第十六章 相交线与平行线重难点检测卷（压轴卷）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

第十六章 相交线与平行线重难点检测卷（压轴卷） （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：相交线与平行线全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（25-26七年级上·河北邯郸·月考）下列四种实践方式：木匠弹墨线、打靶瞄准、弯曲公路改直、拉绳插秧，其中可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·上海闵行·课后作业）下列语句中，不是命题的是（   ） A．在同一平面内两条直线不平行就相交 B．邻补角的角平分线互相垂直 C．过直线l外一点P，作直线 D．，a与c相交，则b与c也相交 3．（25-26八年级上·山东济南·期末）“榫卯”是采用凹凸部分相结合的一种连接方式．如图是某种“榫”构件的截面图，其中，，则为（    ） A． B． C． D． 4．（16-17七年级下·山西大同·期中）如图，若，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）如图，直线，相交于点，于点，于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）平面上3条互不重合的直线交于一点，其中对顶角有______对． 8．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·月考）命题“如果，那么与互为邻补角”的逆命题是________________________，它是______命题（填“真”或“假”）． 9．（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图， ，，则_______． 10．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）如图，将长方形纸片沿折叠，使点D，C落在点，处，的延长线与交于点G，若，则______°． 11．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在河旁边有一个村庄，现要建一个码头，为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在________处，其中的道理是________． 12．（24-25七年级下·上海闵行·单元测试）观察下列各式：，，，，用文字语言表示你发现的规律：_______；用符号语言表示你发现的规律：_______；这是一个_______命题（填“真”或“假”）． 13．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，已知BC⊥AE，DE⊥AE，∠2＋∠3＝180°．若∠1＝66°，BC平分∠ABD，则∠ACH＝______°． 14．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，为了探清一口深井的底部情况，在井口放置一面平面镜可改变光路，此时，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角______°．    15．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，，直线l与、分别交于点E、F，平分交直线于点M，平分交直线于点N．给出下面四个结论：①；②；③；④；上述结论中，正确结论的序号有_____． 16．（2025七年级下·上海闵行·专题练习）（1）如图，直线，被所截，则和___________是同位角，和___________是内错角，和___________是同旁内角； （2）在（1）中，如果，那么的推理过程如下，请在括号内注明理由： 因为( )， ( )， 所以( )    17．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，直线，一副三角板按如图1摆放，其中，，．保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过____秒边与直角边平行． 18．（24-25七年级上·吉林长春·期末）图①是某自行车的实物图，图②是图①的示意图．经测得，且都与地面平行，．有如下四个结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．在这四个结论中正确的序号为________． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，直线相交于点O，平分，若．求和的度数． 20．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图，在四边形中，，，求的大小．能否求得的大小，为什么？ 21．（2025八年级上·上海闵行·专题练习）完成下面表格空格部分 命题 条件 结论 命题真假 （1）两直线平行，内错角相等． （2）内错角相等，两直线平行． （3）如果，那么． （4）如果，那么． 22．（24-25七年级上·山东济南·期末）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情境请你作出判断． 情境一：从教室到图书馆，总有少数同学不走校园道路而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题． 情境二：要整齐地栽一行树，只要确定了两端的树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里用到的数学知识是 ．你赞同以上哪种做法？ （填情境一或情境二） 23．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 已知直线，P为平面内一点，连接，． （1）如图1，已知，则的度数为______； （2）如图2，设，猜想α，β，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，，，交于点O，，求的度数． 24．（25-26七年级上·福建泉州·期末）某次几何课上，黄老师借助字母，命制了如下几何题目： （1）如图1，已知，，证明：，请你将推理过程补充完整； （2）如图2，若，，证明：． (1)证明：（已知）， ①__________________（两直线平行，内错角相等） （已知）， ②__________________（③__________________） （④__________________） (2)模仿（1）题，写出推理过程． 25．（25-26八年级上·山西晋中·期末）材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题．为此，老师给出如下问题： 如图①，，，交于点Q，交于点P．请判断与有怎样的数量关系； 如图②，明明同学通过在点F处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】 （1）请判断与有怎样的数量关系，并选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 （2）如图④，，反向延长的平分线，交直线于点F，点H在直线上，连接，若，，求的度数； 【变式探究】 （3）如图⑤，，平分，且，，请直接写出的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十六章 相交线与平行线重难点检测卷（压轴卷） （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：相交线与平行线全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（25-26七年级上·河北邯郸·月考）下列四种实践方式：木匠弹墨线、打靶瞄准、弯曲公路改直、拉绳插秧，其中可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了“两点确定一条直线”的基本事实的应用，区分“两点确定一条直线”和“两点之间，线段最短”是解题关键．判断每个实践方式是否涉及通过两个点确定一条直线，即可求解． 【详解】解：∵木匠弹墨线是通过固定两个点弹墨线形成直线，符合“两点确定一条直线”； ∵打靶瞄准时，利用准星和目标点确定瞄准线，符合“两点确定一条直线”； ∵弯曲公路改直是利用“两点之间，线段最短”的原理，不涉及“两点确定一条直线”； ∵拉绳插秧是通过拉直绳子基于两个点形成直线，符合“两点确定一条直线”． ∴可以用“两点确定一条直线”来解释的有3个． 故选：C． 2．（25-26八年级上·上海闵行·课后作业）下列语句中，不是命题的是（   ） A．在同一平面内两条直线不平行就相交 B．邻补角的角平分线互相垂直 C．过直线l外一点P，作直线 D．，a与c相交，则b与c也相交 【答案】C 【分析】本题考查命题的定义，熟练掌握命题的定义是解题的关键． 根据命题的定义，命题是表示判断的语句，可以判断真假的陈述句，据此逐项判断即可． 【详解】解：命题必须是陈述句且可判断真假， 选项A、B、D均为陈述句，可判断真假，是命题； 选项C为操作指令，不是陈述句，不是命题， 故选：C． 3．（25-26八年级上·山东济南·期末）“榫卯”是采用凹凸部分相结合的一种连接方式．如图是某种“榫”构件的截面图，其中，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴． 故选：C． 4．（16-17七年级下·山西大同·期中）如图，若，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线平行的性质，过点作，利用直线平行的性质即可得到答案． 【详解】过点作，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故选：C． 5．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）如图，直线，相交于点，于点，于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可先根据垂直的定义得到直角，再结合已知角度求出相关角的度数，最后通过角的和差关系计算出的度数． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了知识点垂直的定义与角的和差计算，解题关键是利用垂直关系确定直角，再通过角的和差进行角度推导． 6．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质． 由平行线的性质求出的度数，由平角定义即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ，， ， 故选：C． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）平面上3条互不重合的直线交于一点，其中对顶角有______对． 【答案】6 【分析】本题主要考查对顶角，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键；三条互不重合的直线交于一点，可视为三对两条直线的组合，每对两条直线相交形成2对对顶角，因此总对数为对，然后问题可求解． 【详解】解：三条互不重合的直线交于一点，共有三种不同的两条直线组合：直线1与直线2、直线1与直线3、直线2与直线3，每种组合形成2对对顶角，故总对数为对． 故答案为：6． 8．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·月考）命题“如果，那么与互为邻补角”的逆命题是________________________，它是______命题（填“真”或“假”）． 【答案】 如果与互为邻补角，那么 真 【分析】本题考查逆命题，邻补角的定义，熟悉逆命题和邻补角的定义是解决此题的关键．把原命题的条件和结论互换后，写出逆命题，再根据邻补角的定义，即可判断命题的真假． 【详解】解：逆命题为：如果与互为邻补角，那么，是真命题； 故答案为：如果与互为邻补角，那么，真． 9．（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图， ，，则_______． 【答案】/230度 【分析】过点作，利用平行线的性质进行求解． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】注意掌握“铅笔头”模型． 10．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）如图，将长方形纸片沿折叠，使点D，C落在点，处，的延长线与交于点G，若，则______°． 【答案】 【分析】本题主要考查两直线平行的性质、折叠的性质以及矩形的性质，重点在于利用已知条件找到角度之间的关系． 由，，根据两直线平行，内错角相等，可求得的度数，然后由折叠的性质，可得的度数，进而再利用两直线平行内错角相等得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ， 由折叠的性质可得， ∴． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在河旁边有一个村庄，现要建一个码头，为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在________处，其中的道理是________． 【答案】 C 垂线段最短 【分析】本题主要考查垂线段最短，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；此题可根据垂线段最短进行求解即可． 【详解】解：为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在C处，其中的道理是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； 故答案为：垂线段最短． 12．（24-25七年级下·上海闵行·单元测试）观察下列各式：，，，，用文字语言表示你发现的规律：_______；用符号语言表示你发现的规律：_______；这是一个_______命题（填“真”或“假”）． 【答案】 两个连续整数中，较大数与较小数的平方差等于这两个数之和 对于，（是整数），有 真 【分析】本题考查对数字等式规律，命题和证明，解题关键是通过观察等式特征归纳出通用规律，再用代数方法化简等式两边证明规律成立． 观察题目中的等式，发现两个连续整数的平方差等于这两数的和，用符号表示该规律，并验证其正确性即可， 【详解】解：观察给出的例子，发现每个等式都是较大的数的平方减去较小的数的平方，结果等于这两个数的和．例如，，．因此，规律可以表述为：两个连续整数中，较大数与较小数的平方差等于这两个数之和． 设较大的数为，较小的数为，则规律可表示为：． 展开左边并简化：左边： ； 右边： ， ∵左边右边， ∴该命题是真命题； 故答案为：两个连续整数中，较大数与较小数的平方差等于这两个数之和；对于，（是整数），有；真． 13．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，已知BC⊥AE，DE⊥AE，∠2＋∠3＝180°．若∠1＝66°，BC平分∠ABD，则∠ACH＝______°． 【答案】57 【分析】根据角平分线得出∠HBC=∠DBC=，根据垂直得出BC∥DE，得出∠3+∠DBC=180°，结合∠2＋∠3＝180°，得出∠DBC=∠3，证出CH∥BD即可． 【详解】解：∵BC平分∠ABD， ∴∠HBC=∠DBC=， ∵BC⊥AE，DE⊥AE， ∴BC∥DE， ∴∠3+∠DBC=180°， ∵∠2＋∠3＝180°， ∴∠DBC=∠2， ∴CH∥BD， ∴∠DBA=∠1=66°， ∴∠DBC=∠2=， ∴∠ACH=∠ACB-∠2=90°-33°=57°． 故答案为：57． 【点睛】本题考查角平分线有关的计算，平行线判定与性质，求余角，掌握角平分线有关的计算，平行线判定与性质，余角性质是解题关键． 14．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，为了探清一口深井的底部情况，在井口放置一面平面镜可改变光路，此时，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角______°．    【答案】71 【分析】本题主要考查了垂线和角的计算，解题的关键是熟练掌握垂线的性质等知识. 根据, 得, 所以, 再根据,得, 即可得. 【详解】∵, ∴, ∵, ∴ ∵, ∴, ∴. 故答案为：. 15．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，，直线l与、分别交于点E、F，平分交直线于点M，平分交直线于点N．给出下面四个结论：①；②；③；④；上述结论中，正确结论的序号有_____． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．根据平行线的性质得出；根据角平分线定义得出，，求出，即可得出，从而得出；根据平行线的性质得出，根据，得出；根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，根据，得出． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴，故④正确． 综上分析，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 16．（2025七年级下·上海闵行·专题练习）（1）如图，直线，被所截，则和___________是同位角，和___________是内错角，和___________是同旁内角； （2）在（1）中，如果，那么的推理过程如下，请在括号内注明理由： 因为( )， ( )， 所以( )    【答案】 已知 对顶角相等 等量代换 【分析】根据对顶角、同位角、内错角及同旁内角的定义，解答即可． 【详解】如图，直线，被所截，则和是同位角，和是内错角，和是同旁内角； （2）在（1）中，如果，那么的推理过程如下，请在括号内注明理由： 因为（已知）， （对顶角相等）， 所以（等量代换） 故答案为：，，，已知，对顶角相等，等量代换． 【点睛】本题考查了对顶角、同位角、内错角及共旁内角的定义，熟记这些概念，并能熟练应用，是解答这类题目的关键，同时还考查了对顶角相等、等量代换等知识． 17．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，直线，一副三角板按如图1摆放，其中，，．保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过____秒边与直角边平行． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键． 延长交于点，可求，进行分类讨论，画图可得在各个不同位置时，所旋转的度数，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，   ，， ， ， ， ①如图，    当时，， 此时旋转的度数为， ()； ②如图    当时，， ， 此时旋转的度数为， ()； 综上所述：或． 故答案为或． 18．（24-25七年级上·吉林长春·期末）图①是某自行车的实物图，图②是图①的示意图．经测得，且都与地面平行，．有如下四个结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．在这四个结论中正确的序号为________． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质定理是解题的关键． 根据平行线的判定与性质定理逐项分析判断即可． 【详解】解：， ， ， ， 故结论①正确； 当时， ， ， 又， ， ， 故结论②正确； 当时， ， ， 与不平行， 故结论③错误； 当时， 则， ， 故结论④正确； 综上，正确的结论有：， 故答案为：． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，直线相交于点O，平分，若．求和的度数． 【答案】 【分析】根据，设，，根据，建立方程解答即可． 【详解】解：∵平分， ∴，, ∵， 设， 则，， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， ． 【点睛】本题考查了平角的定义，角的平分线，对顶角相等，垂直的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握方程的应用，平角的定义是解题的关键． 20．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图，在四边形中，，，求的大小．能否求得的大小，为什么？ 【答案】，不能求得的度数，原因见解析 【分析】本题考查了平行线的性质．根据“两直线平行，同旁内角互补”即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 不能求得的度数，因为无法找到与或的关系． 21．（2025八年级上·上海闵行·专题练习）完成下面表格空格部分 命题 条件 结论 命题真假 （1）两直线平行，内错角相等． （2）内错角相等，两直线平行． （3）如果，那么． （4）如果，那么． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，不等式的性质，命题的真假，正确的命题就是真命题，命题是由条件和结论组成的，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据正确的命题就是真命题，命题是由条件和结论组成的，进行分析，即可作答． （2）根据正确的命题就是真命题，命题是由条件和结论组成的，进行分析，即可作答． （3）通过举反例来判断其为假命题，命题是由条件和结论组成的，进行分析，即可作答． （4）通过举反例来判断其为假命题，命题是由条件和结论组成的，进行分析，即可作答． 【详解】解：假设，满足，但不满足，故如果，那么是错误的命题； 假设，满足，但不满足，故如果，那么是错误的命题； 如表： 命题 条件 结论 命题真假 （1）两直线平行，内错角相等． 两直线平行 内错角相等 真命题 （2）内错角相等，两直线平行． 内错角相等 两直线平行 真命题 （3）如果   ，那么 ． 假命题 （4）如果  ，那么 ． 假命题 22．（24-25七年级上·山东济南·期末）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情境请你作出判断． 情境一：从教室到图书馆，总有少数同学不走校园道路而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题． 情境二：要整齐地栽一行树，只要确定了两端的树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里用到的数学知识是 ．你赞同以上哪种做法？ （填情境一或情境二） 【答案】两点之间，线段最短；两点确定一条直线；情境二 【分析】此题考查两点之间线段最短的应用，两点确定一条直线，掌握线段的性质是解题的关键．教室和图书馆、两个树坑之间的路线可看做是一条线段，接下来，根据根据线段的性质来分析得出即可． 【详解】解：情景一：因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间的所有连线中，线段最短； 情景二：两个树坑可以抽象成两个点，是根据两点确定一条直线的原理来做的；我们必须注意保护我们周围赖以生存的生态环境，所以赞同情景二． 故答案为：两点之间，线段最短；两点确定一条直线；情境二． 23．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 已知直线，P为平面内一点，连接，． （1）如图1，已知，则的度数为______； （2）如图2，设，猜想α，β，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，，，交于点O，，求的度数． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线定义理解．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用． （1）过点P作，根据平行线的公理得出，根据平行线的性质得出，，最后求出； （2）过点P作，则，根据平行线的性质得出，，求出，得出，得出，即可得出答案； （3）根据，得出，求出，得出，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：（1）过点P作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）过点P作， ， ， ，， ，， ， ． （3）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 24．（25-26七年级上·福建泉州·期末）某次几何课上，黄老师借助字母，命制了如下几何题目： （1）如图1，已知，，证明：，请你将推理过程补充完整； （2）如图2，若，，证明：． (1)证明：（已知）， ①__________________（两直线平行，内错角相等） （已知）， ②__________________（③__________________） （④__________________） (2)模仿（1）题，写出推理过程． 【答案】(1)①；②；③等量代换；④内错角相等，两直线平行 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质，平行线的判定等解答即可； （2）延长，相交于点，然后类似（1）解答即可． 【详解】（1）证明：（已知）， ①（两直线平行，内错角相等） （已知）， ②（③等量代换） （④内错角相等，两直线平行） （2）证明：延长，相交于点， ，（已知） （两直线平行，内错角相等） ，（已知） （两直线平行，内错角相等） （等量代换） 25．（25-26八年级上·山西晋中·期末）材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题．为此，老师给出如下问题： 如图①，，，交于点Q，交于点P．请判断与有怎样的数量关系； 如图②，明明同学通过在点F处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】 （1）请判断与有怎样的数量关系，并选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 （2）如图④，，反向延长的平分线，交直线于点F，点H在直线上，连接，若，，求的度数； 【变式探究】 （3）如图⑤，，平分，且，，请直接写出的度数． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）选择明明同学，由，，得，由平行线的性质得，，，进而即可证明；选择欣欣同学，由平行线的性质得，，推出，进而即可证明； （2）过点P作，根据平行线的性质求出和，进而即可求解； （3）过点P作，过点N作，延长交于点Q，则，根据平行线的性质得，，进而证明，根据推出，进而可得，再根据平行线的性质得，，通过等量代换即可求解． 【详解】解：（1）选择明明同学，证明过程如下： ，， ， ， ， ， ， ； 选择欣欣同学，证明过程如下： ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图 ，过点P作， 则， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， 即的度数为； （3）如图 ，过点P作，过点N作，延长交于点Q， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， 即的度数是． 学科网（北京）股份有限公司 $