导数专题——数学抽象素养水平测试-2026届高三数学二轮复习

高三数学二轮复习导数专题——数学抽象素养水平测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数在区间上的平均变化率为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】根据平均变化率公式可得：. 2．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．<< B．<< C．<< D．<< 【答案】B 【分析】由导数的几何意义即函数图象增长速度越快，其导数值越大，结合图象即可求解. 【详解】由的图象可知，在上单调递增且增长得越来越慢， 所以，即. 故选：B. 3．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内的极小值点有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】根据导函数的图象推得导函数在各区间上的符号，确定函数的单调区间，再由单调性分析得到函数的极值点. 【详解】 如上图，为导函数与轴的交点的横坐标. 由图知，当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，. 即函数在上单调递减，在上单调递增. 故函数在处都取得极小值；在处都取得极大值. 故函数在开区间内的极小值点有3个． 故选：C. 4．设，则为R上的增函数的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的单调性与导数的关系进行求解． 【详解】为增函数， 恒成立， ， ． 反之，若，则恒成立，故为增函数． 故选：D 5．观察函数的图像如图所示，平均变化率表示（    ） A．直线的点斜式方程 B．直线的斜截式方程 C．直线的两点式方程 D．直线的斜率 【答案】D 【分析】根据平均变化率的定义结合斜率计算判断. 【详解】． 故选：D. 6．下列结论中，正确的是（   ） A．导数为零的点一定是极值点 B．如果在处连续且在点附近的左侧，右侧，那么是极大值 C．如果在点附近的左侧，右侧，那么是极小值 D．如果在点附近的左侧，右侧，那么是极大值 【答案】B 【分析】由函数的极值定义进行判断即可． 【详解】对于A项，如，则，函数在上单调递增，而导数为零的点为0不是函数的极值点，故A项错误， 对于B，C，D，根据极值的概念， 如果函数在处连续，且在点附近的左侧(函数单调递增）；右侧（函数单调递减），那么为极大值． 如果函数在处连续，且在点附近的左侧(函数单调递减）；右侧（函数单调递增），那么为极小值．则C，D错误，B项正确． 故选：B 7．定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数，的“新驻点”分别为，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目的条件，对三个函数所对应的方程进行研究，分别计算求出的值，再比较大小即可选出正确选项. 【详解】若，则，由，又， 解得，即． 若，则，由，令， 函数为增函数，，，故． 若，则，由，得，故． 综上，． 故选：B 8．英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似解的方法——牛顿迭代法.如图所示，设是的根，选取作为初始近似值，过点作曲线的切线与轴的交点的横坐标，称是的一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值.重复以上过程，得到的近似值序列，其中，称是的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则下列说法不正确的是（   ） A．若取初始近似值为1，则该方程的二次近似解为 B．若取初始近似值为2，则该方程的二次近似解为 C． D． 【答案】D 【分析】根据题中牛顿迭代法求方程近似解的方法，将初始值代入公式计算，逐项判断即可求解. 【详解】构造函数，则.取初始近似值，则， ，故选项A正确； 取初始近似值，则， ，故选项B正确； 根据题意，可知，，，， 上述四式相加，得，故选项C正确，选项D不正确. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知：函数的自变量处的改变量，函数值的改变量为在处的导数值，下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据导数的定义及极限的简单运算计算即可判断. 【详解】根据导数的定义可知，A正确； 若令，当，则， 则，B正确； 根据导数的定义，C错误； 根据导数的定义可知，D正确． 故选：ABD. 10．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间上恒成立，则称在区间上为凸函数．则下列函数中，为区间上的凸函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据定义，分别对函数求二阶导数，并判断在区间的正负. 【详解】对于A选项，，，，显然在区间恒有，所以不为凸函数. 对于B选项， ，，，显然在区间恒有，所以为凸函数. 对于C选项，，，，显然在区间恒有，所以不为凸函数. 对于D选项， ，，，显然在区间恒有，所以为凸函数. 故选: BD.. 11．若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有下界，其中为函数的一个下界；若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有上界，其中为函数的一个上界．如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界．下列说法正确的是（    ） A．是函数的一个下界 B．函数有下界，无上界 C．函数有下界，无上界 D．函数有界 【答案】BD 【分析】由基本不等式可判断A；利用导数可确定，即可判断B；根据趋近问题理解即可判断C；利用放缩法即可判断D. 【详解】对于选项A：当时，， 当且仅当时，等号成立， 可得恒成立，可知是的一个上界，故A错误； 对于选项B：的定义域为，且， 当时，；当，， 可知在上单调递减，在上单调递增， 则，可知有下界， 且当x趋近于时，趋向于，可知无上界， 综上所述：有下界，无上界，故B正确； 对于选项C：当，x趋近于0时，趋向于， 可知无下界，故C错误； 对于选项D：因为，则， 且，，即， 所以有界，故D正确． 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则的值为______ 【答案】 【分析】利用导数的定义式直接求解即可. 【详解】由题意得， 则. 故答案为： 13．定义一个可导函数在定义域内一点处的弹性为，请写出一个定义在正实数集上且任意一点处的弹性均为的可导函数___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由整理得，可构造函数，可得，可得，可得. 【详解】由题意，当，， 整理得 设， 则， 故，为常数， 由 得 故答案为：（答案不唯一） 14．设函数在上有定义，对于给定的正数k，定义函数，设函数，若对任意的，均有，则实数k的取值范围为________； 【答案】 【分析】首先利用导数求函数的最大值，并结合题意求出的取值范围. 【详解】，得， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得最大值， 所以对任意的，恒有， 若对任意的，恒有， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为地至B地之间的航行距离约为，每小时的运输成本由燃料费用和其余费用组成，轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比（比例系数为0.6），其余费用为每小时960元． (1)把全程运输成本y（元）表示为速度的函数； (2)求从变到时，全程运输成本关于速度的平均变化率； (3)求并解释它的实际意义． 【答案】(1) (2) (3)，表示当速度时，速度每增加，全程运输成本减少4500元 【分析】（1）依题意可得轮船每小时的燃料费和总共行驶时间，进而列出函数解析式； （2）根据平均变化率的定义进行求解； （3）求出导函数，再代值计算，最后根据瞬时变化率的意义解释. 【详解】（1）依题意得，函数的定义域为，． （2）， ． （3）， ． 表示当速度时，速度每增加，全程运输成本减少4500元． 16．已知函数的导函数为，数列满足. (1)求过点的曲线的切线方程； (2)若点在的图象上，求的通项公式. 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）设出切线的切点，利用导数的几何意义、直线的点斜式方程进行求解即可； （2）利用代入法把点的坐标代入导函数解析式中，结合构造法、等比数列的定义和通项公式进行求解即可. 【详解】（1）由， 设切点为，所以， 因此过该切点的直线方程为， 把点的坐标代入，得 ，或， 当时，切点为，，此时切线方程为； 当时，切点为，，此时切线方程为， 综上所述：切线方程为，或； （2）因为点在的图象上， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以有. 17．记函数的导函数为，函数的导函数为，若，则称点为函数的广义反曲点. (1)若，求的广义反曲点； (2)已知函数有且仅有三个广义反曲点，证明函数的三个广义反曲点共线，并求出直线方程. 【答案】(1) (2)证明见解析，直线方程为 【分析】（1）求导，根据广义反曲点的概念解方程即可. （2）问题转化为方程有3个不同的根解决.根据三次方程根的个数，用表示即可. 【详解】（1） 记，则，所以. 又，所以的广义反曲点是. （2）函数，则， 记，则. 记， 设的广义反曲点的横坐标分别为，，，则，，是的全部零点. 证明的三个广义反曲点共线等价于证明，使得，. 即证，使得，，是方程的根， 即方程有且仅有三个不相同的根，，. 由， 所以， 即，由，解得， 代入成立，所以满足条件. 即的三个广义反曲点共直线. 18．以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：若定义在上的函数满足条件①在闭区间上连续，②在开区间内可导，则，.而罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例：若，则.现已知函数. (1)设可导函数，证明：，； (2)若在上的最小值为，求a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据题设新定义即可证结论； （2）令，并对其求导，讨论参数的范围，结合函数区间最值确定参数范围. 【详解】（1）因为，且在上连续，在内可导， 所以，由罗尔中值定理得，. （2）设，则. 当，即时，， 当，得，则在上单调递减， 当，得，则在上单调递增， 从而，故符合题意. 当时，即时，令，得或. 当，即时， 当或，得，则在和上单调递增， 当，得，则在上单调递减. 因为在上的最小值为，且，则，得； 当，即时，恒成立，则在上单调递增，故，不合题意； 当，即时， 当或，得，则在和上单调递增， 当，得，则在上单调递减， 从而，故，不合题意； 综上，a的取值范围为. 19．某些函数如和的图象具有性质：曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方.这个性质可表示为：设是定义在区间上的函数，则对于上的任意与任意，总有成立. (1)设，求证：； (2)设，求证：； (3)某同学研究发现，若函数在上存在导函数，则上述性质的充要条件为在上递增，求证：，其中均为正数. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 (3)证明过程见解析 【分析】（1）求出和，作差与0比较大小即可. （2）通过构造函数，将不等式成立问题转化为求最值的问题，进一步证明即可. （3）通过构造函数，证明单调递增，利用题干中性质结合对数运算证明即可. 【详解】（1）因为， 所以， ， 所以 ， 因为，所以，即， 所以. （2）要证，即成立， 只需证（因为），即成立， 令，则只需证成立. 整理得. 令，，则. 令，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以在处取得最小值，所以，故原不等式成立. 所以. （3）因为当，时，，当且仅当时取等号， 所以若证，只需证成立， 同时取自然对数得，即证成立， 也即证成立. 令，，则，令，则. 因为，所以，故在上单调递增， 所以具有题干中的性质. 所以，即，故原不等式成立. 因此当均为正数时，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学二轮复习导数专题——数学抽象素养水平测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数在区间上的平均变化率为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．<< B．<< C．<< D．<< 3．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内的极小值点有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．设，则为R上的增函数的充要条件是（   ） A． B． C． D． 5．观察函数的图像如图所示，平均变化率表示（    ） A．直线的点斜式方程 B．直线的斜截式方程 C．直线的两点式方程 D．直线的斜率 6．下列结论中，正确的是（   ） A．导数为零的点一定是极值点 B．如果在处连续且在点附近的左侧，右侧，那么是极大值 C．如果在点附近的左侧，右侧，那么是极小值 D．如果在点附近的左侧，右侧，那么是极大值 7．定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数，的“新驻点”分别为，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似解的方法——牛顿迭代法.如图所示，设是的根，选取作为初始近似值，过点作曲线的切线与轴的交点的横坐标，称是的一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值.重复以上过程，得到的近似值序列，其中，称是的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则下列说法不正确的是（   ） A．若取初始近似值为1，则该方程的二次近似解为 B．若取初始近似值为2，则该方程的二次近似解为 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知：函数的自变量处的改变量，函数值的改变量为在处的导数值，下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 10．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间上恒成立，则称在区间上为凸函数．则下列函数中，为区间上的凸函数的是（    ） A． B． C． D． 11．若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有下界，其中为函数的一个下界；若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有上界，其中为函数的一个上界．如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界．下列说法正确的是（    ） A．是函数的一个下界 B．函数有下界，无上界 C．函数有下界，无上界 D．函数有界 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则的值为______ 13．定义一个可导函数在定义域内一点处的弹性为，请写出一个定义在正实数集上且任意一点处的弹性均为的可导函数___________． 14．设函数在上有定义，对于给定的正数k，定义函数，设函数，若对任意的，均有，则实数k的取值范围为________； 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为地至B地之间的航行距离约为，每小时的运输成本由燃料费用和其余费用组成，轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比（比例系数为0.6），其余费用为每小时960元． (1)把全程运输成本y（元）表示为速度的函数； (2)求从变到时，全程运输成本关于速度的平均变化率； (3)求并解释它的实际意义． 16．已知函数的导函数为，数列满足. (1)求过点的曲线的切线方程； (2)若点在的图象上，求的通项公式. 17．记函数的导函数为，函数的导函数为，若，则称点为函数的广义反曲点. (1)若，求的广义反曲点； (2)已知函数有且仅有三个广义反曲点，证明函数的三个广义反曲点共线，并求出直线方程. 18．以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：若定义在上的函数满足条件①在闭区间上连续，②在开区间内可导，则，.而罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例：若，则.现已知函数. (1)设可导函数，证明：，； (2)若在上的最小值为，求a的取值范围. 19．某些函数如和的图象具有性质：曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方.这个性质可表示为：设是定义在区间上的函数，则对于上的任意与任意，总有成立. (1)设，求证：； (2)设，求证：； (3)某同学研究发现，若函数在上存在导函数，则上述性质的充要条件为在上递增，求证：，其中均为正数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $