广西壮族自治区柳州市柳州地区民族高级中学2027届高三上学期模拟（一）数学试题

柳地高2027届高三上学期模拟试题（一) 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合） 1.若复数z满足引zP=iz,则二=() A.-i B.i C.0或-i D.0或i 2.已知{a}为等比数列，4=2,4=32，则a5=() A.8 B.12 C.16 D.17 3.已知ae(0,,则rsim(-a)=是“cosa=5的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.设一个随机事件的样本空间为2，事件A,B二2，则下列结论中不一定成立的是（) A.0≤P(A)≤1 B.P(A)+P(A)=1 C.若ASB,则P(A)≤P(B) D.若AUB=2,则P(A)+P(B)=1 5.已知实数a>1,b>1,若logab=2,log22 8,2=,则l1og4(b)=() A.1 B.2 c. D. 6.已知一个圆锥的底面半径为5，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是() A.体积为3元 B.表面积为2√3m C.两条母线的夹角的最大值为？ D.过顶点的截面面积的最大值为2 7.已知点A(1,1),B(1,-1),点P是抛物线C:y=x上的动点（异于A,B两点），记直线AP的斜率为 飞，直线BP的斜率为k2,则下列结论正确的是() A.k-k为定值B.k+飞为定值 。专言为定值 1.1 D.kkz +一为定值 8.已知数列{a}共有5项，各项均为正整数，且对n∈1,2,3,4，满足laH-a=1,若k(飞∈N)为数 列{a}中的项，记满足题意的数列{4}的个数为A,则A-A=() A.12 B.14 C.16 D.18 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 1 9,已知函数f)=V3cosx-5 sinxcosx-5】 则下列说法正确的是() A.f0)=5 B.f(x)在区间O, 5π 12 上单调递减 c.直线x=6 π 是曲线y=∫(x)的一条对称轴 D。了)的图象向右平行移动B个单位长度后得到函数（④的图象，则8(）为偶函数 10.已知正四面体P-ABC的棱长为2，则下列说法正确的是() A.此正四面体的表面积为3√5 B.此正四面体外接球的表面积为6π C.此正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 D,从此正四面体6条棱中取2条，这2条楼垂直的概率为号 乃是双曲线C，1的左，右焦点，过右焦点乃的直线交C的右支于A 下列说法正确的是() A,双由线C的两条蒲近线夹角为写 B.A-AE的最小值为8√ C.当B=2OA时，△A的面积为1 D.△4B的周长最小值为163 3 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12.xQ-x)°的展开式中x4的系数为 13.在△1BC中，点D在线段BC上，且满足BD=DC,点E为线段4D上任意一点（除端点外），若 11 实数x,y满足BE=xBA+yBC,则二+二的最小值为 x V 14.如图，要用21个元件组成一个电路系统，当且仅当从A到B的电路为通路状态时，系统正常工作. 3 己知每个元件正常工作的概率为云，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为 X,则E(X4)= -B 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤） 15.(13分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知tanA= cosB 1+sinB 若C=牙，求A: b (2)若△ABC外接圆半径为1，当△ABC的面积取最大值时，求 16.