专题06 相交线与平行线章末56道压轴题型专训（8大题型）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

专题06 相交线与平行线章末56道压轴题型专训（8大题型） 题型一 相交线与垂线综合应用 题型二 根据平行线的性质探究角的关系 题型三 平行线的性质在生活中的应用 题型四 平行线中的翻折问题 题型五 平行拐点模型综合 题型六 平行线与相交线几何证明 题型七 相交线与平行线中规律问题 题型八 平行线中辅助线问题 【经典例题一 相交线与垂线综合应用】 1．（24-25七年级·上海闵行·假期作业）如图，直线AB与直线MN相交，交点为O，OC⊥AB，OA平分∠MOD，若∠BON＝20°，求∠COD的度数． 【答案】∠COD＝70° 【分析】利用对顶角相等可得∠AOM的度数，再利用角平分线的定义和垂线定义进行计算即可． 【详解】解：∵∠BON＝20°， ∴∠AOM＝20°， ∵OA平分∠MOD， ∴∠AOD＝∠MOA＝20°， ∵OC⊥AB， ∴∠AOC＝90°， ∴∠COD＝90°﹣20°＝70°． 【点睛】本题考查了垂线、对顶角的性质、角平分线的定义及角的运算，关键是掌握对顶角相等，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线． 2．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）（1）在图1上过A点画出直线、直线的垂线． （2）在图2上过B点画出直线的垂线，过C点画出直线的垂线．    【答案】（1）图见解析（2）图见解析 【分析】本题考查画垂线，借助三角板画出垂线即可，熟练掌握画垂线的方法，是解题的关键． 【详解】解：（1）由题意，画图如下：    （2）由题意，画图如下：    3．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）如图所示，说明如何量出点到直线的距离，三名同学有不同的做法． 甲同学：只要量出线段的长度即可； 乙同学：过点无法向直线作垂线，所以无法量出点到直线的距离； 丙同学：过点作直线的垂线，垂线和直线不相交，所以不能量出点到直线的距离． 请你判断对错，若你不同意他们的做法，请你写出正确的做法． 【答案】不同意，过程见解析． 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离为点到直线垂线段的长度作图，即可求解． 【详解】解：不同意． 正确做法：延长，过点作，交的延长线于点， 则的长即为点到直线的距离． 4．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段 的长度是点A到直线的距离； (3)线段、的大小关系为 （填“”“”或“”），理由：____________． 【答案】(1)图见详解 (2) (3)，垂线段最短 【分析】本题主要考查了基本作图以及垂线的画法、点到直线的距离、垂线段最短，正确借助网格得出是解题关键． （1）利用垂线的定义结合网格进而得出直线、； （2）利用点到直线的距离得出答案； （3）利用垂线段的性质进而得出答案； 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由（1）得，， ∴的长度是点A到直线的距离， 故答案为：； （3）解：∵垂线段最短， ∴由图可得， 故答案为：；垂线段最短． 5．（24-25七年级下·河南安阳·月考）（1）如图，过点画直线的垂线，并注明垂足为；过点画直线的垂线，交于点． （2）线段___________的长度是点到直线的距离． （3）线段、的大小关系为___________．（用符号，，，，表示）理由是___________． 【答案】（1）图见解析；（2）；（3），垂线段最短 【分析】本题考查了作垂线、点到直线的距离、以及垂线段最短，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）利用三角板的两条直角边画图：“一落”、“二移”、“三画”即可得； （2）根据点到直线的距离的定义解答即可得； （3）根据垂线段最短解答即可得． 【详解】解：（1）过点画直线的垂线，垂足为；过点画直线的垂线，交于点，如图所示： （2）∵是的垂线， ∴线段的长度是点到直线的距离． 故答案为：． （3）线段、的大小关系为．理由是垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 6．（24-25七年级下·上海闵行·假期作业）（1）在图一上过点分别画出直线、直线的垂线（直接画出，不必写出做法）； （2）在图二中，，都是直角，射线，分别平分和．若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）钝角三角形边的垂线； （2）由题意可得，，即可求． 【详解】（1）作图如下： （2）∵OE、OF分别平分和，，都是直角， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的定义，熟练掌握三角形高的做法，角平分线的定义是解题的关键． 7．（25-26六年级上·吉林长春·期末）在如图所示的方格纸中，是的边上的一点，按下列要求画图并回答问题． (1)过点画的垂线，交于点，该垂线若经过格点，请在图中标出垂线所经过的格点； (2)过点画的垂线，垂足为． ①线段的长度是点到_____的距离，______是点到的距离； ②线段、、、的大小关系是_______（用“<”号连接），依据是：_______． (3)过点画直线，（点与点在直线的同侧）若，则____（用含的代数式表示）． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析；①，；②，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 (3) 【分析】此题考查的是网格作图，点到直线的距离，垂线的性质，掌握垂线的性质是解决此题的关键． （1）画出垂线，然后根据图形即可推出结论； （2）画出垂线，然后根据点到直线的距离以及垂线段最短可得结果； （3）作出图形后，再根据余角的定义即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，图中该垂线经过的格点有点、、、． （2）解：如图所示． ①，， ∴线段的长度是点到的距离，是点到的距离． 故答案为：，． ②如图，，， ． ， ． ． 依据是：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 故答案为：，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． （3）如图所示， ， ． ． ， ． ， ． 故答案为：． 【经典例题二 根据平行线的性质探究角的关系】 8．（24-25七年级下·陕西延安·期末）已知直线，点分别在直线上，且点为平面内一点． (1)如图1，点在直线、之间，连接，，若，，求的度数； (2)如图2，点在直线的上方，连接，试求出之间的数量关系． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． （1）过点作，可知，根据两直线平行内错角相等及同旁内角互补可知，，即可求出的度数； （2）过点作，可知，根据平行线的性质可知，，即可得到之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图1，过点作， 因为， 所以， 所以，， 所以， 所以； （2）解：如图2，过点作， 因为， 所以， 所以，， 所以， 所以． 9．（24-25七年级下·江西宜春·月考）已知：，与交于点M． (1)如图1，试判断的数量关系，并说明理由． (2)如图2，平分，平分，当时，求的度数； (3)在（2）的条件下，当时，直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质以及外角和定理，解答本题的关键是作出辅助线，要求同学们掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等． （1）过M作，利用平行线的性质即可得出结论； （2）由角平分线的定义得，，然后借助（1）的结论求解即可； （3）由得，然后借助（2）的结论即可求解． 【详解】（1）数量关系为：，理由如下： 过M作，如图所示： ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ （2）解：∵， ∴， ∵平分平分， ∴，， ∴ 由（1）可知， ∴； （3）∵， ∴． 由（2）可知，． 10．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，点、、在同一条直线上，点是一个动点，，连接、． (1)当点在线段上固定时，若，则的度数是___________； (2)当点在线段上运动时，试探究、和之间的数量关系； (3)当点不在线段上时，（2）中结论是否会发生改变？若改变，请写出它们之间新的数量关系；若不变，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)改变，或 【分析】本题考查利用平行线的性质探究角度之间的关系，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键： （1）过点作，进而得到，利用平行线的性质，得到，即可得出结果； （2）同（1）法即可得出结果； （3）分点在线段的延长线上以及点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）过点作， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）会发生改变； ①当点在线段的延长线上时，作，则：， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上时，作，则：， ∴， ∴； 综上：或． 11．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：，直线分别交于点A、C、E (1)当位置如图1所示，点P为射线上一点时，则，请说明理由． (2)当位置如图2所示，点P为直线EF上一点时，则，的数量关系是 ． 【答案】(1)见详解 (2)当点在点左侧时，；当点在点右侧时， 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角的和差等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． （1）利用两直线平行内错角相等，得出相等的角，然后等量代换即可； （2）利用两直线平行同旁内角互补，得出角的关系，然后利用角的和差进行表示即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ∴； （2）解：①如图所示，当点在点左侧时， ∵， ∴， ∴； ②如图所示，当点在点右侧时， ∵， ∴， ∴； 故答案为：当点在点左侧时，；当点在点右侧时，． 12．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图1，是我国西北地区农村使用的太阳能烧水器，其原理是利用凹面镜的聚光技术，如图2是图1的轴截面示意图，太阳光线，经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点P． (1)如图2，若和，则　　　； (2)如图3，已知，点M，N分别在，上，点P是，之间右侧任意一点，连接，，若，请写出之间的数量关系，并说明理由； (3)如图4，在（2）的基础上平分，平分，若，，请直接求的值．（不需要写解答过程） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键． （1）作辅助线构造平行线，从而得到，根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”求解即可； （2）作辅助线构造平行线，由平行线的性质可得，，由此可求解； （3）由角平分线的性质可得，，再根据（2）中的结论同理可得，由此可求． 【详解】（1）解：过点P作（点R在点P的左侧），如图， ∵， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）解：，理由如下： 过点P作（点H在点P的左侧），如图， ∵， ∴， ∴，， ∴, ∵， ∴； （3）解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，， 由（2）中的结论可知，， 同理可得， ∴． 13．（24-25七年级下·广东佛山·月考）在课堂上我们学习了平行线的性质，平行线具有“等角转化”的功能，“三线八角”图是研究平行线性质的“基本图形”． (1)阅读理解：如图，，点E，F分别为直线，上的一点，点P为平行线间一点，猜想，与之间的关系，并说明理由． (2)方法运用：如图，，猜想，与之间的关系，并说明理由． (3)深化拓展：如图，，与的角平分线相交于点Q． ①若，，，直接写出的度数 ②若，，，求的度数（用含m，n的代数式表示）． 【答案】(1)；理由见解析 (2)；理由见解析 (3)①；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键． （1）根据平行线的性质与判定条件求解即可； （2）同理可得，由平角的定义可得，则； （3）①根据（2）的结论得到，再由角平分线的定义和角之间的关系得到，，则；②仿照（3）①求解即可． 【详解】（1）解：．理由如下： 过点P作，如图所示： ， （两直线平行，内错角相等）． ，， （平行于同一直线的两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）． ， 即． （2）解：猜想，理由如下： 同理可得， ∵， ∴， ∴； （3）解：同理可得， ∵， ∴， ∵与的角平分线相交于点Q， ∴， ∵，， ∴，， ∴； ②∵，， ∴， ∵与的角平分线相交于点Q， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 14．（24-25六年级下·山东济南·期末）学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题． (1)小明遇到了下面的问题：如图1：，点在、内部，探究，，的关系．小明过点作的平行线，可得到，，之间的数量关系是：_____． (2)如图2，若，点在、外部，，，的数量关系如何？为此，小明进行了下面不完整的推理证明．请将这个证明过程补充完整，并在括号内填上依据．过点作． （_____） ， （_____） ， ， _____．（_____） (3)我们生活中经常接触小刀，小刀刀柄外形是一个直角梯形（挖去一个小半圆）．如图3，刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成和，那么的大小是否会随刀片的转动而改变？说明理由． 【答案】(1) (2)两直线平行，内错角相等；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； ，等量代换 (3)不会变，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质．正确作出辅助线是解题关键． （1）设过点P作的平行线为，易得出，从而得出，．再根据，即得出； （2）根据平行线的性质结合角的和与差补全证明过程即可； （3）过点作，得到，推出，由为定值得到的大小不会随刀片的转动而改变． 【详解】（1）解：如图，设过点P作的平行线为． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴． 故答案为：； （2）证明：过点P作， （两直线平行，内错角相等）． ， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， ． ， （等量代换）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；，等量代换； （3）证明：过点作， ∵ ∴， ∴，． ∵， ∵为定值， ∴的大小不会随刀片的转动而改变． 【经典例题三 平行线的性质在生活中的应用】 15．（24-25七年级下·山西晋中·期中）如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学平面图形，已知，若，，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，延长到点C，根据求出，得到，再根据得到． 【详解】解：如图：延长到点C，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 16．（24-25七年级下·四川达州·期中）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是3°/秒，灯B转动的速度是1°/秒，假定这一带长江两岸河堤是平行的，即．若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？    【答案】当秒或秒时，两灯的光束互相平行 【分析】设A灯转动t秒，分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别根据两灯的光束互相平行列出方程求解即可． 【详解】解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， ①当时，，解得； ②当时， ，解得； ③当时，，解得（不合题意）； 综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行． 【点睛】本题考查了平行线的性质与一元一次方程的综合，熟练运用平行线的性质找等量关系是解题的关键． 17．（24-25七年级·上海闵行·假期作业）如图，在、两处之间要修一条笔直的公路，从地测得公路走向是北偏东，公司要求、两地同时开工，并保证若干天后公路准确接通． （1）地修公路的走向应该是　　 ； （2）若公路长12千米，另一条公路长6千米，且的走向是北偏西，试求到公路的距离？ 【答案】（1）地所修公路的走向是南偏西；（2）12km 【分析】（1）根据平行线的性质的性质可得到结论； （2）求得∠ABC=90°即可得到结论． 【详解】（1）由两地南北方向平行，根据内错角相等，可知地所修公路的走向是南偏西． 故答案为：南偏西． （2）， ， 地到公路的距离是千米． 【点睛】此题考查了方向角问题，结合生活中的实际问题，将解三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想． 18．（2025七年级下·上海·专题练习）如图，钱塘江入海口某处河道两岸所在直线（PQ，MN）夹角为20°，在河道两岸安装探照灯B和A，若灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BQ逆时针旋转至BP便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．设灯A转动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒．已知∠BAN＝50°． （1）当b＝2时，问灯B转动几秒后，射出的光束第一次经过灯A？ （2）当a＝3，b＝6时，若两灯同时转动，在1分钟内（包括1分钟），问A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ （3）若A、B两灯同时转动（a＞b），在45秒与90秒时，两灯的光束各平行一次，求a，b的值． 【答案】（1）15秒；（2）秒；（3），． 【分析】（1）根据B灯转动30度时第一次经过灯A，列出方程即可得解； （2）根据内错角相等，两灯的光线平行，构建方程求解可得结果； （3）分两种情形，根据平行线的判定，构建方程解决问题即可． 【详解】解：（1）设灯B转动t秒后，射出的光束第一次经过灯A． 由题意得：2t＝30， 解得：t＝15， 答：灯B转动15秒后，射出的光束第一次经过灯A． （2）设A灯转动x秒，两灯的光束互相平行． 根据题意得：180﹣50﹣3x＝6x﹣30时，两灯的光束互相平行， 解得：x＝， 答：A灯转动秒，两灯的光束互相平行． （3）在45秒与90秒时，两灯的光束各平行一次 45秒时第一次平行，由题意得：45a﹣130＝30﹣45b， 90秒时第二次平行，由题意得：90a﹣180﹣50＝90b﹣30， 解得：a＝，b＝ 答：a，b的值分别为，． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：内错角相等，两直线平行． 19．（24-25七年级下·山东济南·期末）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了A，D两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即，，为上两点，平分交于点，为上一点，连接，平分交于点．    (1)若，则 ； (2)作交于点，且满足，当时，试说明：； (3)在（1）问的条件下，探照灯A、D照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线以每秒5度的速度逆时针转动，探照灯射出的光线以每秒15度的速度逆时针转动，转至射线后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当与互相垂直时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1)100° (2)见解析 (3)的值或或． 【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线的性质可解； （2）通过计算，利用内错角相等，两直线平行进行判定即可； （3）分三种情况画图，列出关于t的式子即可解答． 【详解】（1）解：∵， ，． ， ． 平分， ． ． 故答案为：． （2）∵， ． ， ． 平分， ． ． ． ， ． ． ， ． ， ． ∴． （3）． 当时，则，如图，    ∵， ． ， ． ． ． 当回转时，时，则，如图，    ∵， ． ， ． ． 当时，，如图，   ． ． ， ． ． 综上，的值或或． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行，反之亦然． 20．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，政府规划由西向东修一条公路．从A修至B后为了绕开村庄，改为沿南偏东25°方向修建BC段，在C处又改变方向修建CD段，测得∠BCD＝70°，在D处继续改变方向，朝与出发时相同的方向修至E． （1）补全施工路线示意图，求∠CDE的度数； （2）原计划在AB的延长线上依次修建两个公交站M，N（均在CD右侧），连结DM和MN，求∠CDM与∠DMN的数量关系． 【答案】（1）画图见解析，135°；（2）∠DMN-∠CDM=45° 【分析】（1）补全DE∥AB即可，过C作l⊥AB的延长线于G，过D作直线m⊥AB的延长线于H，则l∥m，由平行线性质可得到∠CDH=45°，又∠HDE=90°，从而可得∠CDE的度数； （2）设∠DMN=x，∠CDM=y，由于DE∥FN，所以∠EDM=180°-x．∠CDM=y=135°-（180°-x）=x-45°，则x-y=45°，从而得∠DMN-∠CDM=45°． 【详解】解：（1）补全施工路线如图1所示．过C作l⊥AB的延长线于G，过D作直线m⊥AB的延长线于H， 则l∥m， 根据平行线的性质可得：∠BCG=25°，∠CDH=∠GCD=70°-∠BCG=70°-25°=45°， 又∠HDE=90°， ∴∠CDE=∠CDH+∠HDE=45°+90°=135°． （2）如图所示， 设∠DMN=x，∠CDM=y， 由于DE∥FN， ∴∠EDM=180°-∠DMN=180°-x， 又∠CDM=y=∠CDE-∠EDM=135°-（180°-x）=x-45°， 则x-y=45°， 即∠DMN-∠CDM=45°． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，作出正确的辅助线以及得到∠CDF=135°是解题的关键． 21．（24-25七年级下·河北保定·月考）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知，． (1)已知驱逐舰在方向上航行，巡洋舰在方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； (2)已知驱逐舰到达点C后沿继续航行，巡洋舰到达点E后沿继续航行，且，．若驱逐舰在原航向上向左转动后，才能与巡洋舰航向相同，求的值． 【答案】(1)不会，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的判定证明，利用平行线的定义判断即可； （2）判断出若与巡洋舰航向相同，则，利用平行公理得到，求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：不会，理由是： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这两艘舰艇不会相撞； （2）如图，若要驱逐舰与巡洋舰航向相同， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理，解题的关键是读懂题意，了解实际情景的意义． 【经典例题四 平行线中的翻折问题】 22．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期末）如图1，在一张白纸上画直线，点在直线外；如图2所示，翻折白纸使直线重合，折痕经过点，记折痕为直线；再次如图3所示，翻折白纸，使图2中的直线重合，经过点的新的折痕记为直线；如图4，请根据以上操作说明直线，的位置关系，并证明你的结论．    【答案】，理由见解析． 【分析】设点的对应点为，直线为对称轴，与直线交于点；设点的对应点为，直线为对称轴，与直线交于点；根据折叠的性质可求得，即可判断直线，的位置关系． 【详解】． 理由如下： 设点的对应点为，则直线为对称轴，与直线交于点． 设点的对应点为，则直线为对称轴，与直线交于点．    根据折叠的性质，得 ， 又， ∴． 同理可得． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查折叠的性质和平行线的判定，牢记折叠的性质和平行线的判定定理是解题的关键． 23．（24-25七年级下·福建泉州·期中）我们知道：长方形的对边平行，四个内角都等于．已知如图，在长方形中，，，，点在上，连接、，将沿翻折，得到，点落在边的左侧，点与点对应（提示：三角形翻折后对应角相等）．若，． (1)填空：______； (2)求的度数．（列方程或方程组求解，不必几何说理） 【答案】(1)70 (2) 【分析】（1）由，直接计算即可； （2）设，则，由翻折可知，再根据两直线平行，同旁内角互补列出关于x的方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 故答案为：70； （2）∵， ∴， 设，则，依题意得： ，， 同理可得， 答：的度数是． 【点睛】本题考查翻折的性质，角的计算，平行线的性质，理解平行线的性质是解题关键． 24．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知，直线PQMN，点C是直线PQ和MN之间的一点． (1)如图1，点D，E分别在PQ，MN上，∠1和∠2为锐角，求证：∠C=∠1+∠2； (2)把一块三角板ABC（其中∠A=30°，∠C=90）按如图2放置，点D，E分别是三角板的两直角边分别与平行线的交点，若∠AEN=∠A，求∠BDQ的度数； (3)如图3，将（2）中的三角板进行适当的转动，把射线EM沿直线AC翻折，交BC于点F，试判断∠BDQ和∠FEN有何数量关系?写出你的结论并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)60° (3)∠BDQ，理由见解析 【分析】1）过C作CH∥PQ，依据平行线的性质，即可得出∠C＝∠1＋∠2； （2）根据（1）中的结论可得，∠C＝∠MEC＋∠PDC＝90°，再根据对顶角相等即可得出结论； （3）根据邻补角的定义以及翻折的性质，可得，由（1）的结论可得∠C＝∠MEC＋∠PDC＝90°，再根据对顶角相等即可得出结论． 【详解】（1）如图1，过C作CH∥PQ， ∵PQ∥MN， ∴CH∥MN， ∴∠1＝∠DCH，∠2＝∠ECH， ∴∠DCE＝∠DCH＋∠ECH＝∠1＋∠2． （2）∵∠AEN＝∠A＝30°， ∴∠MEC＝30°， 由（1）可得，∠C＝∠MEC＋∠PDC＝90°， ∴∠PDC＝90°−∠MEC＝60°， ∴∠BDQ＝∠PDC＝60°； （3）∠BDQ，理由如下 射线EM沿直线AC翻折，交BC于点F， 即 ∠C＝∠MEC＋∠PDC＝90°， ∠BDQ＝∠PDC ∠BDQ 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，以及翻折的性质，对顶角相等，邻补角的定义等知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行求解． 25．（24-25七年级下·河北唐山·月考）已知直线，直角三角板中，． (1)若将三角板按图1方式摆放，点在上，边与交于点． ①当线段的长度取得最小值时，与的位置关系是 ； ②若，求的度数； (2)若将三角板按图2方式摆放，点分别在上，的平分线与的平分线交于点．若，求的度数； (3)如图3，对图2中的三角板进行适当转动，点仍然分别在上，再将沿边翻折，边的对应边与交于点．以下是两位同学的说法． 嘉嘉说：的值不变； 淇淇说：的值不变； 谁的说法正确？请判断并说明理由． 【答案】(1)①，② (2) (3)淇淇的说法正确，理由见详解 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，角平分线的含义，角的和差倍分关系，作出合适的辅助线是解本题的关键. （1）①结合垂线段最短，得出； ②证明，再利用角的和差运算可得答案； （2）如图，过作，而，可得，可得，，证明，可得，，再进一步可得答案； （3）设，可得，同理可得：，则，再进一步可得答案； 【详解】（1）解：①∵点在上，边与交于点．当线段的长度取得最小值时， ∴ 即， ②∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过作，而， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 同理可得：； （3）解：淇淇的说法正确，理由如下： 设， ∴， 同理可得：， ∴, ∴；； ∴的值变化；的值不变． 即淇淇的说法正确． 26．（24-25七年级下·上海静安·期中）已知，如图1，四边形，，点E在边上，P为边上一动点，过点P作，交直线于点Q． (1)当时，求； (2)当时，求； (3)如图3，将沿翻折使点D的对应点落在边上，当时，请直接写出的度数，答： ． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】（1）结合已知先证，利用平行线和平角的性质得到可求解； （2）当点Q在边上时，利用（1）中关系可求解，当点Q在的延长线上时，如图，由（1）可知，可求得，结合已知利用同旁内角互补可求解； （3）由翻折和已知可求得，从而得到，再由翻折可求得，最后结合（1）中的关系可求解． 【详解】（1） （2）当点Q在边上时， 由（1）有，， ∵， ∴，， ； 当点Q在的延长线上时，如图， 由（1）可知， ， ∵， 解得： 即为或． （3）∵， ， ∵， ， 由（1）可知， 由翻折可知 故答案为． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，翻折的性质；解题的关键是证明并灵活应用平行线的性质求解． 27．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）【综合与实践▪操作探究】 在学习了平行线的判定后，老师让同学们通过折纸探究平行线的画法．请根据以下步骤完成操作并回答相关问题． 操作步骤： 1．如图，准备锐角三角形纸片； 2．第一次折叠，将折叠，使点落在边上的点处，折痕为（在上，在上）； 3．第二次折叠：将折叠，使点落在边上点处，折痕为（在上）． 问题： (1)（操作理解）在第一次折叠后，判断折痕与的位置关系，并说明理由； (2)（结论验证）根据折叠结果，请你用所学知识证明； (3)（拓展应用）请你利用（2）的结论，证明：． 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，折叠的性质. （1）根据折叠的性质得到，即可判断； （2）由折叠可知，，，可得，再由同旁内角两直线平行证明即可； （3）过点作交于点，根据平行线的判定和性质得到，，由折叠得，由可得. 【详解】（1） 理由：由折叠可知， （2）证明：由折叠可知，， ， 即 由（1）知， （3）过点作交于点 又 ∴ 又 ∴ 由折叠得， ， 由折叠得 28．（24-25七年级下·福建宁德·期中）折纸中的数学 综合实践课上，同学们探索折纸中的数学 任务一：用一张形状不规则的纸 （1）如图1，过点A折叠纸片，使得点B落在边上的处，展开得到折痕，此时______°； （2）过点D折叠纸片，使得点C落在边上的处，判断与的位置关系是______． 任务二：如图2，将长方形纸片进行两次折叠，先沿折痕向下折叠，使落在的位置，再沿折痕向上折叠，使得落在的位置，且、E、G、在同一直线上，折痕与平行吗？请说明理由． 任务三：如图3，点P是正方形纸片内一点，A，B两点分别在正方形纸片的两边上，连接AB，请用折纸的方法过点P作AB的平行线．画出折痕，并简要说明折叠方案． 【答案】任务一：（1），（2）；任务二：，理由见解析；任务三：见解析 【分析】本题主要考查作图-复杂作图，矩形的性质，正方形的性质，翻折变换（折叠问题），解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题．任务一：根据折叠性质可以得到结论；任务二：根据平行线的判定与性质证明即可；任务三：过点P沿折叠纸片，使于点C；在图2的基础上，展平纸片，过点P沿折叠纸片，使折痕于点P，得到图3；将图3中的纸片展平，得到图4即可． 【详解】解：任务一：（1）点B落在边上的处， 点在一条直线上，且， ， 故答案为：90； （2）点B落在边上的处， 点在一条直线上，且，即， ，即， ， 故答案为：； 任务二：证明：， ， 由折叠的性质得， ， 又 ， 由折叠的性质得， ， ， ； 任务三：如图，过点P沿折叠纸片，使于点C；在图2的基础上，展平纸片，过点P沿折叠纸片，使折痕于点P，得到图3；将图3中的纸片展平，得到图4，则． 【经典例题五 平行拐点模型综合】 29．（24-25七年级下·青海西宁·单元测试）如图，已知：，．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用内错角相等证，，然后利用平行公理推论即可解答． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴． 30．（24-25七年级下·广东韶关·期中）如图，，    (1)观察图（1），写出与，的关系，并说明理由； (2)观察图（2），写出与，的关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）过P作，结合，可得，利用两直线平行，同旁内角互补可得到结果； （2）P作，结合，可得，利用平行线的性质判断即可得到结果； 【详解】（1）解：过P作，如图（1）；    ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）过P作，如图（2），    ∵， ∴， ∴，， ∴； 【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的应用，熟练掌握平行线的性质与判断是解本题的关键． 31．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）已知直线、，点A、B为分别在直线、上． (1)如图1，点C为平面内一点，连接、，若，求证：； (2)如图2，点C，D为平面内两点，连接，，，若，猜想和，，的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理． （1）过作，证明，从而得到； （2）过点C作，则，过点D作，则，根据平行线的性质得出，根据，即可得出结论． 【详解】（1）证明：过作，如图所示， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由是： 过点C作，则，过点D作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 32．（24-25七年级下·河南许昌·期中）【探索】已知小明研究了一个数学问题 已知，，AB和CD都不经过点P，探索与和之间的数量关系． (1)【发现】在如图①中，小明发现 证明：过点P作 ∴（______）    ∵， ∴（______）    ∴ ∴    ∴ (2)【应用】试说明，在图②中与和之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】在图③中，已知，，则______． 在图④中，已知，，则______． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行 (2)∠APC+∠A+∠C=360°，理由见解析 (3)50°，120° 【分析】（1）如图①，过点P作，运用平行线的性质即可证明； （2）如图②，过点P作PE∥AB，根据平行线的判定和性质即可得到结论； （3）如图③，过点P作PF∥AB，根据平行线的判定和性质即可得到结论；如图④，过点P作PG∥AB，根据平行线的判定和性质即可得到结论． 【详解】（1）如图①，过点P作， ∴（_两直线平行，内错角相等_____），   ∵，， ∴（_平行于同一直线的两直线平行_____）， ∴， ∴ ，    ∴； （2）如图②，过点P作PE∥AB， ∴∠APE+∠A=180°， ∵PE∥AB，AB∥CD， ∴PE∥CD， ∴∠CPE+∠C=180°， ∴∠APE+∠A+∠CPE+∠C=360°， ∵∠APC=∠CPE+∠APE， ∴∠APC+∠A+∠C=360°； （3）如图③，过点P作PF∥AB， ∴∠APF=∠A， ∵PF∥AB，AB∥CD， ∴PF∥CD， ∴∠CPF=∠C， ∴∠CPF-∠APF=∠C-∠A=80°-30°=50°， 即∠APC=∠C-∠A=50°； 如图④，过点P作PG∥AB， ∴∠APG+∠A=180°， ∴∠APG=180°-∠A ∵PG∥AB，AB∥CD， ∴PG∥CD， ∴∠CPG+∠C=180°， ∴∠CPG=180°-∠C， ∴∠APC=∠CPG-∠APG=∠A-∠C, ∴∠C=∠A-∠APC=140°-20°=120°； 故答案为：50°，120°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理及推论，掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 33．（24-25七年级下·陕西延安·期末）我们通常把图①、图②中的点E称为拐点，解决平行线中有关拐点问题的方法，一般是过拐点作平行线． (1)如图①，已知，点E为AB，CD之间一点，则，，的数量关系为____________； (2)如图②，保持，当点E在AB上方时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，写出，，的数量关系，并说明理由； (3)如图③是一探照灯灯碗的截面图，在点O处发出的光线经灯碗（点C除外）反射后均沿与CO平行的方向射出，入射光线OA的反射光线为AB，，若入射光线OD经灯碗反射后沿DE射出，且，求的度数． 【答案】(1) (2)不成立，，见解析 (3)或 【分析】本题重点考查了平行性的性质与判定，根据题意做出相应的辅助线是解题的关键． （1）过点E作，可得，利用平行公理的推论可得，进而可得，再求解即可； （2）过点E作，可得，利用平行公理的推论可得，进而可得，再求解即可； （3）根据入射光线的不同位置位置分类讨论，再利用（1）（2）的结论求解． 【详解】（1）如图①，过点E作， ， ， ， ， ， ． （2）如图②，过点E作， ， ， ， ， ． （3）由题意，得，， ， 当反射光线在上方时，如图③， 由（1）得，， 当反射光线在与之间时，如图④， 由（2）得，， 当反射光线在下方时，不合题意， 综上可知的度数为或． 34．（24-25六年级下·山东东营·期末）（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现之间的数量关系：___________，并说明理由． 请把下面的推理过程补充完整：理由如下：过点作， ，理由：已知，理由：辅助线的作法． ，理由：___________ ，理由：___________ ， ，理由：同理． ___________理由：等量代换 （2）拓展探究：如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究三者之间存在怎样的数量关系，并说明理由． （3）迁移应用：如图③，，，，请直接写出的度数． 【答案】（1）；平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；；（2），理由见解析，（3） 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，构造平行线是解题的关键． （1）读懂推理过程，利用平行线的性质即可完成； （2）过点作，则得，有；由得，再由即可求得三者之间的数量关系； （3）过点作，则得，有，从而求得，进而求得；由得即可求解． 【详解】解：（1）； 过点作，如图， ，理由：已知，理由：辅助线的作法． ，理由：平行于同一条直线的两条直线平行 ，理由：两直线平行，内错角相等 ， ，理由：两直线平行，内错角相等 ；理由：等量代换 故答案为：；平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；； （2）过点作，如图， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∴， ∴； 即得三者之间的数量关系为； （3）解：过点作，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴． 35．（25-26七年级下·上海·月考）问题探究： 如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点B作，则，再证明． 问题解答： （1）填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点E作 ∴______， ∵，， ∴（______）， ∴______（______）， ∴， 即， （2）请按李思同学的思路，写出证明过程； 证明：过点B作交的延长线于点G…… 问题迁移： （3）如图④，已知，平分，平分．若，请直接写出的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）如图②中，过点E作，利用平行线的性质求出，，根据证明即可； （2）如图③中，过点B作交的延长线于G，利用平行线的性质求出，，，根据证明即可； （3）设，，则，求出，，根据，构建方程求出可得结论． 【详解】（1）证明：如图②，过点E作， ∴， ∵，， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴， 即， （2）如图③，过点B作交的延长线于G． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图④中， ∵平分，平分， ∴，， 设，， 结合（1）可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题六 平行线与相交线几何证明】 36．（25-26七年级下·湖北襄阳·开学考试）如图，在中，点、点分别是边、上的点，点、点是边上的点，连接、和、，若． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由． (2)若是的角平分线，，求的度数． (3)同学们，在（2）的条件下，你还可以求出哪些角的度数？（写出一个即可）___________． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)（答案不唯一） 【分析】（1）通过平行线性质将转化为，再结合得到同旁内角互补，从而判定； （2）先由求出，再利用角平分线的性质得到，最后根据平行线同位角相等求出； （3）利用邻补角或平行线性质推导其他相关角的度数． 【详解】（1）解：，证明如下： ， ， ， ， ． （2）解：，， ， 是的角平分线， ， ， ， ． （3）解：根据（2）可知， ． 37．（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，直线，点A是直线a上的定点，在直线a的上方作射线，点B是直线b上的动点，作射线，记，且 (1)如图1，当时，求证：射线，在同一条直线上； (2)如图2，当时，求的度数； (3)若，且点B在运动的过程中，的平分线所在的直线与直线b相交所成的较小角为，探究、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，合理运用平行线的性质是本题解题的关键． （1）延长到F，根据平行线的性质得出和相等，从而得出F在射线上，即可证明，在同一条直线上； （2）根据平行线的性质用表示出，根据角的和差关系求解即可； （3）设的平分线为，根据M的位置分类讨论，得出和的关系． 【详解】（1）证明：延长到F，如图： ， ， ， 点F在射线上， 射线和射线在同一条直线上； （2）解：， ∴， ， ； （3）解：①当的角平分线在直线左侧时，如图： ， ， ， ， ， ， ，不符合题意； ②当在a，b之间时，如图： ， ， ， 平分， ， ， ； ③当在和a之间时，如图： ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，故不符合题意； 综上所述， 38．（2025·山西忻州·模拟预测）小明想知道作业纸上两条相交直线，所夹锐角的大小（如图1）．但发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．小明设计了如下方案（如图2）：    ①作直线分别交，于点，，以点为顶点，为一边，在直线的右侧作； ②测量的度数即可得到直线，所夹锐角的大小． 问题1：你认为小明的方案可行吗？并说明理由． 问题2：你还有其他方法吗？请在图1中画图说明．（测量工具：直尺、量角器） 【答案】问题1：小明的方案可行．理由见解析；问题2：见解析 【分析】问题1：根据同位角相等，两直线平行进行判断；问题2：在上取点，在上取点，作直线，量出一组同旁内角，根据同旁内角互补两直线平行进行判断． 【详解】问题1：小明的方案可行． 理由：如图，设直线，相交于点．   ， ， ． 问题2：如图，在上取点，在上取点，作直线，量出和的大小，利用三角形内角和即可求出直线，所夹锐角的大小．    若和的和是，则说明两直线平行． 【点睛】本题考查了平行线的判定，判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 39．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图所示，已切直线AB∥直线CD，直线EF分别交直线AB、CD于点A，C．且∠BAC＝60°，现将射线AB绕点A以每秒2°的转速逆时计旋转得到射线AM．同时射线CE绕点C以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线CN，当射线CN旋转至与射线CA重合时，则射线CN、射线AM均停止转动，设旋转时间为t（秒）． (1)在旋转过程中，若射线AM与射线CN相交，设交点为P． ①当t＝20（秒）时，则∠CPA＝　 　°； ②若∠CPA＝70°，求此时t的值； (2)在旋转过程中，是否存在AM∥CN？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①40°；②26 (2)12或48． 【分析】①当t=20（秒）时，∠ECP=60°，∠BAP=40°，可得∠CAP=20°，即得∠CPA=∠ECP-∠CAP=40°；②根据∠BAM=2t°，∠ECN=3t°，且AB∥CD，∠BAC=60°，可得（60°-2t°）+（180°-3t°）+70°=180°，即可解得t=26； （2）分两种情况：分别画出图形，根据平行线的性质，找到相等的角列方程，即可解得答案． 【详解】（1）①如图： 当t=20（秒）时，∠ECP=20×3°=60°，∠BAP=20×2°=40°， ∵∠BAC=60°， ∴∠CAP=∠BAC-∠BAP=20°， ∴∠CPA=∠ECP-∠CAP=40°， 故答案为：40°； ②如图： 根据题意知：∠BAM=2t°，∠ECN=3t°， ∵AB//CD，∠BAC=60°， ∴∠CAP=60°-2t°，∠ACP=180°-3t°， ∵∠CPA=70°， ∴（60°-2t°）+（180°-3t°）+70°=180°， 解得t=26， ∴t的值是26； （2）存在AM//CN， 分两种情况： （Ⅰ）如图： ∵AM//CN， ∴∠ECN=∠CAM， ∴3t°=60°-2t°， 解得t=12， （Ⅱ）如图： ∵AM//CN， ∴∠ACN=∠CAM， ∴180°-3t°=2t°-60°， 解得t=48， 综上所述，t的值为12或48． 【点睛】本题考查一次方程的应用，涉及平行线与相交线、三角形内角和等知识，解题的关键是分类画出图形，找到等量关系列方程． 40．（24-25七年级下·陕西西安·月考）将复杂的平面图形分解成若干个基本图形是解决疑难问题的法宝．在学习几何的过程中，多总结、归纳几何基本图形，一定会得到意想不到的收获数学大师罗增儒在著作数学解题学引论中也专门阐述了把复杂的数学问题分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零这是一种常见的数学解题思想．    (1)在相交线与平行线这章中，有一个基本图形：三线八角（如图1），图中，有______对同位角，______对同旁内角，______对内错角； (2)如图，平面内三条直线两两相交，图中，有______对同位角，______对同旁内角， ______对内错角； (3)如图，平行直线、与相交直线、相交，则图中同旁内角共有______对； (4)如图，，，则图中与相等的角（不含）有______个． 【答案】(1)，，； (2)，，； (3)； (4)． 【分析】（）根据同位角，同旁内角，内错角的定义逐一找出可得答案； （）根据同位角，同旁内角，内错角的定义逐一找出可得答案； （）借助（）（）中的两个基本模型可得结论； （）根据平行线的性质，逐一找出与相等的角可得答案． 本题主要考查了相交线，同位角，内错角，同旁内角，平行线的性质等数学常识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，    图中的同位角有：与，与，与，与； 内错角有：与，与； 同旁内角有：与，与； 故答案为：，，； （2）解：如图，    图中的同位角有：与，与，与，与，与，与，与，与， 与，与，与，与； 内错角有：与，与，与，与，与，与； 同旁内角有：与，与，与，与，与，与； 故答案为：，，； （3）解：图中共有（）型的基本图形个，（）型的基本图形个，由以上的结论可知， 图中共有同旁内角：． 故答案为：． （4）解：∵， ∴，，． ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 41．（24-25七年级下·山东临沂·期中）【问题情境】学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的（如图中的，虚线部分表示折痕）． 【操作发现】 发现一：第一次折叠后，如图②所示，得到的折痕与直线之间的位置关系是_______； 发现二：将正方形纸展开，再进行第二次折叠，如图③所示，得到的折痕与第一次折痕之间的位置关系是_______； 发现三：再将正方形纸展开，如图④所示，可得第二次折痕所在的直线即为过点P所作的已知直线的平行线．从图中可知，小明画平行线的依据有_______． ①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行． A．①②        B．②③        C．③④        D．①④ 【解决问题】 保持④中与的位置关系不变，直线与直线相交，交点分别为平分平分和平行吗？为什么？ 【答案】操作发现：垂直（或）；垂直（或）； C 解决问题：详见解析 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，角平分线的定义，理解题意，熟练掌握折叠的性质，平行线的判定是解题的关键．根据折叠的性质，平行线的性质及判定作答即可． 【详解】解：操作发现：由题意知，第一次折叠后，得到的折痕与直线之间的位置关系是；第二次折叠，得到的折痕与第一次折痕之间的位置关系是； ∵，， ∴， ∴同位角相等，两直线平行 ∵，， ∴， ∴内错角相等，两直线平行 ∴小明画平行线的依据有同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行； 故答案为：垂直（或）；垂直（或）；． 解决问题：，理由如下： 由操作发现可得，， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴ 42．（24-25七年级下·辽宁大连·月考）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，三角形，点D在延长线上，，，求证：． 如图2，小军同学从这个条件出发给出如下解题思路：延长交于点H，使这两条平行线被直线 所截． 如图3，小博同学从求证的结论 出发给出如下解题思路：连接，使直线与直线被直线所截． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都很好地构造出截线与两条平行线相交，从而转化角，体现了转化的数学思想，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师提出下面问题，请你解答．如图4，直线，三角形 EFM 的顶点E在直线AB上，的顶点H在直线CD上，，，，求证：平分． 【学以致用】 （3）如图5，直线，点M，N分别在直线上，点E在直线之间，，平分平分，，求的度数． 【答案】（1）见详解（2）见详解（3） 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，根据平行线的性质探究角的关系，正确作出辅助线是解题的关键． （1）先通过平行线的性质证明角相等，结合进行角的等量代换，得出内错角相等，两直线平行，即可证明； （2）延长交直线于一点Q，延长交直线于一点P，先证明，再结合，进行角的等量代换，得，，即可作答． （3）延长交直线于一点Q，过点E作直线，分别得到，，再代入，即可作答． 【详解】解：（1）图2：延长交于点H， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴（内错角相等，两直线平行） 图3： 连接，使直线与直线被直线所截． ∵ ∴ ∵ ∴ ∴（内错角相等，两直线平行） （2）如图：延长交直线于一点Q，延长交直线于一点P， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴平分． （3）延长交直线于一点Q，过点E作直线，如图 ∵平分平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 【经典例题七 相交线与平行线中规律问题】 43．（24-25七年级上·上海闵行·课后作业）观察图形：       已知，在图1中，可得_______________度，在图2中，可得_______________度……按照以上规律，则_______________度． 【答案】180，360，． 【分析】作平行线，利用两直线平行，同旁内角互补解题即可． 【详解】解：如图1， ∵， ∴； 如图2，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴；    同理可得：； 故答案为：180，360，． 【点睛】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 44．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知，，点P是射线上一动点（与点A不重合），平分，交射线于点C；平分，交射线于点D． 【问题发现】 （1）求的度数； 【规律探究】 （2）当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． 【规律运用】 （3）当点P运动到使时，直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）不变化，；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质； （1）根据，得知，再根据角平分线的定义知、，可得； （2）由得、，根据平分知，从而可得； （3）由得∠A，当时有，即，再根据（）可得，，即可得，进而即可求解． 【详解】（1）， ， ， ， 、分别平分和， ，， ； （2）不变化，， 证明：， ， ， 又平分， ， ； （3）， ， 又， ， ， 由（1）可得，，， （）， ， ， 45．（24-25七年级下·河南信阳·月考）如图，直线被直线所截． (1)若，试求和的度数； (2)本题隐含着一个规律，请你根据（1）的结果填空：如果一个角的两边分别和另一个角的两边平行，那么这两个角________； (3)利用（2）的结论解答：如果两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的3倍少，求这两个角的度数． 【答案】(1)， (2)相等或互补 (3)这两个角的度数为或 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用； （1）先根据平行线的性质可得，再根据平行线的性质求出，，然后可得答案； （2）根据，可知这两个角相等或互补； （3）设其中一个角的度数为，另一个角的度数为，根据这两个角相等或互补分情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∵， ，， ∴； （2）由（1）可得：，， ∴如果一个角的两边分别和另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补， 故答案为：相等或互补； （3）设其中一个角的度数为，另一个角的度数为， 根据题意得：或， 解得或， 当时，； 当时，； 所以这两个角的度数为或． 46．（24-25七年级下·福建福州·期中）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射到平面镜上，又被平面镜反射出光线．则，． (1)若被平面镜反射出的光线与入射光线平行，且，求的度数； (2)请你猜想：当两平面镜，的夹角为多少度时？可使任何射到平面镜上的光线，经过平面镜，的两次反射后，入射光线与反射光线平行，并说明理由． 【答案】(1)50° (2)，理由见解析 【分析】（1）由题意得，则，由平行线的性质得到，则由平角的定义可得； （2）当时，总有 ，根据三角形内角和定理可得，进而得到，即可推出，则． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴；    （2）解：当时，总有 ，理由如下： ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，     ∵， ∴，    ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确理解题意是解题的关键． 47．（24-25七年级下·浙江台州·期中）如图1，MN、EF是两面互相平行的镜面，根据镜面反射规律，若一束光线AB照射到镜面MN上，产生反射光线BC，则一定有∠1＝∠2．试根据这一规律： (1)利用直尺和量角器作出光线BC经镜面EF反射后的反射光线GH； (2)在（1）的作图背景下，试判断AB与GH的位置关系，并说明理由． (3)如图2，若∠1＝30°，有一镜面PQ，从PN开始绕着点P以3°/s的速度顺时针转动（0°＜＜180°），当转动多少秒时，光线照射到镜面PQ上，产生的反射光线与镜面MN平行？ (4)如图3，若∠1＝30°，∠NPQ＝（0°＜＜180°），光线经镜面EF反射后照射到镜面PQ上，产生的反射光线与入射光线的夹角为，请直接写出与之间的关系： ． 【答案】(1)见解析 (2)ABGH，理由见解析 (3)25秒或35秒 (4)或 【分析】（1）利用直尺和量角器作∠BGE＝∠GHF即可； （2）证明∠ABG＝∠BGH，即可得到结论； （3）设转动t秒时，产生的反射光线与镜面MN平行．分两种情况列方程求解即可； （4）分三种情况分别求解即可． 【详解】（1）如图1， （2）ABGH， 证明：由题意可得， ∠1＝∠2，∠EGB＝∠HGF， ∵MNEF， ∴∠2＝∠EGB， ∴∠1＝∠2＝∠EGB＝∠HGF， ∴180°∠2＝180°∠EGB ∠HGF， 即∠ABG＝∠BGH， ∴ABGH． （3）设转动t秒时，产生的反射光线与镜面MN平行． ①当BC经EF反射后照射到PQ．如图2，                 可列出方程：，解得． ②BC直接照射到PQ．如图3， 可列出方程：，解得． 综上所述，设转动25秒或35秒时，产生的反射光线与镜面MN平行． （4）或，理由是： 当0°＜＜90°时，如图4，则∠JRT＝，作RSEF， ∵MNEF， ∴MNEFRS， ∴∠SRP＝∠NPQ＝，∠RTF＝∠SRT＝∠BTE＝∠2＝∠1＝30°， ∴∠PRT＝∠JRQ＝∠PRS＋∠SRT＝＋30°， ∴∠PRT＋∠TRJ＋∠JRQ＝2（＋30°）＋＝180°， 即． 当＝90°时，如图5，则∠JRT＝， ∵MNEF， ∴∠TSR＝∠SPN＝90°，∠1＝∠2＝∠BTE＝∠RTS＝30°， ∴∠TRS＝∠JRP＝60°， ∴∠JRT＝＝60°， ∴2－＝120°； 当90°＜＜180°时，如图6，则∠JRT＝，作RSEF， ∵MNEF， ∴MNEFRS， ∴∠SRP＝∠NPQ＝，∠RTF＝∠SRT＝∠BTE＝∠2＝∠1＝30°， ∴∠JRS＝∠JRT－∠SRT＝－30°， ∴∠JRP＝∠TRQ＝∠SRP－∠JRS＝－（－30°）＝－＋30°， ∵∠JRP＋∠TRQ＋∠JRT＝2（－＋30°）＋＝180°， ∴． 故答案为：或 【点睛】此题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 48．（24-25七年级下·天津滨海新区·期末）如图1，四边形为一张长方形纸片．    (1)如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则__________°． (2)如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则__________°． (3)如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则___________°． (4)根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点． （1）过点过作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于的倍； （2）分别过、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的三倍； （3）分别过、、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的四倍； （4）根据前三问个的剪法，剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度． 【详解】（1）解：过作（如图②）． 原四边形是长方形， ， 又， （平行于同一条直线的两条直线互相平行）． ， （两直线平行，同旁内角互补）． ， （两直线平行，同旁内角互补）． ， 又， ， 故答案为：；    （2）分别过、分别作、，如图③所示，     原四边形是长方形， ， 又， ． ，，， ， ，， ， 故答案为：； （3）分别过、、分别作、、，如图④所示，     原四边形是长方形， ， 又，，， ． ，，，， ， ，，， ， 故答案为：； （4）由此可得一般规律：剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度， 故答案为：． 49．（24-25七年级下·广东湛江·期中）【学科融合】物理学光的反射现象中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线与射向一个水平镜面后被反射，此时． 【问题解决】填空 （1）判断与是否平行． 答：平行． 理由：（已知）， 依据是（___________）； （已知）， ， 反射光线与平行，依据是（___________）． 【尝试探究】 （2）利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，、是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，请证明进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线平行． 【拓展应用】 （3）如图3，改变两平面镜之间的位置，若镜子与的夹角，经过两次反射后，，仍可以使入射光线与反射光线平行但方向相反．求的度数． 【答案】（1）两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行（2）见解析（3） 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，关键是平行线性质的熟练应用。 （1）根据平行线的判定和性质进行解答即可； （2）根据，得出，证明，得出，即可证明结论； （3）根据平行线的性质得出，根据，得出，求出，最后根据三角形内角和求出结果即可。 【详解】解：（1）答：平行， 理由：∵（已知）， ∴，依据是（两直线平行，同位角相等）； ∵，（已知）， ∴， ∴反射光线与平行，依据是（同位角相等，两直线平行）； 故答案为：两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【经典例题八 平行线中辅助线问题】 50．（24-25七年级下·四川泸州·期中）已知，如图直线，直线分别交，CD于，两点，、的平分线交于点． (1)求的度数；（适当添加辅助线，其实并不难） (2)如图，、的平分线交于点，试问与的度数是否存在某种特定的数量关系？证明你的结论． （适当添加辅助线，其实并不难） (3)若、的平分线交于点，猜想与是否存在某种数量关系（不需证明）． 【答案】(1)的度数为； (2)与的数量关系为，证明过程见解析； (3)与的数量关系为． 【分析】题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是正确作出辅助线． （1）过过点作，综合平行线的性质和角平分线的定义，即可求得的度数； （2）过点作，综合平行线的性质和角平分线的定义，即可得到与的数量关系； （3）过点作，综合平行线的性质和角平分线的定义，即可得到与的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵， ∴，， ∴，， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴， 答：的度数为． （2）解：， 证明：如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴， 答：与的数量关系为． （3）解：， 证明：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵、分别平分、， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：与的数量关系为． 51．（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）补全下面推理过程： 生活中常见的一种折叠拦道闸，如图1所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于A，平行于地面；求的度数． 解：如图，过点B作， （______）， （______）（平行于同一条直线的两条直线平行）， （______）（____________） （______）（____________） （辅助线作法）， （______） ， （____________） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．过点作，如图，由于，则，根据两直线平行，同旁内角互补得，由得，即，于是得到结论． 【详解】解：如图，过点作， ∵（已知） ∴（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴，（两直线平行，同旁内角互补） ∵， ∴，（垂直的定义） ∵（辅助线作法）， ∴， ∴， ∴． 52．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图1，，点A、C分别在射线和上，． (1)若，则 ； (2)小明同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2，过作A作，交于M．请你根据小明同学提供的辅助线（或自己添加其它辅助线），确定该定值，并说明理由； (3)如图3，若把题干中的“改为“”，其它条件保持不变，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)．理由解解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定： （1）过点F作，如图，由已知，，根据平行线的性质可计算出的度数，由，可计算出的度数，由平行线的性质即可得出答案； （2）由已知条件，根据平行线的性质可得，计算出的度数，由平行线的性质可得，由即可得出答案； （3）过点A作与相交与点N，再同（2）求解即可． 【详解】（1）解：过点F作，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：该定值为．理由如下： ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴无论如何变化，的值始终为定值，且该定值为． （3）解：．理由如下： 过点A作，交于点N，如图所示， ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． 53．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）阅读并解决问题，课上教师呈现一个问题： 已知：如图，，交于点，交于点，当，时，求的度数． 甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如下图： 甲同学辅助线的做法和分析思路如下： 辅助线：过点作． 分析思路： ①欲求的度数，由图可知只需转化为求和的度数之和； ②由辅助线作图可知，，从而由已知的度数可得的度数； ③由，推出，由此可推出； ④由已知，即，所以可得的度数； ⑤从而可求的度数． (1)你阅读甲同学思路和方法后，请你根据乙同学所画的图形，描述辅助线的做法，并写出你相应的分析思路．辅助线：_________________________________ 分析思路： (2)请你根据丙同学所画的图形，求的度数． 【答案】(1)过点作交于点；分析思路见解析 (2) 【分析】（1）过点作交于点；根据，得出，根据得出，即可得出，从而得出答案； （2）过点做交于点，根据，得出，，根据，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：辅助线：过点作交于点； 分析思路： 1．欲求的度数，由辅助线作图可知，，因此，只需转化为求的度数 2．欲求的度数，由图可知只需转化为求和的度数和； 3．由已知的度数，所以只需求出的度数； 4．由，可推出； 由可推出，所以可得； 5．由已知，可得 6．从而求出度数． 故答案为：过点作交于点 （2）解：如图丙，过点做交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等． 54．（24-25七年级下·吉林·期末）我们在小学已经通过剪拼的方法，知道“三角形内角和等于”这一结论，但这种实验得到的结论仍需要严格的证明，小明同学利用所学的平行线的相关知识，采用两种方法，通过添加辅助线进行证明，请你选择其中一种方法完成证明． 已知：如图，三角形，求证：． 方法一：证明：如图，过点作． 方法二：证明：如图，过点作，延长到点． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了平行线的性质、平角的定义，选择方法一：根据平行线的性质得出，，再结合平角的定义即可得证；选择方法二：根据平行线的性质得出，，再结合平角的定义即可得证，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】方法一：证明：如图，过点作， ∴，， ∵， ∴； 方法二：证明：如图，过点作，延长到点， ∴，， ∵， ∴． 55．（24-25七年级下·河南信阳·月考）学习完平行线后，老师给同学们呈现了这样的一个问题： 已知：如图，，于点，交于点，当时，求的度数． 李明小组很快探究出解决问题的方法： (1)李明小组：过点作（如图甲）； 根据（图甲），可求得的度数为________； (2)刘伟小组，王芳小组受到李明小组的启发，他们分别在图乙，图丙作出不同的辅助线，也求出了的度数，请你分别在图乙，图丙作出符合刘伟小组，王芳小组要求不同的辅助线，并任选其中一种，写出求度数的解答过程． 【答案】(1) (2)，过程见解析 【分析】本题考查平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质并熟悉相关模型的辅助线是解题关键． （1）过点作，可得，由可得，结合推出，得到，即可求解； （2）方法一：过点作，交于点，得到，，由可得，进而求出，即可求解；方法二：过点作，交于点，得到，，由可得，根据垂直的定义可得，进而求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， 于点， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图所示； 证明： 方法一: 如图乙，过点作，交于点， ， ， ，， ， ， ， ； 方法二： 如图丙，过点作，交于点， ，， ， ， ， ， ， ． 56．（2025七年级下·上海闵行·专题练习）在学完了《相交线与平行线》后，课上李教师呈现了这样一个问题： 已知，如图，，，垂足为点，交于点，若，试求的度数． 爱棣、爱民两位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如图： (1)爱棣同学利用图甲给出了不完整的解题过程，请你帮他将过程补充完整； 解：过点作，交于． ， 　　， 　　， 又， 　　（两直线平行，内错角相等）， 　　（等量代换）， 又， ． 　　（直接填度数）． (2)请你根据爱民同学在乙图添加的辅助线写出求解过程． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；；； (2)过程见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）过点作，交于，先利用平行线的性质可得，，再根据平行线的性质可得，从而利用等量代换可得，然后根据垂直定义可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答； （2）过点作，根据垂直定义可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行于同一条直线的两条直线平行可得，从而利用平行线的性质可得，即可解答． 【详解】（1）解：过点作，交于，如图所示： ， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）， 又， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）， 又， ， （直接填度数）， 故答案为：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；；；； （2）解：过点作，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的度数为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 相交线与平行线章末56道压轴题型专训（8大题型） 题型一 相交线与垂线综合应用 题型二 根据平行线的性质探究角的关系 题型三 平行线的性质在生活中的应用 题型四 平行线中的翻折问题 题型五 平行拐点模型综合 题型六 平行线与相交线几何证明 题型七 相交线与平行线中规律问题 题型八 平行线中辅助线问题 【经典例题一 相交线与垂线综合应用】 1．（24-25七年级·上海闵行·假期作业）如图，直线AB与直线MN相交，交点为O，OC⊥AB，OA平分∠MOD，若∠BON＝20°，求∠COD的度数． 2．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）（1）在图1上过A点画出直线、直线的垂线． （2）在图2上过B点画出直线的垂线，过C点画出直线的垂线．    3．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）如图所示，说明如何量出点到直线的距离，三名同学有不同的做法． 甲同学：只要量出线段的长度即可； 乙同学：过点无法向直线作垂线，所以无法量出点到直线的距离； 丙同学：过点作直线的垂线，垂线和直线不相交，所以不能量出点到直线的距离． 请你判断对错，若你不同意他们的做法，请你写出正确的做法． 4．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段 的长度是点A到直线的距离； (3)线段、的大小关系为 （填“”“”或“”），理由：____________． 5．（24-25七年级下·河南安阳·月考）（1）如图，过点画直线的垂线，并注明垂足为；过点画直线的垂线，交于点． （2）线段___________的长度是点到直线的距离． （3）线段、的大小关系为___________．（用符号，，，，表示）理由是___________． 6．（24-25七年级下·上海闵行·假期作业）（1）在图一上过点分别画出直线、直线的垂线（直接画出，不必写出做法）； （2）在图二中，，都是直角，射线，分别平分和．若，求的度数． 7．（25-26六年级上·吉林长春·期末）在如图所示的方格纸中，是的边上的一点，按下列要求画图并回答问题． (1)过点画的垂线，交于点，该垂线若经过格点，请在图中标出垂线所经过的格点； (2)过点画的垂线，垂足为． ①线段的长度是点到_____的距离，______是点到的距离； ②线段、、、的大小关系是_______（用“<”号连接），依据是：_______． (3)过点画直线，（点与点在直线的同侧）若，则____（用含的代数式表示）． 【经典例题二 根据平行线的性质探究角的关系】 8．（24-25七年级下·陕西延安·期末）已知直线，点分别在直线上，且点为平面内一点． (1)如图1，点在直线、之间，连接，，若，，求的度数； (2)如图2，点在直线的上方，连接，试求出之间的数量关系． 因为， 所以， 所以，， 9．（24-25七年级下·江西宜春·月考）已知：，与交于点M． (1)如图1，试判断的数量关系，并说明理由． (2)如图2，平分，平分，当时，求的度数； (3)在（2）的条件下，当时，直接写出的度数（用含的式子表示）． 10．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，点、、在同一条直线上，点是一个动点，，连接、． (1)当点在线段上固定时，若，则的度数是___________； (2)当点在线段上运动时，试探究、和之间的数量关系； (3)当点不在线段上时，（2）中结论是否会发生改变？若改变，请写出它们之间新的数量关系；若不变，请说明理由． 11．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：，直线分别交于点A、C、E (1)当位置如图1所示，点P为射线上一点时，则，请说明理由． (2)当位置如图2所示，点P为直线EF上一点时，则，的数量关系是 ． 12．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图1，是我国西北地区农村使用的太阳能烧水器，其原理是利用凹面镜的聚光技术，如图2是图1的轴截面示意图，太阳光线，经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点P． (1)如图2，若和，则　　　； (2)如图3，已知，点M，N分别在，上，点P是，之间右侧任意一点，连接，，若，请写出之间的数量关系，并说明理由； (3)如图4，在（2）的基础上平分，平分，若，，请直接求的值．（不需要写解答过程） 13．（24-25七年级下·广东佛山·月考）在课堂上我们学习了平行线的性质，平行线具有“等角转化”的功能，“三线八角”图是研究平行线性质的“基本图形”． (1)阅读理解：如图，，点E，F分别为直线，上的一点，点P为平行线间一点，猜想，与之间的关系，并说明理由． (2)方法运用：如图，，猜想，与之间的关系，并说明理由． (3)深化拓展：如图，，与的角平分线相交于点Q． ①若，，，直接写出的度数 ②若，，，求的度数（用含m，n的代数式表示）． 14．（24-25六年级下·山东济南·期末）学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题． (1)小明遇到了下面的问题：如图1：，点在、内部，探究，，的关系．小明过点作的平行线，可得到，，之间的数量关系是：_____． (2)如图2，若，点在、外部，，，的数量关系如何？为此，小明进行了下面不完整的推理证明．请将这个证明过程补充完整，并在括号内填上依据．过点作． （_____） ， （_____） ， ， _____．（_____） (3)我们生活中经常接触小刀，小刀刀柄外形是一个直角梯形（挖去一个小半圆）．如图3，刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成和，那么的大小是否会随刀片的转动而改变？说明理由． 【经典例题三 平行线的性质在生活中的应用】 15．（24-25七年级下·山西晋中·期中）如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学平面图形，已知，若，，求的度数．    16．（24-25七年级下·四川达州·期中）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是3°/秒，灯B转动的速度是1°/秒，假定这一带长江两岸河堤是平行的，即．若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？    17．（24-25七年级·上海闵行·假期作业）如图，在、两处之间要修一条笔直的公路，从地测得公路走向是北偏东，公司要求、两地同时开工，并保证若干天后公路准确接通． （1）地修公路的走向应该是　　 ； （2）若公路长12千米，另一条公路长6千米，且的走向是北偏西，试求到公路的距离？ 18．（2025七年级下·上海·专题练习）如图，钱塘江入海口某处河道两岸所在直线（PQ，MN）夹角为20°，在河道两岸安装探照灯B和A，若灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BQ逆时针旋转至BP便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．设灯A转动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒．已知∠BAN＝50°． （1）当b＝2时，问灯B转动几秒后，射出的光束第一次经过灯A？ （2）当a＝3，b＝6时，若两灯同时转动，在1分钟内（包括1分钟），问A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ （3）若A、B两灯同时转动（a＞b），在45秒与90秒时，两灯的光束各平行一次，求a，b的值． 19．（24-25七年级下·山东济南·期末）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了A，D两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即，，为上两点，平分交于点，为上一点，连接，平分交于点．    (1)若，则 ； (2)作交于点，且满足，当时，试说明：； (3)在（1）问的条件下，探照灯A、D照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线以每秒5度的速度逆时针转动，探照灯射出的光线以每秒15度的速度逆时针转动，转至射线后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当与互相垂直时，请直接写出此时t的值． 20．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，政府规划由西向东修一条公路．从A修至B后为了绕开村庄，改为沿南偏东25°方向修建BC段，在C处又改变方向修建CD段，测得∠BCD＝70°，在D处继续改变方向，朝与出发时相同的方向修至E． （1）补全施工路线示意图，求∠CDE的度数； （2）原计划在AB的延长线上依次修建两个公交站M，N（均在CD右侧），连结DM和MN，求∠CDM与∠DMN的数量关系． 21．（24-25七年级下·河北保定·月考）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知，． (1)已知驱逐舰在方向上航行，巡洋舰在方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； (2)已知驱逐舰到达点C后沿继续航行，巡洋舰到达点E后沿继续航行，且，．若驱逐舰在原航向上向左转动后，才能与巡洋舰航向相同，求的值． 【经典例题四 平行线中的翻折问题】 22．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期末）如图1，在一张白纸上画直线，点在直线外；如图2所示，翻折白纸使直线重合，折痕经过点，记折痕为直线；再次如图3所示，翻折白纸，使图2中的直线重合，经过点的新的折痕记为直线；如图4，请根据以上操作说明直线，的位置关系，并证明你的结论．    23．（24-25七年级下·福建泉州·期中）我们知道：长方形的对边平行，四个内角都等于．已知如图，在长方形中，，，，点在上，连接、，将沿翻折，得到，点落在边的左侧，点与点对应（提示：三角形翻折后对应角相等）．若，． (1)填空：______； (2)求的度数．（列方程或方程组求解，不必几何说理） 24．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知，直线PQMN，点C是直线PQ和MN之间的一点． (1)如图1，点D，E分别在PQ，MN上，∠1和∠2为锐角，求证：∠C=∠1+∠2； (2)把一块三角板ABC（其中∠A=30°，∠C=90）按如图2放置，点D，E分别是三角板的两直角边分别与平行线的交点，若∠AEN=∠A，求∠BDQ的度数； (3)如图3，将（2）中的三角板进行适当的转动，把射线EM沿直线AC翻折，交BC于点F，试判断∠BDQ和∠FEN有何数量关系?写出你的结论并说明理由． 25．（24-25七年级下·河北唐山·月考）已知直线，直角三角板中，． (1)若将三角板按图1方式摆放，点在上，边与交于点． ①当线段的长度取得最小值时，与的位置关系是 ； ②若，求的度数； (2)若将三角板按图2方式摆放，点分别在上，的平分线与的平分线交于点．若，求的度数； (3)如图3，对图2中的三角板进行适当转动，点仍然分别在上，再将沿边翻折，边的对应边与交于点．以下是两位同学的说法． 嘉嘉说：的值不变； 淇淇说：的值不变； 谁的说法正确？请判断并说明理由． 26．（24-25七年级下·上海静安·期中）已知，如图1，四边形，，点E在边上，P为边上一动点，过点P作，交直线于点Q． (1)当时，求； (2)当时，求； (3)如图3，将沿翻折使点D的对应点落在边上，当时，请直接写出的度数，答： ． 27．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）【综合与实践▪操作探究】 在学习了平行线的判定后，老师让同学们通过折纸探究平行线的画法．请根据以下步骤完成操作并回答相关问题． 操作步骤： 1．如图，准备锐角三角形纸片； 2．第一次折叠，将折叠，使点落在边上的点处，折痕为（在上，在上）； 3．第二次折叠：将折叠，使点落在边上点处，折痕为（在上）． 问题： (1)（操作理解）在第一次折叠后，判断折痕与的位置关系，并说明理由； (2)（结论验证）根据折叠结果，请你用所学知识证明； (3)（拓展应用）请你利用（2）的结论，证明：． 28．（24-25七年级下·福建宁德·期中）折纸中的数学 综合实践课上，同学们探索折纸中的数学 任务一：用一张形状不规则的纸 （1）如图1，过点A折叠纸片，使得点B落在边上的处，展开得到折痕，此时______°； （2）过点D折叠纸片，使得点C落在边上的处，判断与的位置关系是______． 任务二：如图2，将长方形纸片进行两次折叠，先沿折痕向下折叠，使落在的位置，再沿折痕向上折叠，使得落在的位置，且、E、G、在同一直线上，折痕与平行吗？请说明理由． 任务三：如图3，点P是正方形纸片内一点，A，B两点分别在正方形纸片的两边上，连接AB，请用折纸的方法过点P作AB的平行线．画出折痕，并简要说明折叠方案． 【经典例题五 平行拐点模型综合】 29．（24-25七年级下·青海西宁·单元测试）如图，已知：，．求证：． 30．（24-25七年级下·广东韶关·期中）如图，，    (1)观察图（1），写出与，的关系，并说明理由； (2)观察图（2），写出与，的关系，并说明理由． 31．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）已知直线、，点A、B为分别在直线、上． (1)如图1，点C为平面内一点，连接、，若，求证：； (2)如图2，点C，D为平面内两点，连接，，，若，猜想和，，的数量关系，并证明． 32．（24-25七年级下·河南许昌·期中）【探索】已知小明研究了一个数学问题 已知，，AB和CD都不经过点P，探索与和之间的数量关系． (1)【发现】在如图①中，小明发现 证明：过点P作 ∴（______）    ∵， ∴（______）    ∴ ∴    ∴ (2)【应用】试说明，在图②中与和之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】在图③中，已知，，则______． 在图④中，已知，，则______． 33．（24-25七年级下·陕西延安·期末）我们通常把图①、图②中的点E称为拐点，解决平行线中有关拐点问题的方法，一般是过拐点作平行线． (1)如图①，已知，点E为AB，CD之间一点，则，，的数量关系为____________； (2)如图②，保持，当点E在AB上方时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，写出，，的数量关系，并说明理由； (3)如图③是一探照灯灯碗的截面图，在点O处发出的光线经灯碗（点C除外）反射后均沿与CO平行的方向射出，入射光线OA的反射光线为AB，，若入射光线OD经灯碗反射后沿DE射出，且，求的度数． 34．（24-25六年级下·山东东营·期末）（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现之间的数量关系：___________，并说明理由． 请把下面的推理过程补充完整：理由如下：过点作， ，理由：已知，理由：辅助线的作法． ，理由：___________ ，理由：___________ ， ，理由：同理． ___________理由：等量代换 （2）拓展探究：如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究三者之间存在怎样的数量关系，并说明理由． （3）迁移应用：如图③，，，，请直接写出的度数． 35．（25-26七年级下·上海·月考）问题探究： 如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点B作，则，再证明． 问题解答： （1）填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点E作 ∴______， ∵，， ∴（______）， ∴______（______）， ∴， 即， （2）请按李思同学的思路，写出证明过程； 证明：过点B作交的延长线于点G…… 问题迁移： （3）如图④，已知，平分，平分．若，请直接写出的度数． 【经典例题六 平行线与相交线几何证明】 36．（25-26七年级下·湖北襄阳·开学考试）如图，在中，点、点分别是边、上的点，点、点是边上的点，连接、和、，若． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由． (2)若是的角平分线，，求的度数． (3)同学们，在（2）的条件下，你还可以求出哪些角的度数？（写出一个即可）___________． 37．（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，直线，点A是直线a上的定点，在直线a的上方作射线，点B是直线b上的动点，作射线，记，且 (1)如图1，当时，求证：射线，在同一条直线上； (2)如图2，当时，求的度数； (3)若，且点B在运动的过程中，的平分线所在的直线与直线b相交所成的较小角为，探究、的数量关系，并说明理由． 38．（2025·山西忻州·模拟预测）小明想知道作业纸上两条相交直线，所夹锐角的大小（如图1）．但发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．小明设计了如下方案（如图2）：    ①作直线分别交，于点，，以点为顶点，为一边，在直线的右侧作； ②测量的度数即可得到直线，所夹锐角的大小． 问题1：你认为小明的方案可行吗？并说明理由． 问题2：你还有其他方法吗？请在图1中画图说明．（测量工具：直尺、量角器） 39．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图所示，已切直线AB∥直线CD，直线EF分别交直线AB、CD于点A，C．且∠BAC＝60°，现将射线AB绕点A以每秒2°的转速逆时计旋转得到射线AM．同时射线CE绕点C以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线CN，当射线CN旋转至与射线CA重合时，则射线CN、射线AM均停止转动，设旋转时间为t（秒）． (1)在旋转过程中，若射线AM与射线CN相交，设交点为P． ①当t＝20（秒）时，则∠CPA＝　 　°； ②若∠CPA＝70°，求此时t的值； (2)在旋转过程中，是否存在AM∥CN？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 40．（24-25七年级下·陕西西安·月考）将复杂的平面图形分解成若干个基本图形是解决疑难问题的法宝．在学习几何的过程中，多总结、归纳几何基本图形，一定会得到意想不到的收获数学大师罗增儒在著作数学解题学引论中也专门阐述了把复杂的数学问题分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零这是一种常见的数学解题思想．    (1)在相交线与平行线这章中，有一个基本图形：三线八角（如图1），图中，有______对同位角，______对同旁内角，______对内错角； (2)如图，平面内三条直线两两相交，图中，有______对同位角，______对同旁内角， ______对内错角； (3)如图，平行直线、与相交直线、相交，则图中同旁内角共有______对； (4)如图，，，则图中与相等的角（不含）有______个． 41．（24-25七年级下·山东临沂·期中）【问题情境】学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的（如图中的，虚线部分表示折痕）． 【操作发现】 发现一：第一次折叠后，如图②所示，得到的折痕与直线之间的位置关系是_______； 发现二：将正方形纸展开，再进行第二次折叠，如图③所示，得到的折痕与第一次折痕之间的位置关系是_______； 发现三：再将正方形纸展开，如图④所示，可得第二次折痕所在的直线即为过点P所作的已知直线的平行线．从图中可知，小明画平行线的依据有_______． ①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行． A．①②        B．②③        C．③④        D．①④ 【解决问题】 保持④中与的位置关系不变，直线与直线相交，交点分别为平分平分和平行吗？为什么？ 42．（24-25七年级下·辽宁大连·月考）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，三角形，点D在延长线上，，，求证：． 如图2，小军同学从这个条件出发给出如下解题思路：延长交于点H，使这两条平行线被直线 所截． 如图3，小博同学从求证的结论 出发给出如下解题思路：连接，使直线与直线被直线所截． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都很好地构造出截线与两条平行线相交，从而转化角，体现了转化的数学思想，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师提出下面问题，请你解答．如图4，直线，三角形 EFM 的顶点E在直线AB上，的顶点H在直线CD上，，，，求证：平分． 【学以致用】 （3）如图5，直线，点M，N分别在直线上，点E在直线之间，，平分平分，，求的度数． 【经典例题七 相交线与平行线中规律问题】 43．（24-25七年级上·上海闵行·课后作业）观察图形：       已知，在图1中，可得_______________度，在图2中，可得_______________度……按照以上规律，则_______________度． 44．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知，，点P是射线上一动点（与点A不重合），平分，交射线于点C；平分，交射线于点D． 【问题发现】 （1）求的度数； 【规律探究】 （2）当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． 【规律运用】 （3）当点P运动到使时，直接写出的度数． 45．（24-25七年级下·河南信阳·月考）如图，直线被直线所截． (1)若，试求和的度数； (2)本题隐含着一个规律，请你根据（1）的结果填空：如果一个角的两边分别和另一个角的两边平行，那么这两个角________； (3)利用（2）的结论解答：如果两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的3倍少，求这两个角的度数． 46．（24-25七年级下·福建福州·期中）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射到平面镜上，又被平面镜反射出光线．则，． (1)若被平面镜反射出的光线与入射光线平行，且，求的度数； (2)请你猜想：当两平面镜，的夹角为多少度时？可使任何射到平面镜上的光线，经过平面镜，的两次反射后，入射光线与反射光线平行，并说明理由． 47．（24-25七年级下·浙江台州·期中）如图1，MN、EF是两面互相平行的镜面，根据镜面反射规律，若一束光线AB照射到镜面MN上，产生反射光线BC，则一定有∠1＝∠2．试根据这一规律： (1)利用直尺和量角器作出光线BC经镜面EF反射后的反射光线GH； (2)在（1）的作图背景下，试判断AB与GH的位置关系，并说明理由． (3)如图2，若∠1＝30°，有一镜面PQ，从PN开始绕着点P以3°/s的速度顺时针转动（0°＜＜180°），当转动多少秒时，光线照射到镜面PQ上，产生的反射光线与镜面MN平行？ (4)如图3，若∠1＝30°，∠NPQ＝（0°＜＜180°），光线经镜面EF反射后照射到镜面PQ上，产生的反射光线与入射光线的夹角为，请直接写出与之间的关系： ． 48．（24-25七年级下·天津滨海新区·期末）如图1，四边形为一张长方形纸片．    (1)如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则__________°． (2)如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则__________°． (3)如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则___________°． (4)根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°． 49．（24-25七年级下·广东湛江·期中）【学科融合】物理学光的反射现象中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线与射向一个水平镜面后被反射，此时． 【问题解决】填空 （1）判断与是否平行． 答：平行． 理由：（已知）， 依据是（___________）； （已知）， ， 反射光线与平行，依据是（___________）． 【尝试探究】 （2）利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，、是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，请证明进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线平行． 【拓展应用】 （3）如图3，改变两平面镜之间的位置，若镜子与的夹角，经过两次反射后，，仍可以使入射光线与反射光线平行但方向相反．求的度数． 【经典例题八 平行线中辅助线问题】 50．（24-25七年级下·四川泸州·期中）已知，如图直线，直线分别交，CD于，两点，、的平分线交于点． (1)求的度数；（适当添加辅助线，其实并不难） (2)如图，、的平分线交于点，试问与的度数是否存在某种特定的数量关系？证明你的结论． （适当添加辅助线，其实并不难） (3)若、的平分线交于点，猜想与是否存在某种数量关系（不需证明）． 51．（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）补全下面推理过程： 生活中常见的一种折叠拦道闸，如图1所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于A，平行于地面；求的度数． 解：如图，过点B作， （______）， （______）（平行于同一条直线的两条直线平行）， （______）（____________） （______）（____________） （辅助线作法）， （______） ， （____________） 52．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图1，，点A、C分别在射线和上，． (1)若，则 ； (2)小明同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2，过作A作，交于M．请你根据小明同学提供的辅助线（或自己添加其它辅助线），确定该定值，并说明理由； (3)如图3，若把题干中的“改为“”，其它条件保持不变，试猜想与的数量关系，并说明理由． 53．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）阅读并解决问题，课上教师呈现一个问题： 已知：如图，，交于点，交于点，当，时，求的度数． 甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如下图： 甲同学辅助线的做法和分析思路如下： 辅助线：过点作． 分析思路： ①欲求的度数，由图可知只需转化为求和的度数之和； ②由辅助线作图可知，，从而由已知的度数可得的度数； ③由，推出，由此可推出； ④由已知，即，所以可得的度数； ⑤从而可求的度数． (1)你阅读甲同学思路和方法后，请你根据乙同学所画的图形，描述辅助线的做法，并写出你相应的分析思路．辅助线：_________________________________ 分析思路： (2)请你根据丙同学所画的图形，求的度数． 54．（24-25七年级下·吉林·期末）我们在小学已经通过剪拼的方法，知道“三角形内角和等于”这一结论，但这种实验得到的结论仍需要严格的证明，小明同学利用所学的平行线的相关知识，采用两种方法，通过添加辅助线进行证明，请你选择其中一种方法完成证明． 已知：如图，三角形，求证：． 方法一：证明：如图，过点作． 方法二：证明：如图，过点作，延长到点． 55．（24-25七年级下·河南信阳·月考）学习完平行线后，老师给同学们呈现了这样的一个问题： 已知：如图，，于点，交于点，当时，求的度数． 李明小组很快探究出解决问题的方法： (1)李明小组：过点作（如图甲）； 根据（图甲），可求得的度数为________； (2)刘伟小组，王芳小组受到李明小组的启发，他们分别在图乙，图丙作出不同的辅助线，也求出了的度数，请你分别在图乙，图丙作出符合刘伟小组，王芳小组要求不同的辅助线，并任选其中一种，写出求度数的解答过程． 56．（2025七年级下·上海闵行·专题练习）在学完了《相交线与平行线》后，课上李教师呈现了这样一个问题： 已知，如图，，，垂足为点，交于点，若，试求的度数． 爱棣、爱民两位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如图： (1)爱棣同学利用图甲给出了不完整的解题过程，请你帮他将过程补充完整； 解：过点作，交于． ， 　　， 　　， 又， 　　（两直线平行，内错角相等）， 　　（等量代换）， 又， ． 　　（直接填度数）． (2)请你根据爱民同学在乙图添加的辅助线写出求解过程． 学科网（北京）股份有限公司 $