1.2 整式的乘法（题型专练）（基础达标6大题型+能力提升5大题型+拓展培优）数学新教材北师大版七年级下册

1.2 整式的乘法 题型一    单项式与单项式相乘的法则 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式的乘法运算，需先计算系数相乘，再计算同底数幂相乘． 【详解】解： ， 故选：C． 2.（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方和单项式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键； 原式先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查单项式乘单项式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘单项式法则运算即可； （2）（3）先计算幂的乘方与积的乘方，再计算单项式乘单项式，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 题型二    单项式与单项式相乘的实际应用 1．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等，七张桌面分开可组合成不同的图形．桌面的图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为，七张桌子总面积为，则与的关系可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是单项式乘以单项式的应用，设每张桌面的宽为，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是，可得大长方形的长与宽，结合面积公式可得答案. 【详解】解：由题意可得，设每张桌面的宽为，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是， ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·江苏常州·月考）如图，边长分别为a和b的两个正方形拼接在一起，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】单项式乘多项式的应用 【分析】本题考查了整式的乘法与图形面积，熟练掌握计算公式是解题的关键；图中阴影部分的面积等于一个梯形的面积减去两个直角三角形的面积，列式计算即可得答案． 【详解】解：去掉，补上，则剩余部分为一个直角梯形， 图中阴影部分的面积为： ∵， ∴图中阴影部分的面积为：， 故答案为： 3. 若，则求的值． 【答案】． 【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 题型三    单项式与多项式相乘的法则 1．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知，，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知单项式乘多项式的运算法则． 根据单项式乘多项式的运算法则即可求解． 【详解】∵， ∴ 故填：． 2．已知．则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了单项式乘多项式，已知代数式的值求式子的值．将所求表达式展开并化简得，利用已知条件进行代入计算。 【详解】解：∵， 则 ， 故答案为：1 3．（25-26八年级上·四川凉山·期末）化简： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可 （3）先计算积的乘方，再根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型四    单项式与多项式相乘的实际应用 1. 如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建一条宽为的小路（阴影部分），这条小路的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的应用，根据长方形的面积公式列式计算即可，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由图可得，这条小路的面积是， 故选：． 2. 如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，，且，则阴影部分面积为 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，根据图形进行面积计算是解题的关键．观察图形，阴影部分面积可以通过大正方形面积减去小正方形面积，再减去两个直角三角形的面积计算得出． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ∵， ∴上式， 故答案为：． 3. 8月19日，中科宇航力箭一号遥十运载火箭·中国妇女号在东风商业航天创新试验区发射，7颗卫星顺利送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．某校的一个数学兴趣小组看到新闻后，产生浓厚的兴趣，参加了学校科技节比赛，制作了如图1所示的航天火箭模型．为了向全校同学宣传该火箭模型，该小组用板制作了如图2所示的宣传版画，它是由一个三角形、一个梯形和一个长方形组成的，板（阴影部分）的尺寸如图2所示． (1)用含，的代数式表示图2的板模型的总面积（结果需化简）． (2)若，，求板模型的总面积． 【答案】(1) (2)87 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，单项式乘以多项式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据图形列出代数式即可； （）把，代入求解即可． 【详解】（1）解：板模型的总面积为： ； （2）解：当，时， 板的总面积为： ． 题型五    多项式与多项式相乘的法则 1．若，则代数式的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值． 