（15分)近些年汽车市场发生了翻天覆地的变化，新能源汽车发展迅速，下表统计了2021年到2024 年某地新能源汽车销量（单位：千辆） 年份 2021 2022 2023 2024 年份代号x 4 销量y 33 69 93 129 (4-g-习 i=1 附：相关系数r= 2可2(-可 回归方程y=x+a中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为6=立：-，- ,a=y-bx. :可 豆=w--4896而13o4. (1)试根据样本相关系数”的值判断该地汽车销量y与年份代号x的线性相关性强弱(0.75≤川≤1，则认为 y与x的线性相关性较强，r<0.75,则认为y与x的线性相关性较弱)；（精确到0.001） (2)建立y关于x的线性回归方程，并预测该地2025年的新能源汽车销量. 3 17.(15分)把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中AB=AC=3,∠BAC=∠BCD=90, ∠CBD=30°.将△ABC沿BC翻折至△PBC,使得二面角P-BC-D为直二面角. (I)证明：PB⊥平面PCD; (2)若P,B,C,D在同一个球面上，求该球的半径： (3)求平面PBD与平面BCD所成角的余弦值. C 18.(17分)在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,0),B1,0),Q(4,0),动点P满足PA+PB=4,记点P 的轨迹为C. (1)求C的方程： (2)过点Q且斜率不为0的直线1与C相交于两点E,F(E在F的左侧).设直线AE,AF的斜率分别为 k,k· ①求证： 为定值： k ②设直线AF,BE相交于点M,求证：MA-MB为定值. 19.(17分)已知函数f(x)=+hx,直线2x-y-1=0与曲线y=f(x)相切. (1)求a的值： e (2)若对任意x∈ 存在c∈[-e,0],使得不等式(x+1)f(x)≥x2+bx+c成立，求b的最大值： (3)若p(x)=ef(x),求证：对任意s,t∈(L,+o),有p(s+t)>p(s)+p(t): 4 柳地高2027届高三上学期模拟试题（一） 参考答案 题号 1 2 4 5 6 个 P 9 10 11 答案 C A B D B D C C ABD BC ACD 1.C【详解】设复数==a+bi(a,b∈R),则z=2+b2,所以a2+b2=i(a+bi)=-b+ai, a=0 所以C+B=-b 解得a=0,b=0或b=-1,所以==0或z=-i. 2.A【详解】a=44=2×32=64→4=8，则4q==32>0,显然q>0,所以4=8 3.B【详解】若n(红-a）-号则snu号 又ac(0,所以a-君或a=餐，则cosa=± 6 2 所以当ae(0利时，“sm(-a)-=方推不出“cosa= 2 1 s43ac0,,则a可得ma则sm-an 6 所以当a∈0刊时，“c0sa=5可以推出n(k-a)方 2 综上“血（红--分”是“cosa=5的必要不充分条件 4.D【详解】对于A,任意事件A的概率都满足0≤P(A)≤1，故A成立： 对于B,因A是事件A的对立事件，则AUA=2,所以P(AUA=P(A)+P(A=1,故B成立： 对于C,因为A三B,则事件B包含事件A所有的样本点，所以P(A)≤P(B),故C成立； 对于D,由AUB=2,仅能说明事件A和事件B的并集为样本空间，但并未说明事件A和事件B是 否互斥，由概率的加法公式P(AUB)=P(2)=P(A)+P(B)-P(AOB)=1,因此，只有当A∩B=O, 即P(A⌒B)=0时，P(A)+P(B)=1才成立，故D不一定成立 5B【详解】名有故会.a风b=,校g6,所以ga 因为a>1,所以a-2,b=2a=2,所以og.)