精品解析：2026年江苏省宿迁市泗阳县泗阳致远中学一模数学试题

2026年初中学业水平第一次模拟测试 数 学 答题注意事项 1．本试卷共6页，满分150分，时间120分钟 2．请按照答题卡上要求进行填写自己的个人信息 3．请在答题卡上的答题区域内作答，否则答题无效． 一、选择题（共8题，每小题3分，24分） 1. 的倒数为（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 函数中，自变量x的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 且 6. 如图是一个物理实验的截面示意图，其中与 表示互相平行的墙面，绳子一端与木杆的一端相连，另一端点 固定在墙面上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一个圆锥的底面半径是3cm，高是4cm，则这个圆锥的侧面积是（ ） A. 24cm2 B. 15cm2 C. 21cm2 D. 12cm2 8. 火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度 （米）与火车行驶时间 （秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：①火车的速度为 米/秒；②火车的长度为米；③火车整体都在隧道内的时间为秒；④隧道长度为米．正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ①③④ D. ③④ 二、填空题（共30分） 9. 计算：_______． 10. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______． 11. 若 是方程的根，则代数式的值是______． 12. 抛物线的顶点 在直线上移动，且抛物线与 轴交于 ， 两点．若线段 ，则顶点 的坐标为________． 13. 如图，一个钟摆的摆长为1.5米，当钟摆向两边摆动时，摆角为，且两边的摆动角度相同，则它摆至最高位置与其摆至最低位置时的高度之差为 ___________________．（用含的式子表示） 14. 如图，正六边形的中心与的圆心重合于点处，若的半径为6，正六边形的边心距为3，则图中阴影部分的面积为______（结果保留和根号） 15. 已知 ，，则 的值为 ______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，且，将直线绕点B按顺时针方向旋转，交x轴于点C，则直线 的函数表达式是 _____． 17. 中， ， ， ，点D在边 上，，如图所示．点E在边上，将沿着 翻折得，其中点B与点对应，交边于点G，交的延长线于点H．如果是等腰三角形，那么_________． 18. 如图，在等边 中，E是边的中点，P是 的中线 上的动点，且，则的最大值是________． 三、解答题（共96分） 19. （1）计算：； （2）解方程： 20. 网上购物已经成为人们常用的一种购物方式，售后评价特别引人关注，消费者在网店购买某种商品后，对其有 “好评”、“中评”、“差评”三种评价，假设这三种评价是等可能的． （1）小明对一家网店销售某种商品显示的评价信息进行了统计，并列出了两幅不完整的统计图． 利用图中所提供的信息解决以下问题： ①小明一共统计了 个评价； ②请将图1补充完整； ③图2中“差评”所占的百分比是 ； （2）若甲、乙两名消费者在该网店购买了同一商品，请你用列表格或画树状图的方法帮助店主求一下两人中至少有一个给“好评”的概率． 21. 甲袋子中有2个红球、1个白球；乙袋子中有1个红球、1个白球．这些球除颜色外无其他差别．先从甲袋子中随机摸出1个球放入乙袋子，摇匀后，再从乙袋子中随机摸出1个球． （1）从甲袋子中摸出的球是白球的概率是____________； （2）从两个袋子中摸出的球都是红球的概率是多少？ 22. 如图， 、关于所在的直线对称，，，D为 延长线上一点，，； （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若F为的中点，连接 交 于O点，求四边形的面积． 23. 某校九年级学生到教育实践基地开展实践活动．当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了900米，到达菜园B处采摘蔬菜，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东方向走了600米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，，，） 24. 一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量 （件与销售价 （元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元与销售价 （元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 25. 【操作发现】 如图1，点M是 中边的中点． （1）请你用圆规和无刻度的直尺过点M作 的平行线，交于点N； （2）在（1）的条件下，线段与的数量关系是________； 【类比探究】 如图2，线段与射线有公共端点A，请你用圆规和无刻度的直尺在线段上作一个点N，使． 26. 如图，为的直径，C为上一点，D为弧 的中点，交的延长线于点E． （1）求证：直线 为的切线； （2）延长交于点F．若，，求的长． 27. （综合与实践）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，现有矩形纸片 ，，． （1）操作发现：操作一：将矩形纸片 折叠，使点A与点C重合，折痕为 ，然后展平得到图1，则四边形是什么特殊四边形？（不用说明理由） （2）实践探究：操作二：如图2，在矩形纸片 中，点G为的中点，将纸片沿折叠，使点B落在点处，连接． ①判断与折痕的位置关系，并说明理由； ②求的长． （3）拓展应用：如图3，若M为上任意一点，将纸片沿折叠，使点B落在点处，连接，当点A与点距离最小时，求的长． 28. 项目化研究： 项目主题：泗阳大桥的抛物线之美——数据测量与计算 项目背景：如图1，泗阳大桥采用A型塔斜拉桥结构，主塔呈抛物线造型，兼具力学稳定性与美学价值．作为京杭大运河上的重要工程，大桥融合了传统运河文化与现代建筑艺术，橙红色塔身与碧水相映成趣，成为“水韵泗阳”的靓丽名片．某数学学习小组决定利用一次综合实践活动，结合自己所学知识，通过测量来探究大桥主塔高度． 数据测量与收集：如图2，桥塔底部宽，在某一时刻测得塔顶 在桥面上的投影到中点 的距离（在一定范围内，我们将桥面看作是水平面），与水平塔架 的投影相交于点，在同一时刻测得高的测绘仪的投影长度为． 数学公式备用：若、在抛物线上，则线段与抛物线围成“弓形”的面积为：． 数学建模：以为坐标原点，为 轴的正方向建立平面直角坐标系，点 的坐标为． 探究问题： （1）桥塔的高度 ； （2）求抛物线的函数表达式； （3）若此时测得 ①求水平塔架 的长度； ②设“弓形 ”的面积为，四边形的面积为，记，请直接写出 值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平第一次模拟测试 数 学 答题注意事项 1．本试卷共6页，满分150分，时间120分钟 2．请按照答题卡上要求进行填写自己的个人信息 3．请在答题卡上的答题区域内作答，否则答题无效． 一、选择题（共8题，每小题3分，24分） 1. 的倒数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，根据倒数的定义，一个数的倒数是指与该数相乘等于 的数，即可求解． 【详解】解： 的倒数为， 故选：A． 2. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项， 根据同类项的定义，合并同类项的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A. 与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 3. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形的概念．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 4. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了关于 轴轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对关于 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故选：C． 5. 函数中，自变量x的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，即可求解 ． 【详解】解：根据题意得：， 解得：且． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了求自变量的取值范围，熟练掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键． 6. 如图是一个物理实验的截面示意图，其中与 表示互相平行的墙面，绳子一端与木杆的一端相连，另一端点 固定在墙面上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了平行线的性质和判定，过点 作，得出，求出，即可得出，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点 作， ， ， ， ， ， 故选：A． 7. 已知一个圆锥的底面半径是3cm，高是4cm，则这个圆锥的侧面积是（ ） A. 24cm2 B. 15cm2 C. 21cm2 D. 12cm2 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求出母线，再根据扇形面积公式求解. 【详解】∵圆锥的底面半径为3cm，高为4cm， ∴圆锥的母线长为， ∴圆锥的侧面积为π×3×5=15π(cm2)， 故选:B． 【点睛】熟记扇形面积公式,并灵活运用，圆锥的侧面积可表示为:母线长×半径×π.. 8. 火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度 （米）与火车行驶时间 （秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：①火车的速度为 米/秒；②火车的长度为米；③火车整体都在隧道内的时间为秒；④隧道长度为米．正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ①③④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的图象即可确定在段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒，进而即可确定其它答案． 【详解】解：在段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒．故①正确； 火车的长度是150米，故②错误； 整个火车都在隧道内的时间是：秒，故③正确； 隧道长是：（米），故④正确． 综上可知正确的有①③④ 故选C． 【点睛】本题主要考查了用函数的图象解决实际问题，解题的关键是正确理解函数图象横纵坐标表示的意义． 二、填空题（共30分） 9. 计算：_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了分式加减运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．先将分式化为同分母分式，再计算加减并化简即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 10. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率． 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A），然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 【详解】解：∵转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分占3份， ∴指针落在阴影区域的概率为， 故答案为：． 11. 若是方程的根，则代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义、整体代入法求代数式值、分式的混合运算等知识，根据题中所给代数式的结构特征，结合已知条件，恒等变形代值求解即可得到答案，熟练掌握分式混合运算法则化简求值是解决问题的关键． 【详解】解： 是方程的根， ，即， ， 故答案为：． 12. 抛物线的顶点 在直线上移动，且抛物线与 轴交于 ， 两点．若线段，则顶点 的坐标为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．设抛物线顶点，求得，得到抛物线的解析式为，求得抛物线与 轴交于 ， 两点的横坐标，利用，列式求得，据此求解即可． 【详解】解：设抛物线顶点，因顶点在直线上，故， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线开口向上且与 轴有两个交点， ∴顶点纵坐标， 又，故， 可得， 令，则， 解得，， ∵抛物线与 轴交于 ， 两点，且， ∴，即， ∴， ∴， ∴顶点 的坐标为． 故答案为：． 13. 如图，一个钟摆的摆长为1.5米，当钟摆向两边摆动时，摆角为，且两边的摆动角度相同，则它摆至最高位置与其摆至最低位置时的高度之差为 ___________________．（用含 的式子表示） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和锐角三角函数，根据题意将实际问题抽象为几何问题，再利用垂径定理和锐角三角函数解三角形是解此题的关键． 由题可知，秋千摆到最低点时，点 为弧的中心 ，由垂径定理知，．再根据锐角三角函数解三角形求得即可． 【详解】解：∵点 为弧的中点，为圆心， 由垂径定理知，，， ∵， ∴， ∵， 在中，由三角函数可得， ∴， 故答案为：米． 14. 如图，正六边形的中心与的圆心重合于点处，若的半径为6，正六边形的边心距为3，则图中阴影部分的面积为______（结果保留和根号） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了圆内接正多变形的性质，熟悉掌握正边形能平均分成个全等的等腰三角形是解题的关键． 利用圆内接正多边形的性质得到六边形的边长，再分别运算圆的面积和六边形的面积作差即可． 【详解】解：连接， ，过作于点，如图所示： ∵六边形ABCDEF的边心距为3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵圆的面积， ∴阴影部分的面积， 故答案为：． 15. 已知 ，，则 的值为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法进行计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，且，将直线绕点B按顺时针方向旋转，交x轴于点C，则直线的函数表达式是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】将代入得，可得，，，，在中，由勾股定理得，如图，延长，过 作于，证明，则，即，，，根据，，可得，即，令，则，，根据，求值，进而可求的值以及 点坐标，然后根据待定系数法求直线的表达式即可． 【详解】解：将代入得， ∴，即，， ∴， 在中，由勾股定理得， 如图，延长，过 作于， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 令，则，， ∴， 解得， ∴，， ∴， 设直线的表达式为， 将，代入得，， 解得， ∴直线的表达式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 17. 中，，， ，点D在边上，，如图所示．点E在边上，将沿着翻折得，其中点B与点对应，交边于点G，交的延长线于点H．如果是等腰三角形，那么_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的应用、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先画出图形，过点 作于点，确定如果是等腰三角形，则只能是，设，则，再证出，根据相似三角形的性质可得，，然后证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得的长，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下：过点 作于点， ∵， ∴， ∵交边于点 ，交的延长线于点 ， ∴， ∴如果是等腰三角形，则只能是为顶角，， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∵在中，，， ，， ∴，，， ∴， ∴，即， 由折叠的性质得：，， 设，则， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得，， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴，， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 即， 故答案为：． 18. 如图，在等边中，E是边的中点，P是的中线 上的动点，且，则的最大值是________． 【答案】3 【解析】 【分析】连接PC，则BP=CP，=CP-PE，当点P与点A重合时，CP-PE=CE，进而即可求解． 【详解】解：连接PC， ∵在等边中，，P是的中线 上的动点， ∴AD是BC的中垂线， ∴BP=CP， ∴=CP-PE， ∵在中，CP-PE＜CE， ∴当点P与点A重合时，CP-PE=CE， ∵E是边的中点， ∴的最大值=6÷2=3． 故答案是：3． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，三角形三边长关系，连接CP，得到=CP-PE，是解题的关键． 三、解答题（共96分） 19. （1）计算：； （2）解方程： 【答案】（1）0；（2）无解 【解析】 【分析】先计算二次根式的除法，再算加减，即可解答； 按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答． 本题考查了二次根式的混合运算，解分式方程，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ， ， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的增根， 原方程无解． 20. 网上购物已经成为人们常用的一种购物方式，售后评价特别引人关注，消费者在网店购买某种商品后，对其有 “好评”、“中评”、“差评”三种评价，假设这三种评价是等可能的． （1）小明对一家网店销售某种商品显示的评价信息进行了统计，并列出了两幅不完整的统计图． 利用图中所提供的信息解决以下问题： ①小明一共统计了 个评价； ②请将图1补充完整； ③图2中“差评”所占的百分比是 ； （2）若甲、乙两名消费者在该网店购买了同一商品，请你用列表格或画树状图的方法帮助店主求一下两人中至少有一个给“好评”的概率． 【答案】（1）①150； ②补全条形图如图1： ③13.3%； （2）． 【解析】 【分析】（1）①用“中评”、“差评”的人数除以二者的百分比之和即可得总人数；②用总人数减去“中评”、“差评”的人数可得“好评”的人数，补全条形图即可；③根据“差评”的人数÷总人数×100%即可得“差评”所占的百分比； （2）可通过列表表示出甲、乙对商品评价的所有可能结果数，根据概率公式即可计算出两人中至少有一个给“好评”的概率． 【详解】①小明统计的评价一共有：（40+20）÷（1-60%=150（个）； ②“好评”一共有150×60%=90（个）； ③图2中“差评”所占的百分比是：×100%=13.3%； （2）列表如下： 好 中 差 好 好，好 好，中 好，差 中 中，好 中，中 中，差 差 差，好 差，中 差，差 由表可知，一共有9种等可能结果，其中至少有一个给“好评”的有5种， ∴两人中至少有一个给“好评”的概率是． 考点：扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法． 21. 甲袋子中有2个红球、1个白球；乙袋子中有1个红球、1个白球．这些球除颜色外无其他差别．先从甲袋子中随机摸出1个球放入乙袋子，摇匀后，再从乙袋子中随机摸出1个球． （1）从甲袋子中摸出的球是白球的概率是____________； （2）从两个袋子中摸出的球都是红球的概率是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法求概率以及根据概率公式求概率． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中从甲袋子中摸出的球是白球的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及从两个袋子中摸出的球都是红球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中从甲袋子中摸出的球是白球的结果有1种， ∴从甲袋子中摸出的球是白球的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 （2）画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中从两个袋子中摸出的球都是红球的结果有4种， ∴从两个袋子中摸出的球都是红球的概率为． 22. 如图，、关于所在的直线对称，，，D为 延长线上一点，，； （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若F为的中点，连接 交 于O点，求四边形的面积． 【答案】（1）四边形是正方形， 理由如下： 、关于所在的直线对称， ，， 又， ， ， 又，， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形． （2） 【解析】 【分析】（1）利用对称得到边角关系，得到，，再由两个垂直得到四边形为矩形，根据邻边相等，得到四边形为正方形； （2）通过边长可计算出面积，再由平行得到相似三角形得到边长比例及面积比，求出及的面积，最后由正方形减掉其他部分三角形面积得到结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形是正方形； ，， ， ， 又 F为的中点， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查四边形中正方形的证明及不规则四边形的面积计算，在解题中可以根据题意先证明四边形为一种平行四边形，再添加额外条件证明目标四边形．计算不规则图形面积时，通常可以采用割补法． 23. 某校九年级学生到教育实践基地开展实践活动．当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了900米，到达菜园B处采摘蔬菜，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东方向走了600米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，，，） 【答案】菜园与果园之间的距离为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．作，作的延长线于点，得到四边形为矩形，利用解直角三角形算出、，进而算出，推出，根据即可算出菜园与果园之间的距离． 【详解】解：作，作的延长线于点， 由题知，，，，，， 可得四边形为矩形， ，， ，， ，， ， ， ， ． 答：菜园与果园之间的距离为． 24. 一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量 （件与销售价 （元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元与销售价 （元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2），，144元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解可得 关于 的函数解析式； （2）根据“总利润 每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得． 【详解】（1）设与的函数解析式为， 将、代入，得：， 解得：， 所以与的函数解析式为； （2）根据题意知， ， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，取得最大值，最大值为144， 答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质． 25. 【操作发现】 如图1，点M是中边的中点． （1）请你用圆规和无刻度的直尺过点M作的平行线 ，交于点N； （2）在（1）的条件下，线段与的数量关系是________； 【类比探究】 如图2，线段与射线有公共端点A，请你用圆规和无刻度的直尺在线段上作一个点N，使． 【答案】【操作发现】 （1）如图所示： （2）； 【类比探究】 【解析】 【分析】根据平行线的作图方法，三角形相似即可得到答案． 【详解】解：（1）过点M作， 交于点N，则 ，如图所示： 解：（2）由（1）得： ， ∴， ∴， ∵点M是中边的中点， ∴， ∴， 即； 故答案为：； 【类比探究】圆规取适当长度，在射线上依次截取，过点E作，交于点N，则，根据相似可得． 【点睛】本题考查了作图方法、三角形相似，灵活运用所学知识点是解题关键． 26. 如图，为的直径，C为上一点，D为弧的中点，交的延长线于点E． （1）求证：直线为的切线； （2）延长交于点F．若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接，， ∵为的直径， ∴，即 ∵， ∴， ∵D为弧的中点， ∴， ∴， ∵是半径， ∴直线为的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连，，证明，由垂径定理得出，得出，由切线的判定可得出答案； （2）根据锐角三角函数求出，根据平行线的性质得出，根据锐角三角函数求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 由（1）得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了切线的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质、解直角三角形是解题的关键． 27. （综合与实践）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，现有矩形纸片 ，，． （1）操作发现：操作一：将矩形纸片 折叠，使点A与点C重合，折痕为 ，然后展平得到图1，则四边形是什么特殊四边形？（不用说明理由） （2）实践探究：操作二：如图2，在矩形纸片 中，点G为的中点，将纸片沿折叠，使点B落在点处，连接． ①判断与折痕的位置关系，并说明理由； ②求的长． （3）拓展应用：如图3，若M为上任意一点，将纸片沿折叠，使点B落在点处，连接，当点A与点距离最小时，求的长． 【答案】（1）四边形是菱形 （2） ①， 理由如下：连接交于点E， 由翻折可知：垂直平分， 所以，， 因为点 为的中点， 所以是的中位线， 因此，即； ② （3） 【解析】 【分析】（1）连接，，设 与交于点O，由翻折可知，， 是的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，，由矩形的性质可得 ，推出，，证明得出，即可得证； （2）①连接交于点E，由翻折可知垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，，证明是的中位线，得出，即可得解；②连接交于点E，由翻折可知垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，，求出，由勾股定理可得，由等面积法求出，得出，最后再由勾股定理计算即可得解； （3）连接，由勾股定理可得，，得出当 ，， 在同一条直线上时，点 与点距离最小，最后由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：以点A，F，C，E为顶点的四边形是菱形． 理由如下：如图，连接，，设 与交于点O， 由翻折可知：，， 是的垂直平分线， 即有，， 因为四边形 是矩形，有 ， 所以，， 所以， 于是，所以四边形是平行四边形， 又因为，因此四边形是菱形． 【小问2详解】 解：①略 ②如图，连接交于点E， 由翻折可知：垂直平分， 所以，， 在矩形纸片 中，，， 因为点 为的中点，所以， 在中，， 因为， 所以， 而， 又因为，，所以， 所以， 所以． 【小问3详解】 解：如图，连接， 在矩形 中，，， 于是， 因为， 当 ，， 在同一条直线上时，点 与点距离最小， 此时， 设，则， 由翻折可知：， ， ， 解得：，即． 【点睛】本题考查了菱形的判定定理、矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 28. 项目化研究： 项目主题：泗阳大桥的抛物线之美——数据测量与计算 项目背景：如图1，泗阳大桥采用A型塔斜拉桥结构，主塔呈抛物线造型，兼具力学稳定性与美学价值．作为京杭大运河上的重要工程，大桥融合了传统运河文化与现代建筑艺术，橙红色塔身与碧水相映成趣，成为“水韵泗阳”的靓丽名片．某数学学习小组决定利用一次综合实践活动，结合自己所学知识，通过测量来探究大桥主塔高度． 数据测量与收集：如图2，桥塔底部宽，在某一时刻测得塔顶在桥面上的投影到中点 的距离（在一定范围内，我们将桥面看作是水平面），与水平塔架的投影相交于点，在同一时刻测得高的测绘仪的投影长度为． 数学公式备用：若、在抛物线上，则线段与抛物线围成“弓形”的面积为：． 数学建模：以为坐标原点，为 轴的正方向建立平面直角坐标系，点 的坐标为． 探究问题： （1）桥塔的高度 ； （2）求抛物线的函数表达式； （3）若此时测得 ①求水平塔架的长度； ②设“弓形”的面积为，四边形的面积为，记，请直接写出值． 【答案】（1） （2）抛物线的函数表达式 （3）①；② 【解析】 【分析】本题平行投影的应用，二次函数的实际应用； （1）根据同一时刻的实物长度和投影长度的比值相等求解即可； （2）先求出，，再设抛物线的函数表达式，代入，，计算即可； （3）①根据同一时刻的实物长度和投影长度的比值相等求出，再令时，求出，，得到； ②由题意可得“弓形”的面积为，四边形的面积为，代入计算求值，最后代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵在某一时刻测得塔顶在桥面上的投影到中点 的距离（在一定范围内，我们将桥面看作是水平面），在同一时刻测得高的测绘仪的投影长度为， ∴， 解得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵桥塔底部宽，在某一时刻测得塔顶在桥面上的投影到中点 ， ∴，， 设抛物线的函数表达式，代入，，可得， 解得， ∴抛物线的函数表达式； 【小问3详解】 解：①由题意可得， ∵， ∴， 当时，解得， ∴，， ∴； ②由题意可得“弓形”的面积为， 四边形的面积为， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $