专题14 二次函数表达式的确定(含图象变化)分层基础练 2026年中考数学第一轮复习

2026年中考数学 专题14 确定二次函数的表达式(含图象变化) 班级：　　　姓名：　　 　学号： 一、选择题 1．(人教九上习题改编)用配方法将二次函数化为的形式，则，的值分别为( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 2．(北师九下习题改编)抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，则该抛物线的表达式为( ) A. B. C. D. 3．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为( ) A. B. C. D. 4．（2025·黑龙江佳木斯·二模）若二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点，则函数解析式为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·甘肃张掖·三模）将抛物线先向右平移a个单位长度，再向下平移4个单位长度，平移后的抛物线与抛物线重合，则a，b的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（2025·安徽合肥·一模）如图，这是一个简易桶装水的取水装置和其出水示意图，从出水口处喷出的水流可抽象为抛物线，点是水流与水杯底部的接触点．若水流运动的高度（单位：厘米）与水平距离（单位：厘米）近似满足函数关系式，则该抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·甘肃武威·模拟预测）把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·云南临沧·模拟预测）抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（　　） A．先向左平移3个单位，再向上平移1个单位 B．先向右平移3个单位，再向上平移1个单位 C．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位 9．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，已知抛物线与轴交于、两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．阴影部分的面积为4 10．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，左轮廓所在抛物线的解析式为．则右轮廓所在抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．(人教九上习题改编)下表中与的对应数据满足二次函数关系，其函数表达式为______________. … 0 1 3 … … 0 3 4 0 … 12．(2025上海)将函数的图象向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______________. 13．(新考法 结论开放)(2025广东省卷) 已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是______________.(写出一个即可) 14．(2024辽宁)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为　　　　. 15．(北师九下习题改编)若抛物线与抛物线关于原点对称，则抛物线的表达式为　　　　　　　　　　　　 . 16．(2025观山湖区模拟)将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为　　　　　　　　　　　　　　. 17．（2025·江西吉安·二模）已知二次函数关于x轴对称的图象经过点，则a的值为______________． 18．（24-25九年级上·湖北十堰·期中）一条抛物线和的图象形状相同，且函数有最小值，顶点坐标是，则此抛物线的函数关系式为______________ 19．（25-26九年级上·河南许昌·期中）若二次函数的图象经过点，则______． 20．（2025·山西长治·二模）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．通过查阅资料发现，在沥青路面上，某种型号汽车的刹车距离s与刹车时速度v之间的部分对应值如下表： 刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离（m） 0 8 … 那么这种型号汽车的刹车距离s与刹车时速度v之间的关系式为：_______． 21．（2025·广西南宁·三模）已知点和点在抛物线上，沿x轴向左平移该抛物线，记平移后点A的对应点为，点B的对应点为，是x轴上的一个定点．当最短时，此时抛物线的解析式为_______． 22．