=ie22g.2号 6.D【详解】对于A,圆维的体积为}元×(5矿1=，故A错误： 对于B,圆锥的母线长为V3+1=2,故圆锥的表面积为元x(V5+元x√3x2=23π+3π，故B错误： 对于C,设园健袖发面候角为a,则m号百-5，面号为说角，经导-号校a交放时条母 21 线的夹角的最大值为子，故C结误： 对于D,设两条母线的夹角为9，则过顶点的截面面积为S=×2×2sin9=2sin0, 2 而0<0≤，放当9-号$=2，放D正确 7.C【详解】点P是抛物线广=x上异于4B的动点，设P0,)(站1)，则=为1 6-1%+1’ 了对于进-专66品不花花货A带院 飞-%+1-1 对于选项B,k+片=1+1=2 h+1,1巧1，不是定值，B错误： 对于选项C,店 1上=(+)-，-)=2，为定值，C正确： 对于选项D, 名名6%106》2%，不是定宜：D钻识 8.C【详解】①k=1时，把数列{a}的5项依次排列， 数列{4}只有一个1时，4=1时，12345,12343,1233共3种，同理4=1也有3种： a2=1时，21234,21232共2种，同理a4=1也有2种： 4=1时，32123共1种： 数列{4}仅有两个1时，12123,21212,32121,12321共4种： 数列{4}仅有三个1时，12121共1种， 综上，A=3+3+2+2+1+4+1=16: ②k=2时，数列{4}只有一个2时，4=2时，23456,23454,23434共3种，同理a5=2也有3种： a=2时，12345,12343,32345,32343共4种，同理4=2也有4种： 43=2时，43234一种： 数列{4}仅有两个2时，4=2,4=2时，21234,23234共2种， 同理4=2,4=2时也有2种： 4=2,a4=2时，12121,12123,32121,32123,12321,12323,32321,32323共8种； 4=2,4=2时，23432共1种： 数列{4}仅有三个2时，21212,21232,23212,23232共4种， 综上A=3×2+4×2+1+2×2+8+1+4=32: .A-A=32-16=16 9.AD【详解】1-61lg22x号922x62 2 22 对于A,f0)=cs0+）=5 62,故A正确 对于，当（时 2x+∈，元 6(6: 易知函数y=cosx在(0，π)上单调递减， 5π f(在区间0, 上单调递减，故B正确： 7兀 +后经，由函数y=ces的对称中心为[仔0e2, 元5π 对于C,当x=时，2x+= 则点（行0）是函数)图像上的一个对称中心，放C结误， 对于D.函数/)向右平移晋个单位得8()-=)=co2x. 12 由8(-x)=cos(-2x)=cos2x=g(x),且定义域为R,则函数8(x)是偶函数，故D正确： 10.BC【详解】A选项：因为正四面体P-ABC每个面都是边长为2的正三角形，所以此正四面体 的表面积为4xx2×2×5-45: 2 B选项：把该正面体放在正方体中，如下图所示：设该正方体的棱长为x,则有 2=+:x=反，对角线长为，+(+可=6，外接球的半径为5，所以该正四面 体外接球的辛径为、外接球的表面积为4 6 =6π： C选项：设此正四面体内任意一点为Q,它到该正四面体四个面的距离 分别为d,d,d,d,设点到平面ABC的距离为d,显然d为一常数， 因为该正四面体每个面都是边长为2的正三角形，设每个面的面积为$， 所以有}4+出++a-,即d+4+4+d=d为定值： D选项：设AC的中点为M,连接MB,PM,因为△PBC,△PAC是正三角形，所以 BM⊥AC,PM⊥AC,因为BM∩PM=M,所以AC⊥平面BPM,所以AC⊥BP, 同理可证BC1PA,CP1BA,除了这三对互相垂直，其他的棱之间成的角为于，所以从此正四面体 6条棱中任取2条，这2条棱垂直的概率为5 31 1,AD【详解】对于A双面线号广-1的商近线方程为y=±5。 二x,一条渐近线的倾斜角为 3 名由对称性可知，两条渐近线的夹角为号，A正确： 对于B:A-A=2a=25，所以A-Ar=(（0A-AE)A+A=2N5(0A+Ar), 又A=AE+2W5,所以AR-Ar-2W5(2AE+2V3)=4W5Ar+12, 因为AE>c-a=2-V5,所以A-A>4W5(2-V5)+12=85,B错误； 对于C:引=2C=4,故OA=2,即A在以为直径的圆x2+y2=4上， x2+y2=4 由广1得r-草-片所以名所以防州4*1：c 3 对于D:由双曲线定义可得A=2a+AF引，B=2a+B, 所以周长L=A+B+AB=4a+(AE+B+AB=4a+2AB, L轴时，A8最小，将x=2代入双面线方程，得v=土3，故HB 3 所以L=45+2x25_165,D正确 3 3 12.-20【详解】：x1-x)°的展开式中x4的系数即为(1-x)°的展开式中x的系数， 又二项式(1-x)的展开式的通项为T,+1=C%×1-'×(-x)=C6(-1)'x', 令r=3,可得T4=C(-1)3x3=-20x3.x1-x)的展开式中x4的系数为-20 13.9【详解】由点D在线段BC上，|BD|DCL,得BE=xBA+yBC=xBA+4yBD, 而点E为线段AD上除端点外的任意一点，则x+4y=1,故(x+4y)BE=xBA+4yBD, 整理得x亚-4wD,结合孤，D同向和x+4w=1可得0<<L0<< 因此1+-+x+4=5+4y+之5+2，y=9,当且仅当 V x v x V 少=名时取等号， y=,即x=y 6 所以上的最小信为9 14.【详解】设由2个并联元件组成的整体依次为系统M,其损坏的元件个数为Y,1=1,2,,n, 则X,=,可得8(X)卢2()，在电路系统正常工作的条件下，可知系统4均正常工作，对 33 应率为P=21-》子号启则g=Q,可得Pg=0)-等号 X- 15 5 16 Pg==1P=0-号则)=0号1导号所议)空8)-8- 15.《13分)【详解】I切化弦得。-1分、即M+s)=osAc8, 即s4=c0 sAcosB-sm4sinB,.sinA=c0s(A+B,2分，C=，A+B=π-C 3 多m=@背，4分，片A 0<A< 6…5分 (2)由(1)sinA=cos(A+B),A+B=π-C,得siA=-cosC,…6分，又A,C∈(0，D), ∴cosC<0,<C<元，放0<1分诱导公式co4+引 π =-sinA,…7分， 2 得c=o4+c4受=-4-c=24，8分，4到 (04△ABC外接圆 1 半径为1，正弦定理a=2sinA,b=2sinB,c=2sinC,9分，…Ssc=2 bsinC=2sin1 sin BsinC =2sinAsin -2A cos A=sin 2Acos24=1 mM,…1分，当4-冬△BC的面积取最大值 2sin亿-24 vi b 2sin B (2 cos 24 2 a2 4sin2A 1-cos24 4× 1-cos2A 及5+1…13分 2 16.(15分)【详解】(1)已知0=4,5=1,5=25=3，x,=4,则元=1+243+4=25，…1分 4 y=3,片=69,3=98，y=129,则立=33+69+93+129=81，…2分 4 写法-：直接算∑(5-)=(1-2.5)2+(2-2.5}+(3-25)+(4-2.5)=54分 享(5-0g-列=1-2533-81++4-25029-8别=156…6分 4 写法二：】 =12+84f-0.4-425-5,5 24--分-42-30-25=5,4分， 空钱9w,版2-0g-列-含g4标--板5购+2581-156，一-6分 已知∑(y-)}=4896,代入相关系数公式， 40g-到 156 可得r= 15613 √5×48961217013.04 ≈0.997，…8分 ②矿②可 因为=0.997≥0.75，所以y与x具有较强的线性相关关系。…9分 4 (2)由(1)可知∑（年-）(g-)=156,∑(：-=5，所以 i=1 6多s到 x-对 -2分a-5.e2 a=81-31.2×2.5=81-78=3,…13分，则少=31.2x+3,…14分， 当x=5,得=31.2×5+3=159（千辆）.…15分 17.(15分)【详解】(1)二面角P-BC-D为直二面角，即平面PBC1平面BCD, .CD⊥BC,,平面PBC∩平面BCD=BC,∴.CD⊥平面PBC.