精品解析：黑龙江省牡丹江市第二高级中学2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试卷

牡二中2026-2027学年度第一学期高三第二次阶段测试试题 数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 4. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 3月31日，2025年“广西三月三八桂嘉年华”开幕式暨全国“四季村歌”活动在南宁民歌湖举行，主舞台设在南宁民歌湖边小明在湖对岸，现想测量与主舞台的距离，如图所示，（小明），（主舞台）两点在湖的两岸，通过确定与同侧的湖岸边一点，测出，的距离为100m，，，计算出，两点的距离为（ ） A. m B. m C. m D. m 6. 函数，设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 设函数是定义在上的奇函数，为其导函数．当时，，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数是周期为2的偶函数，当时，．则不等式在区间上的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 在处取得极小值 B. 的图象关于点中心对称 C. 有个零点 D. 直线是的一条切线 10. 下列说法正确的是（ ） A. 两点分布中，时，方差最大 B. 设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品的均值为0.6 C. 用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性，如果把列联表中所有的数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，结论不受任何影响（参考公式：） D. 随机变量满足，若，则 11. 在中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. ，则面积的最大值是 D. 若，且有两解，则b的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是___________．（请用数字作答） 13. 若，并且均为锐角，且，则________． 14. 函数的图象为，如下结论中正确的是__________.（写出所有正确结论的编号） ①图象关于直线对称； ②图象关于点对称； ③函数在区间内是增函数； ④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象； ⑤函数的最小正周期为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设函数在处取得极大值1． （1）求的解析式； （2）求在区间上的最值． 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）若时，恒成立，求实数的取值范围； （3）将函数的图像的横坐标缩小为原来的，再将其横坐标向右平移个单位，得到函数的图像．若，函数有且仅有5个零点，求实数的取值范围． 17. 某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案． 方案1：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、10元、20元的奖金． 方案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第次取到红球，可得10i元奖金，取到白球没有奖金． （1）游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为元，求； （2）游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为元，求的分布列； （3）试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算． 18. 在中，内角所对的边分别是，且，． （1）求角； （2）若，求边上的角平分线长； （3）若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 19. 已知函数（）． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性； （3）若时，恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 牡二中2026-2027学年度第一学期高三第二次阶段测试试题 数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】． 因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件． 2. 已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】扇形的圆心角，其弧长，由弧度制定义，该扇形的半径， 所以该扇形的面积. 3. 已知，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】配凑后直接利用基本不等式化简求解即可． 【详解】∵，∴， ∴， 当且仅当时等号成立，此时，故的最小值为3. 故选：D. 4. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式结合同角三角函数关系得到，计算得到答案. 【详解】由，且，得， . 故选：B 5. 3月31日，2025年“广西三月三八桂嘉年华”开幕式暨全国“四季村歌”活动在南宁民歌湖举行，主舞台设在南宁民歌湖边小明在湖对岸，现想测量与主舞台的距离，如图所示，（小明），（主舞台）两点在湖的两岸，通过确定与同侧的湖岸边一点，测出，的距离为100m，，，计算出，两点的距离为（ ） A. m B. m C. m D. m 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理列方程，由此求得正确答案. 【详解】由正弦定理得， 所以. 6. 函数，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断出函数为偶函数，再判断出函数的单调性，结合偶函数的性质求解即可. 【详解】因为， 且， 所以函数为上的偶函数， 当时，，单调递增， 又因为， 又因为， 且， 即 所以， 即. 7. 设函数是定义在上的奇函数，为其导函数．当时，，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】设，. 当时，， 因为时，，所以当时，. 所以在上单调递增，且， 所以当时，；当时，. 又为上的奇函数，所以为上的偶函数. 所以当时，；当时，. 综上，不等式的解集为. 8. 已知定义在上的函数是周期为2的偶函数，当时，．则不等式在区间上的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，由，得，所以， 所以； 因为是定义在上的偶函数，所以， 当时，则，所以， 因为函数是周期为2的周期函数，所以， 当，则，所以， 由，得，解得， 综上所述：不等式在区间上的解集为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 在处取得极小值 B. 的图象关于点中心对称 C. 有个零点 D. 直线是的一条切线 【答案】BD 【解析】 【分析】求导讨论函数单调性，并结合极值的定义，即可判断A；利用图象平移或中心对称定义，即可判断B；令，分解因式求解方程，即可判断C；设出切点，由已知切线斜率可求出切点，进而可判断D. 【详解】A. ， 令得或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得极大值，在处取得极小值，A错误； B．法一：（图象平移）设， 此函数为奇函数，关于成中心对称， 因此的图象是向上平移2个单位得到的， 故关于成中心对称， 法二：（中心对称定义）由中心对称的定义， 得到=， 所以关于成中心对称，B正确； C. 因为， 令，得或，所以有2个零点，C错误; D.因为，设切点为，则切线斜率为 ，解得或， 当时，，切线方程为 ，即，D正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 两点分布中，时，方差最大 B. 设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品的均值为0.6 C. 用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性，如果把列联表中所有的数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，结论不受任何影响（参考公式：） D. 随机变量满足，若，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】对A，设服从两点分布，则，当且仅当时取“”.故A正确； 对B，设表示查得次品的件数，则服从超几何分布， 且，，， 所以.故B正确； 对C，把列联表中所有的数据都扩大为原来的10倍，计算出是原来的10倍，在相同的检验标准下，结论会受到影响.故C错误； 对D，由.故D正确. 11. 在中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. ，则面积的最大值是 D. 若，且有两解，则b的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理和正弦函数、三角形的面积公式和基本不等式，结合选项，逐项分析、判断，即可求解. 【详解】设外接圆的半径为， 对于A，若，由正弦定理得，则，正确； 对于B，因为，所以，则， 所以或，即或，错误； 对于C，由余弦定理，得， 当且仅当时取等号，因此面积的最大值为，正确； 对于D，若，，可得， 要使得有两解，则满足，即的取值范围是，正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是___________．（请用数字作答） 【答案】#### 【解析】 【分析】先得到，从而利用的展开式通项公式进行求解，得到答案 【详解】只有第六项的二项式系数最大，则的展开式共11项，所以， 其中展开式通项公式为， 令得，故， 所以展开式中的系数是. 13. 若，并且均为锐角，且，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意知，，，进而得，，再根据，结合余弦差角公式求得，最后根据余弦函数性质即可求得答案. 【详解】因为均为锐角，且，即， 所以，，， 所以 因为， 所以， ， 所以， 因为， 所以 14. 函数的图象为，如下结论中正确的是__________.（写出所有正确结论的编号） ①图象关于直线对称； ②图象关于点对称； ③函数在区间内是增函数； ④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象； ⑤函数的最小正周期为. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】对于①：直接求出即可验证；对于②：用代入法进行判断；对于③：直接求出增区间即可；对于④：利用相位变换即可判断.对于⑤，利用三角函数图象的平移、对称变换即可判断. 【详解】因为 对于①：当时，为函数的最小值， 故图象关于直线对称，即①正确； 对于②：因为， 所以图象C关于点对称；故②正确； 对于③：令， 解得：， 所以的递增区间为， 当时，是的一个递增区间，故③正确； 对于④：的图象向右平移个单位长度可以得到，故④错误. 对于⑤；因，可理解为将函数的图象向上平移1个单位长度， 再保持轴上方部分不变，并将轴下方部分沿着轴向上翻折得到， 故其周期并非的周期的一半，即⑤错误. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设函数在处取得极大值1． （1）求的解析式； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1）； （2）最小值为，最大值为17. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用给定的极值点及极值列式求出，再验证即可. （2）利用导数求出指定区间上的最值. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 由在处取得极大值1，得，解得， 此时，当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值1， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减， 而，， 则当或时，取得最小值；当时，取得最大值17， 所以在上的最小值为，最大值为17. 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）若时，恒成立，求实数的取值范围； （3）将函数的图像的横坐标缩小为原来的，再将其横坐标向右平移个单位，得到函数的图像．若，函数有且仅有5个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简得到， 结合最小正周期的求法，即可求解； （2）由时，结合三角函数的性质，求得取得最小值，根据题意，即可求得实数的取值范围； （3）由，得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：因为， 所以的最小正周期. 【小问2详解】 解：当时，可得， 当，即时，取得最小值， 因为时，恒成立，所以， 即实数的取值范围为. 【小问3详解】 解：由题意，函数， 因为，所以， 又因为函数有且仅有5个零点，则满足，解得， 所以实数的取值范围． 17. 某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案． 方案1：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、10元、20元的奖金． 方案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第次取到红球，可得10i元奖金，取到白球没有奖金． （1）游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为元，求； （2）游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为元，求的分布列； （3）试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算． 【答案】（1） （2）分布列： 0 10 20 30 40 50 60 （3）游客选择网上购票更划算【解析】 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式计算即可； （2）利用排列组合和古典概型的概率公式求分布列； （3）先求出的分布列，再计算两个随机变量的期望，比大小即可. 【小问1详解】 ，即两次都抽到20元的红包，或1次抽到10元的红包，1次抽到20元的红包，每次抽到任意红包的概率均为， 所以． 【小问2详解】 由题意得的可能取值为0，10，20，30，40，50，60， ， ， ，， 所以的分布列为： 0 10 20 30 40 50 60 【小问3详解】通过景点购票，由（2）得， 的可能取值为0，10，20，30，40， ， ， ， 所以， 故， 所以游客选择网上购票更划算. 18. 在中，内角所对的边分别是，且，． （1）求角； （2）若，求边上的角平分线长； （3）若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由诱导公式化简得到，得到； （2）由三角形面积公式和余弦定理得到角平分线长； （3）由向量基本定理和数量积公式可得，由正弦定理和三角恒等变换得到，从而得到中线的取值范围 【小问1详解】 如图： 由， 因为， 所以， 由，得，又，则． 【小问2详解】 由余弦定理，，因为， 所以，又，所以， 由，得， 整理得． 【小问3详解】 因为是边上的中线，则， 两边取平方，， 由（2）已得，代入可得， 由正弦定理，， 则， 所以 ， 因为为锐角三角形，则有，解得， 则， 由正弦函数的图象性质，可得， 故得，从而， 故边上的中线的取值范围为． 19. 已知函数（）． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性； （3）若时，恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，函数的单调减区间为，单调增区间为， 当时，函数的单调减区间为，单调增区间为， 当时，函数的单调减区间为，无单调增区间， 当时，函数的单调减区间为，单调增区间为. （3） 【解析】 【分析】(1)利用函数求导求解处的切线斜率并计算切线方程. (2)求导后通过对范围的分类讨论来求得各个情况下的单调区间. (3)通过恒成立条件化简为关于的不等式并构造新函数，通过单调性求解其极值. 【小问1详解】 当时，，求导得，则，而， 所以函数的图象在处的切线方程为. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得 ， 当时，由，得或， ①当时，由，得或，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增. ②当时，由，得或，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增. ③当时，由，得，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增. ④当时，可得恒成立，则函数在上单调递减， 所以当时，函数的单调减区间为，单调增区间为. 当时，函数的单调减区间为，单调增区间为， 当时，函数的单调减区间为，无单调增区间， 当时，函数的单调减区间为，单调增区间为. 【小问3详解】 当时，不等式转化为， 令函数，求导得， 令，求导得， 故函数在上单调递减， 且，，则函数在内存在唯一的零点， 当时，，，在上单调递减， 当时，，，在上单调递增， 则，又，即， 则，即， 所以，即实数a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $