（1，0）， ∴B（1，6）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线AB的解析式为， 当x＝0时，得：y， ∴； （3）解：所有满足条件的点P的坐标为（﹣6，2）或（﹣4，6）或（﹣3，3）．理由如下： 直线y＝2x+4分别交x轴、y轴于点G、H， 当y＝0时，得：2x+4＝0， 解得x＝﹣2； 当x＝0时，得：y＝4， ∴G（﹣2，0），H（0，4）， ∴OG＝2，OH＝4； ①如图3，当∠GPH＝45°，∠PGH＝90°时，过点P作PD⊥x轴于点D， 同（1）得△PDG≌△GOH， ∴DG＝OH＝4，PD＝OG＝2， ∴OD＝DG+OG＝4+2＝6， ∴P（﹣6，2）； ②如图4，当∠GPH＝45°，∠PHG＝90°时，过点P作PE⊥y轴于点E， 同（1）得△PEH≌△HOG， ∴PE＝OH＝4，EH＝OG＝2， ∴OE＝OH+HE＝4+2＝6， ∴P（﹣4，6）； ③如图5，当∠GPH＝90°，∠PHG＝∠PGH＝45°时，过点P作PM⊥x轴于点M，过点H作HN⊥MP交MP的延长线于点N， ∴四边形MOHN为矩形， ∴MN＝OH＝4，HN＝OM， 同（1）得△PMG≌△HNP， ∴PM＝HN，MG＝NP， ∴MN＝NP+PM＝NP+HN＝NP+MG+OG＝2MG+OG＝OH， ∴2MG+2＝4， 解得：MG＝1， ∴OM＝2+1＝3，PM＝OM＝3， ∴P（﹣3，3）； 综上所述，所有满足条件的点P的坐标为（﹣6，2）或（﹣4，6）或（﹣3，3）． 12．解：（1）∵直线与直线交于点P， 联立得：， 解得：， ∴点P的坐标为（4，9）； （2）①∵过点Q作平行于y轴的直线l，分别交直线AB，PC于点M，点N，设点Q的横坐标为m， ∴、， ∴， 故答案为：； ②∵点C为直线与x轴的交点，点Q是线段CO上的一个动点， ∴将y＝0代入直线得：， 解得：x＝﹣8， ∴C（﹣8，0）， ∴﹣8＜m＜0， 由①可得， ∴CQ＝|﹣8|﹣|m|＝8﹣（﹣m）＝8+m， ∴△CMN面积为： ， 当m＝﹣2时，△CMN面积有最大值，最大值为27． 13．（1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠BCE+∠ACD＝90°， ∵AD⊥ED，BE⊥ED， ∴∠E＝∠D＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°， ∴∠BCE＝∠CAD， 在△BEC和△CDA中， ． ∴△BEC≌△CDA（AAS）； （2）解：过C作GH∥x轴，过A作AG⊥GH于G，过B作BH⊥GH于H，如图： 设B（m，n）， ∵∠ACB＝90°，AG⊥GH，BH⊥GH， ∴∠G＝∠H＝90°，∠ACG＝90°﹣∠BCH＝∠CBH， ∵AC＝BC， ∴△ACG≌△CBH（AAS）， ∴AG＝CH，CG＝BH， ∵A（4，0），C（0，﹣2）， ∴2＝﹣m，4＝n﹣（﹣2）， 解得m＝﹣2，n＝2， ∴B（﹣2，2）， 设直线AB解析式为y＝kx+b，把A（4，0），B（﹣2，2）代入得： ， 解得， ∴直线AB解析式为yx， 令x＝0得y， ∴D（0，）； （3）解：作BK⊥AB于B，交AO的延长线于K，作AT⊥x轴于T，KF⊥x轴于F，如图： 设A（a，a+3），则ATa+3，BT＝6﹣a， ∵∠ABK＝90°＝∠BFK＝∠ATB， ∴∠ABT＝90°﹣∠KBF＝∠BKF， ∵∠OAB＝45°， ∴△ABK是等腰直角三角形， ∴BK＝AB， ∴△ATB≌△BFK（AAS）， ∴BF＝ATa+3，KF＝BT＝6﹣a， ∴OF＝OB﹣BF＝6﹣（a+3）＝3a， ∴K（3a，a﹣6）， 设直线AO解析式为y＝k'x， 把A（a，a+3）、K（3a，a﹣6）代入得： ， ∴， ∴a（a﹣6）＝（3a）（3a）， ∴a（a﹣6）﹣（3a）（3a）＝0， ∴（a﹣3）（2a+3a）＝0， 解得：a1＝6，a2， ∴A1（6，6），A2（，）． 