专题04 相交线与平行线中的基本模型专项训练（5大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

专题04 相交线与平行线中的基本模型专项训练（5大题型+15道拓展培优题） 题型一 平行线基本模型之猪蹄模型 题型二 平行线基本模型之铅笔模型 题型三 平行线基本模型之锯齿模型 题型四 平行线基本模型之“骨折”模型 题型五 平行线基本模型综合应用 【经典例题一 平行线基本模型之猪蹄模型】 1．（24-25七年级下·河南周口·期中）【模型发现】某校数学研讨会的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．    （1）如图1，，是，之间的一点，连接，，试说明：； 【灵活运用】 （2）如图2，，，是，之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，均是，之间的点，如果，直接写出的度数． 2．（24-25七年级下·广东佛山·期中）几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”． (1)导入：如图1，已知，如果，，则　　； (2)发现：如图2，直线，请判断与，之间的数量关系，并说明理由； (3)运用：如图3，已知，P在射线上运动（点P与点A、B、O三点不重合），，，请用含、的代数式表示，并说明理由． 3．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”． (1)导入：如图①，已知，如果，，那么 ； (2)发现：如图②，已知，请判断与，之间的数量关系，并说明理由； (3)运用：(i)如图③，已知，，点、分别在、上，，如果 ，那么 ； 如图④，已知，点、分别在、上， 、分别平分和． 如果，那么 ； 如图⑤，已知，点、分别在、上， 、分别平分和，且． 如果，那么 ．(用含的代数式表示) 4．（21-22七年级下·山东德州·期中）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题． 小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型一“猪蹄模型”．即 已知：如图1，，为、之间一点，连接，得到． 求证：， 小明笔记上写出的证明过程如下： 证明：过点作， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， 请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题． (1)如图2，若，，求的度数； (2)灵活应用：如图3，一条河流的两岸当小船行驶到河中点时，与两岸码头B、D所形成的夹角为（即），当小船行驶到河中点时，恰好满足，，请你直接写出此时点与码头B、D所形成的夹角＝_________． 5．（24-25七年级下·河北沧州·期中）（1）引入：在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，如图是一个“美味”的模型—“猪蹄模型”．如图所示，ABCD，点E在直线AB与CD之间，连接AE、CE，求证：∠AEC＝∠BAE+∠DCE． 嘉琪想到了下面的思路，请根据思路继续完成求证： 证明：如图，过点E作EFAB． （2）思考：当点E在如图所示的位置时，其他条件不变，写出∠BAE，∠AEC，∠DCE三者之间的数量关系并说明理由． （3）应用：如图，延长线段AE交直线CD于点M，已知∠BAE＝132°，∠DCE＝118°，求∠MEC的度数． （4）提升：点E、F、G在直线AB与CD之间，连接AE、EF、FG和CG，其他条件不变，如图．若∠EFG＝m°，直接写出∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG的总度数． 6．（24-25七年级下·上海闵行·月考）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为，之间一点，连接，，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． （2）如图（2），若在之间，，平分，，求与的数量关系； （3）如图（3），射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值． 7．（24-25七年级下·北京西城·月考）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题． 小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即 已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到． 求证： 小明笔记上写出的证明过程如下: 证明：过点E作 ∵ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题． (1)如图，若，，求； (2)如图，， BE平分， CF平分，，求． 8．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题． 小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型—“猪蹄模型”． 已知：如图，， 为 ， 之间一点，连接 ， 得到 ． 求证：． 小明笔记上写出的证明过程如下： 证明：过点 作， ， ，， ， ． ， （ ） （1）请你补全推理过程． （2）利用上面“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题． 如图，若，，求 是多少? 【经典例题二 平行线基本模型之铅笔模型】 9．（2025八年级上·上海闵行·专题练习）若两根平行木条与钉子E的位置如图所示，求证：． 10．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）已知直线、，点A、B为分别在直线、上． (1)如图1，点C为平面内一点，连接、，若，求证：； (2)如图2，点C，D为平面内两点，连接，，，若，猜想和，，的数量关系，并证明． 11．（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期末）（1）如图①所示，，，，则和有怎样的位置关系？请对你的结论进行证明． （2）如果图①中仍是，但，，则等于多少度？ （直接写出结果） （3）如图②，，当时，要使和保持和图①一样的位置关系，则的度数应是多少？并结合所给的条件进行证明．          12．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）已知点P为直线，之间的一点，且． (1)如图1，连接，，若，求的度数； (2)点Q为直线，之间的不同于点P的另一点． ①如图2，连接，，，求的度数； ②如图3，连接，，，若，，，求的度数． 13．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）有一天，李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线、，然后在平行线间画了一点E．连接、后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②、图③、图④等图形，这时他突然一想，、与之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”的功能，找到了这三个角之间的关系． (1)你能探讨出图①至图④各图中的、与之间的关系吗？请你写出关系式； (2)请你说明图③所写关系式成立的理由． 14．（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点． (1)如图，若，，求的度数． (2)求证： (3)如图，若，，，求的度数（用，的代数式表示）． 15．（24-25七年级下·北京·期中）如图1，，在、内有一条折线． (1)求证：； (2)在图2中，画的平分线与的平分线，两条角平分线交于点，请你补全图形，试探索与之间的关系，并证明你的结论； (3)在（2）的条件下，已知和均为钝角，点在直线、之间，且满足，，（其中为常数且），直接写出与的数量关系． 16．（25-26八年级上·山西晋中·期末）【基础模型】 （1）如图1，若，点为拐点，则的数量关系为___________；若将拐点左移，如图2，此时的数量关系为___________． 【深入探究】 （2）如图3，，平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，若点在点的左侧，，，且，平分平分，请你直接用含的式子表示． 【经典例题三 平行线基本模型之锯齿模型】 17．（2025八年级上·上海闵行·专题练习）（1）如图①，与的数量关系是什么？写出证明过程． （2）如图②，与的数量关系是什么？写出证明过程． 18．（25-26七年级下·上海闵行·单元测试）已知直线，点E为直线，之间的一点． (1)如图①所示，若，，求的度数． (2)如图②所示，若，，求的度数．（用，表示） 19．（25-26七年级上·江西南昌·期末）（1）如图①若，则，你能说明理由吗？ （2）反之，在图①中，若，直线与有什么位置关系，你能说明理由吗？ （3）若将点E移至图②的位置，此时，，之间有什么关系，你能说明理由吗？ （4）在图③中，，与之间有何关系？（直接写结论） 20．（25-26七年级上·重庆万州·月考）如图1，由线段，，，组成的图形像“∑”形，称为“∑形”． (1)如图2，在“∑形”中，若，，求出的度数． (2)如图3，连接，若，，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图4，在（2）的条件下，当点M在线段的延长线上从上向下移动时，请直接写出与之间所有可能满足的数量关系． 21．（25-26七年级上·吉林·月考）请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明： (1)如图①，已知，求证：．证明：过点P作， ∵，∴______（两直线平行，内错角相等）， ∵，，∴（______）， ∴______（______），∴（等量代换） (2)如图②，，根据上面的推理方法，直接写出______． (3)如图③，，若，，，，则______（用含x、y、z的代数式表示） 22．（25-26七年级上·河南南阳·期末）在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了实现复杂的操作任务，通过关节和关节来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，与的数量关系是______． (2)如图2所示，当，，时，求的度数．（用含的代数式表示） (3)当，时，直接写出与的数量关系．（用含，的代数式表示，只需写出任意两个符合题意的结果．） 23．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，平面上有两条直线，，，是平面上这两条直线间的一点． 【问题探究】（1）如图，若，，求的度数． 解：过点作， （ ） 又 （ ） ， ，， 【问题解决】（2）若，，请根据（1）的解题思路，求图2中的度数． 【方法总结】（3）如图，若， ， ，则的度数为 ．（用含，，的式子表示） 24．（25-26七年级下·上海·月考）问题探究： 如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点B作，则，再证明． 问题解答： （1）填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点E作 ∴______， ∵，， ∴（______）， ∴______（______）， ∴， 即， （2）请按李思同学的思路，写出证明过程； 证明：过点B作交的延长线于点G…… 问题迁移： （3）如图④，已知，平分，平分．若，请直接写出的度数． 【经典例题四 平行线基本模型之“骨折”模型】 25．（2026七年级下·上海闵行·专题练习）如图，． (1)若，，求的度数． (2)探究，，三者之间有怎样的数量关系，并说明理由． 26．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）（1）如图①，，如果，，求的度数．请将下面的求解过程填写完整． 解：过点作直线，使． 因为，所以．（ ） 又因为，所以_____． 因为，且， 所以_____．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以_____． 所以． （2）如图②，，如果，，请问等于多少度？写出求解过程． （3）填空：如图③，，请用一个等式表示、与三个角之间的关系：_____． 27．（25-26七年级下·上海闵行·周测）两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图①，，点，分别在直线，上，点在直线，之间． (1)若，，求的度数． (2)如图②，已知直线，为平面内一点，连接，．若，，求的度数． 28．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，、的两边分别平行． (1)在图1中，与的数量关系是 ； (2)在图2中，与的数量关系是 ； (3)用一句话归纳的结论为 ．请选择（1）（2）中的一种情况说明理由． (4)应用：若两个角的两边两两互相平行，其中一个角比另一个角的2倍少30°，求这两个角的度数． 29．（25-26七年级上·河南周口·期末）【阅读理解】如图①，与的边与互相平行，另一组边、交于点，且点在、之间，且在直线右侧，试说明：．老师在黑板中写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程，并填空（理由或数学式）． 解：如图②，过点作， ∴______________， ∵______________， ∴ ______________， ∴， ∴ ______________， ∴． 【理解应用】如图③，当图①中的点在直线左侧时，其它条件不变，若，求与的和． 【拓展】与的边与互相平行，且点、在直线同侧，另一组边、交于点，且点在、之间．若的角平分线与的角平分线交于点，设，请借助图①和图③，用含的代数式直接写出的度数． 30．（25-26七年级上·吉林长春·期末）【感知】（1）直线，点在直线和之间，作，该角的两边分别交直线于点．如图①，当点在过点和点的直线的左侧时，求与的和． 老师在黑板中写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程，并填空（理由或数学式）． 解：如图②，过点作． （      ） ∵（      ）， ∴（      ） （      ）． 【探究】（2）如图③，当点在过点和点的直线的右侧时，其它条件不变，求与的和． 【拓展】（3）直线，点在直线和之间，作，该角的两边分别交直线于点．若的角平分线所在的直线交直线于点，且点在点左边，请借助图①和图③，直接写出的度数． 31．（25-26七年级上·江苏南京·期末）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（ ） ∵．（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵．（角的和差定义） ∴ ．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则 ； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ． 32．（24-25七年级下·山东青岛·期中）2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破． 【提出问题】 图①是练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？ 【思考过程】 依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，需要添加辅助线构建新的图形． 【问题解决】 解：如图②，过点作，过点作，则． 因为，， 所以． 因为，， 根据 （1） ， 所以， 根据 （2） ， 所以． 因为， 所以 （3） ， 所以 （4） ． 【迁移应用】 如图③是一款手推车的平面示意图，． （1）若，，则________； （2）请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展提高】 如图④，，直线交于点E，交于点F，点P是线段上的一点，，平分，平分，则________． 【经典例题五 平行线基本模型综合应用】 33．（2025七年级下·上海闵行·专题练习）已知，解答下列问题： (1)如图①， ； (2)如图②，求的度数； (3)如图③，求的度数； (4)如图④，根据以上结论，试探究： ． 34．（24-25七年级下·广西贵港·期末）（1）如图①，，点B在射线上，．若，求的度数；    （2）如图②，，点B在射线上，．猜想与的数量关系，并说明理由．    35．（2025七年级上·上海闵行·专题练习）（1）如图①，，试问与的关系是什么？并说明理由； （2）如图②，，试问与的关系是什么？请直接写出结论； （3）如图③，，试问与的关系是什么？请直接写出结论． 36．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由． (3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明） 37．（25-26七年级上·福建漳州·期末）在学完《相交线和平行线》后，为继续深入探索平行线中的一些角度关系，七年级数学兴趣小组的同学通过图形开展探究，具体步骤如下： 【探究一】如图①，已知，测得，求的度数； 【探究二】保持，改变其他线段的位置，得到图②的形状，猜想之间具有什么数量关系？探究并说明理由； 【探究三】在图②的基础上，分别作、的角平分线并相交于点，从而得到图③的形状．若，求的度数． 38．（24-25七年级下·河北唐山·期中）（1）【感知】如图1，，点在直线与之间，试说明．下面给出了这道题的解题过程，请将解题过程中的解题依据补充完整． 证明：如图1，过点作， ，（___________①___________） （已知），（辅助线作法）， ，（②） ___________③___________，（___________④___________） ， ； （2）【探究】当点在如图2的位置时，其他条件不变，则___________度； （3）【应用】如图3，延长线段交直线于点，已知，，直接写出的度数． 39．（21-22七年级下·河南许昌·期中）【探索】已知小明研究了一个数学问题 已知，，AB和CD都不经过点P，探索与和之间的数量关系． (1)【发现】在如图①中，小明发现 证明：过点P作 ∴（______）    ∵， ∴（______）    ∴ ∴    ∴ (2)【应用】试说明，在图②中与和之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】在图③中，已知，，则______． 在图④中，已知，，则______． 40．（24-25七年级下·河南商丘·期末）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图1，，点，分别在直线，上，点在直线，之间．设，，求证：． 证明：如图2，过点作，∴． ∵，，∴， ∴， ∴． 【类比应用】 （1）如图3，，，，求的度数． （2）如图4，，点在直线上，点在直线的上方，连接，．设，，则，与之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图5，，点在直线上，点在直线的上方，连接，．的平分线与的平分线所在的直线交于点，请直接写出的度数．（不要求写过程） 1．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）如图，直线与的边相交成字模型，则的内错角是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河南郑州·期末）某公司推出了如图1所示的护眼台灯，其侧面示意图如图2所示，其中灯柱与底座垂直，，，可以分别绕点C，D调节一定的角度．经使用发现：当且时，台灯光线最佳，则此时的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱、和折叠杆“”组成．道闸工作时，折叠杆“”可绕点在一定范围内转动，且杆始终与地面保持平行，则下列判断中，正确的是（    ） A． B． C． D．的度数无法确定 5．（24-25七年级下·上海闵行·期末）在学习“相交线与平行线”一章时，邱老师组织班上的同学分组开展潜望镜的实践活动，小林同学所在的小组制作了如图①所示的潜望镜模型并且观察成功．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理．图②中，代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证与平行，已知光线经过镜子反射时，，若，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·山西吕梁·月考）如图，这是我国古建筑中常见的斗拱模型，其示意图中，若，则_______． 7．（24-25七年级下·山西晋中·期末）被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是______． 8．（21-22七年级下·吉林·月考）为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，小聪把它抽象成图数学问题：已知，，，则______．    9．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）如图，在括号内填理由． （1）如图①，因为，，所以（___________________）； （2）如图②，因为，过点F画（________________），所以（_____________________________）． 10．（24-25七年级下·河南周口·月考）如图，，思考解决下列问题： （1）______； （2）试探究______． 11．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）推理能力【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图①所示的几何图形很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象地称为“猪蹄模型”．“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． 【结论】（1）如图1，，M是、之间的一点，连接，．试说明：； 【运用】（2）如图2，，M，N是、之间的两点，且．请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，求出、、三者之间的数量关系，并说明理由． 12．（25-26七年级上·山西临汾·期末）思考与探究：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线、上，点A在直线、之间． (1)求证： 证明：如图1过点A作 ， （________________________） ，（____________________________） 即： 请在括号内填写所依据的理由． (2)类比应用：已知直线，P为平面内一点，连接、． ①如图2，已知，，求的度数． ②如图3，设，，请写出、、之间的数量关系并说明理由． 13．（25-26七年级上·山西临汾·期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点是外一点，连接，求的度数． 解：过点作， ______，______， 又____________， ______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】 （2）如图2，已知交于点，求的度数． （3）如图3，若，点在外部，请直接写出之间的关系． 14．（24-25七年级下·湖南永州·期末）在放学回家的路上，小亮同学发现地面上有一块矩形的玻璃片碎成了两块（形如图1），为防止碎玻璃伤害行人，他小心地捡起碎玻璃准备放入路边的垃圾分类收集点时，爱思考的小亮同学又发现这碎玻璃与数学课上学习过的“猪蹄模型”很相似，于是尝试用“猪蹄模型”的研究方法去探究其中角之间的关系． (1)在图2中，证明． (2)针对此问题，小亮同学进行了深入探究，感受到数学探究的乐趣，现在重现小亮的探究过程，并请你解决以下问题． 【探究1】小亮同学在“猪蹄模型”的基础上画出了图3，发现图3中、、、也存在着某种数量关系，请你写出这四个角之间的数量关系，并写出证明过程． 【探究2】小亮同学进一步探究，画出了图4，请问这五个角之间是否存在某种数量关系，如果有，请写出数量关系并予以证明；如果没有，请说明理由． 【探究3】小亮同学突发奇想：“若是摔碎的玻璃上有个角（如图5），那么这些角之间有什么数量关系呢？”请你做出一个猜想，直接写出你猜想的这个角的数量关系，并说一说为什么可以这样猜想． 15．（24-25七年级上·山东青岛·期中）【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：    【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，． 【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明； 【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． ①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明； ②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由． 【应用拓展】 （3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $专题04相交线与平行线中的基本模型专项训练(5大题型+15道拓展 培优题) 题型预览 题型一平行线基本模型之猪蹄模型 题型二平行线基本模型之铅笔模型 题型三平行线基本模型之锯齿模型 题型四平行线基本模型之“骨折”模型 题型五平行线基本模型综合应用 经典例题 【经典例题一平行线基本模型之猪蹄模型】 1.(24-25七年级下河南周口·期中)【模型发现】某校数学研讨会的学生在活动中发现：图1中的几何图形， 很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系， y A B A M G 图1 图2 图3 (1)如图1，AB∥CD,M是AB,CD之间的一点，连接BM,DM,试说明：∠B+∠D=∠BMD; 【灵活运用】 (2)如图2，AB∥CD,M,N是AB,CD之间的两点，当∠B-∠C=∠BMN时，请找出∠BMN和 2 ∠MNC之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图3，AB∥CD,E,F,G均是AB,CD之间的点，如果∠E+∠F=2LG=70°，直接写出 ∠B+∠D的度数. 【答案】(1)见解析：(2)2∠MNC=∠BMN;理由见解析；(3)∠B+∠D=35°. 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质， (1)过M作ME∥AB,则ME∥CD,由平行线的性质可得∠B=∠BME、∠D=∠DME,再根据角的和 差以及等量代换即可解答： (2)过M作ME∥AB,过N作NF∥CD,则NF∥ME,得到∠B=∠I,∠2=∠3，∠4=∠C,由 ∠B-∠C=∠BMN可得∠4=I-∠2，计算得到2LMNC=∠BMN; (3)作EM∥AB,GN∥CD,FP∥CD,由2LG=70°推出∠3+∠4=35°，即∠2+∠5=35°，由 ∠E+∠F=70°，推出∠1+∠6=35°，据此即可解答， 【详解】(1)证明：如图(1)过M作ME∥AB, A M C D 图1 :ME∥AB, ∠B=LBME, :AB∥CD, ME∥CD, .∠D=∠DME, :∠BME+∠DME=∠BMD, ∠B+∠D=∠BMD: (2)解：2∠MNC=∠BMN;理由如下： 如图(2)：过M作ME∥AB,过N作NF∥CD, B M --…E N 一D 图2 :AB∥CD, AB∥ME∥NF∥CD, .∠B=∠1，∠2=∠3，L4=∠C, ∠B-∠C=5BMN, 6a-4-4+2 整理得24=1-∠2， ∠Mc=3+24=2+542=4+2=BN, 2 .2LMNC=∠BMN; (3)解：∠B+∠D=35°. 作EM∥AB,GN∥CD,FP∥CD, A B E 4 C 图3 :AB∥CD, .AB∥EM∥GN∥FP∥CD, .∠B=∠1，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠D, :∠E+∠F=2∠G=70°， ∠EGF=35°， ∴∠3+∠4=35°，即∠2+∠5=35°， :∠BEG+∠GFD=∠1+∠2+∠5+∠6=70°， .∠1+∠6=35°，即∠B+∠D=35°. 2.(24-25七年级下广东佛山期中)几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”. B A B M F N 图1 图2 图3 (I)导入：如图1，已知AB∥P2∥CD,，如果∠AEP=45°，∠CFP=60°，则∠EPF=°； (②)发现：如图2，直线AB∥CD,请判断∠AEP与∠CFP,∠EPF之间的数量关系，并说明理由； (3)运用：如图3，已知AD∥BC,P在射线OM上运动（点P与点A、B、O三点不重合），∠ADP=a, LBCP=B,请用含a、B的代数式表示LCPD,并说明理由. 【答案】(1)105 (2ZEPF =ZAEP+ZCFP (3)LCPD=a-B或∠CPD=a+B或∠CPD=B-a 【分析】(1)首先根据平行线的性质求出∠EPQ=45°，∠QPF=60°，然后求和即可； (2)过点P作AB∥PQ∥CD,根据平行线的性质得到∠EPQ=∠AEP,∠QPF=∠CFP,即可得到∠AEP 与∠CFP,∠EPF之间的数量关系； (3)根据题意分点P在线段BO上，点P在线段AB上和点P在射线AM上三种情况讨论，求出 ∠DPQ=∠ADP=a,∠CPQ=∠BCP=B,然后根据角的和差求解即可. 【详解】(1)解：AB∥PQ∥CD, ∴∠EPQ=∠AEP=45°，∠QPF=∠CFP=60°， :∠EPF=∠EPQ+∠QPF=105°， 故答案为：105； (2)解：如图所示，过点P作AB∥PQ∥CD, E B F :AB∥PQ∥CD, .∠EPQ=∠AEP,∠QPF=∠CFP, :∠EPF=∠EPQ+∠QPF;即∠EPF=LAEP+LCFP (3)解：如图所示，当点P在线段BO上时，作AD∥PQ∥BC交ON于点Q, M D :AD∥PQ∥BC :∠DPQ=∠ADP=a,∠CPQ=∠BCP=B, .∠CPD=∠DPQ-∠CPQ=a-B; 如图所示，当点P在线段AB上时，作AD∥PQ∥BC交ON于点Q, M B DO AD∥PQ∥BC, :.∠DPQ=∠ADP=a,∠CPQ=∠BCP=B, .∠CPD=∠DPQ+∠CPQ=a+B; 如图所示，当点P在射线AM上时，作AD∥PQ∥BC交ON于点Q, M :AD∥PQ∥BC, :∠DPQ=∠ADP=a,∠CPQ=∠BCP=B, .∠CPD=∠CPQ-∠DPQ=B-a: 综上所述，∠CPD=a-B或∠CPD=a+B或∠CPD=B-. 【点晴】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关键 3.(24-25七年级上·四川宜宾期末)几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的猪蹄模型” B E D 图① 图② M B A M E G ND C N D 图③ 图④ 图⑤ (1)导入：如图①，已知AB∥CD∥EF,如果LA=26°，∠C=34°，那么∠AEC=_°； (2)发现：如图②，己知AB∥CD,请判断∠AEC与∠A,∠C之间的数量关系，并说明理由； (3)运用：（①如图③，己知AB∥CD,∠AEC=88°，点M、N分别在AB、CD上，MN∥AE,如果LC= 28°，那么∠MND=_°； (ii如图④，己知AB∥CD,点M、N分别在AB、CD上，ME、NE分别平分∠AMF和LCNF.如 果LE=116°，那么∠F=_°； (ii如图⑤，已知AB∥CD,点M、N分别在AB、CD上，MF、NG分别平分∠BME和LCNE,且 EG∥MF.如果LMEN=a,那么∠EGN=-·(用含a的代数式表示) 【答案】(1)60° (2)LAEC=∠A+∠C,理由见解析 3020:画28；画90°+20 【分析】(1)根据平行线的性质得出∠A=∠AEF,∠C=∠FEC,进而根据LAEC=LAEF+∠CEF,即可求 解； (2)过点E作EF∥AB,根据(1)的方法即可求解； (3)(i)由(2)可得LAEC=∠A+∠C=88°，LC=28°，得出∠A=60°，根据∠MND=180°-∠BMN, 即可求解； (i)由猪蹄模型”，可得∠E=LAME+∠CNE=116°，∠F=∠BMF+∠DNF,根据角平分线的性质得出 ∠AME=AM,∠CNE=∠CNT,继而根据∠P=∠BMF+∠DNP=128,即可求解： (i)如图所示，延长GE交AB于点H,设LENG=阝，∠HME-0,根据平行线的性质得出 WHE=∠BMFE180-日90°-9，a=日+2B,很据LEGN=LGNC+ZAHE=∠GNC+∠AMF,即可得 2 出结论 【详解】(1)解：如图1， B D 图① :AB∥CD∥EF .∠A=∠AEF,∠C=∠FEC :∠A=26°，∠C=34°， .∠AEC=LAEF+∠CEF=∠A+∠B=26°+34°=60° .∠AEC=60° 故答案为：60. (2)∠AEC=∠A+∠C, 如图所示，过点E作EF∥AB, A B EF∥AB, D 图② ·∠A=∠AEF, :EF∥AB,AB∥CD, :EF∥CD, :∠FEC=∠C, :ZAEC ZAEF ZFEC ZA+ZC: (3)解：(i)由(2)可得∠AEC=∠A+∠C=88°，∠C=28°， .∠A=60°， :MN∥AE, ∴.∠BMN=∠A=60°， :AB∥CD, .∠MND=180°-∠BMN=180°-60°=120°， 故答案为：120 A M B ND 图③ (ⅱ)解：如图所示，：AB∥CD 由“猪蹄模型”，可得∠E=∠AME+∠CNE=1I6°，∠F=∠BMF+∠DNF; :ME、NE分别平分∠AMF和∠CNF i∠AME=AMr,∠CNE=Cr 21 .∠AMF+∠CNF=116°×2=232° ∠MBF+∠DNF=360°-232°=128°， .∠F=∠BMF+∠DNF=128°， 故答案为：128. CN D 图④ (ii)解：如图所示，延长GE交AB于点H, AH M B E G CN D 图⑤ 设∠ENG=B,∠HME-0 :MF、NG分别平分∠BME和LCNE, ∠8Mr=aME-ls0-0j=9w-号4CNE-2ZBNG-2B. :HG∥MF :∠MHE=∠BMF=180-0=90-_ 2 2 :AB∥CD :∠MEN=LAME+∠CNE, 0=0+2β .∠EGN=LGNC+LAHE =∠GNC+∠AMF =B+0+900-0 =B+90°+0 2 =90°+C 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定求角度，掌握平行线的性质是解题的关键 4.(21-22七年级下·山东德州期中)请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问 题 小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答， 今天老师介绍了一个“美味”的模型一“猪蹄模型”.即 己知：如图1，AB∥CD,E为AB、CD之间一点，连接AE,CE得到∠AEC. A B A B A B E E D D D 图1 图2 图3 求证：∠AEC=LA+LC, 小明笔记上写出的证明过程如下： 证明：过点E作EF∥AB, .∠1=∠B, :AB∥CD,EF∥AB, .EF∥CD .∠2=∠C, :∠AEC=∠1+∠2， ∠AEC=∠A+∠C, 请你利用猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题. (1)如图2，若AB∥CD,∠E=60°，求LB+∠C+∠F的度数： (②)灵活应用：如图3，一条河流的两岸AB∥CD当小船行驶到河中E点时，与两岸码头B、D所形成的夹 角为64°（即∠BED=64°），当小船行驶到河中点F时，恰好满足∠ABF=∠EBF,∠EDF=LCDF,请你 直接写出此时点F与码头B、D所形成的夹角∠BFD= 【答案】(1)240° (2)32° 【分析】(1)过E点作EN∥AB,过F点作FM∥AB,易得EN∥CD,FM∥CD,EN∥FM,则有∠ B=∠BEN,∠NEF=∠EFM,∠C+∠CFM仁18O°，根据∠BEN+∠NEF=∠BEF,∠EFM什∠CFM仁∠EFC,∠ BEF=60°，即有∠B+∠EFC+∠C=(∠B+∠EF0+(∠CFM什∠C)=∠BEF+180°=240°： (2)根据题目的证明方法可得∠F=∠ABF+∠CDF,∠E=∠ABE+∠CDE,由∠ABF=∠EBF,∠EDF=∠CDF ,可得∠ABF-∠ABE,∠CDF∠CDE,即有∠P产∠ABF+∠CDF(∠ABE+∠CDEx64=2, 问题得解. 【详解】(1)过E点作EN∥AB,过F点作FM∥AB,如图， y B E M------------7 D :EN∥AB,FM∥AB,DC∥AB, EN∥CD,FM∥CD,EN∥FM, ∴.∠B=∠BEN,∠NEF=∠EFM,∠C+∠CFM18O°， :∠BEN+∠NEF-∠BEF,∠EFM什∠CFM仁∠EFC,∠BEF=6O°， ∴.∠B+∠EFC+∠C-(∠B+∠EF0H(∠CFM升∠C)=∠BEF+180°=240°， 故答案为：240°； (2)根据题目中猪蹄模型的证明方法，同理可以证明：∠F=∠ABF+∠CDF,∠E=∠ABE+∠CDE, :∠E=64°， ∴.∠ABE+∠CDE=64°， .∠ABF=∠EBF,∠EDF=∠CDF, ∠ABF;∠ABE,∠CDF= F2∠CDE, :∠F=∠ABF+∠CDF, i∠F∠ABF+∠CDF-(∠ABE+∠CDE))x64-32, 故答案为：32° 【点晴】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补是解答本题的关键。 5.(24-25七年级下·河北沧州期中)(1)引入：在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系， 就需要借助辅助线来帮助解答，如图是一个“美味”的模型一“猪蹄模型”.如图所示，AB/CD,点E在直线 AB与CD之间，连接AE、CE,求证：∠AEC=∠BAE+∠DCE. 猪蹄模型 嘉琪想到了下面的思路，请根据思路继续完成求证：