（2025·上海黄浦·二模）定义：抛物线上的所有点的横、纵坐标都扩大为原来的倍后得到新的抛物线，叫的“倍衍生抛物线”．例如：求抛物线的“5倍衍生抛物线”．设抛物线上一点，则点在抛物线上的对应点为因为点，因为点在抛物线上，所以，整理得到，即抛物线的表达式为．参考上述方法，抛物线的“倍衍生抛物线”的表达式为_______________． 23．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，将抛物线沿向下平移，使平移后的抛物线经过原点，且平移后的抛物线的对称轴与原抛物线交于点，则经过点的反比例函数的解析式为___________． 三、解答题 24．(2024浙江节选)已知二次函数，为常数的图象经过点，对称轴为直线，求二次函数的表达式. 25．如图，已知二次函数的图象经过点和点. (1) 求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； (2) 当时，请根据图象写出的取值范围. 26．（2025·上海杨浦·一模）已知抛物线经过 (1)求抛物线的解析式； (2)将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点，那么平移的方法是_____． 27．（2025·浙江金华·三模）已知二次函数． (1)若二次函数经过点， ①求二次函数解析式； ②当时，求的取值范围； (2)若，点、、在二次函数图象上，请比较的大小． 28．（2025·江西·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，且对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式． (2)已知点，均在抛物线上，且求n的取值范围． (3)已知点，．将抛物线向上平移个单位长度，若平移后的抛物线与线段有两个公共点，求m的取值范围． 29．(2024汇川区模拟)已知点在抛物线为常数，上. (1) 若，. ① 求抛物线的表达式； ② 若点，在该二次函数的图象上，且点在对称轴左侧、点在对称轴右侧，若，求的取值范围； (2) 若时，总有，且当时总有，求的值. 30．(2025花溪区模拟)已知二次函数. (1) 二次函数图象的对称轴为直线　　　　； (2) 若不同的两点，在二次函数的图象上，且，求二次函数的表达式； (3) 如图，已知，，，，若二次函数的图象与正方形只有2个交点，求的取值范围. 31．（2025·河北唐山·模拟预测）已知抛物线． (1)若此抛物线与直线只有一个公共点，且向右平移1个单位长度后，刚好过点． ①求此抛物线的解析式； ②以点为中心，作该抛物线关于点对称的抛物线，若这两条抛物线有公共点，求的取值范围。 (2) 若，将此抛物线向上平移个单位，当时，；当时，．试比较与1的大小，并说明理由． 32．（2025·云南楚雄·模拟预测）已知抛物线经过，两点． (1)求该抛物线的解析式． (2)若k是抛物线与x轴任一交点的横坐标，，求M的值． 33．（2025·上海·一模）在平面直角坐标系中，点，，，在抛物线上． (1)当，时， ①求该抛物线的表达式； ②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线经过点，求的值； (2)若，且、、中有且仅有一个值小于0，请结合抛物线的位置和图像特征，先写出一个满足条件的的值，再求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 一、选择题 1. B　【解析】二次函数y=x2－8x－9=x2－8x＋16－16－9=(x－4)2－25，∴h=4，k=－25. 2. A　【解析】由题意设抛物线的表达式为y=a(x－1)2－4(a≠0)，将(0，－3)代入y=a(x－1)2－4，得－3=a(0－1)2－4，解得a=1，∴抛物线的表达式为y=(x－1)2－4=x2－2x－3. 3. A　【解析】设二次函数的表达式为y=ax2＋bx＋c(a≠0)，抛物线过(－1，0)，(0，6)，(3，0)，∴解得a=－2，b=4，c=6，∴二次函数的表达式为y=－2x2＋4x＋6. 一题多解法 由题图知，抛物线过(－1，0)，(0，6)，(3，0)，∴设抛物线的表达式为y=a(x－3)(x＋1)，将(0，6)代入，得6=－3a，解得a=－2，∴抛物线的表达式为y=－2(x－3)(x＋1)=－2x2＋4x＋6. 4．A【详解】解：∵二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点， ∴设二次函数为， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； 故选：A 5．A【详解】解：抛物线的表达式为， 平移后的抛物线的表达式为： ， ∵平移后的抛物线与抛物线重合， ∴， 解得． 故选：A． 6．A【详解】解：把点、代入， 得， 解得． ∴抛物线的解析式为； ∴顶点坐标为， 故选A． 7．D【详解】解：∵二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位， ∴， 故选：D． 