第二单元长方体和正方体的表面积解决问题（专项训练）-2025-2026学年五年级数学下册高频易错题思维综合练（北师大版）

第二单元长方体和正方体的表面积解决问题专项训练一 一、解答题 1．一间长方体教室长8米，宽6米，高4.5米，要对教室的顶面和四壁进行粉刷（门窗和黑板26平方米除外），粉刷的面积是多少平方米？ 2．小恒想做一个封套，把《中华上下五千年》的三册书（尺寸完全相同）都装进去。做这个封套需要多少平方厘米的纸板？（纸板厚度及接缝忽略不计） 3．为响应“棋类进校园”的号召，东方小学准备粉刷一间教室作为棋艺活动室。已知教室的长是8米，宽是6米，高是3米，要粉刷这一间教室的墙壁和天花板（门窗和黑板除外），教室的门窗和黑板的面积是11.4平方米，如果每平方米需要6元涂料费，粉刷这间教室需要多少元钱？ 4．一款花苗培育木箱（无盖），长50厘米，宽30厘米，高12厘米。做一个这款木箱，至少需要木板多少平方厘米？ 5．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米，把它们拼在一起可组成一个新长方体，在这些新长方体中，表面积最小的是多少平方厘米？ 6．一种巧克力的外包装盒如图所示，“六一”期间，超市准备将这样的3盒巧克力包装成一个礼盒促销。怎样包装最节约包装纸？至少需要多少平方厘米的包装纸？（接口处不计） 7．有4个棱长是3分米的正方体礼品盒，现在它们用包装纸包成一包，有两种方案，哪一种方案比较节省包装纸？至少需要多少平方厘米的包装纸？ 8．学校要粉刷新教室。已知教室的长是8米，宽是5米，高是3米，扣除门窗和黑板的面积是12平方米。如果每平方米需要花4元涂料费，粉刷这个教室需要花多少钱？ 9．如下图（单位：cm），某广场上有20根这样的柱子，给每根柱子的四周和最上面贴上瓷砖。若每平方米瓷砖100元，则给这些柱子贴瓷砖一共要花多少钱？ 10．一个长方体蓄水池，长12.5米、宽8米、深2米。要在它的内壁和底面抹水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ 11．有一个底面是正方形的长方体铁皮油桶。如果把它的侧面展开正好得到一个边长是80厘米的正方形，做这样的一个油桶至少需要铁皮多少平方分米？ 12．光明小学科学小组做了一个长方体昆虫箱（如下图），昆虫箱的上面是纱网，其它的面均是透明板。制作这样一个昆虫箱至少需要纱网多少平方厘米？需要透明板多少平方厘米？（透明板厚度忽略不计） 13．为积极推动治理塑料污染，国家倡导商场、超市等场所推广使用环保布袋、纸袋等可降解、可循环、易回收的环保购物袋。某商场要制作一种如下图所示的纸袋（单位：厘米），制作一个这种无盖的纸袋至少需要多少平方厘米的纸？（重叠部分约需要300平方厘米的纸） 14．德宏盈江有着“中国犀鸟谷”的美誉。为了给小犀鸟们营造一个舒适的环境，工作人员准备为小犀鸟修建一个长60厘米、宽50厘米、高35厘米的长方体鸟巢。除去犀鸟进出洞口400平方厘米，做这个鸟巢需要多少平方厘米的木板？ 15．果果用5个完全一样的小正方体拼成如下面的长方体，表面积减少了32平方厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 16．如图，在一个棱长为5分米的正方体上面的正中间向下挖一个棱长为2分米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中间再向下挖一个棱长为1分米的正方体小洞。求挖洞后的几何体的表面积是多少平方分米？ 17．一个正方体的棱长为3厘米，在它的前、后、左、右、上、下各面中心各挖去一个棱长为1厘米的正方体后做成一种玩具，求这个玩具的表面积。 18．一块长方体木块刚好截成两个一样的小正方体，表面积之和增加了18平方分米，原来长方体的表面积是多少平方分米？ 19．5月21日是全国助残日。五（1）中队委员把一个棱长46厘米的正方体纸箱的各面都帖上红纸，将它作为募捐“爱心箱”，他们至少需要多少平方分米的红纸？ 20．如图是一个棱长为10分米的大正方体和一个棱长为8分米的小正方体叠在一起形成的立体图形，求这个立体图形的表面积。 21．一块长2米、宽0.2米、高0.4米的长方体木头，被李叔叔如图所示平均分成四块后，准备做成四个木秋千。这块木头被分开后，表面积增加了多少平方米？ 22．如图，笑笑要给好朋友寄巧克力，两盒巧克力包成一包，至少需要多少平方厘米的包装纸？（接口处不计） 23．有一个长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米的长方体，将它截成两个长方体，使这两个长方体的表面积之和最大。这时表面积之和是多少平方厘米？ 24．下图是一个由实心正方体和长方体组合而成的塑料部件。下面正方体的棱长是20cm，上面是长方体的前、后、左、右四个面的面积总和为80cm2。这个塑料部件的表面积是多少平方厘米？    25．下图这个领奖台是由三个长方体拼成的。它的前后两面涂黄色油漆，其他露出来的面涂红色油漆。涂黄色油漆和红色油漆的面积各是多少？ 参考答案 1．148平方米 【分析】先计算教室顶面和四壁的面积，根据“无底长方体的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2”代入数值计算；再减去门窗和黑板的面积即可。 【解答】8×6＋（8×4.5＋6×4.5）×2－26 ＝48＋（36＋27）×2－26 ＝48＋63×2－26 ＝48＋126－26 ＝174－26 ＝148（平方米） 答：粉刷的面积是148平方米。 2． 848平方厘米 【分析】根据题意可知：要求封套的面积即求三册书形成的长方体的表面积（除去前面，5个面的面积之和），先求出长方体的高为厘米，长为20厘米，宽为14厘米，代入计算公式计算即可，据此解答。 【解答】（厘米） （平方厘米） 答：做这个封套需要848平方厘米的纸板。 3．723.6元 【分析】根据题意，要计算粉刷教室的费用，需先求出需要粉刷的面积。教室是长方体，粉刷的面包括天花板（长×宽）和四周墙壁（2×长×高＋2×宽×高），然后减去门窗和黑板的面积，得到实际粉刷面积，再用实际粉刷面积乘每平方米涂料费。据此解答。 【解答】天花板面积：8×6＝48（平方米） 四周墙壁面积： 2×8×3＋2×6×3 ＝16×3＋12×3 ＝48＋36 ＝84（平方米） 需要粉刷的总面积：48＋84－11.4＝132－11.4＝120.6（平方米） 总费用：120.6×6＝723.6（元） 答：粉刷这间教室需要723.6元钱。 4． 3420平方厘米 【分析】根据长方体的表面积知识，由题意可知，木板的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，据此代入数据计算。 【解答】 （平方厘米） 答：至少需要木板3420平方厘米。 5．148平方厘米 【分析】两个完全相同的长方体，拼在一起可组成一个新长方体，有以下方式： 从图中可知：每一种方式，都会有两个面重叠，即新长方体的表面积＝两个完全相同的长方体的表面积之和－重叠的两个面。要使新长方体的表面积最小，重叠的两个面就要最大，即按图①的方式拼在一起。根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出小长方体的体积，再乘2，再减去2个最大的面积5×4×2，即可求出表面积最小的新长方体。 【解答】（5×4＋5×3＋4×3）×2×2－5×4×2 ＝（20＋15＋12）×2×2－40 ＝47×2×2－40 ＝188－40 ＝148（平方厘米） 答：表面积最小的是148平方厘米。 6．1650平方厘米 【分析】根据题意作图如下： 把3盒巧克力包装在一起，拼成一个大长方体时，会减少4个相同的长方形的面积；因为20×15＞20×5＞15×5，所以把3个长方体的20×15的面重合，这样减少的表面积最多，用的包装纸最少，最节约包装纸。 拼成一个长20厘米、宽15厘米、高（5×3）厘米的长方体，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，即可求出至少需要包装纸的面积 【解答】高：5×3＝15（厘米） （20×15＋20×15＋15×15）×2 ＝（300＋300＋225）×2 ＝825×2 ＝1650（平方厘米） 答：将这样的3盒巧克力的长和宽重合叠在一起最节约包装纸，至少需要1650平方厘米。 7．方案一；14400平方厘米 【分析】由题可知，方案一拼成的是一个长为（3×2）分米，宽为3分米，高为（3×2）分米的长方体。方案二拼成的是一个长为（3×4）分米，宽为3分米，高为3分米的长方体。要比较哪种方案节省包装纸，就是比较两种方案拼成的大长方体的表面积大小，表面积小的就节省包装纸。根据公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，再进行大小比较，最后进行单位换算，据此解答。 【解答】方案一： 3×2＝6（分米） （6×3＋6×6＋3×6）×2 ＝（18＋36＋18）×2 ＝72×2 ＝144（平方分米） 方案二： 3×4＝12（分米） （12×3＋12×3＋3×3）×2 ＝（36＋36＋9）×2 ＝81×2 ＝162（平方分米） 162＞144 144平方分米＝14400平方厘米 答：方案一比较节省包装纸，至少需要14400平方厘米的包装纸。 8．424元 【分析】粉刷教室需要计算天花板＋四壁面积，地面不刷，再扣除门窗黑板面积得到实际粉刷面积，最后乘每平方米费用。 【解答】计算天花板面积：8×5＝40（平方米） 计算四壁面积： （8×3＋5×3）×2 ＝（24＋15）×2 ＝78（平方米） 实际粉刷面积： 40＋78－12 ＝118－12 ＝106（平方米） 总费用：106×4＝424（元） 答：粉刷这个教室需要花424元钱。 9．4380元 【分析】根据题意可知，要给每根柱子的四周和最上面贴上瓷砖，即一根柱子贴瓷砖的面积＝下面长方体侧面积＋上面长方体侧面积＋最上面的面积，再用贴瓷砖的面积乘20求出20根柱子的贴瓷砖的面积，最后乘100即可，注意单位的换算。 【解答】 （平方厘米） （元） 答：这些柱子贴瓷砖一共要花4380元。 10．182平方米 【分析】由题意可知，求蓄水池抹水泥的面积就是求长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，因为在蓄水池的内壁和底面抹水泥，所以只需计算长方体5个面的面积，据此解答。 【解答】12.5×8＋（12.5×2＋8×2）×2 ＝12.5×8＋（25＋16）×2 ＝12.5×8＋41×2 ＝100＋82 ＝182（平方米） 答：抹水泥的面积是182平方米。 11．72平方分米 【分析】底面是正方形的长方体铁皮油桶的侧面展开正好得到一个边长是80厘米的正方形，则长方体底面棱长（即长方体的长和宽）为80÷4＝20（厘米），长方体的高是80厘米，根据：长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入计算即可。 【解答】80÷4＝20（厘米） （20×20＋20×80＋20×80）×2 ＝（400＋1600＋1600）×2 ＝（2000＋1600）×2 ＝3600×2 ＝7200（平方厘米） 1平方分米＝100平方厘米 7200÷100＝72（平方分米） 答：做这样的一个油桶至少需要铁皮72平方分米。 12．1000平方厘米；4900平方厘米 【分析】由题意可知：纱网的面积等于长方体上面的面积，将数据代入长方形面积公式：S＝ab计算即可；透明板的面积等于长方体前后、左右、下面的面积，将数据代入长方体表面积公式：S＝ab×2＋ah×2＋bh×2计算即可（注意不需要计算上面面积）。 【解答】40×25＝1000（平方厘米） 40×25＋40×30×2＋25×30×2 ＝1000＋2400＋1500 ＝4900（平方厘米） 答：制作这样一个昆虫箱至少需要纱网1000平方厘米，需要透明板4900平方厘米。 13．2956平方厘米 【分析】把这个纸袋看作一个长方体，长方体的长是26厘米，宽是8厘米，高是36厘米，求需要纸的面积就是求长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，因为这个长方体无盖，所以只需要计算长方体5个面的面积，最后加上重叠部分需要纸的面积，据此解答。 【解答】26×8＋（26×36＋8×36）×2＋300 ＝26×8＋（936＋288）×2＋300 ＝26×8＋1224×2＋300 ＝208＋2448＋300 ＝2656＋300 ＝2956（平方厘米） 答：制作一个这种无盖的纸袋至少需要2956平方厘米的纸。 14．13300平方厘米 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此代入数据求出长方体的表面积，再减去洞口的面积即可得到木板的面积。 【解答】（60×50＋60×35＋50×35）×2－400 ＝（3000＋2100＋1750）×2－400 ＝6850×2－400 ＝13700－400 ＝13300（平方厘米） 答：做这个鸟巢需要13300平方厘米的木板。 15．88平方厘米 【分析】因为每两个正方体拼接会减少2个面，5个正方体拼接了4次，2×4＝8（个），一共减少了8个面，表面积减少了32平方厘米，32÷8＝4（平方厘米），则正方体一个面的面积为4平方厘米。一个正方体有6个面，先算出一个正方体的表面积，再乘5，求出5个正方体的表面积之和。拼成长方体后，表面积减少了32平方厘米，用5个正方体的表面积之和减去32平方厘米，即可求出这个长方体的表面积。 【解答】5－1＝4（次） 32÷（4×2） ＝32÷8 ＝4（平方厘米） 4×6×5－32 ＝120－32 ＝88（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是88平方厘米。 16．170平方分米 【分析】分析题目，通过平移可知：这个图形的表面积就等于棱长是5分米的正方体的表面积加棱长是1分米的正方体的前后左右4个面加棱长是2分米的正方体的前后左右4个面，据此结合正方体的表面积＝棱长×棱长×6列式计算即可。 【解答】5×5×6＋1×1×4＋2×2×4 ＝25×6＋1×4＋4×4 ＝150＋4＋16 ＝170（平方分米） 答：挖洞后的几何体的表面积是170平方分米。 17．78平方厘米 【分析】根据题意可知，正方体上挖去一个棱长为1厘米的小正方体，表面积就增加4个边长为1厘米的正方形的面积，6个面上各挖一个，就增加4×6＝24（个）边长为1厘米的正方形的面积，原正方体的表面积加增加的面积，即等于这个玩具的表面积，据此即可解答。 【解答】3×3×6＋1×1×4×6 ＝9×6＋4×6 ＝54＋24 ＝78（平方厘米） 答：这个玩具的表面积是78平方厘米。 18．90平方分米 【分析】根据题意可知，一刀增加2个面，已知表面积之和增加了18平方分米，说明2个正方形面的面积是18平方分米，用18÷2即可求出1个正方形面的面积，再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出1个小正方体的表面积，进而求出2个小正方体的表面积，然后减去18平方分米即可。 【解答】18÷2＝9（平方分米） 9×6×2 ＝54×2 ＝108（平方分米） 108－18＝90（平方分米） 答：原来长方体的表面积是90平方分米。 19．126.96平方分米 【分析】根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据解答即可，最后根据1平方分米＝100平方厘米，把结果转化为以“平方分米”为单位。 【解答】46×46×6 ＝2116×6 ＝12696（平方厘米） 12696平方厘米＝126.96平方分米 答：他们至少需要126.96平方分米的红纸。 20．856平方分米 【分析】由图可知，可以将小正方体的上面借给大正方体用，这样大正方体的六个面就全了，而小正方体只剩下四个侧面，所以要求这个组合图形的表面积，就是要求大正方体的表面积加小正方体的四个侧面积，据此可解答。 【解答】大正方体表面积：10×10×6＝100×6＝600（平方分米） 小正方体四个侧面积：8×8×4＝64×4＝256（平方分米） 立体图形的表面：600＋256＝856（平方分米） 答：这个立体图形的表面积是856平方分米。 【点睛】解答本题关键利用正方体表面积公式：正方体表面积＝6×棱长×棱长。 21．1.76平方米 【分析】观察可知，平均分成四块要切两下，每次一下就会增加2个长方形面积，所以表面积增加了4个长方形的面积，分别是2个长是2米，宽0.4米的长方形，2个长是0.4米，宽是0.2米的长方形，根据长方形的面积公式计算即可。 【解答】 （平方米） 答：表面积增加了1.76平方米。 22．236平方厘米 【分析】如图，将包装盒上下两个面拼起来，拼起来的长方体长和宽等于原来的长和宽，拼起来的高＝原来的高×2，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，即可求出包装纸的面积。 【解答】3×2＝6（厘米） （8×5＋8×6＋5×6）×2 ＝（40＋48＋30）×2 ＝118×2 ＝236（平方厘米） 答：至少需要236平方厘米的包装纸。 23．134平方厘米 【分析】根据题意可知，要使截成的两个长方体的表面积之和最大，就要沿着长和宽的横截面进行截取，这时增加两个长乘宽的面积，原来长方体的面积加上两个长乘宽的面积，即等于这时的表面积之和，据此即可解答。 【解答】（5×4＋5×3＋4×3）×2＋5×4×2 ＝（20＋15＋12）×2＋20×2 ＝47×2＋40 ＝94＋40 ＝134（平方厘米） 答：这时表面积之和是134平方厘米。 24．2480平方厘米 【分析】根据题意，通过平移补齐，这个塑料部件的表面积＝正方体的表面积＋长方体的侧面积（前、后、左、右四个面的面积），正方体的表面积＝6a2，据此解答。 【解答】 （平方厘米） （平方厘米） 答：这个塑料部件的表面积是平方厘米。 【点睛】此题考查了长方体与正方体的面积计算，关键熟记计算公式。 25．涂黄色油漆10800平方厘米；涂红色油漆13000平方厘米 【分析】对于涂黄色油漆的面，是颁奖台的前后两个面，是由三个长方体的前后两个面组成，共6个面； 对于涂红色油漆的面，可以看作三个长方体的3个上面和1号长方体的左右两个面组成。 根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，分别求出涂黄色油漆和红色油漆的面积。 【解答】60×40×2＋60×20×2＋60×（40－10）×2 ＝60×40×2＋60×20×2＋60×30×2 ＝4800＋2400＋3600 ＝10800（平方厘米） 60×50×3＋50×40×2 ＝9000＋4000 ＝13000（平方厘米） 答：涂黄色油漆的面积是10800平方厘米，红色油漆的面积是13000平方厘米。 学科网（北京）股份有限公司 $