导数专题——逻辑推理素养水平测试-2026届高三数学二轮复习

高三数学二轮复习导数专题——逻辑推理素养水平测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过求导判断函数的单调性，再利用单调性比较和的大小． 【详解】因为．当时，，所以，所以在上为单调递减函数．故． 故选：A. 2．在求解平均变化率时，自变量的变化量应满足（    ） A． B． C． D．可为任意实数 【答案】C 【分析】根据平均变化率的定义可得出结果. 【详解】因平均变化率为，故． 3．曲线在处的切线的斜率为（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】利用导数来求斜率即可. 【详解】由题意得，所以曲线在处的切线的斜率为. 故选：B. 4．已知是函数的一个极值点，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由题意得：， 又是的一个极值点，所以，所以， 所以，所以. 5．设，则曲线在点处的切线的斜率为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【分析】根据导数的概念及导数的几何意义即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为. 6．“直线与函数相切”是“直线与函数只有一个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】设“直线与函数相切”为命题，“直线与函数只有一个公共点”为命题， 因为直线与函数相切，所以直线与函数只有一个公共点，所以是的充分条件； 反之，当直线的方程为与函数只有一个公共点，但此时直线与函数并不相切，所以不是的必要条件； 所以是的充分不必要条件. 7．已知函数存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对函数求导根据有单调递增区间，转化为不等式能成立即可求得结果. 【详解】易知的定义域为，又， 由题意可知在上有解，即在上有解， 可得，所以． 故选：C． 8．已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据对称性求出周期，再数形结合后可求所有根之和. 【详解】由，得函数关于点对称， 又，得函数关于直线对称且， 故，故，所以， 所以，从而函数是周期为4的周期函数. 又当时，，则， 即是的单调递增函数，，， 又方程的根即与的交点横坐标， 而直线的斜率为，， 故的图像与直线在有且只有一个交点， 又，， 结合的周期性和对称性，在同一坐标系中画出的图像和直线， 如图： 两函数共有个交点，并且关于点对称，故所有根之和为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若函数在区间上不单调，则实数的可能取值是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】求出函数的极值点，分析可知，函数在区间内存在极值点，可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】因为，则， 由可得，由可得或， 所以，函数的增区间为,，减区间为， 所以，函数的极大值点为，极小值点为， 因为函数在区间上不是单调函数， 则该函数在区间内存在极值点，即或， 解得或， 所以，实数的取值范围是. 故选：CD. 10．函数的最小值不可能是（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】ABD 【分析】利用导数工具研究函数单调性即可求出函数的最小值. 【详解】函数定义域为R，，令，则. 所以时，；时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 当时，函数取得最小值为． 11．已知函数，则（    ） A．当时，曲线在点处的切线方程为 B．当时，，都有 C．当时，有三个零点 D．当时，有极大值3 【答案】BC 【分析】对于A，求，，利用点斜式求切线方程，判断A，对于B，根据幂函数的单调性判断结论，对于C，利用导数判断函数的单调性，结合零点存在性定理确定零点个数即可判断，对于D，利用导数判断函数的单调性，结合极大值定义求极大值即可判断. 【详解】对于A，， 当时，，， 切线斜率，又切线过点， 故曲线在点处的切线方程为，即，A错误， 对于B，，函数为增函数， ，都有，故，B正确， 对于C，， 当时，，， 函数在上单调递增，又，， 所以在上有一个零点， 当时，，， 令，可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又，，， 所以函数在区间上有一个零点，在区间上有一个零点， 所以时，函数有三个零点，C正确， 对于D，， 当时，， 函数，在上单调递增， 所以函数在上单调递增，函数在上没有极值， 当时，，， 令，可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以时，函数取极大值，极大值为，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若对，关于的不等式恒成立，则实数的最小值为__________ 【答案】 【分析】根据给定条件，分离参数并构造函数，再利用导数求出函数的最大值即可. 【详解】，不等式恒成立， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 因此，所以实数的最小值为. 故答案为： 13．若恒成立，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用换元法，结合余弦函数的最值性质、任意性的定义，通过构造函数，利用导数研究函数的最值即可． 【详解】易知， 令，则， 所以．当时，， 当或时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 由，得函数的最小值为， 因为，所以． 所以实数a的取值范围为. 14．已知函数，对任意，都有，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据导数的正负性与函数单调性的关系，结合函数最值的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 当时，当时，该函数单调递增， 所以， 所以对任意，都有，一定有成立， 解得，这与相矛盾，不符合题意； 当时，当时，， 所以对任意，都有，一定有成立，而， 所以； 当时，设表示两数中最大的数， 因为当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 所以当时，， 对任意，都有，一定有且， 解得， 综上所述：， 所以的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）求导，讨论导函数的符号，可得函数的单调性. （2）分析函数的单调性，由函数的极小值小于0可得a的取值范围. 【详解】（1）当时，，所以. 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）因为. 若，则在上恒成立，所以在上单调递增； 若，由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 若函数有两个零点，必有. 且极小值. 且当时，；当时，. 所以当时，函数有两个零点. 16．已知在处取得极小值． (1)求在处的切线方程； (2)若，讨论零点的个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可得，联立等式可得函数，根据导数的几何意义可求得切线方程； （2）根据导数及三次函数性质可得其图象，结合图象可得答案. 【详解】（1）由题意得．因为在处取得极小值， 则，解得，， 所以，， 故，， 则切线方程为，即； （2）令，所以． 令，解得或．则，，的关系如下表： 2 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 作出函数的图象如下： 所以，①当或时，有两个零点； ②当或时，有一个零点； ③当时，有三个零点． 17．已知函数，且. (1)求函数的定义域及的值； (2)若曲线在点处的切线方程为，求证：. 【答案】(1)的定义域为； (2)证明见解析 【分析】（1）由对数真数大于0得到定义域，再由列方程解得； （2）求导得切线方程，再构造函数并利用导数判断单调性，结合零点证明不等式成立. 【详解】（1）因为，解得，所以函数的定义域为， 已知，所以，解得， （2），则， 切线斜率， 则切线方程为， 当时，，当时，， 要证，只需证： 当时，，当时，， 设，即， ， 因为，，所以，且， 因此在上单调递增，且， 当时，，即， 当时，，即， 所以得证. 18．设函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若在上恒成立，求a的取值范围； (3)当时，若满足，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对函数求导，求出切线斜率和切点坐标，进而求得切线方程. （2）对函数求导，判断单调性求出最小值，分两种情况讨论不等式恒成立时的范围. （3）对函数求导，判断单调性，设，求导判断单调性，进而证明结论. 【详解】（1）时，，对函数求导得. 所以. 所以的图象在处的切线方程为，即. （2）由得. 因为在上单调递增，所以. 若，则在上恒成立，所以在上单调递增， 又，所以在上恒成立， 若，令得或，且. 当时，，单调递减， 所以，与在上恒成立矛盾， 综上所述，的取值范围是. （3）证明：当时，， 所以在上单调递增，又， 所以时，时，. 若，则，不合题意； 若，则，不合题意，所以. 设，则. 所以在上单调递增，因为，所以. 因为，所以. 又，所以，即. 又在上单调递增，所以，即. 所以，即. 19．已知函数，，记的零点为. (1)求； (2)求数列中的最小项； (3)证明： 【答案】(1)1 (2)最小项为 (3)证明见解析 【分析】（1）对求导，确定单调性即可求解； （2）由通过作差得到，构造函数利用其单调性，确定数列单调性即可求解； （3）令，求导确定单调性，得到，化简计算即可证. 【详解】（1）当时，，定义域为， 在上恒成立， 所以在上单调递增， 又，所以有唯一零点1， 即； （2）由的零点为， 得， 两式相减得：， 即， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以由，得到， 所以，所以数列是递增数列， 所以数列中的最小项是； （3）令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立，即， 因为，所以, 所以， 所以， 所以， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学二轮复习导数专题——逻辑推理素养水平测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则（   ） A． B． C． D． 2．在求解平均变化率时，自变量的变化量应满足（    ） A． B． C． D．可为任意实数 3．曲线在处的切线的斜率为（   ） A．4 B．3 C． D． 4．已知是函数的一个极值点，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．设，则曲线在点处的切线的斜率为（   ） A． B． C．1 D．4 6．“直线与函数相切”是“直线与函数只有一个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知函数存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若函数在区间上不单调，则实数的可能取值是（ ） A． B． C． D． 10．函数的最小值不可能是（    ） A． B． C． D．不存在 11．已知函数，则（    ） A．当时，曲线在点处的切线方程为 B．当时，，都有 C．当时，有三个零点 D．当时，有极大值3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若对，关于的不等式恒成立，则实数的最小值为__________ 13．若恒成立，则实数a的取值范围为______． 14．已知函数，对任意，都有，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若有两个零点，求a的取值范围． 16．已知在处取得极小值． (1)求在处的切线方程； (2)若，讨论零点的个数． 17．已知函数，且. (1)求函数的定义域及的值； (2)若曲线在点处的切线方程为，求证：. 18．设函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若在上恒成立，求a的取值范围； (3)当时，若满足，求证：． 19．已知函数，，记的零点为. (1)求； (2)求数列中的最小项； (3)证明： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $