第1章 整式的乘除单元提升练习卷2025-2026学年北师大版七年级数学下册

第1章 整式的乘除单元提升练习卷 一、选择题（每题3分，共12题，满分36分） 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在国际单位制中，长度的基本单位是米（m），1m最早是由地球球面上经过巴黎经线南北两极点距离的两千万分之一定出的．“”用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 3．若，则的取值有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若则（   ） A． B． C． D． 5．已知式子的结果中不含项，则a的值为（   ） A．0 B． C． D．2 6．李明同学在计算时，把5写成，发现可以连续运用平方差公式计算：，则计算的结果是（   ） A． B． C． D． 7．若是完全平方式，则m的值为（ ） A． B．5 C． D．或5 8．已知，大正方形的边长为，小正方形的边长为，利用如图所示的几何图形可以证明（　　） A． B． C． D． 9．已知，则的值是（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 10．定义：如果（，为正数），那么我们把叫做的D数，记作．例如：因为，所以；因为，所以，D数有如下运算性质： ，其中．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 11．已知均为常数，均为非零常数，若有两个整式，，下列结论中，正确个数为（    ） ①当为关于的三次三项式时，则； ②当多项式乘积不含时，则； ③； ④当能被整除时，； ⑤若或时，无论和取何值，值总相等，则． A．4 B．3 C．2 D．1 12．“杨辉三角”(如图)，是中国古代数学无比睿智的成就之一，见“杨辉三角”可以解释 (n为非负整数)计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数…，小明经过仔细观察，还发现 (n为非负整数)计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ③当时，的计算结果为； ④当，除以2025，余数为2023． 其中，正确的是(　　) A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题（每题3分，共4题，满分12分） 13．“三角”表示，“方框”表示，则________． 14．若，则的值为_________． 15．将多项式加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则添加单项式的方法共有__________种． 16．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．当时，则图3中阴影部分的面积______． 三、解答题（共8题，17-20每题8分，21-24每题10分，满分72分） 17．计算： (1)； (2)． 18．计算： (1)． (2)． 19．运用乘法公式简便计算： (1)； (2)． 20．以下是一道例题的部分解答过程，其中A，B是两个关于x，y的二项式： 化简：（注意：运算顺序从左到右，逐个去掉括号）． (1)多项式A为________，多项式B为________，计算结果为________； (2)先化简，再求值：，其中，． 21．我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为（，均为实数）的形式，其中叫做它的实部，叫做它的虚部．复数的加、减、乘、除的运算与我们学过的整式加、减、乘、除的运算类似，例如计算：．根据上述材料，解决下列问题： (1)填空：______，______； (2)计算；； (3)将化为（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含的形式）． (4)已知，求复数． 22．【知识生成】 （1）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如：从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形如图，然后将剩余部分拼成一个长方形如图．图中剩余部分的面积为______，图的面积为______，请写出这个代数恒等式； 【知识应用】 （2）应用（1）中的公式，完成下面任务：若是不为的有理数，已知，，比较、大小； 【知识迁移】 （3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图表示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，通过计算写出一个代数恒等式．    23．配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完全数”．例如，10是“完全数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“完全数”． 解决问题： （1）请你再写一个小于10的“完全数”______________；并判断40是否为“完全数”_______________； （2）若二次三项式（是整数）是“完全数”，可配方成（，为常数），则的值为_______________； 探究问题： （3）已知“完全数”（，是整数）的值为0，则的值为______________； （4）已知（，是整数，是常数），要使为“完全数”，试求出符合条件的值． 拓展结论：已知实数，满足，求的最小值是________________． 24．数学活动：数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． 【知识生成】（1）如图1是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和；图2是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和，请分别写出阴影部分的面积所揭示的乘法公式： 图1：___________；图2：___________ 【拓展探究】（2）用4个全等的长和宽分别为的长方形拼摆成一个如图3所示的正方形，请你直接写出阴影部分的面积所揭示的这三个代数式，之间的等量关系． 【解决问题】（3）如图4，已知长方形周长为，分别以和为边作正方形和正方形，已知这两个正方形的面积和为，求长方形的面积． 【知识迁移】（4）若，则___________． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C B D D D A B B 题号 11 12 答案 A B 1．D 【详解】解：A：，∴ A错误； B：，∴ B错误； C：，∴ C错误； D：，∴ D正确． 2．C 【分析】本题主要考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 先化简分式，再用科学记数法表示即可． 【详解】解：， 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了含参数的零指数幂的知识点，掌握其知识点时解题关键； 根据指数为零或底数为，分类讨论即可求解. 【详解】解：当时，即，原式； 当 时，即，原式； 当时，即，原式； 的取值有3个； 故选：C. 4．B 【分析】根据乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则进行计算． 【详解】∵ ， ， ， ， 又∵ ， ∴ ． 5．D 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，掌握知识点是解题的关键． 先将式子展开，再根据结果中不含项，令项的系数为零求解即可． 【详解】∵ ， ∵式子的结果中不含项， ∴， ∴． 故选：D． 6．D 【分析】本题考查了平方差公式的应用，理解题意，熟练运用平方差公式是解题的关键．在原式前乘上，再连续运用平方差公式即可得解． 【详解】解： 故选：D． 7．D 【分析】本题考查了完全平方式，解一元一次方程，熟练掌握完全平方式的特点是解题关键． 根据完全平方式的定义，将表达式与展开式比较系数，建立方程求解m即可． 【详解】解：设完全平方式为． ∵ 给定多项式为， ∴． 由， 得； 由， 得． 则． 又∵， ∴或， 解得 或 ． ∴ m的值为或5， 故选：D． 8．A 【分析】此题考查平方差公式几何意义，解题关键在于结合面积的计算方法进行验证． 利用四个梯形的面积和等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即可解答． 【详解】解：根据图形大正方形的面积为， 小正方形的面积为， 每个梯形的高为， 利用四个梯形的面积和等于大正方形的面积减去小正方形的面积， 可得式子， 所以利用如图所示的几何图形可以证明， 故选：A． 9．B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，由已知方程变形得到，再利用完全平方公式求解即可，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 10．B 【分析】本题主要考查了幂的运算性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．利用新定义的规定对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：， ． 选项的结论正确，不符合题意； 若 ， ， ， ， 选项的结论正确，不符合题意； ， 选项的结论不正确，符合题意； ， ， 则 ， 选项的结论正确，不符合题意． 故选：B 11．A 【分析】本题考查了整式的加减运算与乘法运算，求出，可得当时，为关于的三次三项式，此时，故说法①错误；求出，再由多项式乘积不含，可得，解得：，故说法②错误；当时，可得，当时，可得，故③说法正确；设，可得，令得到，，故④说法正确；根据当或时，无论和取何值，A值总相等，可得且，故⑤说法正确，即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，为关于的三次三项式，此时，故说法①正确； ∵多项式乘积不含， ∴，解得：，故说法②错误； ∵， 当时，， 即， 当时，， 即， ∴，故③说法正确； ∵A能被整除， ∴可设， ∵ ∴， 令得：，即 ∴，故④说法正确； 当时，， 当时，， ∵当或时，无论和取何值，A值总相等， ∴且， 解得：，故⑤说法正确； 正确的有：①③④⑤，共4个． 故选：A． 12．B 【分析】本题考查多项式乘多项式中的规律型问题，幂的乘方．根据“杨辉三角”得出展开式中各项系数的特点，逐项判断即可求解． 【详解】解：由题意知，的计算结果中项的系数为“杨辉三角”第2026行第2个数与的积，即， 故结论①正确； 的计算结果中各项系数之和为，因此的计算结果中各项系数的绝对值之和为， 故结论②正确； 当时，， 故结论③正确； 当，，展开式中最后一项为，其余各项的因数均包括2025，因此除以2025，余数为，即2024．故④结论错误． 综上所述，①②③结论正确． 13． 【分析】考查新定义和单项式与单项式相乘相结合，按照法则计算即可求解． 【详解】解：原式， 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握相关知识是解题的关键．由已知条件，推导出，再将所求和的指数进行分组，前项可分为组，每组和为，最后剩余项的值为，因此总和为． 【详解】解：因为， 两边同时乘以得， 所以，即， 所求和为，共项， 由于，因此对于任意整数，， 组余项，可将前项可分为组，每组5个连续项，其和为， 故前项之和为， 剩余项为，由于，， 故整个和为， 故答案为：． 15．5 【分析】本题考查了完全平方公式，考虑添加单项式后多项式成为完全平方的几种形式：二项式的平方或单项式的平方． 【详解】解：添加单项式后，能使多项式成为完全平方的情况如下： 1．添加，得到． 2．添加，得到． 3．添加，得到． 4．添加，得到． 5．添加，得到．故共有5种方法， 故答案为：5． 16．30 【分析】由正方形和长方形的面积公式得出 和，再由可以得出，再用割补法求出，再整体代入求值即可； 【详解】解：由题意得， ，， ， ， ， ． 17．(1)1 (2) 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，整式的混合运算． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，绝对值，再计算减法即可； （2）先计算积的乘方，单项式的乘法，同底数幂的除法，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．(1) (2) 【分析】本题考查平方差公式的运用，注意数字特点，灵活运算； （1）利用平方差公式展开； （2）把改为，利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．(1) (2)化简结果为，求值结果为． 【分析】本题考查了多项式的乘法运算、合并同类项、化简求值以及代数式的对应推理．解题的关键是通过等式两边的项对应关系确定未知多项式，再运用整式的运算法则准确化简和计算． （1）对等式右边进行适当变形，对比等式两边结构，求出，并将多项式进行合并得到计算结果． （2）代入的表达式，展开多项式乘法，并合并同类项化简式子；代入x、y的值计算结果． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴计算结果为． 故答案为：；；． （2）解：∵， ∴， 将代入上式得：． 故化简结果为，求值结果为． 21．(1)； (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式运算的应用，平方差公式的运用，完全平方公式的运用，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题意化简即可； （2）利用完全平方公式运算即可； （3）利用平方差公式和分式的性质运算求解即可； （4）根据分式方程的运算法则运算求解即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：；1； （2）解：； （3）； （4）， 解：， ， ∴． 22．（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）分别用代数式表示图，图的面积即可； （2）利用（1）中得到的等式计算的值即可； （3）分别用代数式表示图中左图和右图的体积即可． 【详解】解：（1）图中剩余部分的面积为， 图的面积为， 所以代数恒等式为； （2），， 因为是不为的有理数， 所以，即，所以； （3）图3中左图的体积为， 图3中右图是长为，宽为，高为的长方体， 因此体积为，所以有． 【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提，利用代数式表示图形的面积和体积是正确解答的关键． 23．解决问题：（1）；是“完全数”（2）4或；探究问题：（3）；（4）；拓展结论：1 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式的形式是解题关键． 解决问题（1）根据题目信息即可求解； （2）根据即可求解； 探究问题（3）根据即可求解； （4）根据，即可求解； 拓展结论：根据题意可得即可求解； 【详解】解：解决问题：（1）4是“完全数”，理由：因为； 是“完全数”，理由：因为； 故答案为：；是“完全数”． （2）， ，或， 或， 故答案为：4或； 探究问题：（3）， ，， ； 故答案为：． （4）， 由题意得：， ； 拓展结论：， ； 当时，最小，最小值为1． 故答案为：1． 24．（1），（2），验证见详解（3）（4） 【分析】本题主要考查了完全平方公式和图形相结合，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，并掌握数形结合的数学思想． （1）结合图形的面积即可得出乘法公式； （2）结合图形的面积即可得出，之间的等量关系，然后利用完全平方公式进行验证即可； （3）设大正方形的边长为，小正方形的边长为，得出，，依据进行求解即可； （4）先得出，再利用完全平方公式进行整理计算即可． 【详解】（1）解：根据图形1得，， 根据图形2得，； 故答案为：，； （2）解：根据图形3得，，验证如下： ， ， ∴； 故答案为：． （3）解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据题意得， ，， ∴， ∴， ∴长方形的面积为； （4）解：∵，， ∴ ． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $