专题13 二次函数的图象与性质分层基础练 2026年中考数学第一轮复习

2026年中考数学 专题13 二次函数的图象与性质 班级：　　　姓名：　　 　学号： 一、选择题 1．(北师九下习题改编)下列抛物线开口向上的是( ) A. B. C. D. 2．(人教九上习题改编)若二次函数取最大值时，，则的值为( ) A. B. C. 1 D. 2 3．(人教九上习题改编)已知二次函数，下列说法正确的是( ) A. 对称轴为直线 B. 顶点坐标为 C. 函数的最大值是 D. 函数的最小值是 4．(2025花溪区模拟)二次函数，无论为何值，函数值总是成立的条件是( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 5．(2025威海)已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是( ) A. B. C. D. 6．(2025云岩区模拟)若一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是( ) A. B. C. D. 7．(2025南明区模拟)二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，若关于的一元二次方程为实数在的范围内有解，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 8．（2025·上海·模拟预测）抛物线一定不经过第一、二象限，那么下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 9．（2026·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，对于抛物线（其中是常数，且），下列叙述中正确的是（    ） A．当时，抛物线开口向下 B．抛物线与轴交点坐标为 C．顶点坐标是 D．当时，顶点是抛物线的最低点 10．（2025·浙江杭州·一模）设函数，，直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题 11．(北师九下例题改编)已知一个二次函数的图象经过点和，则这个二次函数的对称轴为直线　　　　. 12．(2025黔东南州模拟)抛物线与轴只有一个交点，则　　　　. 13．(2025汇川区模拟)如图，二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为直线，则当函数值时，自变量的取值范围是　　　　. 14．（2026·上海虹口·一模）已知点、都在二次函数的图像上，那么___________（填“”、“”或“”）． 15．（24-25九年级上·山东临沂·月考）如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④，则的大小关系为________． 16．（24-25九年级上·河南漯河·月考）已知二次函数，当时，的取值范围是________． 17．（2025·广东广州·一模）定义运算：，例如，，则函数的对称轴为直线_________． 18．（2024·山东青岛·一模）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的有____个 ①抛物线的对称轴为直线②抛物线的顶点坐标为 ③，两点之间的距离为5④当时，的值随值的增大而增大 三、解答题 19．已知二次函数的表达式为. (1) 直接写出该函数图象的对称轴和顶点坐标； (2) 求该函数图象与轴的交点坐标； (3) 若点，都在该函数图象上，试比较与的大小. 20．（2025·河南平顶山·二模）已知二次函数 (1)若该二次函数图象过点，求a的值． (2)请直接写出此抛物线的对称轴． (3)当时，y的最大值是6，求a的值． 21．（2022·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数． (1)若该函数的图象经过点，求该二次函数图象的顶点坐标． (2)若为此函数图象上两个不同点，当时，恒有，试求此函数的最值． (3)当且时，判断该二次函数图象的顶点所在象限，并说明理由． 22．（2022·河南·模拟预测）已知抛物线y＝－（x－m）2＋1与x轴的交点为A，B（B在A的右边），与y轴的交点为C． (1)写出m＝1时与抛物线有关的三个正确结论． (2)当点B在原点的右边，点C在原点的下方时，是否存在△BOC为等腰三角形的情形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)请你提出两个对任意的m值都能成立的正确命题． 23．（2022·江西吉安·二模）已知抛物线的顶点为M． (1)当时，以下结论正确的有______．（填序号） ①对称轴是直线； ②顶点坐标是； ③当时，y随x的增大而减小． (2)求证：不论k取何值，抛物线的顶点M总在x轴的下方． (3)若抛物线关于直线对称后得到新的抛物线的顶点为，写出顶点中的纵坐标y与横坐标x之间的关系式，并判断顶点是否存在落在x轴上的情形，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 24．(2025陕西)在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是( ) A. 图象的开口向下 B. 当时，的值随值的增大而增大 C. 函数的最小值小于 D. 当时， 25．(2025广安)如图，二次函数，，为常数，的图象交轴于，两点，点的坐标是，点的坐标是，有下列结论：；；③关于的方程的解是，；.其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 26．在平面直角坐标系中，已知抛物线，设该抛物线的对称轴为. (1) 当时，求的值； (2) 点，是该抛物线上两个点，当时，对于的每一个值，总存在，使得，，且成立，求的取值范围. 27．(2025连云港)已知二次函数，为常数. (1) 若该二次函数的图象与直线有两个交点，求的取值范围； (2) 若该二次函数的图象与轴有交点，求的值； (3) 求证：该二次函数的图象不经过原点. 参考答案 一、选择题 1. A　【解析】在二次函数y=ax2＋bx＋c中，当a＞0时，其开口向上，在所给选项中，A选项中的a=2＞0，∴y=2x2＋4x－6的开口向上. 2. D　【解析】∵二次函数y=－x2＋2mx＋1取最大值时，x=2，∴对称轴为直线x=－=2，∴m=2. 3. C　【解析】二次函数y=－3(x－2)2－3的图象的开口向下，对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2，－3)，x=2时，y有最大值－3. 4. C　【解析】由题意，无论x为何值，函数值y＞0，∴二次函数的图象总在x轴的上方，∴抛物线开口向上，且与x轴无交点，∴b2－4ac＜0. 5. C　【解析】∵二次函数解析式为y=－2＋c，∴二次函数y=－(x－2)2＋c的图象开口向下，对称轴为直线x=2，∴离对称轴越近的点，函数值越大.∵=4，=1，=5，1＜4＜5，∴y2＞y1＞y3. 6. D　【解析】∵一次函数的图象经过一、二、三象限，∴－＞0，c＞0，∴在二次函数中，c＞0，对称轴为直线x=－＞0，∴二次函数的图象与y轴的交点在x轴的上方，对称轴在y轴的右侧，只有D选项符合. 7. C　【解析】∵关于x的一元二次方程x2＋nx－m=0(m为实数)在2＜x＜7的范围内有解，∴二次函数y=x2＋nx的图象与直线y=m在2＜x＜7的范围内有交点.∵二次函数y=x2＋nx的图象的对称轴为直线x=3，∴－=3，解得n=－6，∴二次函数解析式为y=x2－6x，∴二次函数y=x2－6x的图象的顶点坐标为(3，－9)，当x=7时，y=7，∴m的取值范围是－9≤m＜7. 8．B 【分析】本题考查了根据二次函数经过的象限确定字母系数的符号，解题关键是利用数形结合思想求解． 先确定抛物线的开口方向，再确定与轴的交点位置来确定的符号． 【详解】解：∵抛物线一定不经过第一、二象限， ∴抛物线的开口方向下，抛物线在第三、四象限， ∴，可排除选项，； ∴抛物线与的交点在负半轴，或过原点， ∴，可排除， 故选：B ． 9．C 【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的联系，通过二次函数图象与性质，以及二次函数图象与系数的联系，逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、当时，抛物线开口向上，选项叙述错误，不符合题意； B、抛物线与轴交点坐标为；选项叙述错误，不符合题意； C、∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为，正确，符合题意； D、当时，顶点是抛物线的最高点，选项叙述错误，不符合题意； 故选：C． 10．C 【分析】将代入两个函数得到和的表达式，再结合各选项中，的大小关系，比较和的大小即可得到答案． 【详解】解：依题意，，， ∴ 若， ∵，∴， ∵，，∴，即， ∴，即，C正确，D错误． 若，，，，得，，A错误． 若，，无法确定的正负，无法得到，B错误． 二、填空题 11. x=－1　【解析】∵二次函数y=ax2＋bx＋c的图象经过点A(－4，n)和B(2，n)，∴二次函数的对称轴为直线x==－1. 12. 9　【解析】令y=0，则x2－6x＋c=0，依题意得b2－4ac=(－6)2－4c=0，解得c=9. 13. －3＜x＜1　【解析】由题意得，二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴的另一个交点的坐标为(1，0)，∵a＜0，开口向下，∴当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是－3＜x＜1. 14． 【分析】本题考查二次函数的性质，由，可知函数图像开口向下，对称轴为，再根据增减性判断即可． 【详解】解：由，可知函数图像开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴ ． 故答案为． 15． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解决问题的关键是采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小． 设，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小． 【详解】解：直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，， ， 故答案为：． 16． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式得到顶点坐标和函数的增减性，进而确定函数值的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，函数有最小值，在对称轴右侧y随x增大而增大，在对称轴左侧y随x增大而减小，且离对称轴越远，函数值越大， ∵，且当时，， ∴， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查二次函数对称轴，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求对称轴． 【详解】解： ， ， 即， 对称轴为直线， 故答案为：． 18． 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点， ∴ ∴ ∴二次函数解析式为 ，对称轴为直线，顶点坐标为，故①，②不正确，不符合题意； ∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而减小，故④不正确，不符合题意； 当时， 即 ∴， ∴，故③正确，符合题意； 正确的有③，共1个， 故答案为：1． 三、解答题 19. 解：(1)对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，4)； 【解法提示】∵y=－4x2＋8x=－4(x－1)2＋4，∴该函数图象的对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，4). (2)令y=0，则－4x2＋8x=0， 解得x1=0，x2=2， ∴二次函数图象与x轴交点坐标为(0，0)，(2，0)； (3)∵a=－4＜0， ∴二次函数图象开口向下， ∴在对称轴直线x=1左侧，y随x增大而增大， ∵－1＜＜1， ∴y2＞y1. 20．(1) (2) (3)或 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的最值： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据对称轴公式进行求解即可； （3）分和，根据最值，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得：， 解得：； （2）由题意，对称轴为直线； （3）当时， ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值为， 解得：； 当时， ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数值最大，即：， 解得：； 综上：或． 21．(1) (2)函数有最大值0 (3)在第二象限，理由见解析 【分析】（1）直接将点代入即可求得a的值，然后根据顶点公式求得即可； （2）利用题意，求解a，然后把解析式化成顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论； （3）利用顶点公式求得， ，由且即可判断，即可得到该二次函数图象的顶点在第二象限． 【详解】（1）解：∵函数图象过点， ∴将点代入，得： ，解得， ∴二次函数的解析式为， ∴该二次函数的顶点坐标为； （2）解：函数的对称轴是直线， ∵为此二次函数图象上的两个不同点，且，恒有， ∴， ∴， ∴， ∴当时，函数有最大值0； （3）解：∵， ∴由顶点公式得：， ， ∵且， ∴， ∴该二次函数图象的顶点在第二象限． 【点睛】本题考查二次函数图象和性质；二次函数图象上点的特征，二次函数的最值，熟知二次函数的顶点公式是解决本题的关键． 22．(1)抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的两个交点为（0，0），（2，0），抛物线开口向下 (2)存在，2 (3)无论m为何值，函数的始终有最大值1；无论m为何值，函数始终与x轴有两个不同的交点 【分析】（1）当m=1时，y=-（x-1）2+1，根据的性质写出三个结论即可； （2）求得C（0，1-m2），根据点B在原点的右边，点C在原点的下方，可得m＞1，根据等腰三角形的性质可得1+m=m2-1，解方程求解即可； （3）根据的性质，可知无论m为何值，函数的始终有最大值1；无论m为何值，函数始终与x轴有两个不同的交点． 【详解】（1）解：当m=1时，y=-（x-1）2+1， ∴抛物线的对称轴为直线x=1， 令，-（x-1）2+1=0， 解得， 抛物线与x轴的两个交点为（0，0），（2，0）， 抛物线开口向下； （2）存在，理由如下： 令x=0，则y=1-m2， ∴C（0，1-m2）， 令y=0，则x=1+m或x=m-1， ∴B（1+m，0）， ∵点B在原点的右边，点C在原点的下方， ∴1+m＞0，1-m2＜0， ∴m＞1， ∵△BOC为等腰三角形， ∴1+m=m2-1， 解得m=2或m=-1（舍）， ∴m=2； （3）无论m为何值，函数始终有最大值1； 无论m为何值，函数始终与x轴有两个不同的交点． 【点睛】本题考查了的性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程，二次函数与坐标轴交点问题，掌握的性质是解题的关键． 24．(1)①② (2)见解析 (3)存在，k的值为1或2 【分析】（1）当时，求出抛物线的解析式，再化为顶点式，即可求解； （2）根据题意得：，可得抛物线与x轴有两个交点．即可求解； （3）先求出顶点M的坐标为．可得．从而得到顶点中的纵坐标y与横坐标x之间的关系式，然后令，即可求解． 【详解】（1）解：当时， ， ∴对称轴是直线，故①正确； 顶点坐标是，故②正确； ∵1＞0， ∴当时，y随x的增大而增大，故③错误； 故答案为∶ ①②． （2）解：， ， ∴抛物线与x轴有两个交点． 又∵抛物线开口向上， ∴抛物线的顶点M总在x轴的下方． （3）解：∵， ∴顶点M的坐标为． ∴抛物线关于直线对称后得到新的抛物线的顶点． 由，可得， ∴顶点中的纵坐标y与横坐标x之间的关系式为． 若顶点在x轴上，则，解得，， ∴存在顶点在x轴上，此时k的值为1或2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 25. D　【解析】∵二次函数y=ax2－2ax＋a－3的图象与x轴有两个交点，∴二次函数y=ax2－2ax＋a－3=a(x－1)2－3，顶点坐标为(1，－3)，二次函数图象开口向上，即a＞0，二次函数有最小值－3；由顶点坐标(1，－3)及a＞0，易得当x＜1时，y的值随x值的增大而减小，当x＞1时，y的值随x值的增大而增大.∵二次函数y=ax2－2ax＋a－3的图象与x轴的两个交点分别位于y轴两侧，∴当x=0时，y＜0，∵对称轴为直线x=1，∴当x=2时，y＜0. 13. C　【解析】根据图象可得，抛物线的开口向下，交y轴于正半轴，∴a＜0，c＞0，又∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴对称轴为直线x=－＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故结论①正确；由函数的图象可得，当x=－2时，y＜0，即4a－2b＋c＜0，即4a＋c＜2b，故结论②错误；∵二次函数y=ax2＋bx＋c的图象交x轴于A(－1，0)，B(n，0)两点，∴关于x的方程ax2＋bx＋c=0的解是x1=－1，x2=n，对称轴为直线x=，故结论③④正确；综上所述，结论正确的有3个. 26 解：(1)当a=1时，抛物线的表达式为y=x2－4x， ∴抛物线的对称轴为x=－=2， ∴t=2； (2)∵抛物线y=ax2＋2a(a－3)x(a≠0)的对称轴为x=t， ∴t=－=3－a， ∵点(x1，y1)，(x2，y2)是该抛物线上两个点，当－1＜x1＜2时，对于x1的每一个值，总存在x2，使得－1＜x2＜2，x2＞x1，且y2＞y1成立， ①当a＜0时，t≥2， 即3－a≥2，解得a≤1， ∵a＜0， ∴3－a＞3， ∴t＞3； ②当a＞0时，t ≤ ， 即3－a≤－1，解得a≥4，符合题意. ∴t的取值范围是t＞3或t ≤ . 27. (1)解： ∵在二次函数y=x2＋2(a＋1)x＋3a2－2a＋3中，1＞0， ∴二次函数的图象开口向上， ∵该二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点， ∴二次函数的最小值小于2a2， 即=2a2－4a＋2＜2a2， 解得a＞； (2)解：∵该二次函数的图象与x轴有交点， ∴方程x2＋2(a＋1)x＋3a2－2a＋3=0有实数根， ∴4(a＋1)2－4×1×(3a2－2a＋3)=－8a2＋16a－8=－8(a－1)2≥0， ∴8(a－1)2≤0， ∵8(a－1)2≥0， ∴8(a－1)2=0， 解得a=1； (3)证明： 当x=0时，y=3a2－2a＋3=3(a－)2＋， ∵(a－)2≥0恒成立， ∴y=3(a－)2＋≥＞0， ∴该二次函数的图象不经过原点. 2026中考数学 学科网（北京）股份有限公司 $