2024年大梦杯福建省初中数学竞赛试题

2024年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间2024年3月13日9：00-11：00满分150分 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A,B,C, D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里， 不填、多填或错填都得0分) 1.在平面直角坐标系xOy中，已知点B0,2),点A在x轴正半轴上且∠BA0=30°。将 △OAB沿直线AB折叠得△CAB,则点C的坐标为() A.1,V5)B.(5,3)C.3,5)D.(5,) 2.若实数a,b满意a2+3a=2,b2+3b=2,且a≠b,则(1+a2)1+b2)=() A.18B.12 C.9D.6 3.若关于x的方程+2+-2+4r+a=0只有一个实数根，则符合条件的全部实数a的 x-2x+2x2-4 值的总和为() A.6 B.-30 C.-32D.-38 4.如图，在△ABC中，AB=6,BC=3,CA=7,I为△ABC的内心，连接CI并延长 交AB于点D。记△CAI的面积为m,△DAI的面积为n,则”=() A.B.C.3 D. 4 5.已知x,y为实数，且满意x2-y+4y2=4,记u=x2+y+4y2的最大值为M,最小 值为m,则M+m=() A碧BgCD. 15 15 5 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6.在平面直角坐标系内有两点A1,1),B(2,3),若一次函数y=x+2的图像与线段AB 有公共点，则k的取值范围为■ 0 7.如图，在△ABC中，D为BC边上一点，E为线段AD上一点，延长BE交AC于点F。 若，，则 8。设x,方，与，，x,是n个互不相同的正整数，且 x+2+x+L+xn=2017,则n的最大值是 9.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于E点，若，则 10.若正整数x,y,z满意方程组，则z的最大值 为 三、解答题（共4题，每小题20分，共80分） 11.若关于x的方程x2-(a-3)x+a-2=0有两个不相等的整数根，求a的值。 12.如图，H为△ABC的垂心，圆O为△ABC的外接圆。点E、F为以C为圆心、CH 长为半径的圆与圆O的交点，D为线段EF的垂直平分线与圆O 的交点。 求证：(1)AC垂直平分线段HE: (2)DE=AB。 13.对于整数n≥3，用o(m)表示全部小于n的素数的乘积。求满意条件p()=22n-32的 全部正整数n。 14.在一个m×n(m行，n列，m>1)的表格的每个方格内填上适当的正整数，使得： (1)每一列所填的数都是1,2,3，…，m的一个排列：（即在每一列中，1,2,3，…， m这m个数出现且仅出现1次) (2)每一行n个的数和都是34。 当上述的填数方式存在时，求(m,n)的全部可能取值。 2024年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间2024年3月13日9：00-11：00满分150分 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A,B,C, D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里， 不填、多填或错填都得0分) 1.在平面直角坐标系xOy中，已知点B0,2),点A在x轴正半轴上且∠BAO=30°。将 △OAB沿直线AB折叠得△CAB,则点C的坐标为() A.1,5)B.(5,3)C.(3,5)D.(5,) 【答案】B 【解答】如图，设CD⊥x轴于点D 依题意，CA=OA=25,∠CAO=2∠BA0=60°。 所以，CD=3,AD=V5,OD=5。 因此，点C的坐标为（√3,3）。 2.若实数a,b满意d2+3a=2,b2+3b=2,且a≠b,则(1+a2)1+b2)=() A.18B.12 C.9D.6 【答案】A 【解答】依题意，a,b为方程x2+3x-2=0的两个不同实根。 因此，由韦达定理得，a+b=-3,ab=-2。 0+a2)1+b2)=(1+2-3a)1+2-3b)=91-a)1-b)=9[1-(a+b)+ab1=91+3-2)=18。 或解：1+a2)1+b)=1+a2+b2+a2b2=1+(a+b)2-2ab+a2b2=1+9+4+4=18。 3.若关于x的方程+2+-2+4r+a=0只有一个实数根，则符合条件的全部实数a的 x-2x+2x2-4 值的总和为() A.6 B.-30 C.-32D.-38 【答案】D 【解答】方程+2+-2+4r+a=0化为2+4r+a+8=0…① x-2x+2x2-4 若方程①有两个相等实根，则△=16-8(a+8)=0,a=6。 a=6时，方程①的根x=x2=-1,符合要求。 若x=2是方程①的根，则8+8+a+8=0,a=-24,此时，方程①的另一个根为x=4, 符合要求。 若x=-2是方程①的根，则8-8+a+8=0,a=-8,此时，方程①的另一个根为x=0, 符合要求。 