14．解：（1）∵OA＝1， ∴点A的坐标是（0，1）， ∵OBOA， ∴OB， ∴点B的坐标为（，0）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把点A 和点B的坐标代入可得， 解得， ∴直线AB的解析式为yx+1， 联立直线OCyx和直线AB的解析式得， 解得， ∴点C的坐标是（，）； （2）∵OB，OA＝1， ∴AB2， ∴AB＝2OA， ∴∠OBA＝30°，∠OAB＝60°， ∵直线OC：yx交直线AB于点C． ∴∠COB＝60°， ∴∠OCB＝90°， ∵S△OBC， ∴点P在点C的上方， ∵P为直线OC上一动点且在第一象限内， 设点P的坐标为（m，m），其中m＞0， ∴点P到x轴的距离为m， ∵S△OBP＝S△OCB+S△PCB， ∴m， 解得m， ∴m＝3， ∴点P的坐标是（，3）， 如图，过点P向左作PP1∥x轴，且PP1＝MQ，则P1的坐标为（，3），再作点P1关于x轴的对称点P2，则P2的坐标为（，﹣3），则连接AP2交x轴于点M，在x轴上截取MQ，连接PQ， 由作图过程知四边形PP1MQ是平行四边形，则PQ＝P1M， ∴PQ+QM+MA的最小值为P1M+QM+MA＝P2M+QM+MA＝P2A+MQ， 作AA1⊥P1P2于点A1，则A1的坐标为（，1），则AA1，A1P2＝4， ∴PQ+QM+MA的最小值为P2A+MQ ． 即PQ+QM+MA最小值为； （3）存在，理由如下： 第一种情况，DF是直角边，由勾股定理得AB2， 由点C的坐标是（，），点C沿OC移动到点O（0，0），由于平移规律相同，可得点A（0，1）平移到点D（，），点B（，0）平移到点F（，）， 如图，以AB为边作正方形ABH2H1，过点H2作H2B1⊥x于点B1， ∵∠ABO+∠H2BB1＝∠OAB+∠ABO＝90°， ∴∠H2BB1＝∠OAB， ∵AB＝BH2，∠AOB＝∠BB1H2＝90°， ∴△ABO≌△BH2B1（AAS）， ∴BB1＝AO＝1，H2B1＝BO， ∴OB11， ∴点H2的坐标为（1，）， 同理可得点H1的坐标为（1，1）， 点C的坐标是（，），点C沿OC移动到点O（0，0）， 由于平移规律相同，可知点H1（1，1），点H2（1，），平移后的坐标即点H的坐标分别为（1，），（1，）； ②DF为对角线时，如图， 由题意可得DF＝AB＝2， 在Rt△DHF中，DH2+HF2＝DF2＝4， ∴DH2＝HF2＝2， ∴DH＝HF， 由点D（，），F（，），可知点K的坐标为（，）， 设HN的表达式为y＝k1x+b1， ∵HN⊥DF，OC⊥DF， ∴HN∥OC， ∴k1， 把点K的坐标代入y＝x+b1得， b1， 解得b1＝﹣1， ∴HN的表达式为yx﹣1， 设点H的坐标为（h，h﹣1）， 由两点间距离公式得，DH， ∴（h）2+（h）2＝（）2， 解得h1（舍去），h2， ∴h， ∴h﹣1， ∴点H的坐标为（，）， 综上所述，点H的坐标是（1，）或（1，）或（，）． 15．解：（1）由直线l2：y＝﹣x+5可得，当y＝0时，x＝5， ∴A（5，0）， ∴OA＝5， ∵， ∴， ∴D（﹣4，0）， ∵直线l2：y＝﹣x+5过点C（m，6）， ∴6＝﹣m+5， 解得：m＝﹣1， ∴C（﹣1，6）， 设直线l1的函数表达式为y＝kx+b， ∴， 解得：， ∴直线l1的函数表达式为y＝2x+8； （2）由（1）得A（5，0），C（﹣1，6），D（﹣4，0）， ∴AD＝9， ∴， ∵S△ACD＝3S△CAM， ∴S△CAM＝9， ∵点M是直线l1上一动点， 设M（m，2m+8）， ∴当M在线段CD延长线上时，S△CAM＝S△ADM﹣S△ACD， 则， ∴， 解得：m＝0， ∴M（0，8）； 当M在线段CD上时，S△CAM＝S△ACD﹣S△ADM， 则， ∴， 解得：m＝﹣2， ∴M（﹣2，4）； 综上可得：当S△ACD＝3S△CAM时，点M的坐标为（﹣2，4）或M（0，8）； （3）由直线l2：y＝﹣x+5可得，当y＝0时，x＝5；当x＝0时，y＝5； ∴A（5，0），B（0，5） ∴OA＝OB＝5， ∴∠DAB＝45°， ∴∠AMN＝∠DAB＝45°， ①如图，当点N在y轴正半轴上时，过A作AI⊥MN，交MN延长线于点I，过I作l∥x轴，过A作AL⊥l于点L，过M作MJ⊥l于点J，延长JM交x轴于点K，设l与x轴交于点P， 则∠MJI＝∠ILA＝∠MIA＝90°，MI＝AI， ∴∠MIJ+∠AIL＝90°，∠MIJ+∠JMI＝90°， ∴∠JMI＝∠AIL， ∴△JMI≌△LIA（AAS）， ∴IJ＝AL，MJ＝IL， ∴IJ+IL＝7，MJ+4＝AL， ∴，， ∴， 设直线MI解析式为y＝k2x+b2， 则， 解得：， ∴直线MI解析式为， 当x＝0时，， ∴点； ②如图，当点N在y轴负半轴上时，过N作ND1⊥MN，交MA延长线于点D1，过N作l∥x轴，过D1作D1B1⊥l于点B1，交x轴于点C1，过M作MA1⊥l于点A1，交x轴于点K1，设l与x轴交于点P， 同理可得：△MA1N≌△NB1D1，直线AM解析式为， ∴A1N＝B1D1＝2，A1M＝B1N， 设A1K1＝B1C1＝t，则A1M＝B1N＝t+4，C1D1＝t﹣2， ∴D1（t+4，2﹣t）， ∴，解得：， ∴， ∴点； 综上可得：符合条件N点的坐标为或． 16．解：（1）直线AB：y＝nx﹣4n（n＞0）与x轴正半轴、y轴负半轴分别交于A、B两点． 当y＝0时，得：y＝nx﹣4n， 解得：x＝4； 当x＝0时，得：y＝﹣4n， ∴A（4，0），B（0，﹣4n）， ∵点B在y轴负半轴上， ∴﹣4n＜0． ∴OA＝4，OB＝4n． ∵OA＝OB， ∴4＝4n， 解得：n＝1． ∴直线AB解析式为y＝x﹣4． （2）由（1）知，OA＝OB＝4． ∵AM⊥OQ，BN⊥OQ， ∴∠AMO＝∠BNO＝90°， ∴∠MAO+∠AOM＝90°． ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOM+∠BON＝90°， ∴∠MAO＝∠NOB， 在△AOM和△OBN中， ， ∴△AOM≌△OBN（AAS）， ∴AM＝ON＝1， ∵OB＝4， 在Rt△OBN中，由勾股定理得：； （3）PB长为定值．理由如下： 如图3，△ABE为等腰直角三角形，过点E作EC⊥y轴于C，则∠ECB＝90°， ∴AB＝BE，∠ABE＝90°． 由（2）同理可证，△AOB≌△BCE（AAS）， ∴BC＝OA＝4，CE＝OB． ∵△OBF为等腰直角三角形， ∴OB＝BF，∠OBF＝90°． ∴BF＝CE，∠PBF＝∠PCE＝90°． ∵∠BPF＝∠CPE， ∴△PBF≌△PCE（AAS）， ∴BP＝CP， ∴PBBC＝2． 17．解：（1）当x＝﹣8时，m＝﹣8， ∴C（﹣8，﹣8）， 将C（﹣8，﹣8）代入y＝kx﹣4， ∴﹣8k﹣4＝﹣8， 解得k； （2）存在点P，使得△BCP与△ABC面积相等，理由如下： ∵k， ∴yx﹣4， 当y＝0时，x＝8， ∴A（8，0）， 直线y＝2x+8与x轴的交点D（﹣4，0），与y轴交点B（0，8）， ∴AD＝12， ∴△ABC面积（8+8）＝96， ∵△BCP与△ABC面积相等， ∴△BCP的面积＝96BP×8， 解得BP＝24， ∴P（0，﹣16）或（0，32）； （3）存在点Q，使得∠BDQ＝45°，理由如下； 将BD绕点B逆时针旋转90°得到BG，连接DG，过点B作EF∥x轴，过点D作DF⊥EF交于F点，过点G作GE⊥EF交于E， ∴∠FBD+∠EBG＝90°， ∵∠FBD+∠FDB＝90°， ∴∠EBG＝∠FDB， ∵BD＝BG， ∴△BDF≌△GBE（AAS）， ∴BF＝EG＝4，FD＝BE＝8， ∴G（8，4）， ∴直线DG的解析式为yx，直线AB的解析式为y＝﹣x+8， 当xx+8时，解得x＝5， 解得Q（5，3）， ∵G点关于B点的对称点G'（﹣8，12）， ∴直线DG'的解析式为y＝﹣3x﹣12， 当﹣x+8＝﹣3x﹣12时，解得x＝﹣10， 解得Q（﹣10，18）； 综上所述：Q点坐标为（5，3）或（﹣10，18）． 18．解：（1）当x＝﹣4时，﹣4+b＝0， 解得b＝4， ∴y＝x+4， 当x＝0时，y＝4， ∴B（0，4）； （2）存在一点E，使△ABE为等边三角形，理由如下： 平移后的直线CD解析式为y＝x+4+t， 设E（m，m+4+t）， ∵△ABE为等边三角形， ∴AB＝AE＝BE＝4， ∴， 解得（舍）或， ∴E（﹣2﹣2，2+2）； （3）设直线AM的解析式为y＝kx+b'， ∴， 解得， ∴y＝（1﹣m）x+4﹣4m， 同理直线BN的解析式为y＝（﹣n﹣3）x+4， 当（1﹣m）x+4﹣4m＝（﹣n﹣3）x+4时，解得x， ∵m+n＝﹣4， ∴x＝﹣2， ∴Q点横坐标为﹣2． 19．解：（1）∵一次函数表达式为， ∴当x＝0时，y＝4， 当y＝0时，即，解得x＝6， ∴点A（0，4），B（6，0）， ∴OA＝4，OB＝6， ∴， 故答案为：12； （2）①∵AB所在直线的函数表达式为y＝2x+80， ∴当x＝0时，y＝80， 当y＝0时，即2x+80＝0， 解得：x＝﹣40， ∴点A（0，80），B（﹣40，0）， ∴OA＝80，OB＝40， 把点D（t，40）代入y＝2x+80，得：2t+80＝40， 解得：t＝﹣20， ∴点D（﹣20，40）， 设点C（x，0）（x＞0），则有OC＝x， ∴BC＝OB+OC＝40+x，， ∵AC＝BC， ∴， 解得：x＝60，经检验，x＝60是原方程的解，符合题意， ∴点C（60，0）， 设小路CD所在直线的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），代入点C（60，0），D（﹣20，40），得： ， 解得：， ∴小路CD所在直线的函数表达式为； ②∵CD所在直线的函数表达式为， 当x＝0时，y＝30， ∴点E（0，30）， ∴OE＝30， 如图2，过点E作EG⊥AC于点G， ∵∠EFO＝∠OAC，∠EOF＝∠EGA＝90°， 又∵AC＝BC，点D是AB的中点， ∴CD是∠ACB的角平分线， ∴OE＝EG， 在△EOF和△EGA中， ， ∴△EOF≌△EGA（AAS）， ∴EF＝AE＝AO﹣OE＝50， ∴， ∴CF＝OC﹣OF＝20， ∴． 答：水培植物试验区的面积为300m2． 20．解：（1）①∵A（2，0），B（0，2），C（﹣2，0）， ∴OA＝OB＝OC＝2，AC＝4， 在直角三角形AOB中，由勾股定理得：， 在直角三角形BOC中，由勾股定理得：， ∴AB＝BC，AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°， ∴C（﹣2，0）是2的“旋垂点”， 故答案为：是； ②分以下两种情况： 如图2.1，当点C在点B上方时，过点C分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点F和点E， ∵点A（4，0），B（0，2），且点C是4的“旋垂点”， ∴∠ABC＝90°，OA＝4，OB＝2，AB＝BC， ∴∠BEC＝∠AOB＝∠ABC＝90°， ∴∠CBE+∠BCE＝∠CBE+∠ABO＝90°， ∴∠BCE＝∠ABO， 在△ABO和△BCE中， ， ∴△ABO≌△BCE（AAS）， ∴BE＝OA＝4，CE＝BO＝2， ∴CF＝OE＝OB+BE＝2+4＝6， ∴C（2，6）； 当点C在点B下方时，过点B作x轴的平行线，过点C作CF⊥EF于点F，CH⊥y轴于点H，过点A作AE⊥EF于点E，如图所示： ∵点A（4，0），B（0，2），且点C是4的“旋垂点”， ∴∠ABC＝90°，OA＝4，OB＝2，AB＝BC， 同理得：△ABE≌△BCF， ∴BE＝CF＝OA＝4，BF＝AE＝BO＝2， ∴BH＝CF＝4，CH＝BF＝2， ∴OH＝BH﹣OB＝4﹣2＝2， ∴C（﹣2，﹣2）； 综上所述，点C的坐标为（2，6）或（﹣2，﹣2）． 故答案为：（2，6）或（﹣2，﹣2）； （2）∵y＝3x﹣2与y轴交点D（0，﹣2）， ∴OD＝OA＝2，∠AOD＝90°， ∴当B在原点，C在点D（0，﹣2）时，C是2的“旋垂点”，此时C（0，﹣2） 当B不在原点时，设B（0，n）， 如图3，过C作CE⊥y轴于点E， ∵CE⊥y轴， ∴∠CEB＝∠AOB＝90°， ∵∠CBA＝90°， ∴∠CBE＝90°﹣∠ABO＝∠BAO， ∵AB＝BC， 在△CBE和△BAO中， ， ∴△CBE≌△BAO（AAS）， ∵A（2，0），B（0，n）， ∴CE＝OB＝n，BE＝AO＝2， 即C（n，n+2）， ∵点C在y＝3x﹣2上， ∴n+2＝3n﹣2， 解得：n＝2， ∴C（2，4）， ∴C（2，4）或（0，﹣2）； （3）△OEP的面积为6．理由如下： ∵直线y＝kx+b（k＞0）上存在无数个5的“旋垂点”， ∴点A（5，0），∠ABC＝90°，AB＝BC， 设B（0，n）， 过点C作CM⊥y轴于点M，如图4， 由（1）同理可得△ABO≌△BCM， ∴OB＝CM＝n，OA＝BM＝5， ∴BH＝CF＝4，CH＝BF＝2， ∴OM＝OB+BM＝n+5， ∴C（n，n+5）， ∴点C（n，n+5）在y＝x+5上， 即直线y＝kx+b（k＞0）为y＝x+5， ∴直线与x轴交于点E（﹣5，0），与y轴交于点F（0，5）， ∴OE＝5， ∵EP＝4，OP＝3， ∴EP2+OP2＝OE2， ∴△EPO为直角三角形， ∴， 即△OEP的面积为6． 学科网（北京）股份有限公司 $