8．A【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，再向上平移1个单位得抛物线. 故选：A. 9．D【详解】解：A、∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴， ∴， 故选项不符合题意； B、抛物线与轴交点在轴的下方， ∴， 故选项不符合题意； C、从图象可知当时，， ∴， 故选项不符合题意； D、∵抛物线向右平移了2个单位， ∴平行四边形的底是2， ∵函数的最小值是， ∴平行四边形的高是2， ∴阴影部分的面积是：， 故选项符合题意． 故选：D． 10．B【详解】解：∵左轮廓所在抛物线的解析式为， ∴左边抛物线的顶点C的坐标为， ∴右边抛物线的顶点F的坐标为， 故右边抛物线的解析式为， 故选：B． 二、填空题 11. y=－x2＋2x＋3　【解析】根据表中y与x的数据设函数表达式为y=ax2＋bx＋c(a≠0)，将表中(1，4)，(－1，0)，(0，3)代入函数关系式，得解得∴函数表达式为y=－x2＋2x＋3. 12. y=3x2－2　【解析】∵抛物线y=3x2向下平移两个单位，∴y=3x2－2. 13. y=－x2＋1(答案不唯一)　【解析】∵二次函数 y=－x2＋bx＋c的图象经过点(c，0)，但不经过(0，0)，得∴－c＋b＋1=0，∴b=c－1，∴二次函数为y=－x2＋(c－1)x＋c，∵c≠0，∴c可以取1，当c=1时，二次函数为y=－x2＋1.(答案不唯一) 14. 4　【解析】∵抛物线y=ax2＋bx＋3与x轴交于点A，B(3，0)，∴当x=0时，y=3，∵点C(2，3)在抛物线上，∴抛物线的对称轴为x==1，∴点B到对称轴x=1的距离为2，∴AB=4. (一题多解法) 将点B(3，0)，点C(2，3)代入抛物线y=ax2＋bx＋3中，得解得∴抛物线的函数解析式为y=－x2＋2x＋3，令y=0，解得x1=－1，x2=3，∴点A的坐标为(－1，0)，∴AB=4. 15. y2=－x2－8x－15　【解析】抛物线y1=x2－8x＋15=(x－4)2－1，∵抛物线y2与y1关于原点对称，∴抛物线y2=－(x＋4)2＋1=－x2－8x－15. 16. y=3(x＋2)2－5　【解析】将抛物线y=3x2－2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得抛物线的解析式为y=3(x＋2)2－2－3，即y=3(x＋2)2－5. 17．2【详解】∵二次函数关于x轴对称的的图象经过点， ∴二次函数的图象经过点， 将点代入，得， 整理得， 解得． 故答案为：2． 18．【详解】解：∵图象顶点坐标为， 设函数解析式是． ∵形状与抛物线相同，且函数有最小值， ∴，因而解析式是：． 故答案为：． 19．【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入得：， 即， 整理得：， 两边同时除以2得：， ∴． 故答案为：． 20．【详解】解：观察数据可知，刹车距离s是刹车时速度v的二次函数， 设， 由表格数据可知，将点，，代入函数解析式，得 ， 解得， 所以， 即刹车距离s与刹车时速度v之间的关系式为： ． 故答案为： ． 21．【详解】解：在中，当时，， ∴， 设抛物线向左平移m个单位长度，则平移后的抛物线解析式为，， 作点关于x轴的对称点E，连接，则， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴， 解得（已检验）， ∴平移后的抛物线解析式为， 故答案为：． 22．【详解】解：由题意，设抛物线上一点，则点在抛物线上的对应点为， ∴， ∴， 故答案为：， 23．【详解】解：∵将抛物线沿向下平移得到新抛物线， ∴可设将抛物线向下平移t个单位长度，向左平移t个长度可得到新抛物线， ∴新抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线经过原点， ∴， 解得或（舍去）， ∴平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线对称轴为直线， 在中，当时，， ∴， 设经过点A的反比例函数解析式为， ∴， ∴， ∴经过点A的反比例函数解析式为， 故答案为：． 三、解答题 24. 解：∵二次函数为y=x2＋bx＋c，且对称轴为直线x=－， ∴x=－=－， 解得b=1， ∴二次函数的表达式为y=x2＋x＋c， ∵图象经过点A(－2，5)， ∴4－2＋c=5， 解得c=3， ∴二次函数的表达式为y=x2＋x＋3. 25. 解：(1)把点A(1，－2)和点B(0，－5)代入y=x2＋bx＋c中， 得 解得 ∴二次函数的表达式为y=x2＋2x－5， ∵y=x2＋2x－5=(x＋1)2－6， ∴图象的顶点坐标为(－1，－6)； (2)∵y=x2＋2x－5，1＞0， ∴抛物线开口向上， ∵点A(1，－2)关于对称轴直线x=－1的对称点C(－3，－2)， ∴当y≤－2时，x的取值范围是－3≤x≤1. 26．(1) (2)向右平移个单位，再向上平移个单位 【详解】（1）解：把代入得： ，解得， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵平移后的顶点移动到点，，； 故平移的方法是先向右平移个单位，再向上平移个单位． 27．(1)①；②；(2) 【详解】（1）解：①把代入，得：，解得， 二次函数解析式为； ②在“”范围内， ， 对称轴为直线，二次项系数为， 抛物线的开口向上， 当时，， 当时，， 当时，， ； （2）当时， 当时， ， ，当时， ， 当时，， ． 28．(1)；(2)；(3)． 【详解】（1）解：将代入得． ∵抛物线的对称轴为直线， ， ． 由得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：方法一：当点，关于直线对称时， ，解得， ，． 直线，如图所示， 当点在直线右侧时，恒成立，故，即． 方法二：由题意可得线段的中点的横坐标为． ， 线段的中点必在抛物线的对称轴(直线)右侧， ． （3）解：平移后的抛物线的解析式为， 则对称轴为直线，顶点坐标为． 当平移后的抛物线的顶点落在线段上时，， ． ， 点M、N中，点M到直线的距离更近． 当平移后的抛物线经过点时，， ， 故当平移后的抛物线与线段MN有两个公共点时，． 29. 解：(1)①将坐标P(2，4)代入y=a(x－1)2＋3， 得a＋3=4， 解得a=1， ∴抛物线的表达式为y=(x－1)2＋3； ②抛物线y=(x－1)2＋3的对称轴是x=1， 由题意，得 解得＜t＜2； (2)当a＞0时，y＞3，与题意不符， ∴a＜0， ∵抛物线y=a(x－1)2＋3开口向下，对称轴为x=1， ∴当x≤1时，y随x的增大而增大；当x≥1时，y随x的增大而减小， ∴当m=－1时，n=－2， 将坐标P(－1，－2)代入y=a(x－1)2＋3， 得－2=4a＋3， 解得a=－. 30. 解：(1)3； 【解法提示】由题意得，二次函数图象的对称轴为直线x=－=3. (2)∵y1=y2， ∴点A，B关于直线x=3对称， ∴3=， 解得a=－10， ∴二次函数的表达式为y=－10x2＋60x＋1； (3)由条件可知该抛物线过定点(0，1)， 若a＞0，则抛物线开口向上，当抛物线的顶点在线段EP上时，顶点坐标为(3，0)，则－9a＋1=0，解得a=，此时抛物线与正方形有1个交点； 当a＞时，抛物线开始与正方形有2个交点； 当抛物线的顶点在线段MN上时，顶点坐标为(3，－4)， 则－9a＋1=－4，解得a=，此时抛物线开始与正方形有3个交点； 当抛物线过点M时，将(2，－4)代入y=ax2－6ax＋1，得－4=4a－12a＋1，解得a=，此时抛物线与正方形有3个交点； 当a＞时，抛物线与正方形又开始有2个交点； 若a＜0，则抛物线开口向下，根据抛物线的对称轴为直线x=3，且经过点(0，1)，可知此时抛物线与正方形没有交点. 综上所述，当抛物线与正方形只有2个交点时，＜a＜或a＞. 31．(1)①；② (2)，理由见解析 【详解】（1）①解：联立抛物线与直线， 得：，整理为． ∵抛物线与直线只有一个公共点， ∴该一元二次方程有两个相等的实根， 判别式，解得， 解析式为：， 抛物线向右平移1个单位，平移后的解析式为：． ∵平移后的抛物线过点， ∴，即，解得． ∴原抛物线的解析式为． ②解：， ∴原抛物线的顶点为，开口向下． 设原抛物线上任意一点关于点的对称点为， 根据中点坐标公式，得，，解得，． 将，代入原抛物线解析式， 得，整理得， 即对称后的抛物线解析式为． 联立，得， 整理得． ∵该一元二次方程有实数根， ∴判别式，解得； （2）解：，理由如下： 将抛物线向上平移个单位长度，得到的解析式为． ∵当时，， ∴将，代入得，整理得． ∵， ∴是开口向上的二次函数． ∵当时，；当时，， ∴当时，随着的增大而减小， ∴，即， ∴，整理得． ∵， ∴． 32．(1) (2)． 【详解】（1）∵抛物线经过，两点， ，解得， ； （2）， 令，则，解得或， 是抛物线与x轴交点的横坐标，， ， ， 当时，； 当时，， ． 综上所述，M的值为． 33．(1)①；② (2)的取值范围为或 【详解】（1）解：①∵抛物线经过点，，，，且，， ，两点关于抛物线的对称轴对称，， ∴对称轴为直线， 根据对称轴公式可知：， ， ∴， 把代入得：， 解得， ∴该抛物线的表达式为； ②∵， ∴把抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线解析式为，即， ∵新抛物线经过点， ∴， 解得； （2）解：当时，抛物线过点，且、、中有且仅有一个值小于0， ∴把代入二次函数解析式得：， ∴， ∴二次函数解析式， 当抛物线对称轴在轴左侧时，即，且经过点，大致图象如图所示： ∵点，，，在抛物线上， ∴由图象可知：， ∵， ∴由图象可知：只有当时，成立， ∴， 解得：， 当抛物线对称轴在轴右侧时，即，且经过，大致图象如图所示： ∵点，，，在抛物线上， ∴由图象可知：只有满足题意， ∴， 解得：； 当时，则对称轴为轴，且图象经过点，所以二次函数与轴的另一个交点坐标为，根据二次函数的性质可知：、、的值都大于0，故不符合题意； 综上所述，的取值范围为或． 2026中考数学 学科网（北京）股份有限公司 $