所以，符合条件的a有6，-24，-8，其总和为-38。 4.如图，在△ABC中，AB=6,BC=3,CA=7,I为△ABC的内心，连接CI并延长 交AB于点D。记△CAM的面积为m,△DA的面积为n,则”=() A c D. 【答案】C 【解答】依题意，。 由I为△ABC的内心知，。 (第4题) 所以，由等比定理知， m_IC_AC_BC_AC+BC7+35 n ID AD BD AD+DB 6 3 5.已知x,y为实数，且满意x2-y+4y2=4,记u=x2+y+4y2的最大值为M,最小 值为m,则M+m=() A9BgC胎 【答案】C 【解答】由x2-y+4y2=4,得x2+4y2=y+4,4=x2+y+4y2=20y+4。 :5y=4y+(x2+4y2-4)=(x+2y)2-4≥4，当且仅当x=-2y,即，或，时等号成 立。 0的最小值为-手“=+9+4少=2g+4的最小值为2，即。 5 :3y=4y-(x2+4y2-4)=4-(x-2y)2≤4，当且仅当x=2y,即，或，时等号成立。 ·0的最大值为号，u=2+9+4y2=20+4的最大值为 ,即。 3 六M+m=20+12_136 3515 或解：由x2-y+4y2=4,得x2+4y2=y+4,4=x2+y+4y2=2y+4 设y=1,若x=0,则μ=4：x≠0时，将代入x2-y+4y2=4, 得，即x4-(1+4)x2+4r2=0,…① 由△=1+4)2-1612≥0，解得。 将1=4代入方程①，解得，：代入方程①，解得，。 :可的最大值为等最小值为-号 因此…M+m号号管 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6.在平面直角坐标系内有两点AL,),B(2,3),若一次函数y=:+2的图像与线段AB 有公共点，则k的取值范围为 【答案】（个人觉得还要补充k≠0，因为是一次函数） 【解答】易得直线AB对应的一次函数的解析式为y=2x-1。 由，得(k-2)x=-3…① 依题意，方程①有1≤x≤2的解。 ∴.k-2<0,且，解得。故k的取值范围为。 或通过作图求解。 7.如图，在△ABC中，D为BC边上一点，E为线段AD上一点，延长BE交AC于点F。 若，则 【答案】 【解答】如图，过点C作CG∥BF交AD的延长线于点G 则。 又由CG∥BE,知△DGC∽△DEB。 。 AG-AD+DG-2DE+3 DE=IDE. 2 。 8。设x,:,x,…,x,是n个互不相同的正整数， x+x+x+L+x,=2017,则n的最大值是 【答案】63 【解答】依题意，x21,x22,x≥3，…，x2n。 2017=5+5+5+L+x≥1+2+3+L+n=mn+ 于是，，n≤63。 又当x=1,为=2，为=3，…，2=62，x=64时， 七+5+5+L++=1+2+3+L+62+64=63x64+1=2017. 2 ∴.所求n的最大值为63。 9.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于E点，若，则 【答案】5 5 【解答】由AB为⊙O的直径知，AE⊥BC。设CE=m,则 OA=V5m,AB=2V5m。 由条件易得△ACE∽△BAE, (第9题) .,AE2=CEEB,即AE2=mEB。 结合AB2=AE2+EB2,得(2N5m)2=mEB+EB。 (或由射影定理得BA=BEBC,即(25m)2=BE(BE+m)) ,∴.EB2+mEB-20m2=0,解得EB=4m或EB=-5m(舍去)。 .AE=2m,。 10.若正整数x,y,z满意方程组，则z的最大值为 【答案】84 【解答】由x3-y3-z3=30z,得 r-y--3ge-y-[x+r+6*r+e-]-0. 结合x,y,z为正整数得，(x+y)+(x+2z)2+(2-y)>0,于是x-y-z=0。 .x2=7x,x=7,y+z=7。 .当x=7,y=3,2=4或x=7,y=4,z=3时，yz有最大值84。 三、解答题（共4题，每小题20分，共80分） 11.若关于x的方程x2-(a-3)x+a-2=0有两个不相等的整数根，求a的值。 【解答】设：，x是方程两个不相等的整数根，则x+x=a-3,x,=a-2。 .a-3,a-2均为整数。因此，a为整数。 …5分 .△=(a-3)2-4(a-2)=a2-10a+17=(a-5)2-8为完全平方数。 设(a-5)2-8=12(1为整数，且120)。 则(a-5)2-2=8。于是，(a-5-0a-5+)=8。 …10分 由于a-5-1,a-5+1奇偶性相同，且a-5-1≤a-5+1。 或。 解得或。 …15分 经检验a=2,a=8符合要求。 .a=2或a=8。 20分 另解：设m,n(m<n)是方程两个不相等的整数根。 则㎡-(a-3m+a-2=0LLLO m2-(a-3)n+a-2=0LLL② 两式相减，得(m-n)(m+)-(a-3)(m-m)=0。 由m<n,得m+n=a-3,a=m+n+3。 …5分 将a=m+n+3代入①，得m-m-n-1=0。 ∴.(m-10(n-1)=2。 10分 由于m,n为整数，且m<n,因此，或。 或。 …15分 当时，a=m+n+3=2:时，a=m+n+3=8。 .a=2或a=8。 …20分