3.1.1 变量与函数课件 2025-2026学年 湘教版数学八年级下册

随堂演练 课堂小结 讲授新课 第3章 一次函数 3.1.1 变量与函数 情景导入 例题讲解 汽车行驶里程随行驶 时间而变化 行星在宇宙中的位置 随时间而变化 为了更深刻地认识千变万化的世界，这一章，我们将学习有关一种量随另一种量变化的知识，共同发现事物变化的规律. 情景导入 学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体验“发现、创造”数学知识的乐趣。 2 问题1 如图是某地气象站用自动温度记录仪描出的某一天的温度曲线. 看图思考： 1、这一天中，4时的气温是 ℃，14时的气温是___℃. 2、 随着 的变化而变化。（填：气温、时间） 10 20 气温 时间 讲授新课 借助简单实例，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题，能指出具体问题中的常量、变量．初步理解存在一类变量可以用函数方式来刻画，能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系。初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系，能判断两个变量间是否具有函数关系。 3 x/℃ -10 -5 0 5 10 15 20 y/（m/s） 观察思考： 随着 的变化而变化。（填“声速y”或“气温x”） 325.36 328.36 331.36 334.36 337.36 340.36 问题2 研究者研究声音在空气中传播的速度（简称声速）与气温之间的关系时，通过实验得到了几组气温x与声速y对应的数值： 343.36 声速y 气温x 问题3 某型无人机以120km/h的速度做匀速飞行，则其飞行的路程 y（km）与飞行时间x（h）之间的关系为 y = 120 x. 思考： 随着 的变化而变化。（填“路程y”或“时间x”） 路程y 时间x 在某一变化过程中，取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量（或常数）. 以上我们研究的这些数量关系，它们都刻画了某些变化规律．这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量． 例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t和气温T，气温T随着时间t的变化而变化，它们都会取不同的数值． 概念认知 可用图象、列表、关系式来表示变量之间的关系. 问题1： 问题2： 问题3：某型无人机以120km/h的速度做匀速飞行，则其飞行的路程 y（km）与飞行时间x（h）之间的关系为 y = 120 x. 上述问题中，时间t，气温T；声速y，气温x；飞行的路程y，飞行时间x等都是变量. 无人机的速度120km/h是固定不变的，120是常量. 7 思考 ： （1）以上每个变化过程中都有几个变量？ 每个变化的过程中都存在着两个变量. 当其中的一个变量变化时，另一个变量也在随着变化； 当一个变量确定一个值时，另一个变量有唯一的一个值与它对应。 （2）变量间是怎样在变化的？ 8 一般地，如果变量y随着变量x而变化，并且对于x的每一个取值， y都有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数，记作y=f(x). 其中，x叫作自变量， y叫作因变量. 对于自变量x的每一个取值a，因变量y的对应值称为函数值，记作y=f(a ). 归纳总结 在考虑两个变量间的函数时，还要注意自变量的取值范围. 如上述第1个问题中，自变量t的取值范围是0≤t≤24. 注意 （1）y：正方形的周长；x：这个正方形的边长； 说一说 （1）（4）中，y是x的函数；（2）（3）中，y不是x的函数. 下列各组给出了两个变量x和y，判断y是不是x的函数. （4）y：一个正数的算术平方根；x：这个正数. （3）y：一个正数的平方根；x：这个正数； （2）y：矩形的面积；x：这个矩形的宽； 例1 指出下列事件过程中的常量与变量. (1)某水果店橘子的单价为5元／千克，买a千橘子的总价为m元，其中常量是 ，变量是 ； (2)圆的周长C与半径r之间的关系式是C＝2πr，其中常量是 ，变量是 ； (3)三角形的一边长为5 cm，它的面积S (cm2)与这边上的高 h (cm)的关系式 中，常量是 ，变量是 . 5 a，m 2，π C， r S， h 判断标准：看是否发生变化 例题讲解 Administrator (A) - 紧扣“常量和变量”的定义进行辨识 例2 下列各题中哪些是函数关系,哪些不是函数关系? (1)在一定的时间内，匀速运动所走的路程和速度; (2)水管中水流的速度和水管的长度; (3) 圆的面积和它的周长. [方法点拨] 判断变量之间是不是函数关系的三要素: (1)在同一个变化过程中; (2)在变化过程中有两个变量; (3)一个变量确定后，另一个变量有唯一确定的值与它对应. Administrator (A) - 这是函数概念的本质特征. 解：（1）行驶的路程s随行驶时间t的变化而变化，路程s与时间t是变量，速度350km/h是常量； 随堂演练 1.下列变化过程中，哪个变量随另一个变量而变化？其中哪些是变量，哪些是常量？ （2）蓄水量V随水位高度h的变化而变化，蓄水量V，水位高度h是变量，长方体蓄水池的底面长a、宽b是常量. 解： 底面半径r是自变量，体积V是因变量，自变量r的取值范围是r＞0. 2. 已知圆柱的高h=4 cm，底面半径是r（cm）， 当圆柱的底面半径r由小变大时，圆柱的体积V=πr2h是r的函数.在这个变化过程中，哪个是自变量，哪个是因变量？r的取值范围是多少？ y=8x y x 40 120 变量与函数 常量与变量:在一个变化的过程中，取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量. 函数:一般地，如果变量y随着变量x而变化，并且对于x取的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数，记作：y=f(x). 其中x叫作自变量，y叫作因变量. 课堂小结 解:(1)在一定的时间内,匀速运动所走的路程和速度符合s=vt,是函数关系. (2)水管中水流的速度和水管的长度没有关系,所以不是函数关系. (3)圆的面积S和它的周长C符合S=,是函数关系. （1）一辆“复兴号”列车以350km/h的速度匀速行驶，行驶的路程s（km）与行驶时间t（h）； （2）某长为a、宽为b、深度为c的长方体蓄水池，其水位的高度h与相应的蓄水量V.  3、△ABC底边BC上的高为16 cm,当BC的长x(cm)变化时,△ABC的面积y(cm2)也随之发生变化. (1)在这个变化过程中,请指出自变量、因变量分别是什么. (2)y与x之间的关系为　　　　,　　　　是　　　　的函数.  (3)当x=5 cm时,y=　　　　 cm2;当x=15 cm时,y=　　　　 cm2.  解:(1)在这个变化过程中,自变量是x,因变量是y. $