…2分 ∴.PB⊥CD.3分，：PB⊥PC,CDOPC=C,PB⊥平面PCD,…4分 (2)取BC中点O,BD中点M,连接OP,OM,则OM⊥BC,OM11CD,由(1)得CD⊥平面 PBC,CD⊥OP,∴.OM⊥OP,PB=PC,.OP⊥BC.如图建系O-z,…6分 则6aooa98909f-o0607分 设该球的球心坐标为0(x,y,2),则O,P2=O,B2=O,C2=O,D=R, 则r+9-9r6-j…8分 解得x=0,y= e面D向取-0a…1分（9a29n56到 nBP=0, 3W2.,32 -x+ 设平面PBD的法向量为%=(x,y,z),则 即 2 2=0取=1，得 2 h·BD=0,-32x+V6y=0. 4=5,…l3分，cos 一 历四1-5 5 5 所以平面PBD与平面BCD所成角的余弦值为5 …15分 18.(17分)【详解】(1)由AB=2,PA+PB=4>AB,∴点的轨迹为，为焦点，4为长轴 长的桶圆上，1分，设桶圆方程为若+芳-1a>b>0,焦距为2c,则c=1,a=2,…3分 所以6=d-c=3,所以C的方程为号+父=1.4分 43 (2)①由Q(-4,0),直线1的斜率存在且不为0，设直线1的方程为x=-4,E(:,),F(x,y2), 「x+ <0,联立 4+31,消得3+49-24+36=0，…5分，则片+为3m+4 247L x=1y-4 36 443+4…6分，且△=1440m-40>0,且m为=C+）,…7分， 考+1，后 ”A(1,0),所=当， 飞=3+D-m少，-3》-y-3y 无十1：…8分，所以无，民+0m网-3)g-3列， +)93+ 33 -=-1.…10分 E材 ②由①可知，会-山，所以6+名=0.作B关于x轴的对称点G,,则P，，G三点共线， 又4-10，B0,0,设M,为)，则直线4s方程即为直线4G方程x=-1-y-1,…1分 y 又直线驱方程为x=1 +1.2分，作差可得%，3分，所以 6=号（之-1子…14分，所以= 人=克，又4<0，得出0<0，又因为 ,0 43 43 34 44 所以点M在以，为焦点，1为实轴长的双曲线的左支上运动，所以M4-MB=-1.…17分 6 19.17分)【详解】1)设切太6,2-小.：=a*l分了)a+丈-2 ①…2分，，2x-1=+血②，…3分，①②联立解得=1，a=1.…4分 2)由1)得J)=血，对任意x[c]存在c=-eo1,使得不等式 （+/创2++c成立，等价于为任意e,()-瓜之w=-t,5分 则b≤区+/)-+e恒成立，…6分，令g)-+f国-+e-h+1+血x+c, b≤g(x)即可，g()=+hx-e=+1-血-e,…7分，令)）=x+1-1n-e, 1 则)=1士，所以当时，(0，M单期速减，当飞e)时，>0， xx )单词递，…8分，7e>25.日日-2-e子2-25<0， ee 0=2-c<0,M回)=0，当e合e时，<0，即<0,5()单调说减 当x∈(e,e2)时，h(x)>0,即g(x)>0,g(x)单调递增，…9分， 所以b≤g()=g(⊙)-=3+，即b最大值3+上…10分 e (3)由已知得国)=ef)=c(+n到，则p)=ee+h)+e〔+=e(x+nx41+) x …1分，令p()=x+nx1+(>),则p叫)>0p()-1+是-1+0， x x2 x2 .p(x)在(1，+∞)上单调递增，…12分，y=e在(L,+∞)上单调递增且恒为正， ∴.p(x)在(1，+∞)上单调递增且恒为正，∴.p(x)在(1，+o)单调递增，…13分， 令F(x)=p(x+t)-p(x)-p(t),且x,t>1,则F(x)=p(x+t)-p(x),…14分， x+t>x>1,.F(x)=p(x+t)-φ(x)>0,F(x)在(1，+0)单调递增，…15分 .对任意s>1,有F(s)>F(1)=p(1+t)-p(1)-p(t), 因为t>l时，p(1+t)-p()-p(t)=e[1+t)+ln(1+t)]-e-e(t+lnt) =(te-te)+[en1+)-elnt]+(e+-e)>0,…l7分 所以F(s)>0,即p(s+t)>p(s)+p(t) >