根据多项式乘以多项式的计算法则得到，据此得到，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25七年级下·广东佛山·月考）若，则m，n的值分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题主要考查了整式的乘法， 根据多项式乘以多项式计算，再根据对应系数相等得出答案. 【详解】解：， ∴. 故选：A. 3. （25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先根据单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先根据单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型六    多项式与多项式相乘的实际应用 1．（23-24七年级下·四川广元·期末）将11个长为，宽为的小长方形（如图1）不重叠无空隙地摆放在大长方形中（如图2），当的长度变化时，若空余部分的面积与的差不改变，则之间的数量关系为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】此题考查了整式的加减，解题的关键是熟练掌握运算法则． 用含、、的式子表示出，根据的值总保持不变，即与的值无关，整理后，让的系数为0即可． 【详解】解：∵ ， 整理，得：， ∵若长度不变，（即）的长度变化，而的值总保持不变， ∴ ， 解得：． 故选：B． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，公园内有一块长方形的草坪，它的长为，宽为．现计划扩建，将这块草坪的长和宽都增加．扩建后，草坪的面积将增加多少平方米？ 【答案】平方米 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的应用、整式加减的应用，熟练掌握运算法则是解题关键．先求出扩建后的面积为，原来的面积为，再利用扩建后的面积减去原来的面积即可得． 【详解】解：由题意得： ． 答：扩建后，草坪的面积将增加平方米． 3． （24-25七年级下·浙江绍兴·期中）将两张边长分别为和（）的正方形纸片按图①，图②所示的方式放置在长方形内，（图①，图②中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①，图②中阴影部分的面积为分别为，当时，请你用含的代数式表示的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查列代数式及整式混合运算，设，则，数形结合，分别表示出，进而代入，再利用整式混合运算法则化简即可得到答案．数形结合分别表示出，并灵活运用整式混合运算化简求值是解决问题的关键． 【详解】解：设，则， ， ， ， 故答案为：． 题型一    整式的乘法混合计算 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先利用积的乘方、幂的乘方、单项式乘单项式的运算法则求解，再合并同类项即可求解； （2）先利用多项式乘多项式、多项式除以单项式的运算法则求解，再合并同类项求解即可． 【详解】（1）（1）解： ； （2）解： ． 2．计算的结果是（  ） A．2023 B．2022 C．2021 D．2020 【答案】A 【分析】设，，则，，换元后化简求值即可． 【详解】解：设，，则，， ． 故选：A． 3．（24-25七年级下·重庆·期中）若，则 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了整体思想，整式混合运算，整体代入到代数式中求值是解题的关键．根据条件得：，用整式乘法运算法则，求出，然后变形求出结果即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ． 故答案为：． 4．对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答．根据定义列出式子，然后根据整式的运算规则进行计算即可． 【详解】解：由题意可知， 故选：C． 题型二    整式的乘法中化简求值问题 1．若，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键．根据单项式乘单项式的运算法则得到，结合得到，，求出的值，即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ，， ． 故答案为：11． 2．先化简，再求值：，其中． 【答案】，10 【分析】本题考查了整式的乘法与化简求值，先根据单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项，最后将字母的值代入，即可求解． 【详解】解：， 当时，原式． 3．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解； ， 当时，原式． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算、代数式求值，熟练掌握幂的乘方运算法则是解答的关键． 先根据幂的乘方的逆运算法则得到，再代值求解即可． 【详解】解：原式 ． ∵，， ∴原式． 5. 先化简，再求值 ，已知，． 【答案】，37． 【分析】先根据整式混合运算法则进行化简，最后把，代入中即可得． 【详解】解：原式= =， 把，代入得：=． 题型三    整式的乘法中规律性问题 1．已知，计算：，，． 观察以上各式并猜想，根据你的猜想，计算： ．（为正整数）． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，解题的关键是根据题目找出规律表示出一般形式．先观察给定的等式规律，猜想出一般形式，再令，求得的值，再将所求式子变形为，进而得解． 【详解】解：由给定的等式可知，对于任意正整数 ，有 ． 令，则有 ，即， ， ． 故答案为：． 2. 观察下列各式及其展开式 这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．请你猜想的展开式中含项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了杨辉三角，熟练掌握杨辉三角的系数特征并结合二项式的形式计算指定项的系数是解题的关键． 先根据杨辉三角确定的展开式系数，再结合的形式，找到含项的系数计算方法． 【详解】解：如图， 由杨辉三角可知，的展开式系数为：1，8，28，56，70，56，28，8，1， ∴， 对于，令，，其展开式中含的项对应含项， 该项为： ∴的展开式中含项的系数是 ， 故答案为： 3. （2025·山东青岛·二模）如图，是杨辉辑录于《详解九章算法》一书中的三角形数表．这个三角形给出了（，2，3，4，5，6）的展开式按字母a降幂排列后的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数．下列结论中正确的序号是 ． ①； ②当，时，代数式的值是； ③当的值是0时，一定是，； ④的展开式中的各项系数之和为． 【答案】①② 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题、代数式的求值，理解题意找到展开式的系数规律是解题的关键．观察三角形中第四行的五个数，结合题意可判断①；由题意得，，代入的值可判断②；观察三角形中第五行的六个数，结合题意得到，可判断③；列举，2，3，4……时的展开式中的各项系数之和，找出规律可判断④，即可得出答案． 【详解】解：观察三角形中第四行的五个数为1，4，6，4，1， ，故①正确； 由题意得，， 当，时，，故②正确； 观察三角形中第五行的六个数为1，5，10，10，5，1， ， 当的值是0时，则， ， 和互为相反数，不一定是，，故③错误； 的展开式中的各项系数之和为， 的展开式中的各项系数之和为， 的展开式中的各项系数之和为， 的展开式中的各项系数之和为， …… 依此类推，的展开式中的各项系数之和为，故④错误； 综上所述，正确的序号是①②． 故答案为：①②． 4. （24-25七年级下·重庆·期中）一列整式依次为：，另一列整式依次为： ．按照上述规律，则 （用含的代数式表示）；若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先研究已有过程，则，总结规律得，且为正整数，再分别表示，然后根据列式计算，即可作答． 【详解】解：∵且， ∴ ∴， ∴， …… 以此类推 得，且为正整数， ∴， ∴ ， ∵， ∴ 解得， 故答案为： ． 题型四    整式的乘法中新定义问题 1. 我们定义一种新运算“※”：对于任意实数a，b，都有，例如：．已知关于x的运算，则x的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了新运算的定义及一元一次方程求解，单项式乘以多项式，根据新运算的定义，将方程转化为关于x的一元一次方程求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 2. （25-26八年级上·全国·课后作业）定义：若，则称与是关于1的单位数． (1)3与______是关于1的单位数，与______（填一个含的式子）是关于1的单位数； (2)若，，判断与是否是关于1的单位数，并说明理由． 【答案】(1)4或2；或 (2)A与B是关于1的单位数．理由见解析 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）求出的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵或， ∴3与4或2是关于1的单位数； ∵，， ∴与或是关于1的单位数， 故答案为：4或2；或； （2）解： ； 故与是关于1的单位数． 3. （25-26八年级上·北京·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为和______． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (3)小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“系多项式”．若关于x的多项式是“系多项式”，则______． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了整式乘法的应用； （1）根据题意，令，解方程得出的值，即可得出答案； （2）根据题意，把代入多项式，得，然后解关于的方程即可得出的值，再把的值代入，进而得出答案； （3）根据题意，由“系多项式”定义，进而得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，令， 或， 解得：或， 故答案为：3 ； （2）解：根据题意，把代入，得， 解得：， 把代入，得， 令， 解得：， ∴多项式的另一个零点是； （3）解：， ∴的两个零点分别是和7， 根据“系多项式”的定义，有， ， 故答案为：． 4. （25-26八年级上·河北邯郸·月考）定义：一个多项式乘一个多项式，运算结果化简后得到多项式，若的项数比的项数多1，则称是的“友好多项式”；若的项数与的项数相同，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断是否为的“友好多项式”，并说明理由． (2)若，均是关于的多项式，且是的“特别友好多项式”，求的值． 【答案】(1)是的“友好多项式”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和新定义； （1）先根据题意，利用多项式乘多项式法则，求出C，然后根据已知条件中的新定义进行判断即可； （2）先计算，再根据是的“特别友好多项式”，得到的结果只有两项，据此求解即可． 【详解】（1）解：是的“友好多项式” 理由如下： ，， ， ∴满足的项数比的项数多1， 是的“友好多项式”； （2） ， 是的“特别友好多项式”， 且， 解得． 题型五    整式的乘法中错解复原问题 1．已知是多项式，在计算时，小海同学把错看成了，结果得x，那么的正确结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，整式的乘除，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题目的已知可知，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 2．嘉淇计算一道整式乘法的题：，由于嘉淇抄错了第一个多项式中前面的符号，把“+”写成“”，得到的结果为． （1） ； （2）这道整式乘法的正确结果是 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了多项式的乘法．根据嘉淇抄错符号后计算的多项式展开，比较所得结果与给定错误结果的系数，可求出的值，再代入原式计算正确结果． 【详解】解：（1）嘉淇抄错符号后计算的是， 展开得： 给定错误结果为，比较常数项： 解得： 验证一次项系数：当时，，与错误结果一次项系数一致， 故． （2）正确原式为，代入： 故答案为（1）5；（2）． 3. 小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）由题意得，，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于，的方程，解方程即可； （2）先利用单项式乘单项式法则进行化简，然后把（1）中求出的，的值代入即可得到答案；或将，的值代入原式中计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 即， 所以，， 解得，． （2）解：原式 ． 由（1）知，，， 所以原式． 一题多解法（2）由（1）知，，， 所以原式 ． 1．已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，单项式乘单项式，先计算单项式得，再根据同类项的定义求出、的值，再代值计算即可． 【详解】解：， ∵单项式与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 2．已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项，准确熟练地进行计算是解题的关键． 计算并合并同类项，由于表达式与无关，令的系数为零求解的值即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ∴ ∵的值与无关 ∴ ∴ 故选：B． 3. 探究应用 （1）计算：______． （2）______． （3）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式______．（请用含a、b的字母表示）． （4）直接用公式计算： ①______． ②______． 【答案】（1） （2） （3） （4）① ；② ； 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、探索规律题等知识点，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． （1）两式利用多项式乘以多项式法则计算即可解答； （2）两式利用多项式乘以多项式法则计算即可解答； （3）根据（1）（2）归纳总结得到一般性规律即可； （4）利用（3）得出的公式计算即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． （3）由（1）（2）可归纳出：． （4）① ； ②中间应补上：， ； ． 4. 已知的展开式中不含的一次项，且常数项是，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，已知多项式乘积不含某项求字母的值，先将原式进行化简，然后将与的值代入即可求出答案． 【详解】解： ∵的展开式中不含的一次项，且常数项是 ∴ 解得： 故． 5. 已知时，关于x的多项式能被整除，求m的值． 【答案】 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，根据题意设，然后展开后比较求解即可． 【详解】解：∵时，关于x的多项式能被整除， ∴设 ∴ ∴， ∴， ∴． 6. 阅读材料． 计算下列两个两位数（十位上的数相同，个位上的数的和是10）相乘的运算： ，，，； 小明与田田观察上面的运算，发现了运算规律：十位上的数相同，个位上的数的和为10的两个两位数相乘，十位上的数乘以它与1的和作为结果的千位和百位，两个个位上的数相乘作为结果的十位和个位； 解决问题： (1)小明邀请田田利用上述速算方法，计算的积为______； (2)尝试用含有字母的式子表示上述规律：如果设一个两位数十位上的数是（，且为整数），个位上的数是（，且为整数），那么这个两位数可以表示为，则另一个两位数可以表示为______，上述规律可以表示为______（用含的式子表示）； (3)尝试对这个规律进行证明． 【答案】(1) (2)； (3)见解析 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，列代数式，多项式乘以多项式的计算，单项式乘以多项式的计算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意可得另一个两位数的十位数字为，个位数字为，则可表示出另一个两位数，再根据题意列式求解即可； （3）根据（2）所求，把等式左右两边分别去括号和合并同类项即可证明结论． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：由题意得，另一个两位数的十位数字为，个位数字为， ∴另一个两位数为， ∴； （3）证明： ， ， ∴． 7. （24-25七年级下·甘肃兰州·期中）阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式（是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式， 因为， 所以多项式是一组平衡多项式，其平衡因子为． (1)小明发现多项式是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，要根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子； (2)判断多项式是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由． 【答案】(1)3 (2)是，3 【知识点】型多项式乘法 【分析】本题主要考查了新定义的理解，多项式的运算， （1）根据平衡多项式定义，把两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的求差计算即可求出平衡因子； （2）根据运算法则计算，并求出平衡因子． 【详解】（1）根据题意，得 ， 所以平衡因子是； （2）是平衡多项式，理由如下： 根据题意，得 ， 所以是平衡多项式，平衡因子是． 8. 【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式，∵代数式的值与x的取值无关，∴，解． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为 ． （2）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查阅读理解，整式的加减运算，单项式乘多项式的应用，涉及代数式的值与x的取值无关问题解法，读懂题意，理解方法是解决问题的关键． （1）由材料中的解法直接求解即可得到答案； （2）先计算，再由材料中的解法直接求解即可得到答案； （3）设，由图可知，，可得：，根据当的长变化时，的值始终保持不变，可得：，进而可得结论． 【详解】解：（1）， ∵关于的代数式的值与x的取值无关， ∴， 解得：， （2）∵ ， ， ∴， ∵的值与x无关， ∴， 解得：； （3）设，由图可知，， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴取值与无关， ∴， ∴． 9. 一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为0，则将的两个数位上的数字对调得到一个新数，把放在的后面组成第一个四位数，把放在的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数的差再除以99所得的商记为，例如：时，．对于两位正整数与，其中，(，且为整数)．若能被5整除，则的值为 ，在此条件下，若，其中为整数，则此与乘积的最大值为 ． 【答案】 5 9118 【分析】本题考查了整式的乘法运算，二元一次方程的整数解，理解整除的意义是解题的关键．根据题意列式表示，并根据整除的意义求解． 【详解】解：， ， 能被5整除，， ； ， ∴同理可得：， ， ， ， ， ， 为整数， 或， ∴是奇数，是偶数， ∴是奇数， 又，，要使与乘积的最大值，s与t都要取最大值， ∴的最大值是9， 将代入或中得：或， 解得：或5或2或7， ∴，时，当， ，， 的值为：94或83或72或61， 的最大值为：， 故答案为：5，9118． 10．（1）一张长方形硬纸片，长为，宽为，在它的四个角上分别剪去一个边长为的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，请你求出折成无盖盒子所用硬纸片的面积； （2）如图，一块长方形地用来建造住宅、广场和商厦，求这块地的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式． （1）利用纸片的面积减去剪去的4个小正方形的面积就是盒子的表面积； （2）根据题目中的图形，可得这块长方形地块的长为，宽为，利用面积公式计算即可． 【详解】解：（1）纸片的面积是：， 小正方形的面积是：， 则折成无盖盒子所用硬纸片的面积是． （2）长方形地的长为，宽为， 这块地的面积为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.2整式的乘法 题型一 单项式与单项式相乘的法则 题型二 单项式与单项式相乘的实际应用 题型三 单项式与多项式相乘的法测 A基础达标题 题型四 单项式与多项式相乘的实际应用 题型五 多项式与多项式相乘的法则 题型六多项式与多项式相乘的实际应用 题型一 整式的乘法混合计算 整式的乘法 题型二 整式的乘法中化简求值问题 B能力提升题 题型三 整式的乘法中规律性问题 题型四 整式的乘法中新定义问题 题型五整式的乘法中错解复原问题 C拓展培优题 基础达标题 题型一 单项式与单项式相乘的法则 1.C 2.3x5y4 1)解：原式=[-4×(-1)×](x2x)(yy2y3) =2x5y6, (2)解：原式=[(-4)×(-1)](x·x)·(y3y)+9x2y4 =4x2y4+9x2y4 =13x2y4. (3)解：原式=(-3abc)·a4c6.(-5a2b) =[(-3)×(-5)]·(aa4.a2)·(bb)·（cc6) 1/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 =15a7b2c7. 题型二单项式与单项式相乘的实际应用 1.S=20x2 2. 3.解：：(am叶16(a2m162）=ab30=a569, m=胃，n=2, ∴m+n=胃+2=号. 题型三单项式与多项式相乘的法则 1. 2a26-2ab2 2.1 3. (1)解：(xxy)(-12y) =x·(-12y)-xy:(-12y) =-4xy+9xy2: (2)解：(-2ab)(3a2-2ab-4b2) =(-2ab):3a2-(-2ab)·2ab-(-2ab)4b2 =-6a3b+4a262+8ab3; (3)解：（-xy2)(3xy-4y2+1) =x2y4.(3xy-4xy2+1) =x2y4.3xy-x2y4.4xy2+x2y4.1 =3x3y5-x3y6+ix2y4. 题型四单项式与多项式相乘的实际应用 1.A 2.5 3. (1)解：KT板模型的总面积为： ba+(b+3b)×b+支(b+6a-2b)×a =ab+3b2-ab+3a2 2/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 =3a2+3b2: (2)解：当a=2,b=5时， KT板的总面积为： 3a2+3b2 =3×22+3×52 =12+75 =87 题型五 多项式与多项式相乘的法则 1.A 2.A 3. (1)解：（a-1)(a-2)-a(a-5) =a2-a-2a+2-a2+5a =2a+2: (2)解：3x(x+2)-(x+1)(3x-4) =3x2+6x-(3x2+3x-4x-4) =3x2+6x-382-3x+4X+4 =7x+4 题型六多项式与多项式相乘的实际应用 1.B 2. 解：由题意得：(a+10)(b+10)-ab =ab+10a+10b+100-ab =(10a+10b+10)m2. 答：扩建后，草坪的面积将增加(10a+10b+100)平方米. 3.-24b B 能力提升题 3/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型一 整式的乘法混合计算 1. 1D解：x2y网+(-为°.(-2y =x8y12+x8.(-8y12 =x8y12-8x8y12 =-7x8y12; (2)解：(a+3a-2)-(a3+a2)÷a =a2-2a+3a-6-(a2+a =a2-2a+3a-6-a2-a =-6: 2.A 3.0 4.C 题型二整式的乘法中化简求值问题 1.11 2.解：x2(3-x)+x(x2-2x)+1=3x2-x3+x3-2x2+1=x2+1, 当x=3时，原式=x2+1=32+1=10 3.解；(a+b)(-2a+b)-b(b-2a) =-2a2-2ab+ab+b2-b2+2ab =-2a2+ab, 当a=1,b=2时，原式=-2×12+1×2=-2+2=0 4.解：原式=a2m.b2m-a2m.b4如 =(a)2.b2m.(a0)2.(b2m)2 an=6,b2”=8' ∴原式=62×8-62×82=-20161 5.解：原式6m2+5m2-10mn+5m-12m2-10mn-3m =-m2-20mn+2m 4/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 把m=-1:n=2代入-m2-20mn+2m得：-（-1)2-20×(-1)×2+2×(-1)37 题型三 整式的乘法中规律性问题 1.2+1-2 2.112 3.①② 4.a2+12a+36,114 题型四整式的乘法中新定义问题 1.B 2. (1)解：3-2=1或4-3=1 ∴.3与4或2是关于1的单位数： x-3-1=x-4,x-3十1=X-2: ∴x-3与x-4或x-2是关于1的单位数， 故答案为：4或2；x-4或x-2: (2)解：A-B=3x2(x+2)-(2x-1)-2x(3x2+3x-1) =3x3+6x2-2x+1-3x3-6x2+2x =1: 故A与B是关于1的单位数。 3 (1)解：根据题意，令(3x+2x-3)=0' :3x十2=0或x-3=0, 解得：x=-或x=3, 故答案为：3； (2)解：根据题意，把x=2代入B,得B=4+2(a-1)-3a=0' 解得：a=2, 把a=2代入B,得B=x2+x-6=(x-2x+3, 令x+3=0, 解得：x=-3, 多项式B的另一个零点是-3； (3)解：：M=(2x-b)(x-7) 5/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴M的两个零点分别是也和7， 根3系多项式的定义，有号-3 b=-2, 故答案为：-2 4. (1)解：B是A的友好多项式” 理由如下： :A=X+3,B=2x-1 .C=(x+3)(2x-1) =2x2-x+6x-3 =2x2+5x-3, .满足C的项数比A的项数多1， :B是A的“友好多项式”； (2)(x-3)(x2+ax+9) =x3+ax2+9x-3x2-3ax-27 =x3+(a-3)x2+(9-3a)x-27, :B是A的特别友好多项式”， ÷a-3=0且9-3a=0, 解得a=3, 题型五整式的乘法中错解复原问题 1.2x2+4x-6 2.(1)5;(2)10x2+17x-20 3. (1)解：由题意得， 7xm6y3n.（-2x2t1y2 =7×(-2)x6.x2m+)(y3n.y2m =-14xm6+2t1y3+2m =-14x3r-5y3+n, 6/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即-14x3m5y+n=-14x10y4, 所以3m-5=10,3+n=4, 解得m=5,n=1 (2)解：原式=7xm6y3n.(-2xn+1y2m) =7×(-2(xm6.x3m+1(y3n.y2例 =-14x4㎡5y3+n. 由(1)知，m=5,n=1, 所以原式=-14x15y2. 题多解法(2)由(1)知，m=5,n=1, 所以原式=7x1y4.(-2x16y2 =-14x15y2. 拓展培优题 1.C 2.B 3.解：(1)(a-2)(a2+2a+4) =a3+2a2+4a-2a2-4a-8 =a3-8 (2)(2x-y)(4x2+2xy+y2) =8x3+4x2y+2xy2-4x2y-2xy2-y3 =8x3-y3. (3)由(1)(2)可归纳出：(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3, (4)①(3x-2y)(9x2+6xy+4y2) =(3x)3.(2y)3 =27x3-8y3: ②中间应补上：6m: 7/11 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2m-3)(4m2+6m+9): =(2m)3-33 =8m3-27: 4.解：(x2+mx-3)(2x+n) =2x3+nx2+2mx2+mnx-6x-3n =2x3+(n+2m)x2+(mn-6)x-3n :(x2+mx-3)(2x+n)的展开式中不含x的一次项，且常数项是-6 .mn-6=0 (-3n=-6 解得：∫m=3 (n=2 故m2+n2=9+4=13, 5.解：：x≠-4时，关于x的多项式2x2+5x+m能被x+4整除， .设2x2+5x+m=(x+4)(2x+a) …2x2+5x+m=2x2+(a+8)x+4a …a+8=5,m=4a …a=-3, .m=4a=4×(-3)=-12. 6. (1)解：由题意得，62×68 =100×(6×7)+16 =100×42+16 =4200+16 =4216; (2)解：由题意得，另一个两位数的十位数字为m,个位数字为10-n, ∴.另一个两位数为10m+10-n, .(10m+n)(10m+10-n)=100m(m+1)+n(10-n): (3)证明：(10m+n)(10m+10-n) 8/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 =100m2+10mn+100m+10n-10mn-n2 =100m2+100m+10n-n2, 100m(m+1)+n(10-n) =100m2+100m+10n-n2, .(10m+n)(10m+10-n)=100m(m+1)+n(10-n) 7. (1)根据题意，得(x+3)(x+7)-(x+4)(x+6) =x2+10x+21-(x2+10x+24 =-3, 所以平衡因子是|3=3： (2)是平衡多项式，理由如下： 根据题意，得(x-1x-5)-(x-2x-4 =x2-6x+5-(x2-6x+8 =-3, 所以是平衡多项式，平衡因子是|31=3· 8.解：(1)mx-6x+5=(m-6)x+5, :关于x的代数式mx-6x+5的值与x的取值无关， ∴…m-6=0, 解得：m=6, (2)A=(2x+1)(x-2) =2x2-4x+x-2 =2x2-3x-2, 2B=2x(m-X)=2x-2x2, .A+2B=2x2-3x-2+2mx-2x2=(2m-3)x-2, ,A十2B的值与x无关， …2m-3=0, 9/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得：m= (3)设AB=x,由图可知S1=a(x-3b),S2=2b(x-2a), S1-S2 =a(x-3b)-2b(x-2a) ax-3ab-2bx+4ab =(a-2b)x+ab, :当AB的长变化时，S1-S2的值始终保持不变， S1-S2取值与x无关， .a-2b=0, .a=2b 9.解：：s=10a十b, aF(s)=L00at100b+10b+2000b+10at10at也=9(a-b)' 99 :F(s)能被5整除，1≤b<a≤9， ÷a-b=5; :t=10x+y: ∴同理可得：F(t)=9(x-y), F(s)+9ky=kF(t) 9(a-b)+9ky=k[9(x-y)]' :a-b=5, 9×5+9ky=k:[9(x-y)], 4k=高 :k为整数， “x-2y=士1或士5， ·x-2y是奇数，2y是偶数， 10/11 1.2 整式的乘法 题型一    单项式与单项式相乘的法则 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2.（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）计算： ． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 题型二    单项式与单项式相乘的实际应用 1．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等，七张桌面分开可组合成不同的图形．桌面的图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为，七张桌子总面积为，则与的关系可以表示为 ． 2．（24-25七年级下·江苏常州·月考）如图，边长分别为a和b的两个正方形拼接在一起，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 3. 若，则求的值． 题型三    单项式与多项式相乘的法则 1．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知，，则 ． 2．已知．则的值为 ． 3．（25-26八年级上·四川凉山·期末）化简： (1) (2) (3) 题型四    单项式与多项式相乘的实际应用 1. 如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建一条宽为的小路（阴影部分），这条小路的面积是（   ） A． B． C． D． 2. 如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，，且，则阴影部分面积为 3. 8月19日，中科宇航力箭一号遥十运载火箭·中国妇女号在东风商业航天创新试验区发射，7颗卫星顺利送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．某校的一个数学兴趣小组看到新闻后，产生浓厚的兴趣，参加了学校科技节比赛，制作了如图1所示的航天火箭模型．为了向全校同学宣传该火箭模型，该小组用板制作了如图2所示的宣传版画，它是由一个三角形、一个梯形和一个长方形组成的，板（阴影部分）的尺寸如图2所示． (1)用含，的代数式表示图2的板模型的总面积（结果需化简）． (2)若，，求板模型的总面积． 题型五    多项式与多项式相乘的法则 1．若，则代数式的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25七年级下·广东佛山·月考）若，则m，n的值分别为（　　） A． B． C． D． 3. （25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 题型六    多项式与多项式相乘的实际应用 1．（23-24七年级下·四川广元·期末）将11个长为，宽为的小长方形（如图1）不重叠无空隙地摆放在大长方形中（如图2），当的长度变化时，若空余部分的面积与的差不改变，则之间的数量关系为 （    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，公园内有一块长方形的草坪，它的长为，宽为．现计划扩建，将这块草坪的长和宽都增加．扩建后，草坪的面积将增加多少平方米？ 3． （24-25七年级下·浙江绍兴·期中）将两张边长分别为和（）的正方形纸片按图①，图②所示的方式放置在长方形内，（图①，图②中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①，图②中阴影部分的面积为分别为，当时，请你用含的代数式表示的值是 ． 题型一    整式的乘法混合计算 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) 2．计算的结果是（  ） A．2023 B．2022 C．2021 D．2020 3．（24-25七年级下·重庆·期中）若，则 ． 4．对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是（    ） A． B． C． D． 题型二    整式的乘法中化简求值问题 1．若，则 ． 2．先化简，再求值：，其中． 3．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）先化简，再求值：，其中． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中，． 5. 先化简，再求值：，已知，． 题型三    整式的乘法中规律性问题 1．已知，计算：，，． 观察以上各式并猜想，根据你的猜想，计算： ．（为正整数）． 2. 观察下列各式及其展开式 这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．请你猜想的展开式中含项的系数是 ． 3. （2025·山东青岛·二模）如图，是杨辉辑录于《详解九章算法》一书中的三角形数表．这个三角形给出了（，2，3，4，5，6）的展开式按字母a降幂排列后的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数．下列结论中正确的序号是 ． ①； ②当，时，代数式的值是； ③当的值是0时，一定是，； ④的展开式中的各项系数之和为． 4. （24-25七年级下·重庆·期中）一列整式依次为：，另一列整式依次为： ．按照上述规律，则 （用含的代数式表示）；若，则的值为 ． 题型四    整式的乘法中新定义问题 1. 我们定义一种新运算“※”：对于任意实数a，b，都有，例如：．已知关于x的运算，则x的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 2. （25-26八年级上·全国·课后作业）定义：若，则称与是关于1的单位数． (1)3与______是关于1的单位数，与______（填一个含的式子）是关于1的单位数； (2)若，，判断与是否是关于1的单位数，并说明理由． 3. （25-26八年级上·北京·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为和______． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (3)小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“系多项式”．若关于x的多项式是“系多项式”，则______． 4. （25-26八年级上·河北邯郸·月考）定义：一个多项式乘一个多项式，运算结果化简后得到多项式，若的项数比的项数多1，则称是的“友好多项式”；若的项数与的项数相同，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断是否为的“友好多项式”，并说明理由． (2)若，均是关于的多项式，且是的“特别友好多项式”，求的值． 题型五    整式的乘法中错解复原问题 1．已知是多项式，在计算时，小海同学把错看成了，结果得x，那么的正确结果为 ． 2．嘉淇计算一道整式乘法的题：，由于嘉淇抄错了第一个多项式中前面的符号，把“+”写成“”，得到的结果为． （1） ； （2）这道整式乘法的正确结果是 ． 3. 小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 1．已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 3. 探究应用 （1）计算：______． （2）______． （3）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式______．（请用含a、b的字母表示）． （4）直接用公式计算： ①______． ②______． 4. 已知的展开式中不含的一次项，且常数项是，求的值． 5. 已知时，关于x的多项式能被整除，求m的值． 6. 阅读材料． 计算下列两个两位数（十位上的数相同，个位上的数的和是10）相乘的运算： ，，，； 小明与田田观察上面的运算，发现了运算规律：十位上的数相同，个位上的数的和为10的两个两位数相乘，十位上的数乘以它与1的和作为结果的千位和百位，两个个位上的数相乘作为结果的十位和个位； 解决问题： (1)小明邀请田田利用上述速算方法，计算的积为______； (2)尝试用含有字母的式子表示上述规律：如果设一个两位数十位上的数是（，且为整数），个位上的数是（，且为整数），那么这个两位数可以表示为，则另一个两位数可以表示为______，上述规律可以表示为______（用含的式子表示）； (3)尝试对这个规律进行证明． 7. （24-25七年级下·甘肃兰州·期中）阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式（是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式， 因为， 所以多项式是一组平衡多项式，其平衡因子为． (1)小明发现多项式是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，要根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子； (2)判断多项式是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由． 8. 【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式，∵代数式的值与x的取值无关，∴，解． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为 ． （2）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 9. 一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为0，则将的两个数位上的数字对调得到一个新数，把放在的后面组成第一个四位数，把放在的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数的差再除以99所得的商记为，例如：时，．对于两位正整数与，其中，(，且为整数)．若能被5整除，则的值为 ，在此条件下，若，其中为整数，则此与乘积的最大值为 ． 10．（1）一张长方形硬纸片，长为，宽为，在它的四个角上分别剪去一个边长为的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，请你求出折成无盖盒子所用硬纸片的面积； （2）如图，一块长方形地用来建造住宅、广场和商厦，求这块地的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $